24.6 切线的判定和性质【九大题型】（人教版）（学生版）.docx

1、专题24.6 切线的判定和性质【九大题型】【人教版】【题型1 有关切线的说法辨析】1【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】2【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】3【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】4【题型5 利用切线的性质求线段长度】6【题型6 利用切线的性质求角度大小】7【题型7 利用切线的性质证明】8【题型8 切线的判定与性质的综合运用】9【题型9 过圆外一点作圆的切线】11【知识点 切线的判定】（1）切线判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法） 如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的

2、切线（2）切线判定常用的证明方法：知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径【题型1 有关切线的说法辨析】【例1】（2023春山东日照九年级统考期中）如图，点B在A上，点C在A外，以下条件不能判定BC是A切线的是（）AA50，C40BBCACAB2+BC2AC2DA与AC的交点是AC中点【变式1-1】（2023春九年级课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（）A与圆有公共点的直线B经过半径外端的直线C垂直于圆的半径的直线D与圆心的距离等于半径的直线【变式1-2】（2023春西藏拉萨九年级校考期末）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）A经

3、过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线【变式1-3】（2011秋湖北黄冈九年级统考期末）如图，已知AB、AC分别为O的直径和弦，D为BC 的中点，DE垂直于AC的延长线于E，连接BC，若DE=6cm，CE=2cm，下列结论一定错误的是()ADE是O的切线B直径AB长为20cmC弦AC长为16cmDC为AD 的中点【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】【例2】（2023春北京九年级统考期末）在下图中，AB是O的直径，要使得直线AT是O的切线，需要

4、添加的一个条件是 （写一个条件即可）【变式2-1】（2023春山东德州九年级统考期中）如图，A、B是O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果AOB=120，那么当CAB的度数等于 度时，AC才能成为O的切线【变式2-2】（2023春河南信阳九年级统考期中）如图，在RtABC中，ACB=90，以AC为直径作O交AB于D点，连接CD（1）求证：A=BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与O相切？并说明理由【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】【例3】（2023春江西宜春九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，在中，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别

5、交，于点E，F(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径【变式3-1】（2023春全国九年级专题练习）如图，中，以为直径的交于点，点在上，的延长线交于点F(1)求证：与相切；(2)若的半径为3，求的长【变式3-2】（2023春江西九江九年级校考期中）如图，为的直径，C为上一点，P为延长线上的一点，使得(1)求证：是的切线(2)F为上一点，且经过的中点E求证：；若，求的半径长【变式3-3】（2023春江苏无锡九年级统考期中）如图，已知半径为的经过轴上一点，与轴交于、两点，连接、，平分，(1)判断与轴的位置关系，并说明理由；(2)求的长【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】【例4】（202

6、3春山东日照九年级日照市新营中学校考期中）如图，在四边形ABCD中，ABC90，ADBC，CBCD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作B，交BD于点E（1）试判断CD与B的位置关系，并说明理由（2）若AB6，BDC60，求图中阴影部分的面积【变式4-1】（2023江西南昌九年级期末）如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点. （1）求证：与相切. （2）若正方形的边长为1，求半径的长.【变式4-2】（2023武汉模拟）如图，在RtABC中，B90，BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DEDC，以D为圆心，DB长为半径作D，AB5，EB3（1）求证：AC是D的切线

7、；（2）求线段AC的长【变式4-3】（2023椒江区一模）如图，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与O相切于点D求证：AC是O的切线【知识点2 切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型5 利用切线的性质求线段长度】【例5】（2023春河南九年级校联考期末）如图，AB为O的直径，C，E是O上不同于A，B的两点，过点C的切线垂直于AE交AE的延长线于点D，连接AC(1)求证：EC=BC；(2)若AC=43，CE=33，则CD的长为_【变式5-1】（2023春北京西城九

8、年级北师大实验中学校考开学考试）如图，AB是O的直径，点C在O上，过点C作O的切线l，过点B作BDl于点D(1)求证：BC平分ABD；(2)连接OD，若ABD=60，CD=3，求OD的长【变式5-2】（2023春广东韶关九年级校考期末）如图，已知ABC内接于O，AB是O的直径，点F在O上，且点C是弧BF的中点，过点C作O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点(1)求证：AEDE；(2)若D=30，AE=3，求CD的长【变式5-3】（2023春广东汕头九年级统考期末）如图，AB是O的直径，点C是O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，G是ACB的

9、内心，连接CG并延长，交O于E，交AB于点F，连接BE(1)求证：AC平分DAB；(2)连接BG，判断EBG的形状，并说明理由；(3)若BC=22，AC=42，求线段EC的长【题型6 利用切线的性质求角度大小】【例6】（2023春重庆南岸九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，AC是O的直径，AB，BC是O的弦，CD是O的切线，C为切点，OD与O交于点E若点C为BE的中点，D=32，则ACB的度数为（）A56B58C61D68【变式6-1】（2023春河南信阳九年级校联考期末）如图，AB是O的直径，点P是O外一点，PO交O于点C，连接BC，PA若P=36，且PA与O相切，则此时B等于（）A2

