6.3 对数函数-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）.docx

1、6.3对数函数【考点梳理】考点一对数的有关概念对数的概念：一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e2.718 28)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg N，logeN简记为ln N.考点二对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：若a0，且a1，则axNlogaNx.对数恒等式：N；logaaxx(a0，且a1)考点三对数的性质11的对数为零2底的对数为1.3零和负数没有对数重难点技巧：对数的运算考点四对数运算性质如果a0，且a1，M0，N

2、0，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)考点五换底公式1logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)2对数换底公式的重要推论：(1)logaN(N0，且N1；a0，且a1)；(2)logab(a0，且a1，b0)；(3)logablogbclogcdlogad(a0，b0，c0，d0，且a1，b1，c1)考点六：对数函数的概念一般地，函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)重难点技巧：对数函数的图象和性质考点七：对数函数的图象和性质对数函数ylogax(a0，且

3、a1)的图象和性质如下表：ylogax (a0，且a1)底数a10a1的对数函数，在区间(1，)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数(1)yax的定义域R就是ylogax的值域；而yax的值域(0，)就是ylogax的定义域(2)互为反函数的两个函数yax(a0，且a1)与ylogax(a0，且a1)的图象关于直线yx对称(3)互为反函数的两个函数yax(a0，且a1)与ylogax(a0，且a1)的单调性相同但单调区间不一定相同重难点技巧：不同函数增长的差异考点十：三种常见函数模型的增长差异函数性质yax(a1)ylogax(a1)

4、ykx(k0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随x的增大匀速上升增长速度yax的增长快于ykx的增长，ykx的增长快于ylogax的增长增长后果会存在一个x0，当xx0时，有axkxlogax【题型归纳】题型一：指数式与对数式的互化1若，则的值为（）A2B1C8D32设，则（）ABCD3已知，则（）A25B5CD题型二：对数运算4下列等式成立的是（）ABCD5若，则（）ABCD6计算：（）A0B1C2D3题型三：对数的性质应用7若，则下列各式中，恒等的是（）ABCD8已知函数，则（）ABCD49已知函数，若（其中），则的最小值为（）A

5、BC2D题型四：、对数换底公式的应用10已知，且，则（）A3B6C12D1811已知且，则m等于（）AB6C12D3612已知且，则a的值为（）ABCD题型五：对数函数的定义域与解析式（复合型对数函数）13函数定义域为（）ABCD14已知函数，则函数的定义域是（）ABCD15已知函数是定义在上的奇函数，则（）ABCD题型六：对数函数的值域问题16已知函数f（x）=m+log2x2的定义域是1，2，且f（x）4，则实数m的取值范围是（）A（-，2B（-，2）C2，+）D（2，+）17已知函数的值域为R，则实数的取值范围是()ABCD18已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（）ABCD题型七：对

6、数函数的图像问题19函数的图像是（）ABCD20已知（且，且），则函数与的图像可能是（）ABCD21已知函数（且）的图象过定点，正数、满足，则（）ABCD题型八：对数函数的单调性问题（复合函数、求参数）22设函数f（x）|2x+1|2x1|，则f（x）（）A是偶函数，且在 单调递增B是奇函数，且在 单调递增C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在 单调递增23已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（）ABCD24已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（）ABCD题型七：对数函数的单调性比较大小25已知，试比较a，b，c的大小为（）ABCD26已知，则a，b，c的大小关系为（）ABCD27已

7、知，则a，b，c的大小关系是（）ABCD题型十：对数函数的单调性解不等式28关于x的不等式的解集是（）ABCD29已知函数(1)求函数的定义域；(2)判断并证明函数的奇偶性；(3)求不等式的解集.30已知函数（且）.(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；(2)是否存在实数m，使得不等式成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.【双基达标】一、单选题31若，则实数a的取值范围是（）ABCD32苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，对数是简化大数运算的有效工具.若一个正整数n的32次方仍是一个20位整数m，则根据下表数据，可知（）x237A3B4C6

8、D733核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，扩增次数n与扩增后的的数量满足，其中为的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则被测标本的扩增13次后，数量变为原来的（参考数据：，）（）A1334倍B1585倍C1778倍D5620倍34已知，则a，b，c的大小关系为（）ABCD35在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（）ABCD36若，则，的大小关系是（）ABCD37已知函数，则不等式的解集是（）ABCD【高分突破】一：单选题38已知函数满足，若

9、在区间上恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD39若函数为定义在上的奇函数，且在为增函数，又，则不等式的解集为（）ABCD40已知函数，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为（）ABCD二、多选题41在同一坐标系中，函数与且的图象可能是（）ABCD42下列计算正确的是（）ABCD43已知，且，下列说法不正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则44关于函数，下列说法中正确的有（）A的定义域为B为奇函数C在定义域上是减函数D对任意，都有45设函数，则下列命题中正确的是（）A函数的定义域为B函数是增函数C函数的值域为D函数的图像关于直线对称三、填空题46已知，则_（结果用含a的式子表示）47

