2022版新教材数学人教A版选择性必修第一册学案：2-2-3 直线的一般式方程 WORD版含答案.docx

1、2.2.3 直线的一般式方程课标解读课标要求素养要求1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系.2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.3.能用直线的一般式方程解决有关问题.1.数学抽象根据一般式方程与二元一次方程抽象出两者的关系.2.逻辑推理能够通过推理，进行直线的一般式方程与特殊形式的转化.自主学习必备知识教材研习教材原句定义：关于x,y 的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于x,y 的二元一次方程 Ax+By+C=0 （其中A,B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称 一般式 .自主思考当A=0 或B=0 或C=0 时，方程Ax+By

2、+C=0 分别表示什么样的直线？提示 若A=0 ，则y=-CB ，表示与y 轴垂直的一条直线；若B=0 ，则x=-CA ，表示与x 轴垂直的一条直线；若C=0 ，则Ax+By=0 ，表示过原点的一条直线.名师点睛1.直线的一般式方程的结构特征（1）方程是关于x,y 的二元一次方程.（2）方程中等号的左侧自左向右一般按x,y ，常数的顺序排列.（3）x 的系数一般不为分数和负数.（4）虽然直线的一般式方程有三个参数，但是只需两个独立的条件即可求得直线的方程.2.直线的一般式方程与特殊形式的互化3.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l1 ：A1x+B1y+C1=0 （A1,B1 不同时为0

3、），直线l2 ：A2x+B2y+C2=0 （A2,B2 不同时为0）.（1）若l1l2A1B2-A2B1=0 且B1C2-B2C10 （或A1C2-A2C10 ）.（2）若l1l2A1A2+B1B2=0 .4.与已知直线平行和垂直的直线方程的求法（1）与直线Ax+By+C=0 （A ，B 不同时为0）平行的直线的方程可设为Ax+By+m=0(mC) .（2）与直线Ax+By+C=0 （A ，B 不同时为0）垂直的直线的方程可设为Bx-Ay+n=0 .互动探究关键能力探究点一 求简单的一般式方程精讲精练例根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式.（1）斜率是3 ，且经过点A(5,3) ；（2

4、）斜率为4，在y 轴上的截距为-2；（3）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；（4）经过A(-1,5)、B(2,-1) 两点；（5）在x、y 轴上的截距分别是-3、-1.思路分析 根据已知条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程.答案：（1）由点斜式方程得y-3=3(x-5) ，即3x-y+3-53=0 .（2）由斜截式方程得y=4x-2 ，即4x-y-2=0 .（3）由题意得y=3 ，即y-3=0 .（4）由两点式方程得y-5-1-5=x-(-1)2-(-1) ，即2x+y-3=0 .（5）由截距式方程得x-3+y-1=1 ，即x+3y+3=0 .解题感悟在求直线方程时，直接求一

5、般式方程有时并不简单，常用的还是先根据给定条件选用特殊形式求方程，然后转化为一般式.提醒：在利用直线方程的特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件.迁移应用分别写出符合下列条件的直线方程，并且化成一般式.（1）经过点(2,-4)，且与直线3x-4y+5=0 平行；（2）经过点(3,2)，且与直线6x-8y+3=0 垂直.答案：（1）设与直线3x-4y+5=0 平行的直线的方程为3x-4y+c=0(c5) ，将点(2,-4)代入得6+16+c=0 ，所以c=-22 .故所求直线的一般式为3x-4y-22=0 .（2）设与直线6x-8y+3=0 垂直的直线的方程为8x+6y+m=0 ，将点(3,2)

6、代入得24+12+m=0 ，解得m=-36 .故所求直线的一般式为4x+3y-18=0 .探究点二 含参数的一般式方程精讲精练例设直线l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aR) .（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.答案：（1）当直线l 过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，显然相等，则(a+1)0+0+2-a=0 ，a=2 ，即l 的方程为3x+y=0 ；当直线l 不过原点，即a2 时，其方程可化为xa-2a+1+ya-2=1 ，由l 在两坐标轴上的截距相等得a-2a+1=a-2 ，即a+1=1 ，a=0 ，即l

7、 的方程为x+y+2=0 .综上，l 的方程为3x+y=0 或x+y+2=0 .（2）将l 的方程化为y=-(a+1)x+a-2 ， 欲使l 不经过第二象限，当且仅当-(a+1)0,a-20 或-(a+1)=0,a-20, a-1 .综上可知，a 的取值范围是a-1 .变式本例条件不变，试问：直线l 恒过哪个定点？答案：由(a+1)x+y+2-a=0 整理得a(x-1)+x+y+2=0 ，因为aR,a(x-1)+x+y+2=0 恒成立，所以x-1=0, x+y+2=0, 解得x=1, y=-3,所以直线l 恒过定点(1,-3).解题感悟（1）在已知条件中出现“截距相等”“截距互为相反数”或“一

8、截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考虑，不要漏掉过原点的情况.（2）由直线的一般式方程Ax+By+C=0 （A、B 不同时为0）求直线在两坐标轴上的截距时，令x=0 ，得纵截距；令y=0 ，得横截距.由两截距的位置可知直线的位置.迁移应用设直线l 的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k3) ，根据下列条件分别确定k 的值.（1）直线l 的斜率为-1；（2）直线l 在x 轴，y 轴上的截距之和等于0.答案：（1） 直线l 的斜率存在， 直线l 的方程可化为y=-2k-3x+2 .由题意得-2k-3=-1 ，解得k=5 .（2）直线l 的方程可化为xk-3+y2=1 ，由题意得k-3+2=

