2023年广东省中考数学冲刺专题练——9三角形.docx

1、2023年广东省中考数学冲刺专题练9三角形一选择题（共13小题）1（2023南山区一模）一副三角形板如图放置，DEBC，CDBE90，E45，A30，则ABD的度数为（）A5B15C20D252（2023广东模拟）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，点N为GE与BD的交点下列结论：GNNE；AECF；BE平分DBC；EFOC其中必定正确的结论是（）ABCD3（2023广东模拟）如图，直线l与m平行，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若220，则1的度数为（）A20B25C30D354（2023南海区校级模拟）如图梯形

2、ABCD中，取AB的中点E，CD的中点F，并连接EF，线段EF与线段AD、BC间的数量关系（）AEFAD+BCBEF=12(AD+BC)CEF=13(AD+BC)DEF=14(AD+BC)5（2023南海区校级模拟）如图所示，能利用图中作法：过点A作BC的平行线，证明三角形内角和是180的原理是（）A两直线平行，同旁内角互补B两直线平行，内错角相等C内错角相等，两直线平行D两直线平行，同位角相等6（2023南海区校级模拟）要使下面的木架不变形，至少需要再钉上几根木条？（）A1条B2条C3条D4条7（2023曲江区校级三模）如图，直线ab，RtABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若

3、115，225，则ABC的大小为（）A40B45C50D558（2023深圳模拟）如图，ABCADB90，DADB，AB与CD交于点E，若BC2，AB4，则点D到AC的距离是（）A556B655C455D5549（2023深圳一模）如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为41，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比ab的值是（）A12B23C34D4510（2023东莞市校级一模）如图，在ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且AFC90，若BC12，AC8，则DF的长为（）A1

4、B2C3D411（2023南海区一模）如图，在等腰ABC中，BC65，DE垂直平分AC，则BCD的度数等于（）A10B15C20D2512（2023东莞市校级一模）如图，在四边形ABCD中，ABACBD，AC与BD相交于H，且ACBDABCD；ABDBAC；AB2+CD2AD2+CB2；ACB+BDA135其中真命题的个数是（）A1B2C3D413（2023深圳一模）在ABC中，ACB90，ACBC，AB10，用尺规作图的方法作线段AD和线段DE，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则BDE的周长是（）A8B52C1522D10二填空题（共9小题）14（2023东莞市一模）如图，ABC中，

5、ABAC，A40，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD，则BCD 15（2023茂南区一模）如图，在第1个A1BC中，B20，A1BCB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2A1D，得到第2个A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3A2E，得到第3个A2A3E，按此方法继续下去，第2021个等腰三角形的底角度数是 16（2023深圳一模）紫砂並是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证要粘

6、贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上图2是正确使用该工具时的示意图如图3，O为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在O上，直线l过点O，且lAB于点D，交O于点C若AB30mm，CD5mm，则这个紫砂壶的壶口半径r的长为 mm17（2023南海区校级一模）如图，将ABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置，已知ABC的面积为25cm2，阴影部分三角形的面积为9cm2，若AA1，则AD的值为 18（2023广东模拟）如图，在ABC中，点E在BC上，点D在AE上，且ABDACD，若补充一个条件，可以使BECE，则可以补充的条件为 （填写“E为BC中点”不得分）19（2023三水区模拟）如图，ABC中，

7、ABAC，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点C，E，再分别以点C与点E为圆心，大于CE长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接BF交AC于点D，若A40，则EBD是 20（2023深圳模拟）如图，已知RtABC中，ACB90，E是AB的中点，过点B作BDAB，交CE的延长线于点D，若BD4，CD8，则AC 21（2023南海区校级模拟）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为 22（2023化州市一模）如图，ABC为等腰三角形，ABAC，AE是BAC的平分线，点D是AB的中点，连接DE，若DE3，则AC的长为 三解答题（共8小题）23（2023天河区一模）已知，如图，

8、在RtACD中，ADC90，CD4，AD3，过A作AMAC，点B在射线AM上、连接BD，交边AC于点E（1）当BCAD时，求AB的长；（2）当CECD时，求AB的长；（3）当BDC是等腰三角形时，求AB的长24（2023禅城区校级一模）如图，已知ABAC，ADAE，BACDAE，且B、D、E三点共线，（1）证明：ABDACE；（2）证明：31+225（2023天河区一模）如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别位于直线AD的两侧，且AD，BE，AFDC求证：ABCDEF26（2023福田区模拟）【问题初探】（1）如图1，等腰RtABC中，ABAC，点D为AB边一点，以BD为腰向下作等

