9-平面向量-五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编.docx

1、五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编9-平面向量（含解析）一、单选题1（2022全国统考高考真题）在中，点D在边AB上，记，则（）ABCD2（2022全国统考高考真题）已知向量满足，则（）ABC1D23（2022全国统考高考真题）已知向量，若，则（）ABC5D64（2022全国统考高考真题）已知向量，则（）A2B3C4D55（2022北京统考高考真题）在中，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）ABCD6（2021浙江统考高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件7（2020全国统考高考真题）已知向量 ，满

2、足， ，则（ ）ABCD8（2020全国统考高考真题）已知单位向量，的夹角为60，则在下列向量中，与垂直的是（）ABC D9（2020海南统考高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（）ABCD10（2020海南高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（）ABCD11（2020山东统考高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，则等于（）ABCD12（2020山东统考高考真题）已知点，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（）A或B或C或D或13（2019全国高考真题）已知非零向量满足，且，则与的夹角为ABCD14（2018全国高考真题）在

3、中，为边上的中线，为的中点，则ABCD15（2019全国高考真题）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A-3B-2C2D316（2018全国高考真题）已知向量满足，则A4B3C2D017（2019全国高考真题）已知向量，则AB2C5D5018（2018北京高考真题）设向量均为单位向量，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件19（2018天津高考真题）如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为 ABCD二、多选题20（2022全国统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，

4、则（）A直线的斜率为BCD21（2021全国统考高考真题）已知为坐标原点，点，则（）ABCD三、填空题22（2022全国统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，则_23（2022全国统考高考真题）已知向量若，则_24（2022浙江统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_25（2021全国统考高考真题）已知向量，若，则_26（2021全国统考高考真题）已知向量若，则_27（2021全国统考高考真题）已知向量，_28（2021全国高考真题）若向量满足，则_.29（2021全国统考高考真题）已知向量，若，则_30（2021浙江统考高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向

5、上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为_.31（2020全国统考高考真题）设为单位向量，且，则_.32（2020全国统考高考真题）已知单位向量,的夹角为45，与垂直，则k=_.33（2020全国统考高考真题）设向量，若，则_.34（2020江苏统考高考真题）在ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是_35（2020浙江统考高考真题）设，为单位向量，满足，设，的夹角为，则的最小值为_36（2019全国统考高考真题）已知为单位向量，且=0，若 ，则_.37（2018全国高考真题）已知向量，若，则_38（2019全国高考真题）已知向量，则_.

6、39（2019天津高考真题） 在四边形中， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则_.四、解答题40（2020山东统考高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，其中点为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.五、双空题41（2022天津统考高考真题）在中，D是AC中点，试用表示为_，若，则的最大值为_42（2021天津统考高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E且交AC于点F,则的值为_；的最小值为_43（2021北京统考高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示若网格纸上小

7、正方形的边长为1，则 _；_.44（2020天津统考高考真题）如图，在四边形中，且，则实数的值为_，若是线段上的动点，且，则的最小值为_45（2020北京统考高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_；_参考答案：1B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出【详解】因为点D在边AB上，所以，即，所以故选：B2C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：，又9，故选：C.3C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：,即,解得,故选：C4D【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D5D【分析】依题意建立平面直角坐

8、标系，设，表示出，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，所以，所以，其中，因为，所以，即；故选：D6B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,当时，与垂直，所以成立，此时，不是的充分条件，当时，,成立，是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.7D【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.【详解】，.，因此，.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，

9、属于中等题.8D【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：.A：因为，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项不符合题意；C：因为，所以本选项不符合题意；D：因为，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.9A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向

10、量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.10C【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】故选：C【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.11A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结，则为的中位线，故选：A12C【分析】由二次函数对称轴设出点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得【详解】由题意函数图象的对称轴是，设，因为，所以，解得或，所以或，故选：C13B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直

11、问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为14A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得 ，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角

12、形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.15C【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由，得，则，故选C【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大16B【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘： 17A【分析】本题先计算，再根据模的概念求出【详解】由已知，所以，故选A【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错1

13、8C【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】因为向量均为单位向量所以所以“”是“”的充要条件故选：C【点睛】本题考查的是向量数量积的应用和充要条件的判断，属于基础题.19A【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设=所以当时，上式取最小值 ，选A.点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。20ACD【分析】由及抛物线方程求

14、得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.21AC【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断

15、正误.【详解】A：，所以，故，正确；B：，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，正确；D：由题意得：，故一般来说故错误；故选：AC22【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，所以，所以故答案为：23#【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：，解得.故答案为：.24【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出【详解】以圆心为原点，

16、所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：则,，设,于是，因为，所以，故的取值范围是.故答案为：25【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出【详解】因为，所以由可得，解得故答案为：【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，注意与平面向量平行的坐标表示区分26.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值【详解】,，解得,故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.27【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得，因此

17、，.故答案为：.28【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案【详解】.故答案为：.29【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.故答案为：.30【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设，则，即，又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.31【分析】整理已知可得：，再利用为

18、单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.【详解】因为为单位向量，所以所以解得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.32【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.【详解】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.335【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.【详解】由可得，又因为，所以，即，故答案为：5.【点睛】本题考查有关向量运

19、算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.34或0【分析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.【详解】三点共线，可设，即，若且，则三点共线，即，,，设，则，.根据余弦定理可得，解得，的长度为.当时， ，重合，此时的长度为，当时，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出35【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利

20、用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.36.【分析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.【详解】因为，所以，所以，所以 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答案37【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可【详解】由题可得 ,即故答案为【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题38【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键39.【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解【详解】建立如

21、图所示的直角坐标系，则，因为，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为由得，所以所以【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便40（1）；（2）.【分析】（1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出直线的方程为，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示，并利用，求直线的斜率，验证后，即可得到直线方程.【详解】解：（1）由椭圆可知，所以，则，因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为，所以，即.所以抛物线的标准方程为.（2）由椭圆可知，若直线无斜率，则其方程为，经检验，不符合要求.所以直线的斜率存在，设为，直线过点，

22、则直线的方程为，设点，联立方程组，消去，得.因为直线与抛物线有两个交点，所以，即，解得，且.由可知，所以，则，因为，且，所以，解得或，因为，且，所以不符合题意，舍去，所以直线的方程为，即.41 【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出【详解】方法一：，当且仅当时取等号，而，所以故答案为：；方法二：如图所示，建立坐标系：，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最

23、大，此时故答案为：；42 1 【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.【详解】设，为边长为1的等边三角形，为边长为的等边三角形，所以当时，的最小值为.故答案为：1；.43 0 3【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则，.故答案为：0；3.44 【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.【详解】，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,，的坐标为,又,则，设，则（其中），所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.45 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、，则点，因此，.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.