24．1.2　垂直于弦的直径.docx

1、241.2垂直于弦的直径01教学目标1理解圆的对称性2通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质3能运用垂径定理计算和证明实际问题02预习反馈阅读教材P8183内容，并完成下列问题1圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心为圆心2垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即如图，CD是O的直径，且ABCD，AEBE；3推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，即如图，CD是O的直径，且AEBE(AB不是直径)，CDAB；03新课讲授知识点1垂径定理例1(教材补充例题)已知O的半径为5 cm.(1)若圆心O到弦

2、AB的距离为3 cm，则弦AB的长为8_cm；(2)若弦AB的长为8 cm，则圆心O到AB的距离为3_cm【点拨】(1)圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个(2)“已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂直”或“连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形”是常用的辅助线例2(例1的变式题)已知：如图，线段AB与O交于C，D两点，且OAOB.求证：ACBD.【解答】证明：作OEAB于E.则CEDE.OAOB，OEAB，AEBE.AECEBEDE，即ACBD.【点拨】过圆心作垂径是圆中常用辅助线【跟踪训练1】若O的半径OA5 cm，弦AB8 cm，点C是AB的中点，则OC的长为3

3、_cm【跟踪训练2】已知AB是O的直径，弦CDAB，E为垂足若AE9，BE1，求CD的长解：连接OC.AE9，BE1，半径OC5，OE4.弦CDAB，在RtOCE中，CE3.又AB是O的直径，弦CDAB，CD2CE6.【跟踪训练3】O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为3，最大值为5【点拨】当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)；当M在A(或B)处时，OM最大知识点2垂径定理的实际应用例3(教材P82例2)赵州桥(如图)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m，

4、拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)【思路点拨】解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形【解答】如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高由题设可知AB37 cm，CD7.23 cm，所以ADAB3718.5(cm)，ODOCCDR7.23.在RtOAD中，由勾股定理，得OA2AD2OD2，即R218.52(R7.23)2.解得R27.3.因此，赵州桥的主桥拱直径约为27.3 m.【点拨】圆中已知半径、弦长、

5、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个【跟踪训练4】(教材P82例2的变式题)某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为8米04巩固训练1在直径是20 cm的O中，AOB的度数是60，那么弦AB的弦心距是5_cm【点拨】这里利用60角构造等边三角形，从而得出弦长2弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为_cm3如图，AB为O的直径，E是中点，OE交BC于点D，BD3，AB10，则AC84(24.1.2习题变式)O的半径是5，P是圆内一点，且OP3，过点P最短弦的长为8，最长弦的长为10【点拨】过点P最短弦即为与OP垂直的弦，

6、最长弦即为直径5(24.1.2习题变式)已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点求证：ACBD.【点拨】过圆心作垂径证明：过点O作OEAB于点E.则AEBE，CEDE.AECEBEDE，即ACBD.6已知O的直径是50 cm，O的两条平行弦AB40 cm，CD48 cm，求弦AB与CD之间的距离【点拨】分情况讨论：AB，CD在点O两侧；AB，CD在点O同侧解：过点O作直线OEAB于点E，直线OE与CD交于点F.又ABCD，OFCD.当AB，CD在点O两侧时，如图1.连接AO，CO，则AOCO25 cm，AE20 cm，CF24 cm.由勾股定理知OE15 cm，OF7 cm.EFOEOF22 cm，即AB与CD之间的距离为22 cm；图1图2当AB，CD在点O同侧时，如图2.连接AO，CO.则AOCO25 cm，AE20 cm，CF24 cm.由勾股定理知OE15 cm，OF7 cm.EFOEOF8 cm，即AB与CD之间的距离为8 cm.综上所述，AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.05课堂小结1垂径定理及其推论2常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)