福建省厦门第一中学2021—2022学年高三上学期12月考试数学试题.pdf

1、厦门一中 2022 届高三上 12 月月考数学试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的 1设UR=，已知两个非空集合 P，Q 满足()UC PQR=则 A PQ=B PQ CQP D PQR=2设复数 z 满足(1i)2iz+=，其中i 为虚数单位，则 z 的共轭复数 z=A

2、 1i+B 1 i C1i+D1 i3已知数列 na的前n 项和为nS，若1a=1，()131nnaSn+=，则4S 等于 A85 B255 C64 D2564.已知函数()2sinxxf xeex=，则关于 x 的不等式2(3)(2)0f xfx+的解集为 A(3,1)B(1,3)C(，3)(1，)+D 1，35如下表，根据变量 x 与 y 之间的对应数据可求出 0.32yxb=+.其中8y=.现从这5个样本点对应的残差中任取一个值（残差为iiyy），则残差不大于 0 的概率为 x1015202530y111086A 15 B 25 C 35 D 456已知椭圆221222:1(0),xyC

3、abF Fab+=为C 的左右焦点，(,)(0,0)P m n mn为C 上一点，且12PFF的内切圆半径为 1，若12PFF的面积为 2b，则 n 的值为 A 35 B 43 C 83 D37设 n 是偶数，nN，i 为虚数单位，,a b 分别表示()21inx+的展开式中系数大于 0 与小于 0的项的个数，那么 Aab=B1ab=+C1ab=D2ab=+8函数22,0()sin(),03log xxxf xxx=+有且仅有 2 个零点，则正数 的取值范围是A 4 7(,3 3 B 4 7,)3 3C 4 7(,)3 3 D 4 7,3 3二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 2

4、0 分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分 9如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 F，E 分别是靠近C，D 的四等分点，则A12EFAB=B34AFABAD=+C34BEABAD=+D229()()16BE AFABAD=10关于函数()tan(|)4f xx=+，则 A()f x 的图像关于 y 轴对称 B()f x 的最小正周期为C()f x 在区间(0,)4 上单调递增 D()f x 的图像关于点 3(4，0)对称11如图，正方形 ABCD 与正方形 DEFC 边长均为 1，平面 ABCD 与平面DEFC

5、互相垂直，P 是 AE 上的一个动点，则ACP 的最小值为32B当 P 在直线 AE 上运动时，三棱锥 DBPF的体积不变C PDPF+的最小值为22D三棱锥 ADCE的外接球表面积为312观察如下数阵：该数阵特点：在第 n 行每相邻两数之间都插入它们的和得到第1n+行的数，*.nN设第 n 行数的个数为na，第 n 行的所有数之和为nS，则A121nnaa+=B133nnSS+=C23(1)1nSn=+D121nk=三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.2sin80sin20cos20 的值为 14牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1，空气温度为0

6、，则t 分钟后物体的温度（单位：）满足：()010kte=+若常数0.05k=，空气温度为30，某物体的温度从120 C 下降到40，大约需要的时间为 （参考数据：ln31.1）15某同学高考后参加国内 3 所名牌大学 A，B，C 的“强基计划“招生考试，已知该同学能通过这 3 所大学 A，B，C 招生考试的概率分别为 x，y，12，该同学能否通过这 3 所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中 2 所大学招生考试的概率为 518，则该同学至少通过 1 所大学招生考试的概率为 ；该同学恰好通过 A，B 两所大学招生考试的概率最大值为 16双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的左

7、右焦点分别为 F1，F2，直线 l 过 F1 与 C 的左支和右支分别交于 A，B 两点，2ABF 是等边三角形，若 x 轴上存在点 Q 且满足23BQAF=，则 C 的离心率为 .四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）在中，角、所对的边长分别为、，.（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由18.(12 分)如图，在四棱锥 PABCD中，PA 底面 ABCD，底面 ABCD是直角梯形，90ADC=，/,2,ADBC ABAC ABACE=点在 AD 上，且2AEED=.（1）已知点 F 在 BC

8、上，且2=CFFB，求证：平面 PEF 平面 PAC.（2）当二面角APBE 的余弦值为多少时，直线 PC 与平面 PAB 所成的角为45？19.(12 分)已知各项均为正数的数列na，nb满足12a=，14b=，且na，nb，1na+成等差数列，nb，1na+，1nb+成等比数列（1）求证：数列nb为等差数列；（2）记111nnncaa+=+，记 nc的前 n 项和为nS，若1101kS，求正整数 k 的最小值 20.（12 分）已知过点(2,0)P 的直线l 与抛物线2:2(0)ypx p=相切于点0(T x，2)（1）求 p，0 x；（2）设直线1:(0)2m yxt t=+与 相交于点

