3.2.2 第2课时 直线与双曲线的位置关系（学案）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、3.2.2第2课时 直线与双曲线的位置关系【学习目标】课程标准学科素养1.掌握直线与双曲线的位置关系及其判定方法2.会求直线和双曲线相交的弦长.3.能够解决弦中点问题.1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理【经典例题】题型一 直线与双曲线的位置关系点拨：直线与双曲线位置关系的判定方法通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2bxc0的形式，1.在a0的情况下考查方程的判别式0时，直线与双曲线有两个不同的公共点0时，直线与双曲线只有一个公共点0，b0)与直线y2x无交点，则离心率e的取值范围是()A(1，2)B(1，2 C(1，) D(1，题型二 弦长问题点拨：求弦长的两种方法1.

2、距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长2.弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：ykxb(k0)与双曲线C：1(a0，b0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.注意：当直线经过双曲线的焦点且斜率不存在时，不能利用弦长公式求解，此时的弦是双曲线的通径，可以直接利用通径公式求解例2 已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)(1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长【跟踪训练】2 斜率为2的直线l与双曲线1

3、相交于A，B两点，且|AB|4，则直线l的方程为_题型三 中点弦问题点拨：中点弦问题解决方法方法1：可以将联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解；方法2：可以用点差法和中点坐标公式求解设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线1(a0，b0)上不同的两点，且x1x2，x1x20，M(x0，y0)为线段AB的中点，则两式相减可得，即kAB.例3 过点P(8,1)的直线与双曲线x24y24相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为 【跟踪训练】3 已知直线l：xym0与双曲线x21交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2y25上，则实数m的值是_【当堂达标】1.过双曲

4、线x21的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|4，则这样的直线l有( )A1条 B2条 C3条 D4条2.过双曲线x21的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则|AB|_.3.若直线ykx与双曲线4x2y216相交，求实数k的取值范围4.过点P(，5)且与双曲线1有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程.5.已知双曲线y21，求过点A (3，1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程6.已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为

5、，求实数k的值【参考答案】【经典例题】例1 联立消去y得，(1k2)x22k2xk240(*)(1)当1k20，即k1时，直线l与双曲线渐近线平行，方程化为2x5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点(2)当1k20，即k1时，(2k2)24(1k2)(k24)4(43k2)即k，且k1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点即k时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且仅有一个公共点即k，或k时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点综上所述，当k1，或1k1，或1k时，直线与双曲线有两个公共点；当k1，或k时，直线与双曲线有且

6、只有一个公共点；当k，或k时，直线与双曲线没有公共点【跟踪训练】1 D 解析：由题意可得，2，所以e.又e1，所以离心率e的取值范围是(1，.例2 解：(1)设双曲线方程为1(a，b0)，由已知可得左、右焦点F1，F2的坐标分别为(2,0)，(2,0)，则|PF1|PF2|22a，所以a1，又c2，所以b，所以双曲线方程为x21.(2)题意可知直线m的方程为yx2，联立双曲线及直线方程消去y得2x24x70，设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x22，x1x2，由弦长公式得|AB|x1x2|6.【跟踪训练】2 y2x 解析：设直线l的方程为y2xm，A(x1，y1)，B(x2

7、，y2)把y2xm代入双曲线的方程2x23y260，得10x212mx3m260.故x1x2m，x1x2.由已知，得|AB|2(14)(x1x2)24x1x216.把代入，解得m.直线l的方程为y2x.例3 2xy150 解：设A、B坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x4y4，x4y4，得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，P是线段AB的中点，x1x216，y1y22，2直线AB的斜率为2，直线AB的方程为2xy150【跟踪训练】3 1 解析：由消去y得x22mxm220.则4m24m288m280.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22m，y1y2x1

8、x22m4m，所以线段AB的中点坐标为(m，2m)又点(m，2m)在x2y25上，所以m2(2m)25，得m1.【当堂达标】1.C 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x，由得y2，|AB|y1y2|4满足题意当直线l的斜率存在时，其方程为yk(x)，由得(2k2)x22k2x3k220当2k20时，x1x2，x1x2，|AB|4，解得k，故这样的直线有3条2. 3 解析：双曲线的左焦点为(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB方程为y(x2)，即xy20，由得8y212y90，则y1y2，y1y2.|AB|3.3. 解：易知k2，将ykx

9、代入4x2y216得关于x的一元二次方程(4k2)x2160，由0可得2k2.4.解：若直线的斜率不存在，则直线方程为x，此时仅有一个交点(，0)，满足条件若直线的斜率存在，设直线的方程为y5k(x)，则ykx5k，代入到双曲线方程，得1，所以25x27(kx5k)2725，(257k2)x272kx(5k)7(5k)27250.当k时，方程无解，不满足条件当k时，方程25x10875有一解，满足条件当k时，令14k(5k)24(257k2)7(5k)21750，化简后知方程无解，所以不满足条件所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为x和yx10.5.解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

10、M，N均在双曲线上，两式相减，得yy，.点A平分弦MN，x1x26，y1y22.kMN.经验证，该直线MN存在所求直线MN的方程为y1(x3)，即3x4y50.6.解：(1)联立方程组消去y并整理得(1k2)x22kx20.直线与双曲线有两个不同的交点，则解得k，且k1.若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为(，1)(1,1)(1，)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于(1)中的方程(1k2)x22kx20，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，|AB|x1x2|.又点O(0,0)到直线ykx1的距离d，SAOB|AB|d，即2k43k20，解得k0或k.实数k的值为或0.