7 微专题：例析线面角两种解法的对比与规范解答 (用空间向量解答立体几何问题)-上海外国语大学附属浦东外国语学校2022届高考数学二轮复习专题讲义.docx

1、【学生版】微专题：例析线面角两种解法的对比与规范解答1、直线与平面所成的角（1）定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角；（2）注解： 若一条直线垂直于平面，则直线和平面所成的角的大小是；若一条直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角的大小是；（3）范围：直线和平面所成角的范围是；斜线和和平面所成角的范围是；2、利用几何法（定义法）求直线与平面所成的角首先，要作出斜线和这条斜线在平面内的射影所成的锐角，然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小；其基本步骤可归纳为“一作，二证，三计算”；通常找射影的两种方法：（1）斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内

2、的射影上；（2）利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影；3、利用向量法求直线与平面所成的角（1）建立空间直角坐标系（或确定三个不共面的非向量为基向量）；（2）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量，的夹角（或其补角）；如果是直线的一个方向向量，是平面的法向量，设直线与平面所成角的大小为，所成角的大小为；则或；特别地或；（3）代入向量运算公式求解；（4）归纳，回答；特别提醒：直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角；【典例】（2018年浙江卷 第19题 15分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC12

3、0，A1A4，C1C1，ABBCB1B2；（1）证明：AB1平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值；【提示1】利用几何法结合定理与直线与平面所成角的定义“规划”求解；【解题规划】（1）在在AB1A1中，利用A1BABAA，推得AB1A1B1；同理，在AB1C1中，再由ABB1CAC，推得AB1B1C1，；再利用线面垂直的判定定理可证得AB1平面A1B1C1；（2）如图，在A1B1 C1中，过点C1作C1DA1B1，交直线A1B1于点D，连接AD，可证得得C1D平面ABB1，从而C1AD是AC1与平面ABB1所成的角，然后在RtC1AD求解即可；【解题模板】利用勾股定

4、理，计算证明AB1A1B1； 证明AB1B1C1； 由线面垂直判定定理得结论； (几何法求线面角的步骤：“一作，二证，三计算”)；作出线面角； 论证线面角； 计算线面角（的正弦值）；【解析1】【说明】本题以上几何法证明与求解，必须依据平面几何性质、由线线垂直推线面垂直，由面面垂直推线面垂直，再“找-证算”；【提示2】依据题设中的“垂直关系”、长度与角度，考虑适当建立空间直角坐标系；【解题规划】（1）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出AB1A1B1, AB1A1C1再根据线面垂直的判定定理得结论；（2）根据方程组解出平面ABB1的一个法向量，然后利用与平面ABB1法

5、向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解；【解题模板】利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”建立空间直角坐标系，写出点的坐标； 用向量表示几何元素； 通过向量运算，得出结论； 用向量表示几何元素； 设求平面的法向量； 代入线面角的向量公式，结论；【解析2】【提示3】（1）建立空间直角坐标系，计算、，即可证明垂直关系：、（2）求出平面的法向量，利用向量法求出直线与平面所成的角的正弦值；【解析3】【说明】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，

6、破“应用公式关”.【归纳】1、用几何法（定义法）求直线与平面所成的角的基本思路若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面所成的角为0；若直线与平面垂直，则直线与平面所成的角为；若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为O，在直线上任取异于O点的另一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂足，则OA即为直线在平面内的投影，AOP即为直线与平面所成的角角，然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小；2、用空间向量求直线与平面所成的角的基本思路一般步骤（1）选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；（2）确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的

7、余弦值；（4）依据直线与平面所成的角的范围与两向量所成的角进行调整、回答；【规律方法】利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角；【即时练习】1、若直线l与平面所成角为，直线a在平面内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是()AB C D2、已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A B C D3、若平面的一个法向量为(1,1,1)，直

8、线l的方向向量为(0,3,4)，则l与所成角的正弦值为_4、在正三棱锥PABC中，PA4，AB，则侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为_5、在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，求直线BC与平面PAC所成的角6、如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E为PD的中点（1）证明：CE平面PAB；（2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值7、如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ACBC，ACBC1，CC12，点M是A1B1的中点（1）求证：B1C平面AC1M；（2）求AA1与平面AC1M