9、 A，B，射线 PA，PB 与 的另一个交点分别为C，D，问：直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由 ABCABCabc1ba=+2ca=+2sin3sinCA=ABCaABCa21.（12 分）某地一对夫妻打算购房，对该市 30 个楼盘均价进行了统计，得到如频数分布表：均价 X（单位：千元）4，5)5，6)6，7)7，8)8，9)9，10 频数 2 2 11 10 4 1（1）若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本平均数 x 作为 的近似值，用样本标准差 s 作为 的估计值，现任取一个楼盘的均价 X，假定2(,)XN ，求均价恰在 8.12 千元到

10、9.24 千元之间的概率（2）经过一番比较，这对夫妻选定了一个自己满意的楼盘，恰巧该楼盘推出了趣味蹦台阶送优惠活动，由两个客户配合完成该活动，在一个口袋中有大小材质均相同的红球 40 个，黑球 20个，客户甲可随机从口袋中取出一个球，取后放回，若取出的是红球，则客户乙向上蹦两个台阶，若取出的是黑球，则客户乙向上蹦一个台阶，直到客户乙蹦上第 5 个台阶（每平方米优惠0.3 千元）或第 6 个台阶（每平方米优惠 3 千元）时（活动开始时的位置记为第 0 个台阶），游戏结束（）设客户乙站到第(06,)nnnN个台阶的概率为nP，证明：当15n时，数列1nnPP 是等比数列（）若不参加蹦台阶活动，则直

11、接每平方米优惠 1.4 千元，为了获得更大的优惠幅度，请问该对夫妻是否应参与蹦台阶活动 参考数据：取 1.251.12=，52()0.133=若2(,)N，则()0.68P+，(22)0.95P+，(33)0.997P+22（12 分）已知2()f xxalnx=，aR（1）讨论()yf x=的单调性；（2）若()yf x=有两个零点1x，212()x xx，0 x 是()yf x=的极值点，求证：12034xxx+厦门一中 2022 届高三上 12 月月考数学试卷答案一、选择题：答案：18 BDCA CCBB 9.AC 10.AC 11.BD 12.ABD8.解：0 x 时，2()log2f

12、 xxx=，114()222xlnfxxlnxln=，令()0fx=，14xln=，()fx在1(0,)4ln递增，在1(4ln，)+递减1(0,1)4ln，而(0,1)x时，()0f x，()f x的最大值为1()04fln，0 x时，()f x 无零点 0 x，()f x 有两个零点，23+，4733 三、填空题：13.3 14.44 15.71;9 18 16.716.如图所示，由题意可得12|2FFc=，因为213F AQB=，所以12F AF1FBQ，所以2|4F Qc=，在等边三角形2ABF 中，设22|AFBFABm=，则|3BQm=，1|2mAF=，由双曲线的定义可得21|2A

13、FAFa=，所以22mma=，即4ma，因为2ABF 是等边三角形，所以2260F BQABF=，在2F BQ中，2222222|cos2|BFBQF QF BQBFBQ+=2229161232mmcmm+=，化简可得22716mc=，由可得227ca=，所以 e7=.17.（1）因为，则，则，故，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，故.18.（1）由,2ABAC ABAC=，即 ABC 为等腰直角三角形，又 ABCD是直角梯形且90ADC=，且/AD BC，所以，45CADACB=，因为90ADC=，故ACD为

14、等腰直角三角形，所以，cos451ADDCAC=，2BC=，又2AEED=，2=CFFB，2233AEAD=，1233FBBC=，又/ADBC，即/AEFB，AEFB 为平行四边形，则/EFAB，又 ABAC，故 EFAC，由 PA 底面 ABCD，EF 面 ABCD，则 PA EF，又 PAACA=，EF 面 PAC，而 EF 面 PEF，平面 PEF 平面 PAC.2sin3sinCA=()2223caa=+=4a=5b=6c=2221cos28abcCabC23 7sin1cos8CC=113 715 7sin4 52284ABCSabC=cbaABCC()()()()222222212

15、23cos022121aaaabcaaCaba aa a+=+13a 0 3a12aaa+1a aZ2a=（2）直线 PC 与平面 PAB 所成角的平面角为45CPA=，则tan1ACCPAAP=，2AP=.如下图，构建以 A 为原点，,AM AD AP 为 x、y、z 轴正方向的空间直角坐标系，2(0,0,0),(1,1,0),(0,0)3ABE，(0,0,2)P，25(0,2),(1,0)33PEBE=，若(,)ma b c=是面 PBE 的一个法向量，则2203503PE mbcBE mba=，令3b=有(5,3,2)m=，由上易知：(1,1,0)AC=是面 PAB 的一个法向量，82

16、2cos,3|236AC mAC mACm=.当二面角APBE 的余弦值为 2 23时，直线 PC 与平面 PAB 所成的角为 45.19.【解答】证明：（1）各项均为正数的数列na，nb满足na，nb，1na+成等差数列，则：12 nnnbaa+=+；由于nb，1na+，1nb+成等比数列所以211nnnabb+=，由于12a=，14b=，所以26a=，29b=；所以2112()nnnnnbbbb b+=+，(2)n，整理得112nnnbbb+=+，所以数列nb为等差数列（2）由（1）得121(1)()nbbnbb=+，整理得2(1)nbn=+；进一步求出(1)nan n=+，得：11111

