专题8二次函数与矩形存在性问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）（解析版）.docx

1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题8二次函数与矩形存在性问题1.矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角为直角的四边形是矩形2.题型分析矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个下：同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确定C或D的坐标.

2、【例1】（2022泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2+x+c经过A（2，0），B（0，4）两点，直线x3与x轴交于点C（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x3交于点D，E，且BDO与OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）把A（2，0），B（0，4）两点代入抛物线yax2+x+c中列方程组解出即可；（2）利用待定系数可得直线AB的解析式，再设直线DE的解析式

3、为：ymx，点D是直线DE和AB的交点，列方程可得点D的横坐标，根据BDO与OCE的面积相等列等式可解答；（3）设P（t，t2+t+4），分两种情况：作辅助线构建相似三角形，证明三角形相似或利用等角的三角函数列等式可解答【解答】解：（1）把A（2，0），B（0，4）两点代入抛物线yax2+x+c中得：解得：；（2）由（1）知：抛物线解析式为：yx2+x+4，设直线AB的解析式为：ykx+b，则，解得：，AB的解析式为：y2x+4，设直线DE的解析式为：ymx，2x+4mx，x，当x3时，y3m，E（3，3m），BDO与OCE的面积相等，CEOC，3（3m）4，9m218m160，（3m+2）（

4、3m8）0，m1，m2（舍），直线DE的解析式为：yx；（3）存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：设P（t，t2+t+4），如图1，过点P作PHy轴于H，四边形BPGF是矩形，BPFG，PBFBFG90，CFG+BFOBFO+OBFCFG+CGFOBF+PBH90，PBHOFBCGF，PHBFCG90，PHBFCG（AAS），PHCF，CFPHt，OF3t，PBHOFB，即，解得：t10（舍），t21，F（2，0）；如图2，过点G作GNy轴于N，过点P作PMx轴于M，同可得：NGFM3，OFt3，OFBFPM，tanOFBtanFPM，即，解得：t1，t2（舍），

5、F（，0）；综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）【例2】（2022绥化）如图，抛物线yax2+bx+c交y轴于点A（0，4），并经过点C（6，0），过点A作ABy轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EFAB于F，以EF为对角线作正方形EGFH（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明

6、理由【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线x2，可得出抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（2，0），列出交点式，再将点A（0，4）可得出抛物线的解析式；（2）根据可得出ABD是等腰直角三角形，再根据点E的运动和正方形的性质可得出点H，F，G的坐标，根据点B，C的坐标可得出直线BC的解析式，将点G代入直线BC的解析式即可；（3）若存在，则BGC是直角三角形，则需要分类讨论，当点B为直角顶点，当点G为直角顶点，当点C为直角顶点，分别求解即可【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x2，D点的坐标为（4，0），抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），抛物线的解析式为：ya（x+2）（x6），将点A（0，4

7、）解析式可得，12a4，a抛物线的解析式为：y（x+2）（x6）x2x4（2）ABy轴，A（0，4），点B的坐标为（4，4）D（4，0），ABBD4，且ABD90，ABD是等腰直角三角形，BAD45EFAB，AFE90，AEF是等腰直角三角形AEm，AFEFm，E（m，4+m），F（m，4）四边形EGFH是正方形，EHF是等腰直角三角形，HEFHFE45，FH是AFE的角平分线，点H是AE的中点H（m，4+m），G（m，4+m）B（4，4），C（6，0），直线BC的解析式为：y2x12当点G随着E点运动到达BC上时，有2m124+m解得mG（，）（3）存在，理由如下：B（4，4），C（6，0）

8、，G（m，4+m）BG2（4m）2+（m）2，BC2（46）2+（4）220，CG2（6m）2+（4+m）2若以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，则BGC是直角三角形，分以下三种情况：当点B为直角顶点时，BG2+BC2CG2，（4m）2+（m）2+20（6m）2+（4+m）2，解得m，G（，）；当点C为直角顶点时，BC2+CG2BG2，20+（6m）2+（4+m）2（4m）2+（m）2，解得m，G（，）；当点G为直角顶点时，BG2+CG2BC2，（4m）2+（m）2+（6m）2+（4+m）220，解得m或2，G（3，3）或（，）；综上，存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边

9、形是矩形，点G的坐标为（，）或（，）或（3，3）或（，）【例3】（2022黔东南州）如图，抛物线yax2+2x+c的对称轴是直线x1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DMx轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由抛物线的

10、对称轴为直线x1，抛物线经过点B（3，0），可得A（1，0），用待定系数法即可求解；（2）求出直线BC的解析式，设点D坐标为（t，t2+2t+3），则点N（t，t+3），利用勾股定理表示出AC2，AN2，CN2，然后分当ACAN时，当ACCN时，当ANCN时三种情况进行讨论，列出关于t的方程，求出t的值，即可写出点N的坐标；（3）分两种情形讨论：当BC为对角线时，当BC为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可【解答】解：（1）抛物线yax2+2x+c的对称轴是直线x1，与x轴交于点A，B（3，0），A（1，0），解得，抛物线的解析式yx2+2x+3；（2）yx2

11、+2x+3，C（0，3），设直线BC的解析式为ykx+3，将点B（3，0）代入得：03k+3，解得：k1，直线BC的解析式为yx+3；设点D坐标为（t，t2+2t+3），则点N（t，t+3），A（1，0），C（0，3），AC212+3210，AN2（t+1）2+（t+3）22t24t+10，CN2t2+（3+t3）22t2，当ACAN时，AC2AN2，102t24t+10，解得t12，t20（不合题意，舍去），点N的坐标为（2，1）；当ACCN时，AC2CN2，102t2，解得t1，t2（不合题意，舍去），点N的坐标为（，3）；当ANCN时，AN2CN2，2t24t+102t2，解得t，点N的

12、坐标为（，）；综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（，3）或（，）；（3）设E（1，a），F（m，n），B（3，0），C（0，3），BC3，以BC为对角线时，BC2CE2+BE2，（3）212+（a3）2+a2+（31）2，解得：a，或a，E（1，）或（1，），B（3，0），C（0，3），m+10+3，n+0+3或n+0+3，m2，n或n，点F的坐标为（2，）或（2，）；以BC为边时，BE2CE2+BC2或CE2BE2+BC2，a2+（31）212+（a3）2+（3）2或12+（a3）2a2+（31）2+（3）2，解得：a4或a2，E（1，4）或（1，2），B（3，0），C（0，3），m+01

13、+3，n+30+4或m+31+0，n+032，m4，n1或m2，n1，点F的坐标为（4，1）或（2，1），综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（2，1）【例4】（2022梁山县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A（2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC2OA（1）试求抛物线的解析式；（2）直线ykx+1（k0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、

14、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由【分析】（1）因为抛物线yax2+bx+c经过A（2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设ya（x+2）（x4），求出点C坐标代入求出a即可；（2）由CMDFMP，可得m，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形分两种情形分别求解即可：当DP是矩形的边时，有两种情形；当DP是对角线时；【解答】解：（1）因为抛物线yax2+bx+c经过A（2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设ya（x+2）（x4），OC2OA，OA2，C（

