2023届新高考数学 热点专练07 数列与不等式（教师版）.docx

1、热点07 数列与不等式 从新高考的考查情况来看，数列与不等式主要命题方向：通项与前n项和的关系；通项与递推式的关系；数列的单调性、周期性等；.等差数列、等比数列的判断；等差（比）数列的基本运算；与不等式（最值、不等式的证明）的交汇问题；与函数、导数的交汇；一元二次不等及其解法；均值不等式与基本不等式的运用；不等式与平面解析几何的交汇等问题。1、解决等差（比）数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等差（比）数列中有五个量a1，n，d（q），an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和d（q，问题可迎刃而解(2)分类讨论的思想：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比的

2、取值情况进行分类讨论，此外等差（比）数列在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算2、证明等差（比）数列的用方法：证明一个数列为等差（比）数列常用定义法与等差（比）中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等差（比）数列，则只要证明存在连续三项不成等差（比）数列即可3、求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数Snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm4、常见数列求和的类型1）分组转化法求和的常见类型（1）

3、若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和（2）通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和2）错位相减法求和时两个注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解3）裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)常见的裂项技巧：（3）利用裂项相消法求和时，应

4、注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等5、条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解6、基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：（1）先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基

5、本不等式求解，这是难点（2）用基本不等式求最值，要有用基本不等式求最值的意识（3）检验检验等号是否成立，完成后续问题热点1. 等差数列与不等式的交汇问题等差数列与不等式的结合，一般涉及等差数列的通项公式、求和公式以及等差数列的常用性质，如 (1)通项公式的推广： (2)若 为等差数列，且 ,则 ；(3)若是等差数列，公差为 ，则是公差 的等差数列；(4)数列也是等差数列.在解决等差数列的运算问题时，要注意采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.热点2. 等比数列与不等式的交汇问题等比数列与不等式的结合，一般涉及等比数列的通项公式、求和公式以及等比数列的常用性质.其中与“错位相减法”、“放

6、缩法”相结合的情形较多.运算中要注意采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.热点3. 数列与函数、导数交汇问题数列本身就是“特殊的函数”，因此，其更易于和函数相结合，一是数列的本身由函数呈现，二是在处理数列问题的过程中，可通过构造函数，利用函数的性质、导数等达到解题目的A卷（建议用时60分钟）一、单选题1（2021四川成都七中一模）记为等比数列的前项和.若，则（ ）ABCD【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为，由可得：，所以，因此.故选：A2（2021吉林省实验模拟

7、预测）相传国际象棋起源于古印度，国王要奖赏发明者，发明者说：“请在棋盘第1个格子里放上1颗麦粒，请在棋盘第2个格子里放上2颗麦粒，请在棋盘第3个格子里放上4颗麦粒以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍”已知棋盘共有64个格子，则最后一个格子的麦粒数是几位数？（例如：28是2位数，1234是4位数，已知）（ ）A17B18C19D20【答案】C【分析】由每个格子里的麦粒数构成一个等比数列求解.【详解】由题意得：每个格子里的麦粒数构成一个等比数列，其中，所以最后一个格子的麦粒数是，所以最后一个格子的麦粒数是19位数，故选：C3（2021吉林长春外国语学校高三期中）已知等差数

8、列的前项和为，若，则（ ）ABCD【答案】B【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列性质得到答案.【详解】.故选：B.4（2021辽宁大连市第一中学高三期中）等比数列的前项和为，若，则（ ）A2B-2C1D-1【答案】A【分析】根据等比数列前项和公式的结构求得.【详解】设等比数列的公比为q，当时，不合题意；当时，等比数列前项和公式，依题意.故选：A5（2021江苏镇江高三期中）已知等比数列的前项和为，且，则（ ）ABC27D40【答案】D【分析】由条件可得成等比数列，首先解出，然后可得答案.【详解】因为等比数列的前项和为，所以成等比数列，所以，即，解得（负值舍去）所以，所以故选：D6（2021

9、陕西安康高三期中）已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）A数列是公差为的等差数列 B数列是公差为2的等差数列C数列是公比为的等比数列 D数列是公比为2的等比数列【答案】C【分析】根据递推关系式，化简变形可得即可判断数列是公比为的等比数列.【详解】，既不是等比数列也不是等差数列；，数列是公比为的等比数列故选：C7（2021福建省泉州第一中学高三期中）若单调递减的等差数列中的两项，是方程的两个根，设数列的前n项和为，则使得的最小的值为（ ）A10B18C19D20【答案】C【分析】利用已知求出，再解不等式即得解.【详解】解：因为数列单调递减，所以，所以，所以.所以使得的最小的值为19.故选：C8（