9、所成角的正弦值【教师版】微专题：例析线面角两种解法的对比与规范解答1、直线与平面所成的角（1）定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角；（2）注解： 若一条直线垂直于平面，则直线和平面所成的角的大小是；若一条直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角的大小是；（3）范围：直线和平面所成角的范围是；斜线和和平面所成角的范围是；2、利用几何法（定义法）求直线与平面所成的角首先，要作出斜线和这条斜线在平面内的射影所成的锐角，然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小；其基本步骤可归纳为“一作，二证，三计算”；通常找射影的两种方法：（1）斜线上任一点在平面内的射影必

10、在斜线在平面内的射影上；（2）利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影；3、利用向量法求直线与平面所成的角（1）建立空间直角坐标系（或确定三个不共面的非向量为基向量）；（2）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量，的夹角（或其补角）；如果是直线的一个方向向量，是平面的法向量，设直线与平面所成角的大小为，所成角的大小为；则或；特别地或；（3）代入向量运算公式求解；（4）归纳，回答；特别提醒：直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角；【典例】（2018年浙江卷 第19题 15分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面AB

11、C，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2；（1）证明：AB1平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值；【提示1】利用几何法结合定理与直线与平面所成角的定义“规划”求解；【解题规划】（1）在在AB1A1中，利用A1BABAA，推得AB1A1B1；同理，在AB1C1中，再由ABB1CAC，推得AB1B1C1，；再利用线面垂直的判定定理可证得AB1平面A1B1C1；（2）如图，在A1B1 C1中，过点C1作C1DA1B1，交直线A1B1于点D，连接AD，可证得得C1D平面ABB1，从而C1AD是AC1与平面ABB1所成的角，然后在RtC1AD求解即可；【解题模

12、板】利用勾股定理，计算证明AB1A1B1； 证明AB1B1C1； 由线面垂直判定定理得结论； (几何法求线面角的步骤：“一作，二证，三计算”)；作出线面角； 论证线面角； 计算线面角（的正弦值）；【解析1】（1）证明由AB2，AA14，BB12，AA1AB，BB1AB，则直角梯形四边形ABA1B1中，得AB1A1B12，在AB1A1中，再由AA14，AB1A1B12，所以A1BABAA，由AB1A1B1；3分由BC2，BB12，CC11，BB1BC，CC1BC，在直角梯形四边形BCB1 C1中，得B1C1，在A BC中，由ABBC2，ABC120得AC2，由CC1AC，得AC1，在AB1C1中

13、，再由AC1，AB12，B1C1，所以ABB1CAC，故AB1B1C1，6分又A1B1B1C1B1，因此AB1平面A1B1C1；7分（2）如图，在A1B1 C1中，过点C1作C1DA1B1，交直线A1B1于点D，连接AD，9分由AB1平面A1B1C1，AB1平面ABB1，得平面A1B1C1平面ABB1，由C1DA1B1得C1D平面ABB1，所以C1AD是AC1与平面ABB1所成的角；12分由B1C1，A1B12，A1C1得cosC1A1B1，sinC1A1B1，所以C1D，在RtC1AD，故sinC1AD，14分因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是15分【说明】本题以上几何法证明与

14、求解，必须依据平面几何性质、由线线垂直推线面垂直，由面面垂直推线面垂直，再“找-证算”；【提示2】依据题设中的“垂直关系”、长度与角度，考虑适当建立空间直角坐标系；【解题规划】（1）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出AB1A1B1, AB1A1C1再根据线面垂直的判定定理得结论；（2）根据方程组解出平面ABB1的一个法向量，然后利用与平面ABB1法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解；【解题模板】利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”建立空间直角坐标系，写出点的坐标； 用向量表示几何元素； 通过向量运算，得出结论； 用向量表示几何元素； 设求平面

15、的法向量； 代入线面角的向量公式，结论；【解析2】（1）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz；由题意知各点坐标如下：A(0，0)，B(1，0，0)，A1(0，4)，B1(1，0，2)，C1(0，1)；3分因此(1，2)，(1，2)，(0，2，3)，5分由0得AB1A1B1；由0得AB1A1C1；又A1B1A1C1A1，所以AB1平面A1B1C1；7分（2）设直线AC1与平面ABB1所成的角为.由(1)可知(0，2，1)，(1，0)，(0，0，2)，9分设平面的法向量.由即可取(，1，0)，12分所以；因此，直线AC1与平面ABB1所成

16、的角的正弦值是；15分【提示3】（1）建立空间直角坐标系，计算、，即可证明垂直关系：、（2）求出平面的法向量，利用向量法求出直线与平面所成的角的正弦值；【解析3】（1）以为原点，以，所在直线分别为轴，在平面内作，建立如图所示的空间直角坐标系；则,3分所以，,，5分所以，即，所以，即；又，所以平面A1B1C1；7分（2）由（1）可知：，设平面的法向量为，则，即,令，则，所以，12分设直线与平面所成的角，则，直线与平面所成的角的正弦值；15分【说明】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向

