9.1 向量概念（四大题型）（解析版）.docx

1、91 向量概念课程标准学习目标（1）能从物理中的力、速度、位移等背景中抽象出向量概念，能说出向量的基本要素，能用自己的语言解释向量与数量之间的共性与差异性（2）能说出平面向量的表示方法并能解释其内涵，能说出零向量和单位向量的含义（3）能从向量的要素之间的关系出发研究两个平面向量的位置关系，能刻画共线向量、相等向量等概念，会判断两个平面向量是否相等、共线（4）能用自己的语言描述向量概念的抽象过程与方法，体会类比、数形结合等数学思想，养成用数学的眼光观察世界的习惯，发展数学抽象、直观想象等素养（1）能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别（2）会用有向线段、字母表示向量

2、，了解有向线段与向量的联系与区别（3）理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量及向量的模、夹角等概念，会辨识图形中这些相关的概念知识点01向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量知识点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小【即学即练1】（2024全国高一专题练习）下列说法正确的个数是（）（

3、1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；（2）零向量没有方向；（3）向量的模一定是正数；（4）非零向量的单位向量是唯一的A0B1C2D3【答案】A【解析】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误，对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误，对于（3），零向量的模可能为0，不一点是正数，故（3）错误，对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误，故选：A知识点02向量的表示法1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度2、向量的表示方法：（1）字母表示法：如等（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点

4、的前面）如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量知识点诠释：（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量【即学即练2】（2024山东菏泽高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）对下面图形的表示恰当的是（）ABCD【答案】C【解析】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量.故选：C.知识点03向量的有关概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长

5、度）知识点诠释：（1）向量的模（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小2、零向量：长度为零的向量叫零向量记作，它的方向是任意的3、单位向量：长度等于1个单位的向量知识点诠释：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同4、相等向量：长度相等且方向相同的向量知识点诠释：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等【即学即练3】（2024新疆乌鲁木齐高一校考）下列命题：方向不同的两个向量不可能是共线向量；长度相等、方向相同的向量是相等向量；平行且模相等的两个向量是相等向量；若，则.其中正确命题的

6、个数是（）A1B2C3D4【答案】A【解析】对于，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故错误；对于，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故正确；对于，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故错误；对于，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故错误.故选：A知识点04向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）规定：与任一向量共线知识点诠释：1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系3、共线向量与相等向量

7、的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量【即学即练4】（2024高一课时练习）如图所示，ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.（1）写出与共线的向量；（2）写出与的模大小相等的向量；（3）写出与相等的向量.【解析】（1）因为E，F分别是AC，AB的中点，所以.所以与共线的向量有：，；（2）由（1）知且，又D是BC的中点，故与模相等的向量有： ，；（3）与相等的向量有：与.题型一：向量的基本概念例1（2024全国高一假期作业）给出下列命题：和的模相等；方向不同的两个向量一定不平行；其中正确命题的个数是（）A0B1C2D3【答案】B【解析】正确，和是方向

8、相反、模相等的两个向量；错误，方向不同包括反向共线；错误，是一个向量，而0为数量，；错误，向量不能比较大小，故选B例2（2024海南高一校考）下列各物理量表示向量的是（）A质量B距度C力D体重【答案】C【解析】由向量的定义可知，力为向量，质量、距离、体重都为数量.故选：C.例3（2024新疆高一校考）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（）A向量可以用表示B向量的方向由指向C向量的起点是D向量的终点是【答案】D【解析】由图可知，向量可以用表示，故A正确；向量的方向由指向，故B正确；向量的起点是，故C正确；向量的终点是，故D不正确.故选：D【方法技巧与总结】解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单

9、位向量与零向量要特别注意方向问题题型二：向量的表示方法例4（2024全国高一随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量(1)终点A在起点O正东方向3m处；(2)终点B在起点O正西方向3m处；(3)终点C在起点O东北方向4m处；(4)终点D在起点O西南方向2m处【解析】（1）从向东作长度为3m的有向线段：（2）从向西作长度为3m的有向线段：（3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段：（4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段：例5（2024安徽淮北高一濉溪县临涣中学校考阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量(1)，点在点的正西方向；(2)，点在点的北偏西方向；(3)求出的值【解

10、析】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：（2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：（3）.例6（2024高一课时练习）如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集SA,B,C,D,O，向量集合且M，N不重合，试求集合T中元素的个数【解析】由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，；，；，；，；，.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即，.又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个变式1（2024高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达

11、C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方(1)作出、（图中1个单位长度表示100m）；(2)求的模【解析】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为，又因为D点在B点的正北方，所以，又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，；即可作出、如下图所示.（2）如图，作出向量，由题意可知，且，所以四边形是平行四边形，则，所以的模为变式2（2024高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知，与x轴的正方向所成的角为30，与y轴的正方向所成的角为120，试作出.【解析】如图，根据方位角及长度来确定.【方法技巧与总结】作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量