10、2021山东聊城高三期中）设数列满足，则数列的前n项和为（ ）A B C D【答案】C【分析】由题得（1）， ,（2），两式相减求出即得解.【详解】由题得（1），又 （2），（2）-（1）得适合.所以，所以数列是以为首项，以的等比数列，所以.故选：C9（2021山东聊城高三期中）莱茵德纸草书（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（ ）个A12B24C36D48【答案】D【分析】设等比数列的首项为，公比，根据题意，由求解.【详解】设等比数列的首项为

11、，公比，由题意得：，即，解得，所以，故选：D10（2021山东菏泽高三期中）已知不等式组的解集是关于的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围为（ ）Aa0Ba0Ca-1Da3时，一定是间隔递增数列.B正确；对C，为奇数时，显然时，为偶数时，显然时，.C正确；对D，对恒成立，则恒成立，因为最小间隔是3，所以即对于恒成立，且时， ，于是.D正确.故选：BCD.14（2021广东揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）在归国包机上，孟晚舟写下月是故乡明，心安是归途，其中写道“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028天，山重水复，不知归途在何处”

12、“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途”下列数列中，其前项和可能为1028的数列是( )(参考公式：)A B C D【答案】BCD【分析】对于选项ABD：利用等差数列、等比数列的前项和公式以及参考公式求数列前项和，令，看是否有正整数解即可；对于选项C：通过分类讨论分别求出和，然后可得到，令，看是否有正整数解即可.【详解】不妨设数列的前项和为，对于选项A：由等差数列的前项和公式可知，则方程无正整数解，故A错误；对于选项B：不妨令，数列和的前项和分别为和，故，由参考公式和等差数列的前项和公式可知，所以，解得，故B正确

13、；对于选项C：当时，故此时；当时， 令，解得，即时，故C正确；对于选项D：由等比数列的前项和公式可知，解得，故D正确.故选：BCD.三、填空题15（2021福建省大田县第一中学高三期中）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是_.【答案】【分析】先解带有参数的一元二次不等式，再对进行分类讨论，使得恰有1个正整数解，最后求出的取值范围【详解】不等式等价于.令，解得或.当时，不等式的解集为，要想恰有1个正整数解，则；当时，不等式无解，所以不符合题意；当时，不等式的解集为，则.综上，的取值范围是.故答案为：16（2021江苏镇江高三期中）某校在研究民间剪纸艺术时，经常会沿着纸的某条对称轴把纸对

14、折，规格为的长方形纸，对折一次可以得到和两种规格的图形，他们的周长之和为，对折二次可以得到，三种规格的图形，他们的周长之和为，以此类推，则折叠次后能得到的所有不同图形的周长和为_，如果对折次后，能得到的所有图形的周长和记为，则_.【答案】 【分析】分别列出对折五次可得到的各种规格的图形，再求周长之和可得的值；分别求出，的值，进而可得是公比为的等比数列，由累加法可得.【详解】对折三次可以得到，四种规格的图形，对折四次可得到， ，五种规格的图形，对折五次可得到，六种规格的图形，周长和为，因为，所以，所以当时，且，所以是首项为，公比为的等比数列，可得， 由累加法可得： ，所以，故答案为：；.17（2

15、021福建泉州科技中学高三期中）学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢纶塞下曲：“月黑雁飞高，单于夜遁逃.欲将轻骑逐，大雪满弓刀.”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情.这首诗历代传诵，而无人提出疑问，当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：“北方大雪时，群雁早南归.月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出不是质数.现设记，则数列的前项和_.【答案】【分析】根据题意，化

16、简数列通项公式，利用分组求和的方法求解即可.【详解】依题意有代入 得，所以则有故答案为：18（2021山东菏泽二模）已知正项数列的前n项和为，且，则不超过的最大整数是_【答案】88【分析】由，可得时，解得，时，代入可得：，化为：，利用等差数列的通项公式即可得出利用，时，右边成立）可得：，再利用累加求和方法即可得出结论【详解】解：，时，解得时，代入可得：，化为：，可得数列为等差数列，首项为1，公差为1，解得，时，右边成立）即，所以，所以，所以不超过的最大整数是88.答案为：8819（2021湖北华中师大一附中模拟预测）设，记最接近的整数为，则_；_(用表示)【答案】 【分析】先求出，观察特点得，