15、0，4），代入抛物线的解析式得到a，y（x+2）（x4）或yx2+x+4或y（x1）2+（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PEx轴于E，交BC于FCDPE，CMDFMP，m，直线ykx+1（k0）与y轴交于点D，则D（0，1），BC的解析式为yx+4，设P（n，n2+n+4），则F（n，n+4），PFn2+n+4（n+4）（n2）2+2，m（n2）2+，0，当n2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图21中，四边形DQNP是矩形时，有（2）可知P（2，4），代入ykx+1中

16、，得到k，直线DP的解析式为yx+1，可得D（0，1），E（，0），由DOEQOD可得，OD2OEOQ，1OQ，OQ，Q（，0）根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，N（2+，41），即N（，3）b、如图22中，四边形PDNQ是矩形时，直线PD的解析式为yx+1，PQPD，直线PQ的解析式为yx+，Q（8，0），根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，N（0+6，14），即N（6，3）当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2x2+1，QP2（x2）2+42，PD213，Q是直角顶点，QD2+QP2PD2，x2+1+（x2）2+1613，

17、整理得x22x+40，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，3）1（2022武功县模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：yx2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A（6，0）、B（2，0）两点（1）求抛物线L1的函数表达式；（2）将该抛物线L1向右平移4个单位长度得到新的抛物线L2，与原抛物线L1交于点C，点D是点C关于x轴的对称点，点N在平面直角坐标系中，请问在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；（2）存在，根据题意求得抛物

18、线L2的表达式，再与抛物线L1联立，求得点C的坐标，进而求得点D的坐标；要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，分当M在x轴上方时和当M在x轴下方时，两种情况讨论，根据矩形的性质列出方程，求解即可【解答】解：（1）把A（6，0）、B（2，0）代入yx2+bx+c中，得，解得，抛物线L1的函数表达式为yx24x+12；（2）存在，理由如下：yx24x+12（x+2）2+16，抛物线L2的函数表达式为y（x+24）2+16（x2）2+16x2+4x+12，令x24x+12x2+4x+12，解得：x0，当x0时，yx24x+1212，点C的坐标为（0，12），点D是点C关于x轴的对

19、称点，点D坐标为（0，12），当M在x轴上方时，要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，则yMyC，即x2+4x+1212，解得：x10，x24，M1（4，12）；当M在x轴下方时，要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，则yMyD，即x2+4x+1212，解得：x12+2，x222，M2（2+2，12），M3（22，12）综上所述，在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，点M的坐标为（4，12）或（2+2，12）或（22，12）2（2022东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y+bx+c与x轴的正半轴

20、交于点D，与y轴交于点C，点A在抛物线上，ABy轴于点BABC绕点B逆时针旋转90得到OBE，连接DE当+bx+c0时，x的取值范围是x2（1）求该抛物线的解析式；（2）求证：四边形OBED是矩形；（3）在线段OD上找一点N，过点N作直线m垂直x轴，交OE于点F，连接DF，当DNF的面积取得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线m上找一点P，连接OP、DP使得OPD+DOE90，求点P的坐标【分析】（1）由题意可知抛物线与x轴的两个交点为（2，0），（，0），再将两个点代入解析式即可求解；（2）由旋转是性质，可得OBAB，则设A（m，m），求出A点坐标，由此可得BEOD，再由BEOD，OB

21、OD即可证明；（3）设N（n，0），则F（n，n），则S（n1）2+，可知当n1时，S有最大值，此时N（1，0），F（1，），通过已知可推导出OPNPOE，从而得到PFOF，设P（1，t），则|t|，求出t的值即可求点P的坐标【解答】（1）解：当+bx+c0时，x的取值范围是x2，抛物线与x轴的两个交点为（2，0），（，0），解得，yx1；（2）证明：由（1）可知D（2，0），C（0，1），OD2，OC1，ABy轴，ABC是直角三角形，ABC绕点B逆时针旋转90得到OBE，OBBE，ABOB，设A（m，m），mm2m1，解得m1或m，A（1，1），BO1，BCBE2，BEOD，BOD90，BE

22、OD，四边形OBED是矩形；（3）E（2，1），直线OE的解析式为yx，设N（n，0），则F（n，n），SDNFN（2n）n（n1）2+，N在线段OD上，0n2，当n1时，S有最大值，此时N（1，0），F（1，），PNO90，EOD+POE90，OPD+DOE90，POE+OPNOPD，O点与D点关于l对称，OPNNPD，OPNPOE，PFOF，设P（1，t），|t|，t+或t+，P点坐标为（1，+）或（1，+）3（2022石家庄二模）如图，抛物线yx2+bx+c（c0）与x轴交于点A（1，0），B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC（1）点C的纵坐标为 b+1（用含b的式子表示），O

23、BC45度；（2）当b1时，若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接BP，CP，求BCP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）已知矩形ODEF的顶点D，F分别在x轴、y轴上，点E的坐标为（3，2）抛物线的顶点为Q，当AQ的中点落在直线EF上时，求点Q的坐标；当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，请直接写出b的取值范围【分析】（1）将（1，0）代入解析式可得c与b的关系，从而可得OBOC，进而求解（2）由b1可得抛物线解析式及点B，C坐标，根据待定系数法求出直线BC解析式，设点P坐标为（m，m2+m+2），作PEx轴交BC于点E，连接PC，PB，由SBCPSCEP+SBEP

24、求解（3）将二次函数解析式化为顶点式可得点Q坐标，由点A，Q坐标可得A，Q中点坐标，进而求解根据抛物线与y轴交点的位置及抛物线对称轴的位置，结合图象求解【解答】解：（1）将（1，0）代入yx2+bx+c得01b+c，解得cb+1，yx2+bx+b+1，设点B坐标为（x2，0），则抛物线对称轴为直线x，解得x2b+1，点B坐标为（b+1，0），OCOBb+1，OBC45，故答案为：b+1，45（2）当b1时，yx2+x+2，作PEx轴交BC于点E，连接PC，PB，设直线BC解析式为ykx+b，将B（2，0），（0，2）代入ykx+b得，解得，yx+2设点P坐标为（m，m2+m+2），则点E坐标为

25、（m，m+2），PEm2+2m，SBCPSCEP+SBEPPExP+PE（xBxP）PExBm2+2m（m1）2+1，m1时，BCP面积的最大为1，此时点P坐标为（1，2）（3）yx2+bx+b+1（x）2+b+1，点Q坐标为（，+b+1），A（1，0），点A，Q中点坐标为（+，+），+2，解得b2或b6，当b2时，点Q坐标为（1，4），当b6时，点Q坐标为（3，4）E（3，2），点F坐标为（0，2），将（0，2）代入yx2+bx+b+1得b+12，解得b1，将E（3，2）代入yx2+bx+b+1得29+4b+1，解得b，1b，满足题意当抛物线顶点Q（，+b+1）落在y轴上时，0，解得b0，当

26、抛物线经过原点时，0b+1，解得b1，1b0符合题意综上所述，1b或1b04（2022滨海县一模）如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y2x+m交y轴于点MP为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F（1）求抛物线的表达式：（2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求PBC的面积：（3）若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；在的条件下，第四象限内有一点Q，满足QNQM，当QNB的周长最小时，求点Q的坐标【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点A（1，0）、B（4，0）