17、111111(1)(1)(2)1122nnncaan nnnnnnnnn+=+=+=+=+；故1111111113111.32435112212nSnnnnnn=+=+，由于函数311()212f xxx=+在(0,)+上单调递增，由于1110311212kSkk=+，当3k=时，331121245201110S=，当4k=时，431134256301110S=故 k 的最小值为 4它法：解不等式 3111121210nn+即224110nn，解得4n.20.解：（1）由题意可设切线 l 的方程为：(2)yk x=+，联立22(2)ypxyk x=+，化为：2222(42)40k xkp xk

18、+=，则224(42)160kpk=，化为：24pk=，又022kx=+，042px=，解得：12k=，1p=，02x=（2）设1(A x，1)y，2(B x，2)y，联立2122yxtyx=+=，化为：2440yyt+=，16160t=，解得1t 124yy+=，124y yt=，射线 PB 的方程为：22(2)2yyxx=+，(2)x，射线 PA 的方程为：11(2)2yyxx=+，(2)x，联立2112(2)2yxyyxx=+，化为：2111(24)40y yxyy+=，14Cyy=，14Cyy=，218Cxy=，可得218(C y，14)y同理可得228(D y，24)y，直线 CD

19、的方程为：1221122124448()88yyyxyyyy=，化为：21148()2tyxyy=，211442ttyxyy=+，即21142ytyxyy=+，化为：12tyx=+，直线 CD 经过定点(0,1)19.解：（1）221110414.55.56.57.58.59.57303030303030 x=+=，222222222111041(4.57)(5.57)(6.57)(7.57)(8.57)(9.57)1.25303030303030s=+=7x=，21.25s=，1.12s=，(,1.12)XN，0.950.68(8.129.24)0.1352PX=（2）()i 证明：客户开始

20、游戏时在第 0 个台阶为必然事件，故01P=，客户甲第一次摸得黑球，客户乙迈上第一个台阶，其概率为 13，故113P=，客户乙迈入第(25)nn个台阶的情况为下列两种，而且也只有两种，客户乙先到第2n 格，客户甲又摸出红球，其概率为223nP ，客户乙先到第1n 格，客户甲又摸出黑球，其概率为113nP ，121233nnnPPP=+，则1122()3nnnnPPPP=，当15n时，数列1nnPP 是首项为1023PP=，公比为23的等比数列()ii 由()i 知，当15n时，12()3nnnPP=，所以23010211222222()()()()()()()()1()333353nnnnnP

21、PPPPPPP=+=+=，整理得322()553nnP=+，所以55322()0.548553P=+=，且5642222()0.4523553PP=设这对夫妻参与游戏获得优惠的期望为每平方米Y 千元，则56()0.330.3 0.548 3 0.452 1.5204E YPP=+=+=（千元），1.52041.4，该对夫妻应参与蹦台阶活动20.解：（1）()f x 的定义域是(0,)+，22()2axafxxxx=，0a时，()0f x，()f x 在(0,)+单调递增，0a 时，2()()22()aaxxfxx+=，令()0f x，解得：2ax，令()0f x，解得：02ax，故()f x

22、在(0,)2a 递减，在(2a，)+递增，综上：0a时，()f x 在(0,)+单调递增，0a 时，()f x 在(0,)2a 递减，在(2a，)+递增；（2）证明：2()g xxalnx=，(2)(2)()20axaxag xxxx+=，可得02ax=，当(0,)2ax，()0g x，(2ax，)+，()0g x，所以()g x 在(0,)2a 上单调递减，(2a，)+上单调递增，而要使()g x 有两个零点，要满足0()0g x，即2()()0222aaagaln=，可得2ae，因为102ax，22ax，令21(1)xt tx=，由22121122()()g xg xxalnxxalnx=

23、，即22221111121alntxalnxt xalntxxt=，而221201134(31)2 2(31)8xxxtxatxa+，即22(31)81alnttat+，由0a，1t，只需证22(31)880tlntt+，令22()(31)88h ttlntt=+，则1()(186)76h ttlnttt=+，令1()(186)76n ttlnttt=+，则261()18110(1)tn tlnttt=+，故()n t 在(1,)+上递增，()n tn（1）0=，故()h t 在(1,)+上递增，()h th（1）0=；12034xxx+它法：由22121122()()g xg xxalnxx

24、alnx=，即222121lnlnxxaxx=，而22211201221234(38l)8nlnxxxxxxxaxx+=，即2221120212128()34lnl()n3xxxxxxxxx+，令21(1)xt tx=，即证明：228(1)()ln0(13)tF ttt=+，下略；它法：0112204343xxxxxx+（又10043xxx）1204()3fxxxf即只需证明1104)3(xxxff，设004()(),3xxxF xfxfx=（下略）它法：1212322xxxx+，故只需证明1202xxx+即为标准版极值点偏移问题，下略。厦门一中 2022 届高三上 12 月月考数学试卷解析版

