4.5 一次函数的应用【八大题型】（举一反三）（北师大版）（学生版）.docx

1、专题4.5 一次函数的应用【八大题型】【北师大版】【题型1 分配方案问题】1【题型2 最大利润问题】3【题型3 行程问题】4【题型4 工程问题】6【题型5 调运问题】7【题型6 体积问题】9【题型7 平面几何图形问题】11【题型8 分段收费问题】12【题型1 分配方案问题】【例1】（2023春河南商丘八年级校联考期末）2022年河南省全民健身（线上）运动会最终各奖项于12月20日公布，此次盛会充分展示疫情防控常态化下我省全民健身开展情况，某健身房于此推出“云健身”服务，针对特殊人群开展活动活动方案如下：方案一：不购买“云VIP”，每次收费10元；方案二：购买“云VIP”，每次另行额外收费设王先

2、生“云健身”次数为x（次)，按照方案一所需费用为y1（元)，且y1=kxx(k10)；按照方案二所需费用为y2 （元)，且y2=k2x+b(k20)其函数图象如图所示(1)k1=；购买“云VIP”需 元；(2)两种方案的函数图象交于点A，请求出点A的坐标并解释点A的实际意义；(3)若王先生准备“云健身”25次，选择方案 （选填“一”或“二” )所需费用较少；若王先生准备180元进行“云健身”，选择方案 （选填“一”或“二” ) 可以获得更多的次数【变式1-1】（2023春四川成都八年级校考期中）成都教科院附属学校组织八年级学生和带队老师共700人参加研学活动，已知学生人数的一半比带队老师人数的

3、10倍还多35人(1)参加活动的八年级学生和带队老师各有多少人？(2)某公司有A、B两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如表所示；A型号客车B型号客车载客量（人辆）4055租金（元/辆）9001200学校计划租用A、B两种型号的客车共16辆接送八年级师生，若每天租车的总费用不超过16200元共有几种不同的租车方案？最少的租车费用为多少元？【变式1-2】（2023春天津和平八年级统考期末）某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要27台，乙地需要25台，A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖掘机28台和24台，并将其全部调运往灾区，如果从A省

4、调运一台挖掘机到甲地耗资0.4万元，到乙地耗资0.3万元；从B省调运一台挖掘机到甲地耗资0.5万元，到乙地耗资0.2万元，设从A调往甲地x台挖掘机，A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元(1)用含x的代数式填写下表：运往甲地（单位：台）运往乙地（单位：台）A省xB省运往甲地耗资（单位：万元）运往乙地耗资（单位：万元）A省0.4xB省(2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(3)若总耗资不超过16.2万元，共有哪几种调运方案?【变式1-3】（2023春江苏苏州八年级校联考期中）母亲节前夕，某工艺品店从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价之和为200元，

5、购进2个A种礼盒和3个B种礼盒共花费520元(1)求A、B两种礼盒的单价；(2)若该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数据不超过A种礼盒数量的2倍，共有几种进货方案？(3)已知销售一个A种礼盒可获利10元，销售一个B种礼盒可获利18元，该店主决定每售出一个B种礼盒，为爱心公益基金捐款m元，每个A种礼盒的利润不变，在（2）的条件下，要使A、B两种礼盒全部售出后所有方案获利均相同，m的值应是多少？此时店主获利多少元？【题型2 最大利润问题】【例2】（2023春江西景德镇八年级统考期中）某公司有100个工人生产A、B、C三种型号的产品，每个工人每天只能生产一种

6、型号的产品，每个工人每天生产三种型号产品的数量及每个A、B、C型号产品获利情况如下表所示每天生产A、B、C三种型号产品共1240个设安排x(名)工人生产A型号产品，安排y (名)工人生产B型号产品公司生产A、B、C三种型号产品每天获总利w (元)ABC每个工人每天生产数量/个151210每个产品获利/元182030(1)分别求出y与x及w与x的函数关系式(2)若生产A、B、C每种都不小于27人，人数安排方案有几种？写出所有安排方案(3)若要使每天获利最大，应采用哪种安排方案？求出最大利润【变式2-1】（2023春河北邢台八年级统考期中）某工厂生产某种产品，每件产品的成本价为25元，出厂价为50

7、元在生产过程中，每件产品产生0.5立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理方案1：自行处理，达标排放每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费问：(1)设工厂每月生产x件产品，每月的利润为y元，分别求出按方案1，方案2处理污水时y与x的函数关系式；(2)工厂每月生产多少件产品时，采用两种方案所获利润相同？请说明理由；(3)工厂每月生产6000件产品时，采用何种方案才能使工厂所获利润最大？请通过计算加以说明【变式2-2】（2023春全国八年级期末）“平遥古城三件宝，漆器牛肉长山药”平遥推光漆器因其历史