12、的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点题型三：利用向量相等或共线进行证明例7（2024高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，分别是，的中点.(1)写出与向量共线的向量；(2)求证：.【解析】（1）因为在平行四边形中，分别是，的中点，所以四边形为平行四边形，所以.所以与向量共线的向量为：，.（2）证明：在平行四边形中，.因为，分别是，的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，故.例8（2024高一课时练习）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，(1)与模长相等的向量有多少个？(2)写出与相等的向量有哪些？(3)与共线的向量有哪些？(4)请列出与相等的向量【解析】（1）因为四边形为正方形

13、，为平行四边形，所以，所以与模长相等的向量有、共个.（2）与相等的向量有、.（3）与共线的向量有，.（4）因为为平行四边形，所以且，所以与相等的向量为.例9（2024高一课时练习）如图，多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中：(1)写出与相等的向量；(2)写出的负向量；(3)写出与平行的向量；(4)写出与长度相等的向量【解析】（1）两向量相等是指两向量方向相同，长度相等，由图可得与相等的向量为：，；（2）向量的负向量是指与方向相反，长度相等的向量，由图可得的负向量为：，；（3）两向量平行，是指两向量方向相同或相反，由图可得平行的向量为：，.（4）由图，因图形

14、为正六边形，则，故与长度相等的向量为：，.变式3（2024高一课时练习）如图，已知四边形中，分别是，的中点，且，求证：.【解析】因为，所以且，所以四边形是平行四边形，所以且.又与的方向相同，所以.同理可证，四边形是平行四边形，所以.因为，所以，又与的方向相同，所以变式4（2024高一课时练习）如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，.（1）求证：；（2）求.【解析】(1)由题意知，在中，所以，是直角三角形，因为点为半圆上一点，所以所以，故(2)因为，所以，即，解得，即。【方法技巧与总结】相等向量与共线向量的探求方法（1）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，

15、再确定哪些是同向共线（2）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量题型四：向量知识在实际问题中的简单应用例10（2024全国高一随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）【解析】由题意，所以向量的长度为2 n mile例11（2024高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地画图表示向量，并指出向量的模和方向【解析】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方

16、向建立直角坐标系由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，向量如图所示，由已知可得，为正三角形，所以又，所以为等腰直角三角形，所以，故向量的模为，方向为东南方向例12（2024高一课时练习）一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求：（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.【解析】（1）画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即.（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为.由于，故方向约为北偏东53.变式5（2024高一课时练习）一

17、位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角度，继续按直线方向前进1m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角度，然后继续按直线方向前进1m，按此方法继续操作下去.（1）作图说明当时，最少操作几次可使赛车的位移为0？（2）按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的操作.【解析】记出发点A.（1）当时，如图，赛车行进路线构成一个正八边形，最少操作8次可使赛车的位移为0，赛车所行路程是8m.（2）当时，如图，赛车行进路线构成一个正三角形，最少操作3次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为3m；当时，如图，赛车行进路程构成一个正方形，最少操作4次可使赛车回到出发点，赛车所行

18、路程为4m；当时，如图，赛车行进路线构成一个正六边形，最少操作6次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为6m.【方法技巧与总结】准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向.一、单选题1（2024黑龙江高三校联考阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（）ABCD【答案】C【解析】因为，故同向.对于A:，方向相反,A选项错误；对于B:，得出,不能得出方向，B选项错误；对于C:,方向向相同,则成立，C选项正确；对于D:,不能确定的方向，D选项错误.故选：C2（2024福建龙岩高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）AB、是单位向量，则C若，则D任一非

19、零向量都可以平行移动【答案】C【解析】对于A项，因为，所以，故A项正确；对于B项，由单位向量的定义知，故B项正确；对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；对于D项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确.故选：C.3（2024河南高三校联考阶段练习）已知四边形，下列说法正确的是（）A若，则四边形为平行四边形B若，则四边形为矩形C若，且，则四边形为矩形D若，且，则四边形为梯形【答案】A【解析】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确；选项，如图，但是四边形不是矩形，错误；选项，若，且，则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误选项，若，且，则四边形可以是平行四边形，也可以

20、是梯形，故错误.故选：A4（2024北京高一北京市第九中学校考）给出下列命题正确的是（）A若，则B若，则C若且，则D若，则【答案】B【解析】对于A，当与方向不同时，不成立，A错误，对于B，若，则，B正确，对于C，当与方向相反时，不成立，C错误，对于D，当时，满足，但不一定成立所以D错误.故选：B5（2024黑龙江哈尔滨高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）下列命题：若，则；的充要条件是且若，则；若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（）A0B1C2D3【答案】B【解析】对于，若，则模相等，方向不一定相同，故错误；对于，当时也满足且，故错误；对于，当时，满足，但不

21、一定成立；对于，若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，正确.故真命题的个数是1个.故选：B6（2024湖南长沙高一长沙一中校考阶段练习）下列命题：若，则；若，则；的充要条件是且；若，则；若、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（）ABCD【答案】A【解析】对于，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，错；对于，若，则，对；对于，且或，所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，错；对于，取，则、不一定共线，错；对于，若、是不共线的四点，当时，则且，此时，四边形为平行四边形，当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知，所以，若、是不共线的四点，则是