25、注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的 1设 UR，已知两个非空集合 P，Q 满足（UP）QR 则（）APQBPQCQPDPQR2设复数 z 满足(1)2i zi+=，其中i 为虚数单位，则 z 的共轭复数(z=)A 1i+B 1i C1i+D1i 【分析】直接利用复数代数形式

26、的乘除运算化简得答案【解答】解：由(1)2i zi+=，得22(1)2(1)11(1)(1)2iiiiiziiii=+，1zi=故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 3已知数列 na的前 n 项和为nS，若1a=1，()131nnaSn+=，则10S 等于（）A104-13B104-1C94D104【详解】因为()131nnaSn+=，所以14nnSS+=，而110S=，所以0nS，故14nnSS+=，故nS为等比数列且首项为 1，公比为 4，故9104S=，故选：C.4（2021 秋江苏期中）已知函数()2sinxxf xeex=，则关于 x 的不

27、等式2(3)(2)0f xfx+的解集为()A(3,1)B(1,3)C(，3)(1，)+D 1，3 【分析】根据函数()f x 的奇偶性和增减性解不等式即可【解答】解：()2sinxxf xeex=，()2sinxxfxeex=+，()()f xfx=，故函数()f x 为奇函数()2cos22cos0 xxfxeexx=+，则()f x 在 R 上为增函数 则2(3)(2)0f xfx+，化简得2(3)(2)f xfx，即2(3)(2)f xfx，又()f x 为增函数，232xx ，解得 31x 故选：A 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意利用导数分析()f x 的单调性

28、，属于基础题 5如下表，根据变量 x 与 y 之间的对应数据可求出 0.32yxb=+.其中8y=.现从这5个样本点对应的残差中任取一个值，则残差不大于0 的概率为（）x1015202530y111086A 15B 25C 35D 45【来源】专题 10.3 统计、统计案例与复数单元测试卷 2022 年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）【答案】C【分析】计算20 x=，y 的最后一个数据为 5，带入回归方程得到14.4b=，计算每个样本点对应残差，得到概率.【详解】由表中的数据可知，1015202530205x+=，设 y 的最后一个数据为n，则11 108685yn+=，5n=，将 x，

29、y 代入 0.32yxb=+得14.4b=，这5个样本点对应的残差分别为：()11110.32 10 14.40.2yy=+=，()22100.32 15 14.40.4yy=+=，()3380.32 20.14 40yy=+=，()4460.322514.40.4yy+=，()5550.32 30 14.40.2yy+=，所以残差不大于0 的概率为 35.故选：C.6已知椭圆221222:1(0),xyCabF Fab+=为 C 的左右焦点，(,)(0,0)P m n mn为 C 上一点，且12PFF的内心(,1)I s，若12PFF的面积为 2b，则 n 的值为（）A 35B 43C 83

30、D3【详解】由题意可得，12PFF的内心(,1)I s到 x 轴的距离就是内切圆的半径.又点 P 在椭圆 C 上，12121 2122,(22)122PF FPFPFF FacSacacb+=+=+=+=.又(1),2aeceab+=，2222222(1),2aeabca ea+=+=，即222(1)44,5230eeee+=+=，解得35e=或 1（舍），34,55ca ba=.又121 2133,255PF FSF F ncnaaan=+=，解得83n=.故选：C.7设 n 是偶数，nN，i 为虚数单位，ab 分别表示()21inx+的展开式中系数大于 0 与小于 0的项的个数，那么（）A

31、 ab=B1ab=+C1ab=D2ab=+【来源】上海市上海师范大学附属中学 2021-2022 学年高二上学期期中数学试题【答案】B【分析】根据二项式定理结合i 的幂的性质得展开式中系数为实根的项数，并确定正负项的个数，得出结论【详解】展开通项公式通项公式为21121irnr rrnTCx+=，因此当 r 为偶数时，项的系数为实数，其1n+项，又 4421,1kkii+=，kZ，n 是偶数，所以正的项0,4,8,2rn=有12n+，负的项2,6,10,22rn=有 2n 项即12na=+，2nb=，所以1ab=+故选：B8（5 分）（2021 秋江苏期中）函数22,0()sin(),03lo

32、g xxxf xxx=+有且仅有 2 个零点，则正数的取值范围是()A 4 7(,3 3 B 4 7,)3 3 C 4 7(,)3 3 D 4 7,3 3 【分析】分析函数图像，判断0 x 时无零点；0 x时，满足两个零点的条件为，23+【解答】解：0 x 时，2()log2f xxx=，114()222xlnfxxlnxln=，令()0fx=，14xln=，()fx在1(0,)4ln递增，在1(4ln，)+递减 1(0,1)4ln，而(0,1)x时，()0f x，()f x的最大值为1()04fln，0 x时，()f x 无零点 0 x，()f x 有两个零点，23+，4733 故选：B 【