8、悠久和独特的制作工艺，和福州脱胎漆器、扬州漆器、成都漆器并称为中国四大漆器某漆器厂清明前生产A、B两种首饰盒，若生产10件A首饰盒和20件B首饰盒，共需投入成本3100元；若生产20件A首饰盒和10件B首饰盒，共需投入成本3800元(1)每件A，B首饰盒的生产成本分别是多少元？(2)该厂准备用不超过12900元的资金生产这两种首饰盒共100件，且要求生产A首饰盒数量不少于B首饰盒数量的2倍，问共有几种生产方案？(3)将漆器供应给商场后，每件A首饰盒可获利100元，每件B首饰盒可获利40元，在（2）的前提下，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利【变式2-3】（2023春福建厦门八年级

9、统考期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：商品进价售价丘乓球拍（元/套）a45羽毛球拍（元/套）b52已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元(1)求出a，b的值；(2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球

10、拍的进价每套降低了n元（0n10），羽毛球拍的进价不变已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完则如何购货才能获利最大？【题型3 行程问题】【例3】（2023春全国八年级期中）货车和轿车分别沿同一路线从A地出发去B地，已知货车先出发10分钟后，轿车才出发，当轿车追上货车5分钟后，轿车发生了故障，花了20分钟修好车后，轿车按原来速度的910继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程y（米）与货车出发的时间x（分钟）之间的关系的部分图象如图所示，对于以下说法：货车的速度为1500米/分；OA/CD；点D的坐标为65,27500；图中a的值是4703，其中正确的

11、结论有（）个A1B2C3D4【变式3-1】（2023春安徽芜湖八年级统考期末）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，立刻以原速度沿原路返回A地乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：(1)A、B两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分；(2)图中a= ，b= ，c= ；(3)求线段MN的函数解析式【变式3-2】（2023春江苏盐城八年级统考期末）数学活动课上：学校科技小组进行机器人行走性能试验，在试验场地一条笔直的赛道上有A，B，C三个

12、站点，A，B两站点之间的距离是90米（图1）甲、乙两个机器人分别从A，B两站点同时出发，向终点C行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走图2是两机器人距离C站点的距离y（米）出发时间t（分钟）之间的函数图像，其中EF-FM-MN为折线段请结合图像回答下列问题：(1)乙机器人行走的速度是_米/分钟；(2)在4t6时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时的速度图2中m的值为_请求出在6t9时，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间t的值【变式3-3】（2023春河北保定八年级保定十三中校考期末）在一条笔直的公路上依次有A,C,B三地，甲，乙两人同时出发，甲从A地骑自行车匀速

13、去B地，途经C地时休息1分钟后继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行匀速从B地至A地，甲，乙两人距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：(1)甲骑行速度为_米/分，乙步行速度为_米/分，A,B两地的距离为_米；(2)求甲返回时距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的关系式（不需要写自变量的取值范围）；(3)两人出发后，在甲返回A地之前，设第x分钟时，两人距C地的距离相等，请直接写出x的值【题型4 工程问题】【例4】（2023春重庆九龙坡八年级重庆实验外国语学校校考期中）某地计划修建一条长36千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度

14、是乙工程队修路速度的1.5倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？(2)已知甲工程队修路费用为25万元/千米，乙工程队修路费用为20万元/千米甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成若要使修路总时间不超过55天，总费用不超过820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案？哪种方案最省钱？【变式4-1】（2023春重庆八年级重庆八中校考期中）某学校利用寒假维护其教学楼，若甲、乙两工程队合作10天可完成；若甲工程队先单独施工5天，再由乙工程队单独施工20天也可完成(1)求甲、乙两工程队

15、单独完成此项工程各需要多少天？(2)现将该教学楼工程分成两部分，甲工程队做其中一部分工程用了m天，每天需付施工费3万元，乙工程队做另一部分工程用了n天，每天需付施工费1.4万元，若m，n都是正整数，乙工程队做的时间不到17天，求出此项工程总施工费用的最小值【变式4-2】（2023春河南新乡八年级校考期中）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1440米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一任务，已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设480米所用的天数与乙工程队铺设360米所用的天数相同（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该工程的工期不超过12天，工程分配

16、给甲工程队m米，写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，施工时，每天需要支付甲工程队1520元，每天需要支付乙工程队1200元，完成这项工程的总支出为y元，写出y关于m的函数解析式，并利用函数的性质，说明如何设计施工方案所支付的总费用最少？【变式4-3】（2023春四川成都八年级统考期末）某市计划修建一条长60千米的地铁，根据甲，乙两个地铁修建公司标书数据发现：甲，乙两公司每天修建地铁长度之比为3：5；甲公司单独完成此项工程比乙公司单独完成此项工程要多用240天（1）求甲，乙两个公司每天分别修建地铁多少千米？（2）该市规定：“该工程由甲，乙两个公司轮流施工完成，工期不超过450天，且甲公司工

