2022版新教材数学人教A版必修第一册学案：2-2 第2课时 基本不等式的应用 WORD版含答案.docx

1、第2课时 基本不等式的应用课标解读课标要求素养要求1.进一步熟练掌握基本不等式,能够利用基本不等式求最值.2.能够利用基本不等式解决实际问题.1.数学运算能利用基本不等式求代数式的最值.2.数学建模能利用基本不等式解决实际问题.自主学习必备知识见学用31页教材研习教材原句已知x ，y 都是正数，（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值 2P .（2）如果和x+y 等于定值S ，那么当x=y 时，积xy 有最大值 14S2 .自主思考1.当a0 时，你能求出a+4a 的最小值吗？答案：提示 当a0 时，a+4a2a4a=4 （当且仅当a=4a 时等号成立），故a+4a

2、 的最小值是4.2.用一段长为40cm 的铁丝围成一个矩形，则矩形面积的最大值是多少？答案：提示 设矩形的长为xcm ，宽为ycm ，则x+y=20 ，则S=xy(x+y2)2=100 （当且仅当x=y 时等号成立），故面积的最大值为100.名师点睛利用基本不等式求最值的两种常用方法1.拼凑法：拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值.利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”.2.常数代换法：常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达

3、式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.互动探究关键能力见学用32页探究点一 利用基本不等式求最值自测自评1.已知a0 ，b0 ，a+b=1 ，若=a+1a ，=b+1b ，则+ 的最小值是( )A.3B.4C.5D.6答案：C解析：a0 ，b0 ，a+b=1 ，+=a+1a+b+1b=1+1ab1+1(a+b2)2=5 ，当且仅当a=b=12 时，取“=”.+ 的最小值为5.2.已知2a+3b=1(a0,b0) ，则3a+2b 的最小值为( )A.8B.16C.24D.32答案：C解析：因为a0 ，b0 ，2a+3b=1 ，所以3a+2b=(3a+2b)(2a+3b)=12+9ab+4ba1

4、2+236=24 ，当且仅当9ab=4ba ，即a=4 ，b=6 时等号成立.所以3a+2b 的最小值为24.故选C.3.已知0x12 ，则12x(1-2x) 的最大值是 .答案：116解析：因为0x12 ，所以1-2x0 ，所以12x(1-2x)=142x(1-2x)142x+(1-2x)22=116 ，当且仅当2x=1-2x ，即x=14 时等号成立，所以12x(1-2x) 的最大值为116 .4.已知m ，n0 ，且m+n=16 ，求mn 的最大值.答案：m ，n0 ，且m+n=16 ， 由基本不等式可得mn(m+n2)2=(162)2=64 ，当且仅当m=n=8 时，等号成立，mn 的

5、最大值为64.解题感悟1.利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则求解.（1）一正：符合基本不等式a+b2ab 成立的前提条件为a0 ，b0 .（2）二定：不等式的一边转换为定值.（3）三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立.以上三点缺一不可.2.若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值；若是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式.探究点二 基本不等式在实际问题中的应用精讲精练例 某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为1米的三段污水处理池（如图），由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知池的外壁的建造费为4

6、00元/平方米，池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，池底的建造费为80元/平方米.设污水处理池的长为x 米，总造价为y 元.（1）求y 的表达式；（2）污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价.答案：（1）因为污水处理池的长为x 米，所以宽为200x 米.由题意可得0x18,0200x18,解得1009x18 .y=400(2x+2200x)1+2482200x1+80200=800(x+324x)+16000(1009x18) .（2）y=800(x+324x)+160001600x324x+16000=44800 ，当且仅当x=324x(1009x1

7、8) ，即x=18 时取等号，此时，200x=1009 .因此，当污水处理池长为18米，宽为1009 米时，其总造价最低，最低造价为44800元.解题感悟应用基本不等式解决实际问题的思路：（1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为因变量；（2）建立相应的关系式，把实际问题抽象成数学问题，利用基本不等式求解；（3）根据实际背景写出答案.迁移应用1.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为xm ，宽为ym .（1）若菜园面积为72m2 ，则x ，y 为何值时，所用篱笆总长度最小？（2）若使用的篱笆总长度为30m ，求1x+2y 的最小值.答案：（1）