17、量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【归纳】1、用几何法（定义法）求直线与平面所成的角的基本思路若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面所成的角为0；若直线与平面垂直，则直线与平面所成的角为；若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为O，在直线上任取异于O点的另一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂足，则OA即为直线在平面内的投影，AOP即为直线与平面所成的角角，然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小；2、用空间向量求直线与平面所成的角的基本思路一般步骤（1）选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；（2）确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；（3）

18、利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；（4）依据直线与平面所成的角的范围与两向量所成的角进行调整、回答；【规律方法】利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角；【即时练习】1、若直线l与平面所成角为，直线a在平面内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是()AB C D【答案】D【解析】由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为； 2、已知长方体ABCDA1B1C1

19、D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A B C D【答案】C；【解析】连接A1C1交B1D1于O点，由已知得C1OB1D1，且平面BDD1B1平面A1B1C1D1，C1O平面BDD1B1，连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，C1BO即为所求C1O2，BC12，sinC1BO；3、若平面的一个法向量为(1,1,1)，直线l的方向向量为(0,3,4)，则l与所成角的正弦值为_【答案】；【解析】设l与平面所成的角为，则sin ；4、在正三棱锥PABC中，PA4，AB，则侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为_【答案】【解析】如图，在正三棱锥P

20、ABC中，PA4，AB，设P在底面上的射影为O，则O为ABC的中心，由已知求得AO1，又PA4，POsinPAO即侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为；5、在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，求直线BC与平面PAC所成的角【解析】以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a，0,0)，P，从而(2a,0,0)，(a，a,0)设平面PAC的一个法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n所以n60所以直线BC与平面PAC所成的角为9060306、如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以A

21、D为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E为PD的中点（1）证明：CE平面PAB；（2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值【解析】方法1、过P作PHCD，交CD的延长线于点H.不妨设AD2，BCAD，CDAD，则易求DH，过P作底面的垂线，垂足为O，连接OB，OH，易得OHBC，且OP，OB，OH两两垂直故可以O为原点，以OH，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示(1)证明由PCAD2DC2CB，E为PD的中点，则可得：D，C，P，A，B，E，则，.设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，则令y1，则n(1，1，)，n110.又CE

22、平面PAB，CE平面PAB.（2）由（1）得，.设平面PBC的法向量m(x，y，z)，则令y1，则m(0，1，)设直线CE与平面PBC所成的角为，则sin |cosm，|.直线CE与平面PBC所成角的正弦值为；方法2、（1）证明如图，设PA中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PD，PA中点，所以EFAD且EFAD，又因为BCAD，BCAD，所以EFBC且EFBC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CEBF，又因为CE平面PAB，BF平面PAB，因此CE平面PAB.（2）分别取BC，AD的中点为M，N，连接PN交EF于点Q，连接MQ.因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF

23、中点，在平行四边形BCEF中，MQCE，由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD，N是AD的中点得BNAD，因为PNBNN，所以AD平面PBN，由BCAD得BC平面PBN，因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线，垂足为H，则QH平面PBC.连接MH，则MH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角设CD1；在PCD中，由PC2，CD1，PD得CE，在PBN中，由PNBN1，PB得QH，在RtMQH中，QH，MQ，所以sinQMH，所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是；7、如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ACBC，ACBC1，C

24、C12，点M是A1B1的中点（1）求证：B1C平面AC1M；（2）求AA1与平面AC1M所成角的正弦值【解析】（1）证明：在直三棱柱A1B1C1ABC中，ACBC，ACBC1，CC12，点M是A1B1的中点以C为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则B1(0,1,2)，C(0,0,0)，A(1,0,0)，C1(0,0,2)，A1(1,0,2)，M，(0，1，2)，(1,0,2)，设平面AC1M的法向量n(x，y，z)，则取z1，得n(2，2,1)，n0，B1C平面AC1M，B1C平面AC1M（2）(0,0,2)，平面AC1M的法向量n(2，2,1)，设AA1与平面AC1M所成角为，则AA1与平面AC1M所成角的正弦值：sin ，所以AA1与平面AC1M所成角的正弦值为【说明】用向量法求线面角的步骤：（1）建立空间直角坐标系；（2）求直线的方向向量；（3）求平面的法向量n；（4）计算：设线面角为，则sin ；