9、0 ，解得k=1 .探究点三 用一般式方程解决两直线平行或垂直问题精讲精练例已知直线l1 ：(k-3)x+(4-k)y+1=0 与l2 ：2(k-3)x-2y+3=0 .（1）若这两条直线垂直，求k 的值；（2）若这两条直线平行，求k 的值.答案：（1）根据题意得(k-3)2(k-3)+(4-k)(-2)=0 ，解得k=552 ， 若这两条直线垂直，则k=552 .（2）根据题意得(k-3)(-2)-(4-k)2(k-3)=0 ，解得k=3 或k=5 .经检验，均符合题意， 若这两条直线平行，则k=3 或k=5 .迁移应用1.（2021山东济宁高二期末）已知直线3x-4y+4=0 与直线ax+

10、8y+7=0 平行，则实数a 的值为( )A.-323 B.323 C.6 D.-6答案：D解析：因为直线3x-4y+4=0 与直线ax+8y+7=0 平行，所以38-(-4)a=0 ，解得a=-6 .2.当直线l1 ：(a+2)x+(1-a)y-1=0 与直线l2 ：(a-1)x+(2a+3)y+2=0 互相垂直时，a= .答案：1解析：由题意知直线l1l2,(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0 ，解得a=1 ，将a=1 代入方程，均满足题意.故当a=1 或a=-1 时，l1l2 .评价检测素养提升课堂检测1.如果ax+by+c=0 表示的直线是y 轴，那么系数a ，b ，c 应

11、满足的条件是( )A.bc=0 B.a0 C.bc=0 且a0 D.a0 且b=c=0答案：D解析：易知y 轴用方程表示为x=0 ，所以a,b,c 应满足的条件为b=c=0,a0 .2.（2021湖北武汉华科附联考体高二期中）直线x-3y+a=0,aR 的倾斜角为( )A.6 B.3 C.23 D.56答案：A解析：x-3y+a=0 化为斜截式方程为y=33x+33a ，可知该直线的斜率k=33 ，因为k=tan=33(0,) ，所以=6 .3.直线x-3y+4=0 与直线mx+4y-1=0 互相垂直，则实数m 的值为 .答案：12解析： 两条直线互相垂直，1m-34=0 ，解得m=12 .4

12、.（2021山西太原高二期中）已知直线l1 经过点M(2,1) ，在两坐标轴上的截距相等且不为0.（1）求直线l1 的方程（写成一般式）；（2）若直线l2l1 ，且l2 过点M ，求直线l2 的方程（写成一般式）.答案：（1）设直线l1 的方程为xa+ya=1,a0 ，代入点M(2,1) 得2a+1a=1 ，解得a=3 ，所以直线l1 的方程为x3+y3=1 ，即x+y-3=0 .（2）由（1）知直线l1 的斜率为-1，由l2l1 得直线l2 的斜率k=1 .又直线l2 过点M(2,1) ，则直线l2 的方程y-1=x-2 ，即x-y-1=0 .素养演练直观想象、数学运算在直线方程中的应用（2

13、021辽宁抚顺高二期末）已知直线m 的方向向量为v=(1,2) .（1）求过点A(0,-3) 且倾斜角是直线m 的倾斜角的2倍的直线l1 的斜截式方程；（2）求过点B(2,3) 且与直线m 垂直的直线l2 的一般式方程.答案：（1）因为直线m 的方向向量为v=(1,2) ，所以直线m 的斜率为2.设直线m 的倾斜角为 ，则tan=2 ，设直线l1 的斜率为k ，则k=tan2=2tan1-tan2=-43 .因为直线l1 过点A(0,-3) ，所以直线l1 的斜截式方程为y=-43x-3 .（2）因为直线l2m ，所以直线l2 的斜率为-12 ，因为直线l2 过点B(2,3) ，所以直线l2

14、的方程为y-3=-12(x-2) ，即x+2y-8=0 ，所以直线l2 的一般式方程为x+2y-8=0 .素养探究：（1）由直线m 的方向向量为v=(1,2) 可得直线m 的斜率为2，渗透了直观想象的素养；设直线m 的倾斜角为 ，则tan=2 ，然后利用二倍角的正切公式可求出直线l1 的斜率，从而可求出直线l1 的斜截式方程，渗透了数学运算的素养.（2）由题意可得直线l2 的斜率为-12 ，从而可求出直线l2 的方程，渗透了数学运算的素养.迁移应用已知ABC 中，点A 的坐标为(1,2).（1）若过点C 的中线所在直线的方程为2x-y-2=0 ，平行于AB 边的中位线所在直线的方程为2x+y-

15、9=0 ，求点C 的坐标及过点C 且与AB 边平行的直线的方程；（2）若平行于BC 边的中位线所在直线的方向向量为v=(1,-2) ，求过点A 且与该中位线垂直的直线l 的方程.答案：（1）因为过点C 的中线所在直线的方程为2x-y-2=0 ，所以可设C(m,2m-2) ，因为A(1,2) ，所以AC 的中点的坐标为(m+12,m) ，又该中点在直线2x+y-9=0 上，所以m+1+m-9=0 ，解得m=4 ，即C 的坐标为(4,6)，所以过点C 且与AB 边平行的直线的方程为y-6=-2(x-4) ，即2x+y-14=0 .（2）由已知得中位线所在直线的斜率为-2，所以直线l 的斜率为12 ，又该直线过点A ，所以直线l 的方程为y-2=12(x-1) ，即x-2y+3=0 .