17、作天数不少于乙公司工作天数的56”设甲公司工作a天，乙公司工作b天请求出b与a的函数关系式及a的取值范围；设完成此项工程的工期为W天，请求出W的最小值【题型5 调运问题】【例5】（2023春福建厦门八年级统考期末）厦门市同安区A、B两村生产龙眼，A村生产的龙眼重量为200吨，B村生产的龙眼重量为300吨现将这些龙眼运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可存储240吨，D仓库可存储260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元设从A村运往C仓库的龙眼重量为x吨，A、B两村运往两仓库的龙眼运输费用的分别为yA元和yB元(1)当x为何值时

18、，A村和B村的运输费用相等；(2)考虑到B村的经济承受能力，B村的龙眼运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎么样调运，才能使两村运费之和最小?求出这个最小值【变式5-1】（2023春安徽滁州八年级校考期末）甲，乙两厂积极生产某种物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：（单位：吨）目的地生产厂AB甲2025乙1524(1)求甲，乙两厂各生产了这批物资多少吨？(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案【变式5-2】（2023春新疆乌鲁木齐八年级

19、统考期末）A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台，已知从A市调动一台机器到C村和D村的运费分别是100元和200元，从B市调动一台机器到C村和D村的运费分别是90元和150元(1)设完成该任务所需总运费为y元，A市运往C村机器x台，求总运费y关于x的函数关系式，并指出x有哪些可取值；(2)若要求总运费不超过2400元，共有几种不同的调运方案；(3)求出最低总费用，并把总运费最低时候的调运方案的数据写出来【变式5-3】（2023春天津和平八年级统考期末）某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要27台，乙地需要25台，A

20、、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖掘机28台和24台，并将其全部调运往灾区，如果从A省调运一台挖掘机到甲地耗资0.4万元，到乙地耗资0.3万元；从B省调运一台挖掘机到甲地耗资0.5万元，到乙地耗资0.2万元，设从A调往甲地x台挖掘机，A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元(1)用含x的代数式填写下表：运往甲地（单位：台）运往乙地（单位：台）A省xB省运往甲地耗资（单位：万元）运往乙地耗资（单位：万元）A省0.4xB省(2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(3)若总耗资不超过16.2万元，共有哪几种调运方案?【题型6 体积问题】【例6】（2023春河北

21、唐山八年级统考期末）如图，水平放置的甲容器内原有120mm高的水，乙容器中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙容器底面上）现将甲容器中的水匀速注入乙容器，且乙容器中水不外溢甲、乙两个容器中水的深度y（mm）与注水时间x（min）之间的关系如图(1)乙容器中原有水的高度是_mm，铁块的高度是_mm；(2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同：(3)若乙容器底面积为900mm2（壁厚不计），直接写出乙容器中铁块的体积【变式6-1】（2023春河北唐山八年级统考期末）小明受乌鸦喝水故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1

22、）放入一个小球量筒中水面升高 cm；（2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？【变式6-2】（2023春江西赣州八年级统考期末）我国是世界上水资源最缺乏的国家之一，同时又有很多水龙头由于漏水造成大量的浪费.某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组用最大容量为200毫升的量筒接水，每隔10秒钟观察量筒中水的体积，从某一时刻起记录1分钟内量筒中水的体积如下表（精确到1ml）：时间ts102030405060量筒中的水量Vml3045607590105（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对

23、应的点；（2）量筒中的水量Vml是否为时间ts的函数？如果是，试求出一个符合表中数据的函数解析式；（3）若水费为3.6元/m3，按这样的漏水速度，这个水龙头一个月（30天）要浪费多少钱？（1m3=106ml，结果保留整数）【变式6-3】（2023春浙江八年级期末）将一块abcab20时，y与x的函数表达式 （2）小明家第二季度缴纳水费的情况 如下：月份四月份五月份六月份交费金额40元45元56.4元小明家第二季度共用水多少立方米？【变式8-2】（2023春云南玉溪八年级统考期末）我市水利资源丰富，并且得到了较好的开发，电力充足，某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电x

24、(KWt)与应交电费y(元)之间的函数图象如图所示（1）填空，月用电量为100(KWt)时，应交电费_元（2）当x100时，求y与x的函数关系式（3）月用电量为260(KWt)时，应交电费多少元？【变式8-3】（2023春重庆九龙坡八年级重庆实验外国语学校校考期中）作为网红城市的重庆，五一节小长假将迎来旅行的高峰，为方便外地游客的出行，重庆市某约车公司推出了一种新型的打车方式，该打车方式的费用收取是按照行驶的路程进行分段计费小李选用了该打车方式出行，图中折线是小李打车所付车费y（元）与路程x（千米）之间的关系，请根据图象信息，解决下列问题（1）若小李打车的路程为26千米，则小李所付的车费为 ；（2）请求出当3x6时车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式；（3）若小李支付的车费为37元，求小李打车的路程