33、点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，综合性较强，考查学生解决问题的能力，属于中档题 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分 9（5 分）（2021 秋江苏期中）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 F，E 分别是靠近 C，D 的四等分点，则下列结论正确的是()A12EFAB=B34AFABAD=+C34BEABAD=+D229()()10BE AFADAB=【分析】利用平面向量的线性运算和数量积运算即可求解【解答】解：:AF，E 分别是靠近 C，D 的四

34、等分点，12EFAB=，A正确，:BF 是靠近 C 的四等分点，3344AFADDFADDCABAD=+=+=+，B错误，:CE 是靠近 D 的四等分点，3344BEBCCEADCDABAD=+=+=+，C正确，22339:()()4416DBE AFABADABADADAB=+=，D错误，故选：AC 【点评】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题 10（5 分）（2021 秋江苏期中）关于函数()tan(|)4f xx=+，则下列判断正确的有()A()f x 的图像关于 y 轴对称 B()f x 的最小正周期为 C()f x 在区间(0,)4 上单调递增 D()f x 的图像关于

35、点 3(4，0)对称【分析】利用偶函数的定义、正切函数的性质逐项判断即可【解答】解：显然()tan(|)tan(|)()44fxxxf x=+=+=，故()f x 是偶函数，故 A 正确；因为()tan42f=不存在，而3()()tan044ff+=，显然3()()44ff，故 B 错误；(0,)4x时，()tan()4f xx=+满足 442x+，因为tanyx=在(,)4 2 上单调递增，故原函数()f x 在区间(0,)4 上单调递增，故 C 正确；因 为31()23313f+=，3()tan2312f+=，结 合22tan312tan 631()12tan=解 得tan2312=，因为

36、3()()0323ff+，故()f x 的图像不关于点 3(4，0)对称，故 D 错误 故选：AC 【点评】本题考查正切函数的图像和性质，属于中档题11（5 分）（2021 秋苏州期中）如图，正方形 ABCD 与正方形 DEFC 边长均为 1，平面 ABCD 与平面 DEFC 互相垂直，P 是 AE 上的一个动点，则()A CP 的最小值为32 B当 P 在直线 AE 上运动时，三棱锥 DBPF的体积不变 C PDPF+的最小值为22 D三棱锥 ADCE的外接球表面积为 3 【分析】由题可知22CPDPCD=+，可判断 A；根据条件可知 PBF的面积不变，D 到平面 PBF的距离也不变，可判断

37、 B；将 ADE翻折到与平面 ABFE 共面，即可判断 C；由正方体的性质可判断 D 【解答】解：对于 A，连接 DP，CP，易得222161122CPDPCDDP=+=+=，故 A 错误；对于 B，P 在直线 AE 上运动时，PBF的面积不变，D 到平面 PBF 的距离也不变，故三棱锥DBPF的体积不变，故 B 正确；对于 C，如图，将 ADE翻折到与平面 ABFE 共面，则当 D、P、F 三点共线时，PDPF+取得最小值2222()(1)2222+=+，故 C 错误；对于 D，将该几何体补成正方体，则外接球半径为32，外接球表面积为 3，故 D 正确 故选：BD 【点评】本题主要考查立体几

38、何中的最值问题，锥体体积的计算，锥体的外接球问题等知识，属于中等题 12（5 分）（2021 秋如皋市期中）观察如下数阵：该数阵特点：在第 n 行每相邻两数之间都插入它们的和得到第1n+行的数，*.nN设第 n 行数的个数为na，第 n 行的所有数之和为nS，则()A121nnaa+=B133nnSS+=C23(1)1nSn=+D121nk=【分析】观察、分析前后两行的数据，找出na 与nS 的关系，进行求解【解答】解：A 项：由数阵可知，第 1 行：2 个数，有 1 个间隔个数，第 2 行：第 1 行 2 个数加上 1 个间隔个数，此时有 3 个数，2 个间隔个数，第 3 行：第 2 行 3

39、 个数加上 2 个间隔个数，此时有 5 个数，4 个间隔个数，以此类推：第 n 行：第1n 行1na 个数加上11na 个间隔个数，此时有na 个数，1na 个间隔个数 121nnaa+=，故 A 项正确；B 项：1nS+包含nS，因为nS 相邻两个数的和为121 2nS ，所以133nnSS+=，故 B 项正确；C 项：41 5473 8 5 7242S=+=，不满足 C 选项，故 C 项错误；D 项：121nnaa+=，112(1)nnaa+=，1na是等比数列，首项11 1a =，公比2q=，112nna=，121nna=+，由数阵可知，k 比na 少 2 个，121nk=，故 D 项正

40、确；故选：ABD 【点评】本题考查归纳推理的能力，主要考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.（2021 秋江苏期中）2sin80sin20cos20 的值为()A1 B 2 C3 D2【分析】根据两角和的正弦公式即可求出【解答】解：原式2sin(6020)sin203cos20sin20sin203cos20cos20+=故选：C 【点评】本题考查了两角和的正弦公式，考查了运算求解能力，属于基础题 14著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1，空气温度为0，则t 分钟后物体的温度（单位