9、腰RtBDE，DBE90连接CD，CE，点F为CD的中点，连接AF猜想并证明线段AF与CE的数量关系和位置关系【深入探究】（2）在（1）的条件下，如图2，将等腰RtBDE绕点B旋转，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由【拓展迁移】（3）如图3，等腰ABC中，ABAC，BAC120在RtBDE中，DBE90，BDE=12BAC连接CD，CE，点F为CD的中点，连接AFRtBDE绕点B旋转过程中，线段AF与CE的数量关系为： ；若BC=413，BD=23，当点F在等腰ABC内部且BCF的度数最大时，线段AF的长度为 27（2023南山区模拟）如图1，在等腰直角三角形ABC中，

10、A90，ABAC，点 D、E分别在边AB、AC上，ADAE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点（1）观察猜想：图1中，线段MN与NP的数量关系是 ，MNP的大小是 ；（2）探究证明：把ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接MP、BD、CE，判断MNP的形状，试说明理由；（3）拓展延伸：把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD1，AB3，请直接写出MNP面积的最大值28（2023南海区校级模拟）已知：如图，点A、D、C、F点在同一直线上，BCEF，BE，BCEF，求证：ADCF29（2023封开县一模）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AF，BCDE，ADCF，求证：（1

11、）ACDF；（2）BE30（2023深圳模拟）（1）如图1，RtABC中，C90，AB10，AC8，E是AC上一点，AE5，EDAB，垂足为D，求AD的长（2）类比探究：如图2，ABC中，AC14，BC6，点D，E分别在线段AB，AC上，EDBACB60，DE2求AD的长（3）拓展延伸：如图3，ABC中，点D，点E分别在线段AB，AC上，EDBACB60延长DE，BC交于点F，AD4，DE5，EF6，DEBD，BCAC= ；BD 2023年广东省中考数学冲刺专题练9三角形参考答案与试题解析一选择题（共13小题）1（2023南山区一模）一副三角形板如图放置，DEBC，CDBE90，E45，A30

12、，则ABD的度数为（）A5B15C20D25【解答】解：RtABC中，A30，ABC60，BCDE，EDBE45，DBC45，ABD604515，故选：B2（2023广东模拟）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，点N为GE与BD的交点下列结论：GNNE；AECF；BE平分DBC；EFOC其中必定正确的结论是（）ABCD【解答】解：E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，EF是OCD的中位线，BG=12AB，EF=12CD，EFCD，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，EFBG，EFBG，四边形BEFG是平行四边形，GN

13、NE，故正确；ACFACD，AECF不符合题意，故错误；BD2AD，BCAD，BOBC，点E是OC的中点，BE平分CBO，故正确；CD与OC的数量关系不确定，故不一定正确，故选：B3（2023广东模拟）如图，直线l与m平行，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若220，则1的度数为（）A20B25C30D35【解答】解：如图，过点B作BDl，直线lm，BDlm，2ABD20，ABC是有一个角是45的直角三角板，CBD45ABD452025，1CBD25故选：B4（2023南海区校级模拟）如图梯形ABCD中，取AB的中点E，CD的中点F，并连接EF，线段EF与线段AD、BC间的数量关

14、系（）AEFAD+BCBEF=12(AD+BC)CEF=13(AD+BC)DEF=14(AD+BC)【解答】解：如图所示，连接AC，与线段EF相交于G，梯形ABCD中，取AB的中点E，CD的中点F，EG是ABC的中位线，FG是ADC的中位线，EF=EG+GF=12BC+12AD=12(BC+AD)，故选：B5（2023南海区校级模拟）如图所示，能利用图中作法：过点A作BC的平行线，证明三角形内角和是180的原理是（）A两直线平行，同旁内角互补B两直线平行，内错角相等C内错角相等，两直线平行D两直线平行，同位角相等【解答】解：根据题意得，EFBC，EABCBA，FACBCA，EAB+BAC+CA