17、最接近的数字为253；由得，判断 为奇数或偶数从而得解.【详解】，若，则，若，则，故答案为：；.【点睛】求出 ，关键在于处理，从而得出，将结论进行一般化，要注意n为奇数还是偶数.20（2021江苏邵伯高级中学高三阶段练习）已知函数（，）为奇函数，其定义域为A当时，恒成立，当且仅当时取等号，则_【答案】-1【分析】先根据奇函数的定义及对数函数的性质求出a的值，再利用基本不等式即可求出的值，代入即可得解【详解】解法一 ：因为函数为奇函数，所以，得，因为，所以，故的定义域因为当时，恒成立，所以，因为，所以，所以，（利用基本不等式求最小值）当且仅当，即时取等号故，解法二：因为函数为奇函数，所以，即，（

18、若奇函数的定义域包含0，则）得，经检验是奇函数，故的定义域因为当时，恒成立，所以，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号故，故答案为：-1四、解答题21（2021上海长宁一模）随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元.（1）若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式；（2）若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，

19、最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）【答案】（1）（2）【分析】（1）根据题意，购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为，进而得年后燃油的总费用是，进而结合题意可得；（2）由题知从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为 ，公比为，进而得年后，养护保险费为，再求平均值即可得答案，最后利用计算器计算可得.（1）解：根据题意，购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元，所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为，所以购买该种型号汽车第年的燃油费用为，所以购买该种型号汽车年后燃油的总费用是，因为每年养护保险费均为万元，所以购买该种型号汽车

20、年后养护费用共万元，所以.（2）解：当时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加，所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为，公比为，所以从第七年起，第年的养护保险费用为，所以购买该种型号汽车年后，养护保险费为，所以当时，使用年后，养护保险费的年平均费用为.经计算器计算得时，最小.22（2021浙江台州一中高三期中）已知等差数列中，前项和为，数列为公比不等于1的等比数列，且满足：，.（1）求与；（2）记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）,；（2）【分析】（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为,由,且满足: ，.可得,联立解出即可得出.（2）,利用“

21、错位相减法”求和，不等式,即,化为:.对n分类讨论,利用数列的单调性即可得出.（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为,且满足: ，.可得,联立解得,；（2），的前n项和,两式相减得,，不等式,即,化为:， 当n为偶数时,，当n为奇数时,解得，对一切恒成立,，实数的取值范围是23（2021四川内江市教育科学研究所一模）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中问题：已知是等差数列，其前n项和为，_，是否存在正整数m，n，使得成立？若存在，求出正整数m，n满足的关系式；若不存在，请说明理由注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分【答案】存在；【分析】设等差数列的公差为d，分别选择、，结

22、合等差数列的通项公式和求和公式，准确计算，即可求解.【详解】解：设等差数列的公差为d，若选择条件：，即，又，即，得，当时，即，存在正整数m，n，当时，使得成立.若选择条件：，由，即，可得，当时，即，存在正整数m，n，当时，使得成立.若选择条件：，即，即，又，即，当时，即，存在正整数m，n，当时，使得成立.24（2021广东执信中学高三期中）已知等差数列的前项和为，且.数列满足.（1）求的值；（2）求数列的前项和，并证明【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）根据题意求得数列的前3项，利用，求得，进而求得的值；（2）求得数列的公差，得到，解得，化简，结合并项法求和，以及数列的单调性，即可求解

23、.（1）解：由题意，等差数列的前项和为，可得，因为，可得，解得，又由，可得，解得，所以.（2）证明：由，所以等差数列的公差为，所以，因为，所以，解得，所以，所以数列的前项和：，又由所以为递增数列，所以，即.25（2021山东省济南市莱芜第一中学高三期中）已知等比数列是递增数列，其公比为q，前n项和为Sn，并且满足，是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求使成立的正整数n的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）依题意得到方程组，解得，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用错位相减法求出，再解方程即可；（1）解：由题可得，则，解得所以.于是有解得或又是递增的数列，故，所以（2）解：由（1）可得，所以，则，得，即数列的前n项和，则，即，解得.26（2021山东泰安一中模拟预测）已知数列的前项和为，且满足.（1）证明数列是等比数列，并求出的通项公式.（2）证明：.【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析【分析】（1）根据递推关系式以及等比数列的定义、等比数列的通项公式即可求解.（2）根据放缩法可得，利用等比数列的前项和公式即可求解.（1）由题意，则，是以为首项，2为公比的等比数列.，则.（2），当时，成立；当时，故， 故.