3.4.1圆周角定理及其推论1.docx

1、4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理及其推论1关键问答圆周角和圆心角的顶点位置有何区别？同一段弧所对的圆心角和圆周角又有什么关系？ 一条弧所对的圆周角有多少个？这些圆周角的大小有怎样的关系？1如图341，A，B，C是O上的三点，且ABC70，则AOC的度数是()图341A35 B140 C70 D70或1402如图342，点A，B，C，D都在O上，AC，BD相交于点E，则ABD与下列哪个角相等()图342AACD BADB CAED DACB32019哈尔滨如图343，O中，弦AB，CD相交于点P，A42，APD77，则B的度数是()图343A43 B35 C34 D44命题点 1利用圆周

2、角定理进行计算或证明热度：96%4.如图344，在O中，O为圆心，点A，B，C在圆上，若OAAB，则ACB的度数为()图344A15 B30 C45 D60方法点拨解决圆中与圆周角有关的问题，常找出同弧所对的圆心角，通过圆心角和圆周角的关系找到解题的途径5如图345，AOB100，点C在O上，且点C不与点A，B重合，则ACB的度数为()图345A50 B80或50 C130 D50或130易错警示点C的位置固定吗？有几种不同的情况？62019菏泽如图346，在O中，OCAB，ADC32，则OBA的度数是()图346A64 B58 C32 D267.如图347，O的半径为6，点A，B，C在O上，

3、且ACB45，则弦AB的长是_图347命题点 2利用圆周角定理的推论1进行计算或证明热度：96%82019北京如图348，点A，B，C，D在O上，CAD30，ACD50，则ADB_图3489.已知：如图349，CACBCD，过A，C，D三点的O交AB于点F.图349求证：CF平分BCD.解题突破连接AD，你能得到哪些角相等？10.如图3410所示，AB是O的一条弦，ODAB，垂足为C，交O于点D，点E在O上图3410(1)若AOD52，求DEB的度数；(2)若OC3，OA5，求tanAEB的值方法点拨(1)已知圆心角，要求圆周角，首先要联想到圆周角定理(2)AEB所在的三角形不是直角三角形，那

4、么是否可以将它转化到一个直角三角形中呢？11.如图3411，ABC的三个顶点都在O上，ABCC，点D在弧BC上运动，过点D作DEBC交直线AB于点E，连接BD.(1)求证：ADBE；(2)求证：AD2ACAE；(3)当点D运动到什么位置时，DBEADE？请你利用图进行探索和证明图3411方法点拨在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角的基本性质进行两种转化：一是利用同弧或等弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化；二是将圆周角相等的问题，根据“同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等”，转化为弦相等或线段相等的问题.12如图3412，点A，B，C在O上，ACBC，D为O中上一点，延长DA至点E，使CE

5、CD，连接BD.(1)求证：AEBD；(2)若ACBC，求证：ADBDCD.图3412命题点 3圆周角在实际中的应用热度：70%13.如图3413所示，在小岛周围的内有暗礁，在A，B两点各建一座航标灯塔，且APB，上任一点P都是有触礁危险的临界点，APB就是“危险角”船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？为什么？图3413方法点拨三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；一条弧所对的角的顶点在圆外的角都小于顶点在圆上的角，一条弧所对的角的顶点在圆内的角都大于顶点在圆上的角.14.已知：如图3414，O1和O2相交于A，B两点，动点P在O2上，且在O1外，直线PA，PB分别交O1于点C，

6、D，O1的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定弦CD最长和最短时点P的位置；如果不发生变化，请你给出证明图3414解题突破在同一个圆中，判断弦的长有无变化可以判断弦所对的圆心角或圆周角有无变化，只要弦所对的圆心角或圆周角不变，那么弦的长也不变.详解详析1B2A解析 ABD与ACD对着同一条弧，根据“同弧所对的圆周角相等”可知ABDACD.3B4B解析 OAAB，OAOB，AOB是等边三角形，AOB60，ACB30.故选B.5D解析 利用同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半，求得圆周角的度数即可，注意点C可能在优弧上也可能在劣弧上，分两种情况讨论当点C在优弧上时，AC

7、BAOB10050；当点C在劣弧上时，ACB(360AOB)(360100)130.故选D.6D解析 如图，由OCAB，得，OEB90，23.22123264，364.在RtOBE中，OEB90，B903906426.故选D.76 解析 连接OA，OB，AOB2ACB24590，则AB6 .870解析 ，CAD30，CADCAB30，DBCDAC30.ACD50，ABD50，ADBACB180CABABC18030503070.9证明：连接AD.CACD，DCAD.DCFA，CADCFA.CFABFCB，CAFFADBFCB.CACB，CAFB，FADFCB.又FADFCD，FCBFCD，即C

8、F平分BCD.10解：(1)ODAB，DEBAEDAOD5226.(2)OC3，OA5，AC4.，AEBAOC，tanAEBtanAOC.11解：(1)证明：DEBC，ABCE.ADB，C都是所对的圆周角，ADBC.ABCC，ADBE.(2)证明：ADBE，BADDAE，ADBAED，即AD2ABAE.ABCC，ABAC，AD2ACAE.(3)当点D运动到弧BC的中点时，DBEADE. 证明：DEBC，EDBDBC.，DBCEAD，EDBEAD.又DEBAED，DBEADE.12解析 (1)根据同弧所对的圆周角相等，得CBACDE，进而可得ACBECD，可证明ACEBCD，则AEBD；(2)根

9、据已知条件，得CEDCDE45，则DECD，从而证出结论证明：(1)在ABC中，ACBC，CABCBA.在ECD中，CECD，ECDE.CBACDE(同弧所对的圆周角相等)，CABE，ACBECD，ACBACDECDACD，即BCDACE.在ACE和BCD中，CECD，ACEBCD，ACBC，ACEBCD，AEBD.(2)ACBC，ACB90.由(1)知ACBECD，ECD90，CEDCDE45，DECD.又ADBDADAEDE，ADBDCD.13解：船在航行的过程中，始终保持对两灯塔A，B的视角小于，即可安全绕过暗礁区理由：如图所示(1)在外任取一点C，连接CA，CB.设CA交于点F，连接F

10、B.AFB，AFBC，C.(2)在内任取一点D，连接AD并延长交于点E，连接DB，EB.E，ADBE，ADB.由(1)(2)知，在航标灯A，B所在直线的北侧，在外任一点对A，B的视角都小于，在上任一点对A，B的视角都等于，在内任一点对A，B的视角都大于，因此，只有对两灯塔的视角小于的点才是安全点14解析 连接AD，AB，ADP在O1中所对的弦为AB，所以ADP为定值，P在O2中所对的弦为AB，所以P为定值再利用三角形内角与外角的关系求出CAD为定值，则弦CD为定值，与点P的位置无关解：当点P运动时，弦CD的长保持不变证明：如图，连接AD，AB，点A，B是O1与O2的交点，弦AB的长与点P的位置无关ADP在O1中所对的弦为AB，ADP为定值P在O2中所对的弦为AB，P为定值CADADPP，CAD为定值在O1中，CAD所对的弦为CD，CD的长与点P的位置无关关键问答 圆周角的顶点在圆上，圆心角的顶点在圆心上；同一段弧所对的圆周角的度数是它所对圆心角度数的一半一条弧所对的圆周角有无数个；同一条弧所对的圆周角都相等