15、F180，CBA+BAC+BCA180，故选：B6（2023南海区校级模拟）要使下面的木架不变形，至少需要再钉上几根木条？（）A1条B2条C3条D4条【解答】解：根据三角形的稳定性可知，要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条故答案选：C7（2023曲江区校级三模）如图，直线ab，RtABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若115，225，则ABC的大小为（）A40B45C50D55【解答】解：如图，作CKaab，CKa，CKb，1315，4225，ACB1+215+2540，CAB90，ABC904050，故选：C8（2023深圳模拟）如图，ABCADB90，DADB，AB与C

16、D交于点E，若BC2，AB4，则点D到AC的距离是（）A556B655C455D554【解答】解：过点D作DFAC，垂足为F，过点D作DGCB，交CB的延长线于点G，ABC90，BC2，AB4，AC=AB2+BC2=42+22=25，ADB90，DADB，DBADAB45，ADBD=AB2=42=22，ABC90，ABG180ABC90，DBG90DBA45，在RtDBG中，DB22，DGDBsin452222=2，ADC的面积ABC的面积+ADB的面积DBC的面积，12ACDF=12ABBC+12ADDB-12BCDG，1225DF=1242+122222-1222，5DF4+42，DF=6

17、55，点D到AC的距离是655，故选：B9（2023深圳一模）如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为41，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比ab的值是（）A12B23C34D45【解答】解：小正方形的面积为1，小正方形的边长为1，ba+1，大正方形的面积为41，a2+b241，a2+（a+1）241，解得a14，a25（不合题意，舍去），ba+15，ab=45，故选：D10（2023东莞市校级一模）如图，在ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且AFC90，若BC12，AC

18、8，则DF的长为（）A1B2C3D4【解答】解：点D、点E分别是AB，AC的中点，DE是ABC的中位线，DE=12BC，BC12，DE6，在RtAFC中，AFC90，点E是AC的中点，AC8，FE=12AC4，DFDEFE642，故选：B11（2023南海区一模）如图，在等腰ABC中，BC65，DE垂直平分AC，则BCD的度数等于（）A10B15C20D25【解答】解：ABCACB65A50，DE垂直平分AC，ADCD，AACD50，BCDACBACD15故选：B12（2023东莞市校级一模）如图，在四边形ABCD中，ABACBD，AC与BD相交于H，且ACBDABCD；ABDBAC；AB2+

19、CD2AD2+CB2；ACB+BDA135其中真命题的个数是（）A1B2C3D4【解答】解：在四边形ABCD中，ABD与BAC不一定相等，故ABCD；ABDBAC都不一定成立，ACBD，RtCDH中，CD2DH2+CH2；RtABH中，AB2AH2+BH2；RtADH中，AD2DH2+AH2；RtBCH中，BC2CH2+BH2；AB2+CD2AD2+CB2，故正确；ACBD，ABH+BAH90，又ABACBD，等腰ABC中，ACB=12（180BAC），等腰ABD中，ADB=12（180ABD），ACB+BDA=12（180BAC）+12（180ABD）180-12（ABH+BAH）18045

20、135，故正确综上所述，真命题的个数是2个，故选：B13（2023深圳一模）在ABC中，ACB90，ACBC，AB10，用尺规作图的方法作线段AD和线段DE，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则BDE的周长是（）A8B52C1522D10【解答】解：ACB90，ACBC，B45，由尺规作图可知，AD平分CAB，DEAB又，ACB90，DEDC，又B45，DEBE，BDE的周长BD+BE+DEBD+CD+BEBC+BEAC+BEAE+BEAB10，故选：D二填空题（共9小题）14（2023东莞市一模）如图，ABC中，ABAC，A40，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD，

21、则BCD30【解答】解：ABC中，ABAC，A40，BBCE=12（180A）=12（18040）70DE垂直平分AC，ADCD，ACDA40BCDACBACD704030故答案为：3015（2023茂南区一模）如图，在第1个A1BC中，B20，A1BCB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2A1D，得到第2个A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3A2E，得到第3个A2A3E，按此方法继续下去，第2021个等腰三角形的底角度数是 （12）202080【解答】解：在CBA1中，B20，A1BCB，BA1C=180-B2=80，A1A2A1D，BA1C是

22、A1A2D的外角，DA2A1=12BA1C=1280；同理可得EA3A2（12）280，FA4A3（12）380，第n个三角形中以An1为顶点的底角度数是（12） n180第2021个等腰三角形的底角度数是（12）202080故答案为（12） 20208016（2023深圳一模）紫砂並是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上图2是正确使用该工具时的示意图如图3，O为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在O上，直线