8、由已知可得xy=72 ，而篱笆总长为(x+2y)m .因为x+2y22xy=24 ，当且仅当x=2y ，即x=12 ，y=6 时等号成立，所以菜园的长为12m ，宽为6m 时，所用篱笆总长度最小.（2）由已知得x+2y=30 ，则(1x+2y)(x+2y)=5+2yx+2xy5+22yx2xy=9 ，当且仅当x=y ，即x=10 ，y=10 时等号成立，所以1x+2y310 ，所以1x+2y 的最小值是310 .评价检测素养提升见学用33页课堂检测1.已知x0 ，y0 ，2x+y=2 ，则xy 的最大值是( )A.14 B.12C.4D.8答案：B2.已知实数a ，b 均为正实数，且a+b=2

9、 ，则1a+4b 的最小值为( )A.9B.92C.5D.4答案：B解析：由题意，1a+4b=12(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)12(5+2ba4ab)=12(5+4)=92 ，当且仅当ba=4ab ，即b=2a 时等号成立，此时a=23 ，b=43 ，所以1a+4b 的最小值是92 .故选B.3.已知ab ，且ab=1 ，则a2+b2+1a-b 的最小值是 .答案：23解析：因为ab=1 ，所以a2+b2+1a-b=a2+b2-2ab+3a-b=a-b+3a-b .由ab 得a-b0 ，所以a-b+3a-b2(a-b)3a-b=23 ，当且仅当a-b=3a-b 时取等号，

10、故a2+b2+1a-b 的最小值是23 .4.若m0 ，n0 ，m+n=2 ，则m+2n+n+2m 的最小值为 .答案： 6解析：因为m0 ，n0 ，m+n=2 ，所以m+2n+n+2m=2m+nn+m+2nm=2+2mn+2nm2+22mn2nm=6 ，当且仅当2mn=2nm ，即m=n=1 时取等号.所以m+2n+n+2m 的最小值是6.5.（）已知正数a ，b 满足a+4b+24a+1b ，则a+4b 的最小值为 .答案：17-1解析：因为a0 ，b0 ，所以(4a+1b)(a+4b)=16ba+ab+8216baab+8=16 （当且仅当a=4b 时取等号），所以4a+116a+4b

11、，所以a+4b+216a+4b ，即(a+4b)2+2(a+4b)-160 ，可得(a+4b+1)217 ，解得a+4b17-1 ，故a+4b 的最小值为17-1 .素养演练数学运算用换元法求代数式的最值（1）已知实数x ，y 满足x0 ，y0 ，则4x4x+y+yx+y 的最大值是 .（2）若a0 ，b0 ，且12a+b+1b+1=1 ，则a+2b 的最小值是 .答案：（1）43（2）12+3解析：（1）令4x+y=a,x+y=b,解得x=a-b3,y=4b-a3, 且a0 ，b0 ，所以4x4x+y+yx+y=4a-4b3a+4b-a3b=83-(4b3a+a3b)83-24b3aa3b=

12、43 ，当且仅当a=2b ，即2x=y 时，取“=”.所以4x4x+y+yx+y 的最大值为43 .（2）令2a+b=x,b+1=y, 解得a=x-y+12,b=y-1,得1x+1y=1 ，x0 ，y1 ，所以a+2b=x-y+12+2y-2=x+3y-32=x+3y2-32=x+3y2(1x+1y)-32=12(4+3yx+xy)-3212+3 .当且仅当x=3+1 ，y=3+33 时，取“=”.所以a+2b 的最小值是12+3 .素养探究：最值问题，特别是二元变量的最值问题，由于结构复杂，难以将问题转化为一元问题，对这类最值问题若采取双换元的方法，可以收到意想不到的效果.迁移应用1.若正实

13、数x、y 满足x+y=1 ，则x2x+2+y2y+4 的最小值是( )A.16 B.17 C.18 D.14答案： B解析：设x+2=s,y+4=t, 则x=s-2,y=t-4, 且s+t=x+y+6=7 ，所以x2x+2+y2y+4=(s-2)2s+(t-4)2t=(s-4+4s)+(t-8+16t)=(s+t)+(4s+16t)-12=(4s+16t)-5 ，因为4s+16t=47(1s+4t)(s+t)=47(1+ts+4st+4)47(5+2ts4st)=367 ，当且仅当s=73 ，t=143 时取等号.所以x2x+2+y2y+4=(4s+16t)-517 .所以x2x+2+y2y+4 的最小值是17 .故选B.