27、两点，即知抛物线的表达式为：y（x+1）（x4），即yx2+x+2；（2）由yx2+x+2求出P（，），由B（4，0），C（0，2）得直线BC的表达式为yx+2，从而可得E（，），PE，即可得PBC的面积是；（3）过点N作NGEF于点G，求得直线BM的表达式为：y2x8即知M（0，8），设E（a，a+2），则F（a，2a8），证明NEGBFH（AAS），可得NGBH，EGFH，即有a4a，解得F（2，4），E（2，1），从而可得N（0，3）；取MN的中点D，由QNQM，知点Q在MN的垂直平分线上，又CQNBBQ+NQ+BNBQ+NQ+5BQ+MQ+5，故要使CQNB最小，只需BQ+MQ最小，即

28、点B、Q、M共线，此时，点Q即为MN的垂直平分线与直线BM的交点，由N（0，3），M（0，8），得D（0，），即可得Q（，）【解答】解：（1）抛物线与x轴交于点A（1，0）、B（4，0）两点，抛物线的表达式为：y（x+1）（x4），即yx2+x+2；（2）如图：点P落在抛物线yx2+x+2的对称轴上，P为抛物线yx2+x+2的顶点，yx2+x+2（x）2+，P（，），在yx2+x+2中，令x0得y2，C（0，2）由B（4，0），C（0，2）得直线BC的表达式为yx+2，把x代入yx+2得y，E（，），PE，SPBCPE|xBxC|4，答：PBC的面积是；（3）过点N作NGEF于点G，如图：y2

29、x+m过点B（4，0），024+m，解得m8，直线BM的表达式为：y2x8，M（0，8），设E（a，a+2），则F（a，2a8），四边形BENF为矩形，NEGBFH，NEBF，又NGE90BHF，NEGBFH（AAS），NGBH，EGFH，而NGa，BHOBOH4a，a4a，解得a2，F（2，4），E（2，1），EH1，EGFH，EFEGEFFH，即GFEH1，F（2，4），G（2，3），N（0，3）；取MN的中点D，如图：QNQM，点Q在MN的垂直平分线上，又B（4，0），N（0，3），BN5，CQNBBQ+NQ+BNBQ+NQ+5BQ+MQ+5，要使CQNB最小，只需BQ+MQ最小，当点B

30、、Q、M共线时，QNB的周长最小，此时，点Q即为MN的垂直平分线与直线BM的交点，N（0，3），M（0，8），D（0，），在y2x8中，令y得：2x8，解得x，Q（，）5（2022石家庄模拟）某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2，且已知图2中矩形的长AD为12米，宽AB为4米，抛物线的最高处E距地面BC为8米（1）请根据题意建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式；（2）若观景拱桥下放置两根长为7米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离；（3）现公园管理处打算在观景桥侧面搭建一个矩形“脚手架”PQMN（如图2），对观景桥表面进行维护，P，N点在

31、抛物线上，Q，M点在BC上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值，请你帮管理处计算一下【分析】（1）以CB所在的直线为x轴，点E为顶点建立直角坐标系，用待定系数法求解即可；（2）确定立柱的纵坐标，解方程可得答案；（3）设N（m，m2+8），则PN2m，MNPQm2+8，三根支杆的总长度wm2+2m+16，再根据二次函数的性质解答即可【解答】解：（1）如图，以CB所在的直线为x轴，点E为顶点建立直角坐标系，由题意得，E（0，8），A（6，4），设抛物线的解析式为yax2+c，代入可得，解得，yx2+8；（2）依题意可得x2+87，解得x3，3（3）6（米），答

32、：这两根立柱之间的水平距离是6米；（3）设N（m，m2+8），则PN2m，MNPQm2+8，三根支杆的总长度wPQ+PN+MN+2m+2（m2+8）m2+2m+16，a0，m4.5时，w最大20.5，三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值为20.5米6（2022朝阳区校级一模）已知二次函数yx22mxm与y轴交于点M，直线ym+5与y轴交于点A，与直线x4交于点B，直线y2m与y轴交于点D（A与D不重合），与直线x4交于点C，构建矩形ABCD（1）当点M在线段AD上时，求m的取值范围（2）求证：抛物线yx22mxm与直线ym+5恒有两个交点（3）当抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增

33、大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围（4）当抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的时，直接写出m的取值范围【分析】（1）由题意得：M（0，m），A（0，m+5），D（0，2m），分两种情况：当m+52m，即m时，当m+52m，即m时，分别根据“点M在线段AD上”，列出不等式求解即可；（2）由题意得：x22mx2m50，根据根的判别式即可证得结论；（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线xm，顶点坐标为（m，m2m），开口向上，分三种情况：当m+52m，即m时，当m+52m，即m0时，当169m2m，即m时，分别画出图形讨论即可；（4）由题意得：抛物线yx22mxm在矩形

34、ABCD中的最高点的横坐标x的范围是0x4，点B（4，m+5）到x轴的距离为|m+5|，根据“抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的”分三种情况：当m5时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m，2m），当5m时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m+，2m），当m，且169mm+5，即m时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m+，m+5），分别代入抛物线解析式求解即可【解答】（1）解：由题意得：M（0，m），A（0，m+5），D（0，2m），当m+52m，即m时，点M在线段AD上，2mmm+5，m0；当m+52m，即m时，点M在线段AD上，

35、m+5m2m，m；综上所述，m的取值范围为m0或m（2）证明：当x22mxmm+5时，整理得：x22mx2m50，（2m）241（2m5）4（m+1）2+16，4（m+1）20，4（m+1）2+160，抛物线yx22mxm与直线ym+5恒有两个交点（3）解：yx22mxm（xm）2m2m，该抛物线的对称轴为直线xm，顶点坐标为（m，m2m），开口向上，与y轴的交点M（0，m），当m+52m，即m时，如图1，此时抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大；当m+52m，即m0时，如图2，此时抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大；当m0时，如图3，令x4，则y168mm169m，当169

36、m2m，即m时，抛物线在矩形内部（不包括边界）的函数值y随着x的增大而减小；综上，m的取值范围为m或m0或m（4）解：由题意得：抛物线yx22mxm在矩形ABCD中的最高点的横坐标x的范围是0x4，点B（4，m+5）到x轴的距离为|m+5|，当x4时，y169m，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标为|m+5|，当m5时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m，2m），2m（m）22m（m）m，解得：m，m5，m；当5m时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m+，2m），2m（m+）22m（m+）m，解得：

37、m1，5m，m1；当m，且169mm+5，即m时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m+，m+5），m+5（m+）22m（m+）m，解得：m3，m，m3+；综上所述，m的值为或1或3+7（2022长春一模）已知抛物线yx22mx+2m+1（1）写出抛物线yx22mx+2m+1的顶点坐标（用含m的式子表示）（2）当x1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 m1（3）当1x2时，函数yx22mx+2m+1的图象记为G，设图象G的最低点的纵坐标为y0当y01时，求m的值（4）当m0时，分别过点A（2，1）、B（2，4）作y轴垂线，垂足分别为点D、点C，抛物线在矩形ABCD内部的图象（包