23、l过点O，且lAB于点D，交O于点C若AB30mm，CD5mm，则这个紫砂壶的壶口半径r的长为 25mm【解答】解：AB30mm，CD5mm，半径rmm，lAB，OD（r5）mm，BD=12AB15mm，OBrmm，根据勾股定理，得（r5）2+152r2，解得r25故答案为：2517（2023南海区校级一模）如图，将ABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置，已知ABC的面积为25cm2，阴影部分三角形的面积为9cm2，若AA1，则AD的值为 1.5【解答】解：如图，SABC25、SAEF9，且AD为BC边的中线，SADE=12SAEF4.5，SABD=12SABC12.5，将ABC沿BC边

24、上的中线AD平移得到ABC，AEAB，DAEDAB，则(ADAD)2=SADESADB，即（ADAD+1）2=4.512.5，解得AD1.5或AD=-38（舍），故答案为：1.518（2023广东模拟）如图，在ABC中，点E在BC上，点D在AE上，且ABDACD，若补充一个条件，可以使BECE，则可以补充的条件为 AE是BAC的平分线（答案不唯一）（填写“E为BC中点”不得分）【解答】解：当补充条件是：AE是BAC的平分线，AE是BAC的平分线，BAECAE，在ABD与ACD中，ABD=ACDBAE=CAEAD=AD，ABD与ACD（AAS），ABAC，ABC是等腰三角形，AE是BC边上的中线

25、，BECE；当补充条件是：BDECDE，可得BAECAE，AE是BAC的平分线，同可得BECE；故答案为：AE是BAC的平分线（答案不唯一）19（2023三水区模拟）如图，ABC中，ABAC，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点C，E，再分别以点C与点E为圆心，大于CE长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接BF交AC于点D，若A40，则EBD是 20【解答】解：ABAC，A40，ACB（18040）270，由题意可知，BCBE，BECACB70，CBE18070240，EBD=12CBE20故答案为：2020（2023深圳模拟）如图，已知RtABC中，ACB90，E是AB的中点，过点B作

26、BDAB，交CE的延长线于点D，若BD4，CD8，则AC655【解答】解：如图所示，过点C作CFAB于点F，设CEx，则DECDCE8x，在RtABC中，点E为AB的中点，AEBECEx，BDAB，EBD90，BE2+BD2DE2，即x2+42（8x）2，解得：x3，AEBECE3，DE835，CFAB，CFECFA90，CFEEBD，又CEFDEB，CFEDBE，CEDE=EFBE=CFBD，即35=EF3=CF4，解得：EF=95，CF=125，AFAEEF=65，CFA90，AC=AF2+CF2=655；故答案为：65521（2023南海区校级模拟）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为

27、1，则阴影部分的面积为 163【解答】解：如下图，AOBDOC，AB2，CD4，SAOB：SDOCAB2：CD21：4，设SAOBx，则SDOC4x，CDB与ABD同底，SCDB：SABDCD：AB2：1，令SOBDa，则有，SABDSAOB+SOBDx+a，SCDBSDOC+SOBD4x+a，SCDB：SABDCD：AB2：1，（4x+a）：（x+a）2：1，解得a2x，SCDBSDOC+SOBD4x+a4x+2x6x，SCDB=12CDBD=12448，6x8，解得x=43，SDOC4x，SDOC4x443=163，阴影部分的面积为163故答案为：16322（2023化州市一模）如图，AB

28、C为等腰三角形，ABAC，AE是BAC的平分线，点D是AB的中点，连接DE，若DE3，则AC的长为 6【解答】解：ABAC，AE是BAC的平分线，AEBC，AEB90，点D是AB的中点，DE=12AB，AB2DE236，AC6故答案为：6三解答题（共8小题）23（2023天河区一模）已知，如图，在RtACD中，ADC90，CD4，AD3，过A作AMAC，点B在射线AM上、连接BD，交边AC于点E（1）当BCAD时，求AB的长；（2）当CECD时，求AB的长；（3）当BDC是等腰三角形时，求AB的长【解答】解：（1）如图，在RtACD中，ADC90，由勾股定理得，AC=32+42=5，ADBC，