41、：）满足：()010kte=+若常数0.05k=，空气温度为30，某物体的温度从120 C 下降到40，大约需要的时间为（）（参考数据：ln31.1）A36分钟B39分钟C40分钟D44 分钟【来源】江苏省扬州市高邮市 2021-2022 学年高一上学期期中数学试题【答案】D【分析】将已知数据代入模型，解之可得答案.【详解】由题知030=，1120=，40=，0.054030(120 30)te=+，0.0519te=，10.05ln9t=，0.05ln92ln3t=，2ln340 ln3440.05t=.故选：D.15（5 分）（2021 秋如皋市期中）某同学高考后参加国内 3 所名牌大学

42、A，B，C 的“强基计划“招生考试，已知该同学能通过这 3 所大学 A，B，C 招生考试的概率分别为 x，y，12，该同学能否通过这 3 所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中 2 所大学招生考试的概率为 518，则该同学至少通过 1 所大学招生考试的概率为 1418 ；该同学恰好通过 A，B 两所大学招生考试的概率最大值为 【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求出该同学恰好能通过其中 2 所大学招生考试的概率111522218Pxyxy=+=，从而求出该同学至少通过 1 所大学招生考试的概率，再结合基本不等式即可得 xy 的最小值，进而求出该同学恰好通过 A，B 两所大学招生考试的

43、概率最大值【解答】解：该同学能否通过这 3 所大学的招生考试相互独立，该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率1111115(1)(1)22222218Pxyxyyxxyxy=+=+=，该同学至少通过1所大学招生考试的概率为111111571(1)(1)222222189xyxyxy=+=+=，由 111522218xyxy+=得，59xyxy+=，529xyxyxy+=+，即5209xyxy+，解得19xy或259xy，又01x，01y，01xy ，19xy，该同学恰好通过 A，B 两所大学招生考试的概率为 12 xy，最大值为 118 故答案为：79，118 【点评】本题主要考查了独立事

44、件概率乘法公式，考查了基本不等式的应用，是基础题16双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的左右焦点分别为 F1，F2，直线 l 过 F1 与 C 的左支和右支分别交于 A，B 两点，2ABF 是等边三角形，若 x 轴上存在点 Q 且满足23BQAF=，则 C 的离心率为_.【详解】如图所示，由题意可得12|2FFc=，因为213F AQB=，所以12F AF1FBQ，所以2|4F Qc=，在等边三角形2ABF 中，设22|AFBFABm=，则|3BQm=，1|2mAF=，由双曲线的定义可得21|2AFAFa=，所以22mma=，即4ma，因为2ABF 是等边三角形，所以2260F BQ

45、ABF=，在2F BQ中，2222222|cos2|BFBQF QF BQBFBQ+=2229161232mmcmm+=，化简可得22716mc=，由可得227ca=，所以 e7=.故答案为：7.四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）在中，角、所对的边长分别为、，.（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在，且.【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可

46、知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.【详解】（1）因为，则，则，故，ABCABCabc1ba=+2ca=+2sin3sinCA=ABCaABCa15 742a=23ca=abcsin BCcos0C a2sin3sinCA=()2223caa=+=4a=5b=6c=，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，故.18.(12 分)如图，在四棱锥 PABCD中，PA 底面 ABCD，底面 ABCD是直角梯形，90ADC=，/,2,ADBC ABAC ABACE=点在 AD 上，且2AEED=.（1）已知点

47、F 在 BC 上，且2=CFFB，求证：平面 PEF 平面 PAC.（2）当二面角APBE 的余弦值为多少时，直线 PC 与平面 PAB 所成的角为 45？【来源】湖北省荆州市沙市中学 2021-2022 学年高二上学期期中数学试题（1）由,2ABAC ABAC=，即 ABC 为等腰直角三角形，又 ABCD是直角梯形且90ADC=，且/AD BC，所以，45CADACB=，因为90ADC=，故ACD为等腰直角三角形，所以，cos451ADDCAC=，2BC=，又2AEED=，2=CFFB，2233AEAD=，1233FBBC=，又/ADBC，即/AEFB，AEFB 为平行四边形，则/EFAB，

48、又 ABAC，故 EFAC，由 PA 底面 ABCD，EF 面 ABCD，则 PA EF，又 PAACA=，EF 面 PAC，2221cos28abcCabC23 7sin1cos8CC=113 715 7sin4 52284ABCSabC=cbaABCC()()()()22222221223cos022121aaaabcaaCaba aa a+=+13a 0 3a12aaa+1a aZ2a=而 EF 面 PEF，平面 PEF 平面 PAC.（2）直线 PC 与平面 PAB 所成角的平面角为45CPA=，则tan1ACCPAAP=，2AP=.如下图，构建以 A 为原点，,AM AD AP 为