38、括边界）的最低点到直线y2的距离等于最高点到x轴的距离，直接写出m的值【分析】（1）由y（xm）2m2+2m+1，即可求解；（2）由抛物线的图象可得m1时，y随x的增大而增大；（3）分三种情况讨论：当m1时，y02+4m1，解得m（舍）；当m2时，x2，函数有最小值，y052m1，解得m3；当1m2时，y0m2+2m+11，解得m+1（舍）或m+1；（4）分五种情况讨论：当0m时，m2+2m+1+24，解得m1（舍）；当m1时，m2+2m+1+242m+1，解得m+2（舍）或m+2；当1m时，m2+2m+1+22m+1，解得m或m（舍）；当m2时，m2+2m+1+24，解得m1（舍）；当m2时

39、，最高点纵坐标是4，最低点纵坐标是1，此时不符合题意【解答】解：（1）yx22mx+2m+1（xm）2m2+2m+1，顶点坐标为（m，m2+2m+1）；（2）抛物线开口向上，m1时，y随x的增大而增大，故答案为：m1；（3）当m1时，x1，函数有最小值，y02+4m，y01，2+4m1，解得m（舍）；当m2时，x2，函数有最小值，y052m，y01，52m1，解得m3；当1m2时，xm，函数有最小值，y0m2+2m+1，y01，m2+2m+11，解得m+1（舍）或m+1；综上所述：m的值为3或+1；（4）当0m时，m2+2m+1+24，解得m1（舍）；当m1时，m2+2m+1+242m+1，解

40、得m+2（舍）或m+2；当1m时，m2+2m+1+22m+1，解得m或m（舍）；当m2时，m2+2m+1+24，解得m1（舍）；当m2时，最高点纵坐标是4，最低点纵坐标是1，34，此时不符合题意；综上所述：m的值为或28（2021咸丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为以PQ，QM为边作矩形PQMN（1）求抛物线的解析式；（2）当点Q与点M重合时，求m的值；（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；

41、（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围【分析】（1）利用待定系数法求解即可（2）根据点M与点P的纵坐标相等构建方程求解即可（3）根据PQMQ，构建方程求解即可（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q是下方下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有m+m2+m+，解得0m4，观察图象可知当0m3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图41中当m4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图42中【解答】解：（1）抛物线的图象经过点A（3，0），0，解得b1抛物线解析式为：（2）P点的横坐标为m，

42、且P点在抛物线y的图象上，P点的坐标为（m，），PQl，l过A点且垂直于x轴，Q点的坐标为（3，），M点的坐标为（3，m+），Q点与M点重合，m+，解方程得：m0或m4（3）抛物线（x1）2+2，抛物线的顶点坐标为（1，2）N点的坐标为N（m，m+），要使顶点（1，2）在正方形PQMN内部，m+2，得mPNm+（）m22m，PQ3m四边形PQMN是正方形，m22m3m，解得m1+（舍去）或m1当m1时，抛物线顶点在正方形PQMN内部（4）M点的纵坐标m+，随P点的横坐标m的增大而减小，根据（1）的结果得：当m0时，M，Q两点重合；m3时，P，Q重合；m4时，M，Q重合，矩形PQMN不存在；当m

43、0时，直线MN在直线PQ上方，抛物线顶点在矩形PQMN内部，不合题意当0m4时，直线MN在直线PQ下方，如图41，当3m4时，矩形内部没有抛物线图象，不合题意；当m4时，直线MN在直线PQ上方，矩形内部有抛物线，且为对称轴右侧，y随x的增大而减小，如图42；综上：当0m3或m4时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小9（2022白山模拟）在平面直角坐标系中，抛物线yx2+2x+b（b为常数，b0）与y轴交于点A，且点A的坐标为（0，3），过点A作垂直于y轴的直线lP是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q，M是直线l上的一点，其横坐标为m+1以PQ，Q

44、M为边作矩形PQMN（1）求b的值；（2）当点Q与点M重合时，求m的值；（3）当矩形PQMN为正方形时，求m的值；（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围【分析】（1）利用待定系数法求解即可（2）根据点Q与点M的横坐标相等构建方程求解即可（3）根据PQMQ，构建方程求解即可（4）当点P在直线l的下边，点M在点Q右侧时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，则有m+12，解得1m0；当点Q在点M右边时，存在两段，不合题意；当0m2时，点P在l的上方，当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，有m2

45、【解答】解：（1）把点A（0，3）代入yx2+2x+b，得到b3（2）抛物线的解析式为yx2+2x+3，P（m，m2+2m+3），PQl，且ly轴，PQy，Q（m，3）；点M（m+1，3）与点Q重合，m+1m，解得m（3）yx2+2x+3（x1）2+4，抛物线的顶点坐标为（1，4），由题意PQMQ，|m2+2m+33|m+1m|解得，m1或m1或m2+或m2（4）根据题意可知，需要分类讨论：当点P在直线l的下边，点M在点Q右侧时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，如图1，此时m+12，解得1m0；当点P在直线l的下边，点Q在点M右边时，如图2，存在两段，不合题意；当

46、点P在l上方时，如图3和4，当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，有m2综上，当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，1m0或m210（2021吉林四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx与x轴交于点A（5，0），与该抛物线的对称轴l交于点B，作直线ABP是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线交AB于点Q，过点P作PNl于点N，以PQ、PN为边作矩形PQMN（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）当该抛物线被矩形PQMN截得的部分图

47、象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P的坐标；（4）当该抛物线与坐标轴的交点到直线MQ的距离相等时，直接写出m的值【分析】（1）把点A（5，0）代入抛物线yx2+bx中可解答；（2）根据配方法可得抛物线顶点B的坐标，利用待定系数法可得直线AB的解析式；（3）分两种情况：点P在对称轴的左侧；点P在对称轴的右侧；根据该抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2列方程可解答；（4）先求抛物线与y轴交点的坐标，根据该抛物线与坐标轴的交点到直线MQ的距离相等可知：点Q的纵坐标为，将y代入直线AB的解析式可得答案【解答】解：（1）把点A（5，0）代入抛物线yx2+

48、bx中得：+5b0，解得：b2，抛物线的解析式为：yx22x；（2）yx22x（x2）2，B（2，），设直线AB的解析式为：ykx+n，则，解得：，直线AB的解析式为：yx；（3）由题意得：P（m，m22m），Q（m，m），分两种情况：如图1，当点P在对称轴的左侧时，抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2，m22m+2，解得：m10，m24（舍），P（0，）；如图2，当点P在对称轴的右边时，抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2，m22mm+2，解得：m16，m21（舍），P（6，3.5）；综上，点P的坐标为（0，）或（6，3

49、.5）；（4）如图3，当x0时，y该抛物线与坐标轴的交点到直线MQ的距离相等，即点D与C到直线MQ的距离相等，点Q的纵坐标为，当y时，m，解得：m11（2021南关区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线yx22axa（a为常数）（1）当（，m）在抛物线上，求m的值（2）当抛物线的最低点到x轴的距离恰好是时，求a的值（3）已知A（1，1）、B（1，2a），连接AB当抛物线与线段AB有交点时，记交点为P（点P不与A、B重合），将线段PB绕点P顺时针旋转90得到线段PM，以PM、PA为邻边构造矩形PMQA若抛物线在矩形PMQA内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围当抛物线在矩形