10、7B32C36D54【变式6-2】（2023春广东梅州九年级校考开学考试）如图：P是O的直径CD的延长线上一点，PA是O的切线，A为切点，P=40，则ACP= 【变式6-3】（2023春江西宜春九年级江西省丰城中学校考期末）如图，点A，B在圆O上，且AOB30，点P是射线OB上一动点（不与点O重合），连接AP，将APO沿AP折叠得到APO，当APO的边所在的直线与圆O相切时，OPA的度数为 【题型7 利用切线的性质证明】【例7】（2023春河北邢台九年级校联考期末）如图，BD是O的直径，BA是O的弦，过点A的切线交BD的延长线于点C，AB=AC求证：ACOABD【变式7-1】（2023春河南驻

11、马店九年级统考期中）如图所示，AB是O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CEOB，交O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AFPC于点F，连接CB.试证明：(1)CB是ECP的角平分线；(2)CF=CE【变式7-2】（2023春广东江门九年级统考期末）如图，点A、B、C在O上，直线l与O相切于点A(1)试问：1与ACB有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)如果我们把形如1这样的角称为“弦切角”，请你用文字表述你在（1）中得出的结论【变式7-3】（2023安徽九年级统考期中）已知：如图，点P是O外一点，过点P分别作O的切线PA、PB，切点为点A、B，

12、连接OA，过点O作ODPA交PB于点D，过点D作DCPA于C.（1）求证：四边形OACD是矩形；（2）若P=45，O的半径为r，试证明四边形OACD的周长等于2(2+1)r.【题型8 切线的判定与性质的综合运用】【例8】（2023春湖北九年级期末）AB为O的直径，PA为O的切线，BCOP交O于C，PO交O于D，（1）求证：PC为O的切线；（2）过点D作DEAB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DFFG，DF5，CG6，求O的半径【变式8-1】（2023春湖北随州九年级统考期末）如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D，E是AB上一点，以CE为直径的O交BC于点F，连接DO，且

13、DOC90（1）求证：AB是O的切线；（2）若DF2，DC6，求BE的长【变式8-2】（2023春河南周口九年级淮阳第一高级中学校考期末）如图，PBC=30，点O是线段PB的一个三等分点，以点O为圆心，OB为半径的圆交PB于点A，交BC于点E，连接PE.(1)求证:PE是O的切线；(2)点D为O上的一动点，连接OD.当AOD= 时，四边形BEPD是菱形;当AOD= 时，四边形ADBE是矩形.【变式8-3】（2023春湖北九年级期末）已知AB是O的直径，AC是弦，BAC的角平分线交O于点D，DEAC于E（1）如图（1）求证：DE是O的切线；（2）如图（1）若AB10，AC6，求ED的长；（3）如

14、图（2）过点B作O的切线，交AD延长线于F，若EDDF，求EDAD的值【题型9 过圆外一点作圆的切线】【例9】（2023北京海淀九年级期末）已知：点A，B，C在O上，且BAC=45求作：直线l，使其过点C，并与O相切作法：连接OC；分别以点B，点C为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于O外一点D；作直线CD直线CD就是所求作直线l(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明证明：连接OB，BD，OB=OC=BD=CD，四边形OBDC是菱形，点A，B，C在O上，且BAC=45，BOC=_（_）（填推理的依据）四边形OBDC是正方形，OCD=90，即OCCD，OC为O半径

15、，直线CD为O的切线（_）（填推理的依据）【变式9-1】（2023天津和平统考三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A在格点上，点B在格点上，圆心在线段AB上，圆与网格线相交于点C，过点C作圆的切线与网格线交于点P（1）AB= ；（2）过点P作圆的切线，切点为M（点M不与点C重合）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） 【变式9-2】（2023春江苏宿迁九年级统考期中）已知：O和O外一点P(1)如图甲，PA和PB是O的两条切线，A、B分别为切点，求证：PA=PB；(2)尺规作图：在图乙中，过P点作O的两条切线PE、PF、E、F为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）【变式9-3】（2023北京海淀九年级期末）按要求作图：(1)如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，利用无刻度直尺画出这个圆的一条直径；(2)如图2，BA，BD是O中的两条弦，C是BD上一点，BAC=50，利用无刻度直尺在图中画一个含有50角的直角三角形；(3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作O（不写作法，保留作图痕迹）；(4)如图4，AB与圆相切，且切点为点B，利用无刻度直尺在网格中找出点B的位置