10、不等式的解集为_.48函数的定义域为_.49已知正实数，满足，且，则_.50在对数式中，实数的取值范围是_.四、解答题51设且，函数的图象过点.(1)求的值及的定义域；(2)求在上的单调区间和最大值.52求下列各式的值：(1)；(2)；53已知函数且(1)求的定义域；(2)若对任意，恒成立，求a的取值范围54已知函数(1)当时，求f（x）有意义时x的取值范围；(2)若f（x）在时都有意义，求实数a的取值范围；(3)若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围55已知函数(1)若，求函数的值域；(2)若，判断并证明函数的奇偶性；(3)若函数在上单调递减，求实数的取值范围56已知，函数(1)若

11、函数过点，求此时函数的解析式；(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案详解】1D【分析】将，转化为对数的形式求出，然后代入化简求值即可【详解】因为，所以；又，所以所以 故选：D.2C【分析】观察所求结构知把放到对数的真数部分作指数即可求解【详解】解：，故选：C3C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出【详解】因为，即，所以故选：C.4A【分析】根据对数的运算法则及性质判断即可.【详解】解：对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D错误；故选：A5B【分析】先换底，然后由对数运算性质可得.

12、【详解】.故选：B6B【分析】根据指数对数恒等式及对数的运算法则计算可得；【详解】解：；故选：B7C【分析】利用对数的运算法则可判断各选项的正误.【详解】对于AD选项，AD均错；对于B选项，B错；对于C选项，C对.故选：C.8A【分析】由题可得，然后根据对数的运算性质及概念即得.【详解】因为，所以.故选：A.9D【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可.【详解】,由，即，当且仅当，即时等号成立，故选：D.10D【分析】先由指数式化为对数式，利用换底公式得到，从而得到，计算出.【详解】由得：，由换底公式可得：，则，所以，因为，所以故选：D11A【分析】指数式改写为对数

13、式，由换底公式与对数运算法则计算可得【详解】由得，（负值舍去），故选：A12C【分析】令，利用指对数互化，换底公式及对数的运算法则可得，即得.【详解】令，则，又，即，.故选：C.13B【分析】利用根号下的数大于等于0，对数真数大于0，解得函数的定义域.【详解】由题意可得：，解得，故选：B.14D【分析】法一：根据题意列出不等式组解出即得；法二：利用排除法赋值，即可判断【详解】法一：由题意得，解得且，函数的定义域为法二：由题意得，当时，函数无意义，排除A，C；当时，函数有意义，排除B故选：D15D【分析】利用可构造方程求得，验证可知满足题意，由此得到，代入即可得到结果.【详解】由题意得：，解得：

14、；当时，为上的奇函数，满足题意；.故选：D.16A【分析】根据函数f（x）的定义域，得到函数f（x）在上的单调性，进而求得其值域求解.【详解】解：因为函数f（x）=m+log2x2的定义域是1，2，所以函数f（x）=m+log2x2，且函数f（x）在上递增，所以函数f（x）的值域为，因为f（x）4，所以，解得，故选：A17C【分析】分段函数值域为R，在x1左侧值域和右侧值域并集为R.【详解】当，当时，的值域为R，当时，值域需包含，解得，故选：C.18C【分析】根据给定条件结合分段函数值域的意义可得在取尽一切负数，再列出不等式求解即可作答.【详解】函数，而函数是增函数，当时，则当时，函数值域为，

15、因函数的值域为，因此，在当时，函数取尽一切负数，当，即时，不符合题意，当时，也不符合题意，当时，为增函数，由可得，则需，解得，所以实数的取值范围是：.故选：C19A【分析】由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解.【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.故选：A.20B【分析】由对数的运算性质可得ab1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案【详解】，即为，即有ab1.当a1时，0b1，函数与均为减函数，四

16、个图像均不满足当0a1时，b1，函数数与均为增函数，排除ACD在同一坐标系中的图像可能是B，故选：B21D【分析】首先根据对数函数的性质令对数的真数为，即可求出函数过定点坐标，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为（且），令，解得，所以，即函数过定点，所以，故A错误；因为、，当且仅当时取等号，当且仅当时取等号，当且仅当时取等号.故选：D22B【分析】先求出的定义域结合奇偶函数的定义判断的奇偶性，设t|，则ylnt，由复合函数的单调性判断的单调性，即可求出答案.【详解】解：由，得x又f（x）|2x+1|2x1|（|2x+1|2x1|）f（x），f（x）为奇函数，由f（x）|2x+1|2x1|