50、PMQA内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值【分析】（1）将（，m）代入yx22axa求解（2）求出顶点坐标，通过顶点纵坐标为求解（3）通过数形结合，讨论抛物线对称轴与矩形边的位置关系与抛物线经过临界点时的值求解分类讨论点B在A上方与点B在A下方两种情况，分别求出最高点与最低点坐标作差求解【解答】解：（1）将（，m）代入yx22axa可得：m+aa，m（2）yx22axa（xa）2a2a，抛物线顶点坐标为（a，a2a），当a2a时，解得a，当a2a时，解得a或aa或a或a（3）AB所在直线解析式为x1，将x1代入yx22axa得y1+a，点P坐标为（1，1+

51、a），当点B在点A上方时，2a1+a1，解得a，PBPM2a（1+a）a，点M横坐标为1+aa，aa，抛物线对称轴在点M右侧，满足题意，a当点B在点A下方时，11+a2a，解得a0，PBPM1+a（2a）a，点M横坐标为1（a）a，当抛物线经过点M时，a，解得a，a0满足题意综上所述，a0或a由得Q的横坐标为a，Q的坐标为（a，1），当a，抛物线经过点Q时，将（a，1）代入抛物线解析式得：1（a）22a（a）a，解得a或a（舍），抛物线与直线xa交点为（a，a2a+），当a时，抛物线与矩形交点最高点为点P（1，1+a），最低点纵坐标为1，（1+a）1时，解得a（舍）当点P为最高点，抛物线与MQ

52、交点E为最低点时，（1+a）（a2a+），解得a1（舍）或a1+当a0时，抛物线经过点Q时，a，a0时，抛物线与矩形交点最高点纵坐标为1，最低点纵坐标为点P纵坐标为1+a，当1（1+a）时，a当a时，抛物线与直线MQ交点（a，a2a+）为最高点，点P为最低点，当a2a+（1+a）时，解得a1+（舍）或a1综上所述，a1或a或a1+12（2021吉林二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x与x轴正半轴交于点A，过点A的直线ykx+b（k0）与该抛物线的另一个交点B的横坐标为2，P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m+1，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使P

53、D1，以CD为边作矩形CDEF，设点E的横坐标为2m（1）求直线AB对应的函数关系式；（2）当点P与点A重合时，求点E的坐标；（3）当点E在该抛物线上时，求抛物线的顶点到EF的距离；（4）当矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交，且该抛物线在矩形CDEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围【分析】（1）求出A，B两点坐标，利用待定系数法求解即可（2）构建方程求解即可（3）由题意，得点E的坐标为代入抛物线的解析式，构建方程求解即可（4）求出三种特殊情形m的值，利用图象法判断即可【解答】解：（1）当x2时，点B的坐标为（2，），当y0时，解得x11，x23抛物线与x轴正半

54、轴交于点A，点A的坐标为（3，0）由题意，得，解得，直线AB对应的函数关系式为（2）当点P与点A重合时，m+13解得m22m4点D的纵坐标为1点E的坐标为（4，1）（3）将配方，得抛物线的顶点坐标为（1，2）由题意，得点E的坐标为点E在该抛物线上，解得，当2m1时，即，顶点（1，2）在EF的右边，抛物线的顶点到EF的距离为当2m1时，即，顶点（1，2）在EF的左边，抛物线的顶点到EF的距离为综上所述，抛物线的顶点到EF的距离为或（4）当点F（2m，m3）在抛物线上时，m32m22m，解得m或1，当E在抛物线上时，m，当点P与A重合时，m2，观察图1，图2，图3可知，当或或m2时，矩形CDEF的

55、一组邻边与该抛物线相交也可以写成：当或m1或m2时，矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交13（2020吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线lP是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为m+以PQ，QM为边作矩形PQMN（1）求b的值（2）当点Q与点M重合时，求m的值（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围【分析】（1）利用待定系数法求解即可

56、（2）根据点M与点P的纵坐标相等构建方程求解即可（3）根据PQMQ，构建方程求解即可（3）当点P在直线l的左边，点M在点Q是下方下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有m+m2+m+，解得0m4，观察图象可知当0m3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图41中当m4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图42中【解答】解：（1）把点A（3，0）代入yx2+bx+，得到0+3b+，解得b1（2）抛物线的解析式为yx2+x+，P（m，m2+m+），M，Q重合，m+m2+m+，解得m0或4（3）yx2+x+（x1）2+2，抛物线的顶点坐

57、标为（1，2），由题意PQMQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，3mm+（m2+m+）且m+2，得m解得m1或1+（不合题意舍弃），m1（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有m+m2+m+，m24m0，解得0m4，观察图象可知当0m3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图41中，当3m4时，抛物线不在矩形PQMN内部，不符合题意，当m4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图42中，综上所述，满足条件的m的值为0m3或m414（2022长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2+bx+c（

58、b、c是常数）经过点（0，1）和（2，7），点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标（2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为12m当ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式（3）设点D的坐标为（m，2m），点E的坐标为（1m，2m），点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围【分析】（1）用待定系数法求出抛物线

59、的解析式，再将抛物线的解析式化成顶点式，即可求解；（2）先根据等腰三角形的性质求出A、B、C三点坐标，再根据三角形面积公式求解即可；按第一种情况：当点A是最高点，可得m1或m，第二种情况：当点B是最高点，得m的取值范围，再计算纵坐标的差h即可解答；（3）分情况讨论：当m1时，当1m1时时，当1m2时，当2m3时，当3m4时，当m4时，当m4时，分别画出图形求解即可【解答】解：（1）把（0，1）和（2，7）代入yx2+bx+c，得：，解得：，抛物线对应的函数表达式为：yx2+2x1，yx2+2x1（x+1）22，顶点C的坐标为（1，2）；（2）当x12m时，y（12m+1）224m22，B（12

60、m，4m22）当ABC是以AB为底的等腰三角形时，则ACBC，又点C在抛物线对称轴x1上，点A、点B关于直线x1对称，A（2m1，4m22），点A的横坐标为m，2m1m，解得：m1，A（1，2），B（3，2），由（1）得，C（1，2），SABC1（3）2（2）8；A（m，（m+1）22），B（12m，4m22）当点A是最高点，即m1或m时，则h（m+1）22（2）（m+1）2；当点B是最高点，即m1时，则h4m22（2）4m2，综上，h与m之间的函数关系式为：h（m+1）2（m1或m）或 h4m2（m1）；（3）当m1时，则2m3，1m2，如图：此时矩形ADEF与抛物线有3个交点；当1m1时，

61、则12m3，01m2，如图：此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；当1m2时，则02m1，11m0，如图：此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；当2m3时，则12m0，21m1，如图：此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；当3m4时，则22m1，31m2，如图：此时矩形ADEF与抛物线有4个交点；当m4时，则2m2，1m3，如图：此时矩形ADEF与抛物线有3个交点（ED经过抛物线的顶点）；当m4时，则2m2，1m3，如图：此时矩形ADEF与抛物线有2个交点综上，当m1或m4时，抛物线与矩形有3个交点15（2022丹东）如图1，抛物线yax2+x+c（a0）与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与

62、y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m（1）求抛物线的表达式；（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；（3）如图2，过点P作PFCE，垂足为F，当CFEF时，请求出m的值；（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）利用待定系数法可得直线BC的解析式为yx+3，设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+3），E（m，m+3），即可