29、DACACB，ABAC，BACADC90，ACBDAC，ABDC=ACAD，AB4=53，AB=203；（2）CECD，CEDCDE，AEBCED，AEBCDE，BACADC90，ABEADE，ABAD3；（3）CBACCD，CBCD，当BCBD时，作BFCD于F，交AC于点G，则BFAD，AG=12AC=52，AGBDAC，BAGADC，AGBDAC，ABAG=CDAD，AB52=43，AB=103，当DBDC时，作BHAD，交DA的延长线于H，则HBACADC90，DAC+ACDHAB+CAD90，BAHACD，tanHABtanACD=34，设HB3x，AH4x，则AB5x，在RtBHD

30、中，由勾股定理得，（4x+3）2+（3x）242，解得x=-24127650=-1231925，x0，x=-12+31925，AB5x=-12+3195，综上：AB=103或-12+319524（2023禅城区校级一模）如图，已知ABAC，ADAE，BACDAE，且B、D、E三点共线，（1）证明：ABDACE；（2）证明：31+2【解答】证明：（1）BACDAE，BACDACDAEDAC，即BAD1，在ABD与ACE中，AB=ACBAD=1AD=AE，ABDACE（SAS）；（2）由（1）可知，ABDACE，ABD2，3BAD+ABD1+225（2023天河区一模）如图，点A，F，C，D在同一

31、直线上，点B和点E分别位于直线AD的两侧，且AD，BE，AFDC求证：ABCDEF【解答】证明：AFDC，AF+FCDC+FC，即ACDF，在ABC与DEF中，A=DB=EAC=DF，ABCDEF（AAS）26（2023福田区模拟）【问题初探】（1）如图1，等腰RtABC中，ABAC，点D为AB边一点，以BD为腰向下作等腰RtBDE，DBE90连接CD，CE，点F为CD的中点，连接AF猜想并证明线段AF与CE的数量关系和位置关系【深入探究】（2）在（1）的条件下，如图2，将等腰RtBDE绕点B旋转，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由【拓展迁移】（3）如图3，等腰ABC中

32、，ABAC，BAC120在RtBDE中，DBE90，BDE=12BAC连接CD，CE，点F为CD的中点，连接AFRtBDE绕点B旋转过程中，线段AF与CE的数量关系为：CE=23AF；若BC=413，BD=23，当点F在等腰ABC内部且BCF的度数最大时，线段AF的长度为 573【解答】解：（1）理由：AF=12CE，AFCE，理由如下：如图，延长AF交CE于点P，ABC为等腰直角三角形，ABAC，ABC45，BDE为等腰直角三角形，DBE90，DBEB，DBCEBC45，又BCBC，DBCEBC（SAS），CDCE，在RtADC中，点F为斜边CD的中点，AF=12CD，AF=12CE，设DC

33、B，则ACF45，DBCEBC，FCP2DCB2，在RtADC中，点F为斜边CD的中点，AFFC，ACFFAC45，PFCACF+FAC902，FPC180PFCFCP180（902）90，AFCE；（2）结论AF=12CE，AFCE，仍然成立，理由如下：如图，取BC的中点O，连接AO，OF，延长AF分别交BC，CE于点K，H，点F，O分别是CD，BC的中点，BD2OF，BDBE，BE2OF，在等腰RtABC中，点O是BC的中点，BC2BO2AO，AOBC，OFBE=OABC=12，点F，O分别是CD，BC的中点，OFBD，FOCDBC，AOF90FOC，CBEDBEDBC90DBC90FOC

34、，AOFCBE，AOFCBE，AFCE=12，即AF=12CE，AOFCBE，OAFBCE，在AOK和CKH中，OAKKCH，AKOCKH，CHKAOK90，即AFCE综上：AF=12CE，AFCE；（3）如图，取BC的中点O，连接AO，OF，延长AF分别交BC，CE于点K，HBAC120，BDE=12BAC，BDE60，DBE90，BED30，DE2BD，BE=3BD，点F，O分别是CD，BC的中点，BD2OF，OFBD，BE=23OF，在等腰ABC中，点O是BC的中点，BAC120，BC2BO2AO，AOBC，ABO30，AB2OA，OB=3OA，即BC=23OA，OFBE=OABC=12