17、，11可得内层函数t|的图象如图，在（，），（，+）上单调递减，在（，）上单调递增，又对数式y是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（，）上单调递增，在（，），（，+）上单调递减故选：B23A【分析】根据对数函数的性质得到不等式组，解得即可.【详解】解：因为，所以为减函数又由函数在上为减函数，可得函数在上大于零，且，故有，解得故选：A24A【分析】根据分段函数是上的增函数，则每一段都为增函数，且右侧的函数值不小于左侧的函数值求解.【详解】函数是上的增函数，所以，解得 ，所以实数的取值范围是故选：A.25B【分析】根据对数函数和指数函数的单调性将与01相比较，即可得到结论.【详解

18、】，.故选：B.26B【分析】结合指数对数函数特征判断大小范围，即可求解.【详解】因为为减函数，所以，所以，因为为减函数，所以，因为为增函数，所以.所以.故选：B27D【分析】利用函数的单调性判断出，即可得到正确答案.【详解】因为为减函数，所以，即；因为为增函数，所以，即；因为为增函数，所以，即；所以.故选：D28C【分析】结合对数函数的单调性和定义域解不等式即可求解.【详解】因为为减函数，所以，解得.故选：C29(1)(2)奇函数，证明见解析(3)【分析】（1）由对数的真数大于零，解不等式组可求得答案，（2）利用奇偶性的定义判断，（3）利用对数函数的性质直接解不等式即可.（1）由，得，所以函

19、数的定义域为，（2）函数为奇函数，证明如下：因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称，因为，所以为奇函数，（3）由，得，所以，因为在定义域内为减函数，所以，解得，所以不等式的解集为.30(1)定义域为，奇函数(2)存在，当时，当时，【分析】（1）由对数函数的性质求定义，由奇偶性定义判断奇偶性；（2）分类讨论得函数的单调性，则单调性解不等式可得，注意对数函数的定义域（1）由得.所以的定义域为，因为函数的定义域关于原点对称，且，所以为奇函数.（2）当时，在上为增函数，假设存在实数m，使得不等式成立，则，解得.当时，在上为减函数，假设存在实数m，使得不等式成立，则，解得.综上，当时，存在，使得不等

20、式成立；当时，存在，使得不等式成立.31B【分析】将不等式的右边也变为以为底的对数形式，然后对讨论，利用对数的单调性解不等式即可.【详解】解：由已知，当时，不等式明显成立；当时，综合得：实数的取值范围是，故选：B.32B【分析】由题可得，同取以10为底的对数再化简得，查对数表进行估值运算即可求解.【详解】因为正整数n的32次方是一个20位整数m，所以，将以上不等式同时取以10为底的对数得，所以，即，而，因为，由选项知故选：B33C【分析】将数值代入公式利用对数的运算律即可求解.【详解】由题可知，即，解得，所以，即，解得，故选:C.34A【分析】根据指数函数单调性及对数的运算性质即得.【详解】因

21、为，所以.故选：A.35A【分析】结合两个函数过定点，以及单调性相异判断即可.【详解】函数与的图象过定点，所以C，D错误；又因为与单调性相异.故选：A36B【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、的大小关系【详解】，故.故选：B37C【分析】由题知函数为偶函数，且在上单调递增，上单调递减，再结合，根据函数图像平移得时， 时，再分和两种情况讨论求解即可.【详解】解：函数的定义域为，所以，函数为偶函数，因为在上均为单调递增所以，当时，为增函数，所以，当时，为增函数，当时，为减函数，因为，所以，当时，当时，所以，当时，当时，所以，当时，不等式显然成立，当时，不等式的解集为，综上，的

22、解集为故选：C38C【分析】首先判断函数的单调性，依题意恒成立，再根据对数函数的性质得到不等式组，解得即可.【详解】解：因为且，又单调递减，在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递减，因为在区间上恒成立，所以恒成立，所以，解得，即；故选：C39A【分析】分析出函数在上的单调性，可得出，分、两种情况解原不等式，即可得出原不等式的解集.【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且在为增函数，则该函数在上也为增函数，且，由可得.当时，则，解得；当时，则，解得.综上所述，不等式的解集为.故选：A.40D【分析】根据题意转化为，然后分别求出两函数的最小值即可.【详解】由题意，得在上的最小值大于等于在上的最小值

23、，易知函数在上单调递增，所以在上的最小值为，函数在上单调递减，所以在上的最小值为，所以，即.故选:D.41BD【分析】分情况进行讨论指数函数与对数函数的图象即可求解.【详解】当时，定义域为R，且在R上单调递减，定义域为，且在上单调递增，D符合；当时，定义域为R，且在R上单调递增，定义域为，且在上单调递减，B符合故选：BD42ABD【分析】根据指数幂的运算法则，对数的运算法则及换底公式逐项分析即得.【详解】对于A中，原式，所以A正确；对于B中，原式，所以B正确；对于C中，原式，所以C错误；对于D中，原式，所以D正确.故选：ABD.43ACD【分析】AD可举出反例；C选项可推导出或；B选项，根据单