63、得出hm2+m；（3）如图，过点E、F分别作EHy轴于点H，FGy轴于点G，可证得BOCPFE，得出，可求得EF（m2+m），再由CEHCBO，可得，求得CEm，结合CFEF，可得EFCEm，建立方程求解即可得出答案；（4）设Q（2，t），分两种情况：当点O恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，当点O恰好落在该矩形对角线CD上时，当点O恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，分别求出点Q的坐标即可【解答】解：（1）抛物线yax2+x+c（a0）与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，解得：，抛物线的表达式为yx2+x+3；（2）抛物线yx2+x+3与y轴交于点C，C（0，3），设直线BC的解析

64、式为ykx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，得：，解得：，直线BC的解析式为yx+3，设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+3），E（m，m+3），hm2+m+3（m+3）m2+m，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，0m6，hm2+m（0m6）；（3）如图，过点E、F分别作EHy轴于点H，FGy轴于点G，P（m，m2+m+3），E（m，m+3），PEm2+m，PFCE，EPF+PEF90，PDx轴，EBD+BED90，又PEFBED，EPFEBD，BOCPFE90，BOCPFE，在RtBOC中，BC3，EFPE（m2+m）（m2+m），EHy轴，PDx轴，EHOEDODOH90，四边

65、形ODEH是矩形，EHODm，EHx轴，CEHCBO，即，CEm，CFEF，EFCEm，m（m2+m），解得：m0或m1，0m6，m1；（4）抛物线yx2+x+3，抛物线对称轴为直线x2，点Q在抛物线的对称轴上，设Q（2，t），设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，则GQ3t，CG2，CGQ90，当点O恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，如图，则CQ垂直平分OO，即CQOD，COP+OCQ90，又四边形OCPD是矩形，CPOD4，OC3，OCP90，PCQ+OCQ90，PCQCOP，tanPCQtanCOP，tanPCQ，解得：t，Q（2，）；当点O恰好落在该矩形对角线CD上时，如图

66、，连接CD交GH于点K，点O与点O关于直线CQ对称，CQ垂直平分OO，OCQDCQ，GHOC，CQGOCQ，DCQCQG，CKKQ，C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GHOCPD，点K是CD的中点，K（2，），GK，CKKQt，在RtCKG中，CG2+GK2CK2，22+（）2（t）2，解得：t11（舍去），t21，Q（2，1）；当点O恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，如图，过点O作OKy轴于点K，连接OO交CQ于点M，点O与点O关于直线CQ对称，CQ垂直平分OO，OCMOCM，OMCOMC90，OCOC3，OKCDOC90，OCKDCO，OCKDCO，即，OK，CK，OKOC+CK

67、3+，O（，），点M是OO的中点，M（，），设直线CQ的解析式为ykx+b，则，解得：，直线CQ的解析式为yx+3，当x2时，y2+34，Q（2，4）；综上所述，点Q的坐标为（2，）或（2，1）或（2，4）16如图，已知抛物线C1：ya1x2+b1x+1c和C2：ya2x2+b2x+c2（|a1|a2|）都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果四边形ANBM是平行四边形，则称抛物线C1和C2为对称抛物线（1）观察图象，写出对称抛物线两条特征；（如：抛物线开口大小相同）（2）若抛物线C1的解析式为yx2+2x，确定对称抛物线C2的解析式（3）若MN4，且四边形ANBM是矩

68、形时，确定对称抛物线C1和C2的解析式【分析】（1）观察函数图象，任意找出对称抛物线两条特征即可得出结论；（2）利用二次函数的性质可得出点A的坐标，进而可得出点B的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标，结合点M，N关于原点O对称，即可得出点N的坐标，根据点B，N的坐标，利用待定系数法即可求出对称抛物线C2的解析式；（3）由MN的长可得出点M，N的坐标及抛物线C1的对称轴，设点A的坐标为（1，m），则AM2（12）2+m2，AN21（2）2+m2，利用勾股定理可求出m的值，由点A，M的坐标，利用待定系数法即可求出对称抛物线C1的解析式，由点A，B关于原点O对称，可得出点B的坐标，

69、同理（待定系数法）可求出对称抛物线C2的解析式【解答】解：（1）观察函数图象，可得出对称抛物线的特征：点M，N关于原点O对称；两抛物线的顶点坐标关于原点O对称（2）抛物线C1的解析式为yx2+2x，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（1，1）；当y0时，x2+2x0，解得：x10，x22，点M的坐标为（2，0），点N的坐标为（2，0）.将B（1，1），N（2，0）代入ya2x2+b2x中，得：，解得：，对称抛物线C2的解析式为yx2+2x（3）MN4，OMMN42，抛物线C1的对称轴为直线x1，点M的坐标为（2，0），点N的坐标为（2，0）设点A的坐标为（1，m），则AM2（12）2+m2，

70、AN21（2）2+m2四边形ANBM是矩形，AMN为直角三角形，AM2+AN2MN2，即（12）2+m2+1（2）2+m242，解得：m1，m2，点A的坐标为（1，）或（1，）当点A的坐标为（1，）时，将A（1，），M（2，0）代入ya1x2+b1x，得：，解得：，对称抛物线C1的解析式为yx2+2x；当点A的坐标为（1，）时，将A（1，），M（2，0）代入ya1x2+b1x，得：，解得：，对称抛物线C1的解析式为yx22x；点A，B关于原点O对称，点B的坐标为（1，）或（1，），同理，可得出对称抛物线C2的解析式为yx2+2x或yx22x综上所述，对称抛物线C1和C2的解析式为yx2+2x，

71、yx2+2x或yx22x，yx22x17（2022福田区校级模拟）如图，抛物线yax2+3x+c与x轴交于点A，B，直线yx+1与抛物线交于点A，C（3，n）点P为对称轴左侧抛物线上一动点，其横坐标为m（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标（2）已知直线l：xm+5与直线AC交于点D，过点P（横坐标为m），作PEl于点E，以PE，DE为边作矩形PEDF当抛物线的顶点在矩形PEDF内部时，m的取值范围为 （请直接写出）在的条件下，求矩形PEDF的周长的最小值【分析】（1）根据c点在直线yx+1上，把C（3，n）代入，得到n，再把A，C代入抛物线上，解方程组即可得到抛物线的解析式（2）根据矩形左边点

72、的横坐标小于顶点的横坐标、矩形右边点的横坐标大于顶点的横坐标，矩形上边点的纵坐标大于顶点的纵坐标，就可得到不等式组，解之即可把矩形的长转化为二次函数的解析式，求它的最小值，再加上宽即可【解答】解：（1）yx+1，当y0时，x1，A（1，0）直线yx+1与抛物线交于点A，C（3，n）将C（3，n）代入yx+1，得n3+14，C（3，4）将A（1，0），C（3，4）分别代入yax2+3x+c，得，解得，抛物线的解析式为yx2+3x+4，抛物线的顶点坐标为；（2），由题意可知，P（m，m2+3m+4），E（m+5，m2+3m+4），D（m+5，m+6）抛物线的顶点在矩形PEDF内部，可得：，解得：，

73、故答案为：；DFPE（5+m）m5，DEm+6（m2+3m+4）m22m+2（m1）2+1，当m1时，DE最小，最小值为1，矩形PEDF周长的最小值为21+251218（2022绿园区模拟）已知二次函数yn2+2n3，点A、点B均在此二次函数的图象上，点A的横坐标为n1，点B的横坐标为2n2，在点A和点B之间的图象为G（1）当n2时，求二次函数图象的顶点坐标；当1x3时，求y的取值范围（2）AB所在的直线交y轴于点C，过点A作ADy轴于点D，以AD、CD为邻边构造矩形ADCE，直接写出当抛物线的顶点落在矩形ADCE的边上时n的值（3）当图象G上存在两个点到直线y3n4的距离为3，直接写出满足条