49、x、y、z 轴正方向的空间直角坐标系，2(0,0,0),(1,1,0),(0,0)3ABE，(0,0,2)P，25(0,2),(1,0)33PEBE=，若(,)ma b c=是面 PBE 的一个法向量，则2203503PE mbcBE mba=，令3b=有(5,3,2)m=，由上易知：(1,1,0)AC=是面 PAB 的一个法向量，82 2cos,3|236AC mAC mACm=.当二面角APBE 的余弦值为 2 23时，直线 PC 与平面 PAB 所成的角为 45.19.（12 分）19.已知各项均为正数的数列na，nb满足12a=，14b=，且na，nb，1na+成等差数列，nb，1na

50、+，1nb+成等比数列（1）求证：数列nb为等差数列；（2）记111nnncaa+=+，记 nc的前 n 项和为nS，若1101kS，求正整数 k 的最小值【分析】（1）直接利用数列的递推关系式和等差中项的应用求出数列nb为等差数列；（2）利用（1）求出数列na，nb 的通项公式，进一步利用裂项相消法和函数的单调性的应用求出 k 的最小值【解答】证明：（1）各项均为正数的数列na，nb满足na，nb，1na+成等差数列，则：12 nnnbaa+=+；由于nb，1na+，1nb+成等比数列 所以211nnnabb+=，由于12a=，14b=，所以26a=，29b=；所以2112()nnnnnbb

51、bb b+=+，(2)n，整理得112nnnbbb+=+，所以数列nb为等差数列（2）由（1）得121(1)()nbbnbb=+，整理得2(1)nbn=+；进一步求出(1)nan n=+，得：11111111111(1)(1)(2)1122nnncaan nnnnnnnnn+=+=+=+=+；故1111111113111.32435112212nSnnnnnn=+=+，由于函数311()212f xxx=+在(0,)+上单调递增，由于1110311212kSkk=+，当3k=时，331121245201110S=，当4k=时，431134256301110S=故 k 的最小值为 4【点评】本题

52、考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，函数的单调性，赋值法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题 20.（12 分）（2021 秋海安市期中）已知过点(2,0)P 的直线 l 与抛物线2:2(0)ypx p=相切于点0(T x，2)（1）求 p，0 x；（2）设直线1:(0)2m yxt t=+与 相交于点 A，B，射线 PA，PB 与 的另一个交点分别为C，D，问：直线 CD 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由【答案】（1）1p=，02x=（2）直线 CD 经过定点(0,1)【考点】直线与抛物线

53、的综合【专题】数形结合；方程思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算【分析】（1）由题意可设切线 l 的方程为：(2)yk x=+，与抛物线方程联立化为：2222(42)40k xkp xk+=，可得0=，结合斜率计算公式、及其点在抛物线上即可得出（2）设1(A x，1)y，2(B x，2)y，联立2122yxtyx=+=，化为：2440yyt+=，0，可得根与系数的关系射线 PB 的方程为：22(2)2yyxx=+，射线 PA 的方程为：11(2)2yyxx=+，分别与抛物线方程联立，进而得出 CD 坐标，进而得出方程及其定点坐标【解 答】解：（1）由 题 意 可 设 切 线l的

54、方 程 为：(2)yk x=+，联立22(2)ypxyk x=+，化为：2222(42)40k xkp xk+=，则224(42)160kpk=，化为：24pk=，又022kx=+，042px=，解得：12k=，1p=，02x=（2）设1(A x，1)y，2(B x，2)y，联立2122yxtyx=+=，化为：2440yyt+=，16160t=，解得1t 124yy+=，124y yt=，射线 PB 的方程为：22(2)2yyxx=+，(2)x，射线 PA 的方程为：11(2)2yyxx=+，(2)x，联立2112(2)2yxyyxx=+，化为：2111(24)40y yxyy+=，14Cyy

55、=，14Cyy=，218Cxy=，可得218(C y，14)y 同理可得228(D y，24)y，直线 CD 的方程为：1221122124448()88yyyxyyyy=，化为：21148()2tyxyy=，211442ttyxyy=+，即21142ytyxyy=+，化为：12tyx=+，直线 CD 经过定点(0,1)【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题 21.（12 分）某地有一对夫妻打算购房，对该城市 30 个楼盘的均价进行了统计，得到如频数分布表：均价 X（单位：千元）4，5)5，6)6，7)7，8

56、)8，9)9，10 频数 2 2 11 10 4 1（1）若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本平均数 x 作为 的近似值，用样本标准差s 作为 的估计值，现任取一个楼盘的均价 X，假定2(,)XN ，求均价恰在 8.12 千元到9.24 千元之间的概率（2）经过一番比较，这对夫妻选定了一个自己满意的楼盘，恰巧该楼盘推出了趣味蹦台阶送忧惠活动，由两个客户配合完成该活动，在一个口袋中有大小材质均相同的红球 40 个，黑球 20 个，客户甲可随机从口袋中取出一个球，取后放回，若取出的是红球，则客户乙向上蹦两个台阶，若取出的是黑球，则客户乙向上蹦一个台阶，直到客户乙蹦上第 5 个台阶（每平