22、四边形为平行四边形的充要条件，对.故选：A.7（2024浙江高三专题练习）给出下列命题：两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；若与同向，且，则；，为实数，若，则与共线其中假命题的个数为（）A1B2C3D4【答案】C【解析】不正确当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线；正确，|且；又是不共线的四点，四边形是平行四边形反之，若四边形是平行四边形，则且与方向相同，因此；不正确两向量不能比较大小不正确当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线故选：.8（2024全国高三专题练习）如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过

23、点，且，则下列等式中成立的是（）ABCD【答案】D【解析】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错；因为，则，则，则，即，即，则，即为的中点，所以，C错，D对.故选：D.二、多选题9（2024宁夏银川高一校考阶段练习）在下列结论中，正确的结论为（）A且是的必要不充分条件B且是的既不充分也不必要条件C与方向相同且是的充要条件D与方向相反或是的充分不必要条件【答案】ACD【解析】因为且，所以或，若，则与方向相同且，所以且是的必要不充分条件，故选项A正确，选项B错误；对于选项C，因为与方向相同且，所以，反之，若，则与方向相同且，所以与方向相同且是的充要条件，正确；对于选项D，若与方向相反或，则，若

24、，则与方向不同或，即由得不到与方向相反或，所以与方向相反或是的充分不必要条件，正确.故选：ACD10（2024高一校考课时练习）下列说法中错误的是（）A若|=|，则=B若，则|C零向量的长度为0D若则【答案】AB【解析】因为向量既有大小又有方向, 所以只有方向相同、大小 (长度) 相等的两个向量才相等, 故 A错误; 两个向量不相等, 但它们的模可以相等, 故B错误; 零向量的长度为 0 , 故 C正确; , 则 它们的相反向量 也相等,故D正确. 故选：AB.11（2024江苏无锡高三统考开学考试）下面的命题正确的有（）A方向相反的两个非零向量一定共线B单位向量都相等C若，满足且与同向，则D

25、“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”【答案】AD【解析】对于A，由相反向量的概念可知A正确；对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.故选：AD.12（2024广东佛山高一校考阶段练习）下列叙述中错误的是（）A若，则B若，则与方的方向相同或相反C若且，则D对任一向量，是一个单位向量【答案】ABD【解析】对于A，向量不能

26、比较大小，A错误；对于B，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，因为不为零向量，所以与是共线向量，故C正确；对于D，当时，无意义，故D错误.故选：ABD三、填空题13（2024上海浦东新高一上海市进才中学校考）下列关于向量的命题，序号正确的是 .零向量平行于任意向量；对于非零向量，若，则；对于非零向量，若，则；对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.【答案】【解析】因为零向量与任一向量平行，所以正确；对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，故不一定等于，故错误；对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故正确；对于非零向量，若，则

27、和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合.故选：14（2024高一课时练习）下列说法正确的是 （写序号）若与共线，则点A、B、C、D共线；四边形为平行四边形，则；若，则；四边形中，则四边形为正方形【答案】【解析】若与共线，则点，共线，不正确，比如平行四边形的对边；若四边形为平行四边形，则，不正确；若，则，正确；在四边形中，且，则四边形为正方形或菱形，不正确；故答案为：.15（2024全国高一专题练习）给出下列命题：若 ，则；若单位向量的起点相同，则终点相同；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上其中正确命题的序号是 【答

28、案】【解析】考虑的情况；根据单位向量的定义判断.根据相等向量的定义判断.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直线可能平行也可能重合.错误若，则不成立；错误起点相同的单位向量，终点未必相同；正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；错误共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上故答案为：四、解答题16（2024高一课时练习）若向量，满足，求的最大值及最小值.【解析】因为，所以，当且仅当向量，方向相同时取得等号；，当且仅当向量，方向相反时取得等号.所以的最大值是18，最小值是6.17（2024四川凉山高一四川省越西中学校考阶段练习

29、）如图所示，43的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：（1）与相等的向量共有几个；（2）与方向相同且模为的向量共有几个；【解析】由题可知，每个小方格都是单位正方形，每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，则，（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，则与相等的向量共有5个，如图1；（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.18（2024高一课时练习）如图所示，平行四边形中，是两对角线，的交点，设点集，向量集合，试求集合中元素的个数.【解析】由题可知，集合中的元素实质上是中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，。由平行四边形的性质可知，共有对向量相等：即，因为集合元素具有互异性，所以集合中的元素共有12个。19（2024全国高三专题练习）如图所示，43的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与相等的向量共有几个；(2)与平行且模为 的向量共有几个？(3)与方向相同且模为3 的向量共有几个？【解析】(1)根据相等向量的概念，可得与向量相等的向量共有5个(不包括本身)(2) 根据向量的模的概念，可得与向量平行且模为 的向量共有24个(3) 根据向量的模概念，可得与向量方向相同且模为3的向量共有2个