74、件的n的取值范围【分析】（1）求出函数解析式为y（x2）2+1，即可求解；由题意可知当x1时，函数有最小值，当x2时，函数有最大值1，即可求y的取值范围；（2）求出顶点为（n，2n3），A（n1，2n），B（2n2，n2+4n5），D（0，2n），C（0，n22），当n10时，顶点在直线AE的右侧，此时顶点不能落在矩形ADCE的边上；当n10，即n1，顶点在CD边上时，n0；（3）当2n2n，即n2时，2nn2+4n5，解得n3，此时3n42n+3，3n42n+33，解得n4时，图象G上存在两个点到直线y3n4的距离为3；当n12n2时，此时2n3n+43，3n4（n2+4n5）3，解得n【解

75、答】解：（1）当n2时，yx2+2x1（x2）2+1，顶点为（2，1）； 1x3，当x1时，函数有最小值，当x2时，函数有最大值1，y1；（2）yn2+2n3（xn）2+2n3，顶点为（n，2n3），点A的横坐标为n1，A（n1，2n），点B的横坐标为2n2，B（2n2，n2+4n5），ADy轴，D（0，2n），设直线AB的解析式为ykx+b，解得，y（n）x+n22，C（0，n22），以AD、CD为邻边构造矩形ADCE，E（n1，n22），当n10时，顶点在直线AE的右侧，此时顶点不能落在矩形ADCE的边上；当n10，即n1，顶点在CD边上时，n0；（3）如图1，当2n2n，即n2时，2nn

76、2+4n5，解得n3或n1，当n3时，3n42n+3，3n42n+33时，解得n4时，图象G上存在两个点到直线y3n4的距离为3；如图2，当n12n2时，即n1，2n3n+43，3n4（n2+4n5）3，解得n；综上所述：n4或n时，图象G上存在两个点到直线y3n4的距离为319（2022罗湖区二模）【实践与探究】九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程：（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图所示的直角坐标系，则该抛物线的解析

77、式为 y0.25（x5）2+6.25（2）应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：如图，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值如图，过原点作一条yx的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q问：在

78、直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用顶点式将顶点坐标（5，6.25）代入，求出二次函数解析式即可；（2）根据已知得出当x2时，正好是汽车宽度，代入函数解析式求出即可；（3）I首先用未知数表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出；利用等腰直角三角形的性质得出QNABAO，以及P在yx的图象上，即可得出P点的坐标【解答】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点，代入顶点式得：ya（x5）2+6.25，0a（105）2+6.25，解得：a0.25，y0.25（x

79、5）2+6.25；故答案为：y0.25（x5）2+6.25（2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，10324，422，x2代入解析式得：y0.25（25）2+6.25；y4，43.50.5，隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；（3）I假设AOx，可得AB102x，AD0.25（x5）2+6.25；矩形ABCD的周长为l为：l20.25（x5）2+6.25+2（102x）0.5x2+x+20，l的最大值为：20.5如图，当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P在yx的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点QPOAOPA45，Q点的纵坐标为5，5，

80、解得：m5，如图，当P3NQ390时，过点Q3作Q3K1对称轴，当NQ3K1为等腰直角三角形时，NP3Q3为等腰直角三角形，Q点在OM的上方时，P3Q32Q3K1，P3Q3x2+x+，Q3K15x，Q点在OM的下方时，P4Q42Q4K2，P4Q4x（x2+），Q4K2x5，x2x+100，解得：x14，x210，P3（4，4），P4（10，10）使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：（5，5）或（5+，5+）或（4，4）或（10，10）20（2022安徽模拟）如图；已知抛物线yax2+3x+c与直线yx+1交于两点A，B（3，n），且点A在x轴上（1）求a，c，n的值；（

81、2）设点P在抛物线上，其横坐标为m直线l：xm+5与直线AB交于点C，过点P作PDl于点D，以PD，CD为边作矩形PDCE，使得抛物线的顶点在矩形PDCE内部直接写出：m的取值范围是 m；求PD+CD的最小值【分析】（1）先由直线求得点A和点B的坐标，然后代入抛物线求得a和c的值；（2）由（1）中的a和c得到抛物线的解析式，表示出点P的坐标，点D的坐标和点C的坐标，然后求得抛物线的顶点坐标，列出不等式即可求得m的取值范围；用含有m的式子表示PD+CD，然后求得最小值【解答】解：（1）对直线yx+1，当x3时，n4，当y0时，x1，点A（1，0），B（3，4），将点A和点B的坐标代入抛物线yax

82、2+3x+c，得，解得：（2）a1，c4，抛物线的解析式为yx2+3x+4（x）2+，P的坐标为（m，m2+3m+4），顶点坐标为（），点D的坐标为（m+5，m2+3m+4），直线l：xm+5与直线AB交于点C，C（m+5，m+6），抛物线的顶点在矩形PDCE内部，解得：m，m的取值范围为m，故答案为：mP的坐标为（m，m2+3m+4），点D的坐标为（m+5，m2+3m+4），C（m+5，m+6），PD5，CDm+6（m2+3m+4）m22m+2，PD+CDm22m+2+5（m1）2+6，当m1时，PD+CD的最小值为621（2022春朝阳区校级月考）已知抛物线L：yx2+4x+a（a0）（1

83、）抛物线L的对称轴为直线 x2（2）当抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个时，求a的取值范围（3）当a0时，直线xa、x3a与抛物线L分别交于点A、C，以线段AC为对角线作矩形ABCD，且ABy轴若抛物线L在矩形ABCD内部（包含边界）最高点的纵坐标等于2，求矩形ABCD的周长（4）点M的坐标为（4，1），点N的坐标为（1，1），当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围【分析】（1）由yx2+4x+a（x2）2+4+a，即可求解；（2）由题意可得4+a3，即可求解；（3）分别求出A、B、C、D四点坐标，由题意可得9a211a2，求出a值即可求解；（4）当4+a1时，a5，

84、此时抛物线L与线段MN有且只有一个公共点；当或时，抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，解得1a4【解答】解：（1）yx2+4x+a（x2）2+4+a，抛物线的对称轴为直线x2，故答案为：x2；（2）抛物线开口向下，y3与抛物线有两个不同的交点，抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个，34+a3，即7a1；（3）由题意可知A（a，a2+5a），B（3a，a2+5a），C（3a，9a211a），D（a，9a211a），由题意可得9a211a2，解得a1或a，当a时，AB4a，AD9a211a+a25a8a216a，矩形ABCD的周长2（+）；当a1时，AB4，AD8，矩形ABCD的周长2（4+8

85、）24；综上所述：矩形ABCD的周长为24或；（4）当a0时，界点（1，5+a ）在点N 处或下方满足条件，此时5+a1，所以0a4 当a0时，若界点（4，a ）在x 轴下方，MN 上方，且界点（1，5+a ）在点N 处或其下方满足条件，解得1a0，若顶点（2，4+a ）与MN 相切，满足条件，此时4+a1，解得a5综上，1a4且a0或a522（2022烟台一模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线yx2+bx+c经过A，C（4，5）两点，且与直线DC交于另一点E（1）求抛物线的解析式；（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP试求

