3.2.1 双曲线及其标准方程（教学设计）-【新教材精创】 2022-2023学年高二数学同步备课 (人教A版2019选择性 必修第一册).docx

1、3.2.1双曲线及其标准方程教学设计本小节内容选自普通高中数学选择性必修第一册人教A版（2019）第二章圆锥曲线的方程的第二节双曲线。以下是本节的课时安排：第三章 圆锥曲线的方程课时内容3.2.1双曲线及其标准方程3.2.2双曲线的简单几何性质所在位置教材第118页教材第121页新教材内容分析双曲线是生产生活中的常见曲线，教材在用拉链画双曲线的过程中，体会双曲线的定义，感知双曲线的形状，为选择适当的坐标系，建立双曲线的标准方程、研究双曲线的几何性质做好铺垫。通过对双曲线标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数

2、运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。核心素养培养通过双曲线的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对双曲线的定义理解，培养数学抽象的核心素养。通过双曲线的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与双曲线的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。教学主线双曲线的标准方程、几何性质学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,培养数学抽象的核心素养2.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.重点：双曲线

3、的定义及双曲线的标准方程 难点：运用双曲线的定义及标准方程解决相关问题 （一）新知导入 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。 （二）双曲线及其标准方程知识点一 双曲线的定义【探究1】取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？【提示】如图，曲线上的点满足条件：|MF1|MF2|常数；如果改变一下位置，使|MF2|MF1|常数，可得到另一条曲线双曲线的定义定义平面内

4、与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线焦点两个定点叫做双曲线的焦点焦距两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合语言PM|MF1|MF2|2a,02a0)，那么双曲线的焦点F1，F2的坐标分别是(c,0)，(c,0)(3)列式：由|MF1|MF2|2a，可得 2a.(4)化简：移项，平方后可得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2)令c2a2b2，得双曲线的标准方程为1(a0，b0)双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2ca、b

5、、c的关系c2a2b2【思考3】怎样区分焦点在不同位置的两类双曲线的方程？它与椭圆的区分方法有何不同？【提示】椭圆由分母常数的大小判定，双曲线由各项前面的符号判定.【思考4】双曲线的标准方程与椭圆的标准方程在形式上有什么区别？、之间的关系有何不同？【提示】、之间的关系：椭圆是，双曲线是（记忆方法：椭圆的焦点在顶点之内，所有；双曲线焦点在顶点之外，所有）【做一做1】双曲线1的焦距为()A3B4C3 D4答案：D【做一做2】已知双曲线a5，c7，则该双曲线的标准方程为_解析：a5，c7，b2，当焦点在x轴上时，双曲线方程为1；当焦点在y轴上时，双曲线方程为1.答案：1或1（三）典型例题1.求双曲线

6、的标准方程例1.根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)经过点P(3，)，Q(，5)；(2)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上分析可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b的方程组，求得a，b，从而求得双曲线的标准方程注意对平方关系c2a2b2的运用解析(1)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，由于点P(3，)和Q(，5)在双曲线上，所以解得 (舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，将P、Q两点坐标代入可得解得所以双曲线的标准方程为1.综上，双曲线的标准方程为1.法二：设双曲线方程为1(mn0，b0)则有解得求双曲线的标准方程为y21.法二焦点在x轴上，c，

7、设所求双曲线方程为1(其中06)1，5或30(舍去)所求双曲线的标准方程是y21.【类题通法】用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x轴上；(2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax2By21(AB0)；(3)定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程【巩固练习1】已知双曲线过M(1,1)，N(2,5)两点，求双曲线的标准方程解析 设双曲线的方程为Ax2By21(AB0)双曲线过M(1,1)，N(2,5)，解得双曲线的标准方程为1.2.双曲线标准方程的

8、识别例2.(1)若曲线1表示双曲线，则k的取值范围是()A4,1)B(，4)(1，)C(4,1) D(，41，)(2)3m5是方程1表示的图形为双曲线的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：(1)根据题意，若曲线1表示双曲线，则有(k4)(k1)0，解得4k1.(2)3m5时，m50，方程1表示焦点在y轴的双曲线；若方程1表示的图形为双曲线，则(m5)(m2m6)0，所以3m5或m2，所以3m1，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆 B焦点在y轴上的椭圆C焦点在y轴上的双曲线 D焦点在x轴上的双曲线解析：原方程化

9、为1，k1，k210，k10.方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线答案：C3.双曲线的定义及应用例3.设双曲线1，F1、F2是其两个焦点，点P在双曲线右支上. 若F1PF290，求F1PF2的面积分析用双曲线定义及余弦定理求出|PF1|PF2|.解析由双曲线方程知a2，b3，c，设|PF1|r1，|PF2|r2(r1r2)，如图所示由双曲线定义，有r1r22a4，两边平方得rr2r1r216.F1PF290，rr4c24()252.2r1r2521636，SF1PF2r1r29.【类题通法】双曲线中的焦点三角形：双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形令|

10、PF1|r1，|PF2|r2，F1PF2，因|F1F2|2c，所以有(1)定义：|r1r2|2a.(2)余弦公式：4c2rr2r1r2cos .(3)面积公式：SPF1F2r1r2sin .一般地，在PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决【巩固练习3】若F1，F2是双曲线1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积解析 由双曲线方程1，可知a3，b4，c5.由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a6，将此式两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.如图所示，在F

11、1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF20，F1PF290，SF1PF2|PF1|PF2|3216.所以SPF1F2|PF1|F1F2|sin 1202，即PF1F2的面积是.4. 与双曲线有关的轨迹问题例4.已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.|MA|MB|，|MC2|MC1|BC2|AC1|312.这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2，且2| C1C2|.根据双曲线的定

12、义，动点M的轨迹为双曲线的左支，则2a2，a1，c3，b2c2a28.因此所求动点M的轨迹方程为x21(x1)【类题通法】求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法(1)列出等量关系，化简得到方程(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程提醒：双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支【巩固练习4】如图所示，在ABC中，已知|AB|4，且三个内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程解析以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(2，0)，B(2，0)由正弦定理，得s

13、in A，sin B，sin C(R为ABC的外接圆半径)2sin Asin C2sin B，2|BC|AB|2|AC|，即|AC|BC|2a)，a，c2，b2c2a26.即所求轨迹方程为1(x)（四）操作演练 素养提升1.平面内有两个定点F1(5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|PF2|6，则动点P的轨迹方程是()A.1(x4) B.1(x3) C.1(x4) D.1(x3)解析：由已知动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，且a3，c5，b2c2a216，所求轨迹方程为1(x3)答案：D2.方程1表示双曲线，则m的取值范围为()A2m2Bm0Cm0 D|m|2解析：已知方

14、程表示双曲线，(2m)(2m)0.2m2.答案：A3.若双曲线E：1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11 B9C5 D3解析：由题意知|PF2|3|6，即|PF2|36，解得|PF2|9或|PF2|3(舍去)答案：B4.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(，0)，点P在双曲线上，且PF1PF2，PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 Dx21解析：由(|PF1|PF2|)216，即2a4，解得a2，又c，所以b1，故选C.答案：C答案：1.D 2.A 3.B 4.C 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第121页 练习 第1，2，3,4题 第127 页 习题3.2 第1,2,5,6,7题