24、调可得到.【详解】若，则无意义，A错误；因为，且为单调函数，所以，B正确；因为，则，所以或，C错误；若，则无意义，D错误.故选：ACD44BCD【分析】由函数的奇偶性，单调性等性质对选项逐一判断【详解】对于A，由得，故的定义域为，故A错误，对于B，的定义域为，则为奇函数，故B正确，对于C，由复合函数的单调性知在上是减函数，故C正确，对于D，任意，故D正确，故选：BCD45AD【分析】根据对数型复合函数的性质对选项逐一判断即可.【详解】A正确，恒成立，函数的定义域为；B错误，函数在上是增函数，在上是减函数；C错误，由可得，函数的值域为；D正确，函数的图像关于直线对称故选:AD46【分析】先通过换

25、底公式得到，再将转化为以3为底的形式，利用对数的运算性质计算即可.【详解】由得，即，故答案为：47【分析】先根据对数函数确定取值范围，在判断和的单调性以及特殊点点大小，最后根据双方单调性以及临界值得到解集.【详解】根据对数函数性质可知令根据幂函数单调性可知在单调递减，所以在单调递减且，当时，时令，当时，时因此当时，故答案为: 48【分析】根据对数的定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】因为对数的真数为正实数，所以有，所以该函数的定义域为，故答案为：494【分析】由指数式化对数式得到，代入到，解方程得到和.【详解】由，可得，则，即，整理得，解得或，当时，则当时，则，综上，.故答案为

26、：4.50【分析】根据真数位置大于0得的取值范围.【详解】由于，得故答案为：.51(1)，(2)单调增区间为，单调减区间为；最大值为2【分析】（1）根据对数函数得性质和计算规则计算即可；（2）复合函数单调性根据内外函数同增异减，先判断内函数单调性，再判断外函数单调性即可.【详解】（1）函数的图象过点，即，又且，要使有意义，则，的定义域为；（2），令，的最大值为4，此时，且在单调递增，单调递减在上的单调增区间为，单调减区间为，最大值为2.52(1)(2)【分析】（1）根据对数运算法则运算求解即可.（2）根据指数幂的运算法则运算求解即可.【详解】（1）解：（2）解：53(1)当时，的定义域为；当时

27、，的定义域为(2)【分析】（1）根据对数函数定义可得，讨论，即可得的定义域；（2）将不等式转化为，利用的单调性得在上恒成立，讨论，即可得a的取值范围【详解】（1）解：由题意可得当时，解得；当时，解得；综上，当时，的定义域为；当时，的定义域为.（2）解：由题意可得，因为函数在其定义域内单调递增，所以，即，又恒成立则，即若对任意，恒成立，即对任意，恒成立当时，函数在上单调递增，则，即；当时，函数在上单调递减，则，不满足题意综上，a的取值范围是54(1)(2)(3)a=4或a=5【分析】（1）真数部分大于0，求解不等式即可；（2）由题意可转化为在时恒成立，分离a，可转化为求最值的问题；（3）方程有且

28、仅有一个解，可转化为有且仅有一个解，讨论a与0的关系即可解出.【详解】（1）要使有意义，则，即解得，所以，x的取值范围为（2）f（x）在时都有意义，即在时恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立，只需即可令，令，当且仅当，且，即时等号成立，即最大值为1，.（3）由已知，有且仅有一个解，即有且仅有一个解，即有且仅有一个解，显然，则有且仅有一个解，当时，方程化为，解得满足；当时，一元二次方程有且只有一个解，则，此时，只有一个解.综上所述，a=4或a=5.55(1)(2)函数为偶函数；证明见解析(3)【分析】（1）利用换元法求出真数部分的二次函数的值域后可求原函数的值域；（2）利用偶函数的定义可判断并证明

29、函数为偶函数；（3）根据复合函数的单调性可得真数部分对应的函数的性质，从而可求参数的取值范围.【详解】（1）当时，令，解得所以所以，所以函数的值域为（2）当时，所以由可得定义域为因为所以函数为偶函数（3）因为函数在上单调递减，故在上单调递减，且，故，解得56(1)(2)【分析】（1）将点代入可求出，进而得到解析式； （2）由复合函数的单调性知在区间上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由已知得到问题的等价不等式对任意恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.（1）解：因为函数过点，即，解得，故；（2）因为是复合函数，设，在区间单调递增，单调递增，故函数在区间上单调递增，由题意对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，设，只需即可，因为的对称轴为，图像是开口向下的抛物线， 故在单调递减，故，故.