86、EQ+PQ+AP的最小值；（3）N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）求出A点坐标后，将点A、C代入yx2+bx+c，即可求解；（2）连接OC，交对称x1于点Q，此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长，再求解即可；（3）分三种情况讨论：以AE为菱形对角线，此时AMME；以AM为菱形对角线，此时AEEM；以AN为菱形对角线，此时AEAM；再利用中点坐标公式和两点间距离公式求解即可【解答】解：（1）四边形ABCD为正方形，C（4，5），ADAB5，B（4，0），OA1，A（1，0

87、），将点A，C代入yx2+bx+c，解得，抛物线的解析式为yx2+2x+3；（2）连接OC，交对称轴x1于点Q，PQy轴，AOPQ，AOPQ1，四边形AOQP是平行四边形，APOQ，EQ+PQ+APEQ+1+OQ若使EQ+PQ+AP值为最小，则EQ+OQ的值为最小，E，C关于对称轴x1对称，EQCQ，EQ+OQCQ+OQ，此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长，C（4，5），EQ+PQ+AP的最小值为，即EQ+PQ+AP的最小值为；（3）存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形，理由如下：以AE为菱形对角线，此时AMME，解得，M（1，3）；以AM为菱形对角线，此时AEEM，解

88、得或，M（1，5+）或（1，5）；以AN为菱形对角线，此时AEAM，解得或，M（1，）或（1，）；综上所述：M点坐标为（1，3），23（2022海口模拟）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C点D（2，3）在该抛物线上，直线AD与y轴相交于点E，点F是直线AD上方的抛物线上的动点（1）求该抛物线对应的二次函数的关系式；（2）当点F到直线AD距离最大时，求点F的坐标；（3）如图，点M是抛物线的顶点，点P的坐标为（0，n），点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形求n的值；若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标【分

89、析】（1）设抛物线的解析式为ya（x+1）（x3），再将点D（2，3）代入即可求函数的解析式；（2）求出直线AD的解析式，过点F作FGy轴交直线AD于点G，设F（t，t2+2t+3），则G（t，t+1），当SFAD最大时，点F到直线AD距离最大；（3）当AP为矩形对角线时，过点M作SRy轴交x轴于点R，过交P作PSSR交于S，可证明PMSMAR，由相似的性质可求P（0，），则n；当AQ为矩形对角线时，过点M作MRx轴，过点A作ARMR交于R，可得tanRAM，再由OAPRAM，可求P（0，），则n；当n时，延长QA交y轴于点T，设AM与y轴交点为K，可证明AOTPMS（AAS），即可求T（0，

90、）；当n时，延长QM与y轴交点为T，设RM与y轴交点为G，证明TMGPAO（ASA），即可求T（0，）【解答】解：（1）由题意可设抛物线的解析式为ya（x+1）（x3），点D（2，3）在抛物线上，33a，解得a1，y（x+1）（x3），即yx2+2x+3；（2）设直线AD的解析式为ykx+b，解得，yx+1，过点F作FGy轴交直线AD于点G，设F（t，t2+2t+3），则G（t，t+1），FGt2+t+2，当SFAD最大时，点F到直线AD距离最大，即当时，SFAD最大，当时，；（3）yx2+2x+3（x1）2+4，M（1，4），当AP为矩形对角线时，如图2，过点M作SRy轴交x轴于点R，过交P

91、作PSSR交于S，PMA90，PMS+AMR90，PMS+MPS90，AMRMPS，PMSMAR，PS1，AR2，MR4，SM，P（0，），n；当AQ为矩形对角线时，如图3，过点M作MRx轴，过点A作ARMR交于R，RM2，AR4，tanRAM，RAM+MAOMAO+OAP90，OAPRAM，OP，P（0，），n；综上所述：n的值为或；当n时，四边形AQPM是矩形，AQPM，延长QA交y轴于点T，设AM与y轴交点为K，PSAO，KTSM，ATOPMS，OATPSM90，PSAO1，AOTPMS（AAS），MSOT，T（0，）；当n时，延长QM与y轴交点为T，设RM与y轴交点为G，MQAP，GM

92、OA，TMGOAP，GMAO1，TGMAOP90，TMGPAO（ASA），TMAP，MPAP，TMMQ，TGOP，T（0，）；综上所述：T点坐标为（0，）或（0，）24（2022锦州二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，OA3，OC4，抛物线yax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D（1，0）和点E（1）求抛物线的表达式；（2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；（3）若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形

93、？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）利用矩形的性质结合OA，OC的长度可得出点A，C，B的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点E的坐标，过点P作PFx轴于点F，设点P的坐标为（m，m2+3m+4）（0m4），利用S四边形OCPES梯形OCPF+SAPE，即可得出S四边形OCPE关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求出结论；（3）利用二次函数的性质，可得出抛物线对称轴为直线直线x，利用待定系数法可求出直线CD的表达式，分CD为边及CD为对角线两种情况考虑：当CD为边时，利用CNCD或DNCD可得出CN或

94、DN的表达式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，再利用矩形的性质即可求出点M的坐标；当CD为对角线时，设线段CD的中点为G，过点G作GH抛物线对称轴于点H，利用勾股定理可求出HN的长度，进而可得出点N的坐标，再利用矩形的性质即可求出点M的坐标【解答】解：（1）四边形OABC为矩形，且OA3，OC4，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，4）将B（3，4），D（1，0）代入yax2+bx+4，得：，解得：，抛物线的表达式为yx2+3x+4（2）当y0时，x2+3x+40，解得：x11，x24，点E的坐标为（4，0），OE4过点P作PFx轴于点F，如图1所

95、示设点P的坐标为（m，m2+3m+4）（0m4），则S四边形OCPES梯形OCPF+SAPE（OC+PF）OF+FEPF（4m2+3m+4）m+（4m）（m2+3m+4）2m2+8m+82（m2）2+16，20，m2时，S四边形OCPE取得最大值，最大值16，此时点P的坐标为（2，6），当四边形OCPE的面积最大时，点P的坐标为（2，6），此时四边形OCPE的最大面积是16（3）抛物线的表达式为yx2+3x+4，抛物线的对称轴为直线x利用待定系数法可求出直线CD的表达式为y4x+4，分CD为边及CD为对角线两种情况考虑：当CD为边时，若四边形DCNM为矩形，则直线CN的解析式为yx+4，点N的

96、坐标为（，），点M的坐标为（1+0，0+4），即（，）；若四边形CDNM为矩形，则直线DN的解析式为yx，点N的坐标为（，），点M的坐标为（0+（1），40），即（，）；当CD为对角线时，设线段CD的中点为G，过点G作GH抛物线对称轴于点H，如图3所示点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（1，0），点G的坐标为（，2），点H的坐标为（，2），GH（）2又以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形，即OCN为直角三角形，GNOC，HN，点N的坐标为（，）或（，）当点N的坐标为（，）时，点M的坐标为（1+0，0+4），即（，）；当点N的坐标为（，）时，点M的坐标为（1+0，0+4），即（，）综上所述，在平面内存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形，点M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）