35、3，点F，O分别是CD，BC的中点，OFBD，FOCDBC，AOF90FOC，CBEDBEDBC90DBC90FOC，AOFCBE，AOFCBE，AFCE=OABC=123，CE=23AF；故答案为：CE=23AF；BC=413，BD=23，点D在以点B为圆心，BD长为半径的圆上运动，当BDCD时，FCB最大，过点E作EHCD，BDHDBEDHE90，四边形BDHE为矩形，DH=BE，EH=BD=23，在RtBDC中，CD=BC2-BD2=(413)2-(23)2=14，在RtBDE中，BD=23，BE=3BD，DH=BE=3BD=6，HCCDDHCDBE8，在RtEHC中，CE=HE2+CH

36、2=219，由得：CE=23AF，AF=123CE=1357故答案为：57327（2023南山区模拟）如图1，在等腰直角三角形ABC中，A90，ABAC，点 D、E分别在边AB、AC上，ADAE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点（1）观察猜想：图1中，线段MN与NP的数量关系是MNNP，MNP的大小是 90；（2）探究证明：把ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接MP、BD、CE，判断MNP的形状，试说明理由；（3）拓展延伸：把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD1，AB3，请直接写出MNP面积的最大值【解答】解：（1）ABAC，ADAE，BDCE，点M、N、P分别为D

37、E、BE、BC的中点，MN=12BD，PN=12CE，MNAB，PNAC，MNPN，ENMEBA，ENPAEB，MNE+ENPABE+AEB，ABE+AEB180BAE90，MNP90，故答案为：MNNP，90（2）MNP是等边三角形，理由如下：由旋转得：BADCAE，又ABAC，ADAE，ABDACE（SAS），BDCE，ABDACE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，MN=12BD，PN=12CE，MNBD，PNCE，MNPN，ENMEBD，BPNBCE，ENPNBP+NPBNBP+ECB，EBDABD+ABEACE+ABE，MNPMNE+ENPACE+ABE+EBC+EBCECB

38、180BAC60，MNP是等边三角形；（3）由三角形三边关系可知：BDAB+AD，即BD4，BD的最大值为4，由（2）知：MNP是等边三角形，MN=12BD，MN2时，SMNP最大，SMNP最大为：3422=328（2023南海区校级模拟）已知：如图，点A、D、C、F点在同一直线上，BCEF，BE，BCEF，求证：ADCF【解答】证明：BCEF，BCAF，在ABC和DEF中，BCA=FB=EBC=EF，ABCDEF（ASA），ACDF，ACDCDFDC，即ADCF29（2023封开县一模）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AF，BCDE，ADCF，求证：（1）ACDF；（2）BE【解答】证

39、明：（1）ADCF，ADCDCFCD，ACDFBCDE，BCDEDC，180BCD180EDC，ACBFDE，在ACB和FDE中，A=FAC=FDACB=FDE，ACBFED（ASA），ACDF；（2）由（1）知ABCFDE，BE30（2023深圳模拟）（1）如图1，RtABC中，C90，AB10，AC8，E是AC上一点，AE5，EDAB，垂足为D，求AD的长（2）类比探究：如图2，ABC中，AC14，BC6，点D，E分别在线段AB，AC上，EDBACB60，DE2求AD的长（3）拓展延伸：如图3，ABC中，点D，点E分别在线段AB，AC上，EDBACB60延长DE，BC交于点F，AD4，DE

40、5，EF6，DEBD，BCAC=59；BD559【解答】解：（1）ADEC90，AA，ADEACB，ADAC=AEAB，AB10，AC8，AE5，AD8=510，解得：AD4，故答案为：4；（2）如图2，在AC上截取CHCB，连接BH，ACB60，BCH为等边三角形，CHBHBC6，CHB60，AHACCH8，AHB120，EDB60，ADE120，ADEAHB，AA，ADEAHB，DEBH=ADAH，即26=AD8，解得：AD=83；（3）过点B作BMDE于点M，过点E作ENAB于点N，BMDBMEANE90，EDN60，DEN30，DN=12DE=52，则EN=DE2-DN2=523，ANAD+DN4+52=132，设DMa，BDM60，DMB30，MBD30，BD2a，BM=BD2-DM2=3a，DE5，EF6，MFDE+EFDM11a，BCAF+FEC，BDEA+AED，AEDFEC，BCABDE，AF，AENFBM，NEBM=ANMF=AEBF，即5233a=13211-a=61BF，解得：a=5518，BD2a=559，ABCDBF，ACBBDF60，ABCFBD，BCAC=BDDF=55911=59，故答案为：59，559