57、方米优惠 0.3 千元）或第 6 个台阶（每平方米优惠 3 千元）时（活动开始时的位置记为第 0 个台阶），游戏结束（）设客户乙站到第(06,)nnnN个台阶的概率为nP，证明：当15n时，数列1nnPP 是等比数列（）若不参加蹦台阶活动，则直接每平方米优惠 1.4 千元，为了获得更大的优惠幅度，请问该对夫妻是否应参与蹦台阶活动 参考数据：取 1.251.12=，52()0.133=若2(,)N，则()0.68P +，(22)0.95P +，(33)0.997P +【答案】（1）0.135（2）()i 证明详见解析()ii 该对夫妻应参与蹦台阶活动，理由详见解析【考点】离散型随机变量的期望与方

58、差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】转化思想；分析法；概率与统计；数学运算【分析】（1）根据频数分布表的数据，分别计算出平均值和方差，再结合正态分布的对称性，即可求解（2）()i 客户开始游戏时在第 0 个台阶为必然事件，故01P=，客户甲第一次摸得黑球，客户乙迈上第一个台阶，其概率为 13，故113P=，客户乙迈入第(25)nn个台阶的情况为下列两种，而且也只有两种，分别为客户乙先到第2n 格，客户甲又摸出红球，其概率为223nP ，客户乙先到第1n 格，客户甲又摸出黑球，其概率为113nP ，可得121233nnnPPP=+，再结合配凑法和等比数列的性质，即可求证()ii由()

59、i知，当15n时，12()3nnnPP=，故23010211222222()()()()()()()()1()333353nnnnnPPPPPPPP=+=+=，整理得322()553nnP=+，分别求出5P，6P 的值，并结合期望公式，即可求解【解 答】解：（1）221110414.55.56.57.58.59.57303030303030 x=+=，222222222111041(4.57)(5.57)(6.57)(7.57)(8.57)(9.57)1.25303030303030s=+=7x=，21.25s=，1.12s=，(,1.12)XN，0.950.68(8.129.24)0.135

60、2PX=（2）()i 证明：客户开始游戏时在第 0 个台阶为必然事件，故01P=，客户甲第一次摸得黑球，客户乙迈上第一个台阶，其概率为 13，故113P=，客户乙迈入第(25)nn个台阶的情况为下列两种，而且也只有两种，客户乙先到第2n 格，客户甲又摸出红球，其概率为223nP ，客户乙先到第1n 格，客户甲又摸出黑球，其概率为113nP ，121233nnnPPP=+，则1122()3nnnnPPPP=，当15n时，数列1nnPP 是首项为1023PP=，公比为23的等比数列()ii 由()i 知，当15n时，12()3nnnPP=，所以23010211222222()()()()()()(

61、)()1()333353nnnnnPPPPPPPP=+=+=，整理得322()553nnP=+，所以55322()0.548553P=+=，且5642222()0.4523553PP=设这对夫妻参与游戏获得优惠的期望为每平方米Y 千元，则56()0.330.3 0.548 3 0.452 1.5204E YPP=+=+=（千元），1.52041.4，该对夫妻应参与蹦台阶活动【点评】本题主要考查了正态分布的对称性，以及等比数列通项公式的求解和期望公式的应用，需要学生很强的综合能力，属于难题 22（12 分）（2021 秋浙江期中）已知2()f xxalnx=，aR（1）讨论()yf x=的单调性

62、；（2）若()yf x=有两个零点1x，212()x xx，0 x 是()yf x=的极值点，求证：12034xxx+【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求 出 函 数 的 导 数，令21(1)xt tx=，问 题 转 化 为 证22(31)880tlntt+，令22()(31)88h ttlntt=+，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）()f x 的定义域是(0,)+，22()2axafxxxx=，0a时，()0f x，()f x 在(0,)+单调递增，0a 时，2()()22()aaxxfxx+=，令()0f x，解得：

63、2ax，令()0f x，解得：02ax，故()f x 在(0,)2a 递减，在(2a，)+递增，综上：0a时，()f x 在(0,)+单调递增，0a 时，()f x 在(0,)2a 递减，在(2a，)+递增；（2）证明：2()g xxalnx=，(2)(2)()20axaxag xxxx+=，可得02ax=，当(0,)2ax，()0g x，(2ax，)+，()0g x，所以()g x 在(0,)2a 上单调递减，(2a，)+上单调递增，而要使()g x 有两个零点，要满足0()0g x，即2()()0222aaagaln=，可得2ae，因为102ax，22ax，令21(1)xt tx=，由22

64、121122()()g xg xxalnxxalnx=，即22221111121alntxalnxt xalntxxt=，而221201134(31)2 2(31)8xxxtxatxa+，即22(31)81alnttat+，由0a，1t，只需证22(31)880tlntt+，令22()(31)88h ttlntt=+，则1()(186)76h ttlnttt=+，令1()(186)76n ttlnttt=+，则261()18110(1)tn tlnttt=+，故()n t 在(1,)+上递增，()n tn（1）0=，故()h t 在(1,)+上递增，()h th（1）0=；12034xxx+【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题