9.4 向量的应用-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第二册）.docx

1、9.4 向量的应用【考点梳理】考点一向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.(3)把运算结果“翻译”成几何关系.考点二向量方法解决物理问题的步骤用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.技巧：(1)用向量法求长度

2、的策略根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2a2求解.建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a(x，y)，则|a|.(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解.坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.【题型归纳】题型一：用向量证明线段垂直问题1（2021春浙江高一期末）已知点O为ABC所在平面内一点，且，则O一定为ABC的（）A外心B内心C垂心D重心2（2022春四川成都高一统考期末）已知平面四

3、边形中，向量的夹角为.(1)求证：；(2)点是线段中点，求的值.3（2022春全国高一期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.(1)用表示；(2)如果，用向量的方法证明：.题型二：用向量解决夹角问题4（2022春福建厦门高一福建省同安第一中学校考阶段练习）在中，动点位于直线上，当取得最小值时，的正弦值为（）ABCD5（2022春福建福州高一福建省福州第一中学校考期中）已知梯形中，E为的中点，F为与的交点，(1)求和的值；(2)若，求与所成角的余弦值6（2021春重庆高一校联考期末）如图，在中，已知，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.(1)求线段，的长；(2)求的

4、余弦值.题型三：用向量解决线段的长度问题7（2022春辽宁锦州高一统考期末）已知，点D在边上且，则长度为（）ABCD8（2022春福建福州高一福州四中校考期末）平面内不同的三点O，A，B满足，若，的最小值为，则（）ABCD9（2022春新疆乌鲁木齐高一乌鲁木齐市第70中校考期末）如下图，在中，为边上的一点，且与的夹角为.(1)求的模长(2)求的值.题型四：向量与几何最值问题10（2022春辽宁沈阳高一沈阳二十中校联考期末）如下图，在平面四边形ABCD中，若点M为边BC上的动点，则的最小值为（）ABCD11（2022春广西柳州高一校考阶段练习）在中，为边中点(1)求的值；(2)若点满足，求的最小

5、值；12（2022浙江高一校联考期中）在中，已知，设点为边上一点，点为线段延长线上的一点，且.(1)当且是边上的中点时，设与交于点，求线段的长；(2)若，求的最小值.题型五：向量在物理中的应用13（2022春山东烟台高一烟台二中校联考期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（）ABCD14（2022全国高一假期作业）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸假设游船

6、在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向，则游船正好到达处时，等于（）ABCD15（2022春吉林长春高一长春外国语学校校考阶段练习）一只鹰正以与水平方向成角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射下来，鹰在地面上影子的速度是50m/s，则鹰的飞行速度为（）ABCD题型六：平面向量应用的综合问题16（2022春上海浦东新高一上海师大附中校考期末）在梯形中，分别为直线上的动点.(1)当为线段上的中点，试用和来表示；(2)若，求；(3)若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值.17（2022春山东枣庄高一统考期末）在中，是线段的靠近点的三等分点(1)

7、用表示；(2)求的长度18（2022春上海浦东新高一上海市建平中学校考期末）已知等边三角形ABC的边长为2，P为三角形ABC所在平面上一点(1)若，求PAB的面积；(2)若，求的最大值；(3)求的最小值【双基达标】一、单选题19（2022高一单元测试）已知非零向量和满足，且，则为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D三边均不相等的三角形20（2022春陕西渭南高一统考期末）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（）A1000JBC2000JD500J21（2022春四川内江高一统考期末）四边形ABCD中，则的

8、最小值为（）ABC3D322（2022春河南南阳高一统考期末）已知是的边上一点，且，则的最大值为（）ABCD23（2022春山东济宁高一统考期中）等边的外接圆的半径为1，M是的边AC的中点，P是该外接圆上的动点，则的最大值为（）A1B2CD024（2022春四川内江高一四川省资中县第二中学校考阶段练习）如图，在中，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）ABCD25（2022春辽宁沈阳高一校联考期中）如图，在边长为2的等边三角形中，D是的中点.(1)求向量与向量的夹角；(2)若O是线段上任意一点，求的最小值.26（2022春上海长宁高一上海市延安中学校考阶段练习）如图，在直角三角形ABC中，其

9、中，设DE中点为M，AB中点为N(1)若，求证：C、M、N三点共线；(2)若，求的最小值【高分突破】一、单选题27（2022全国高一）已知P是等边三角形ABC所在平面内一点，且，则的最小值是（）A1BCD228（2022全国高一假期作业）已知平面向量，满足，且，则最小值为（）ABCD29（2022全国高一假期作业）骑自行车是一种能改善心肺功能的耐力型有氧运动，深受大众喜爱如图所示是某一型号自行车的平面结构示意图，已知图中自行车的前轮圆，后轮圆的半径均为，均为边长为4的正三角形，设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（）A12B24C36D4830（2022春江苏无锡高一无锡市

10、第一中学校考期中）在中，为的重心，若，则外接圆的半径为()AB1C2D二、多选题31（2022高一课时练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（）A越大越费力，越小越省力B的取值范围为C当时，D当时，32（2022春江苏南通高一金沙中学校考期末）直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（）A的取值范围是B点经过的外心C点所在轨迹的长度为2D的取值范围是33（2022春福建福州高一校联考期末）是的重心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）AB在方向上的投影向量等于CD的最

11、小值为34（2022春广东梅州高一统考期末）在ABC中，下列正确的是（）A若，则ABC为钝角三角形B若，则ABC为直角三角形C若，则ABC为等腰三角形D已知，且，则ABC为等边三角形35（2022秋河南洛阳高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有（）AB直线过边的中点CD若，则三、填空题36（2023高一课时练习）在中，若，则O是的_心37（2022春上海长宁高一上海市第三女子中学校考期末）在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_38（2022春江苏南通高一金沙中学校考期末）如图，正八边形中，若，则的值为_39（2022高一课时练习）已知A，B，

12、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为，则的形状为_.40（2022高一课时练习）若平面上的三个力，作用于同一点，且处于平衡状态已知，且与的夹角为，则与的夹角为_41（2022全国高一假期作业）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是_.四、解答题42（2022春山东枣庄高一统考期中）如图，在中，点在线段上，且(1)求的长；(2)求43（2022春江苏连云港高一连云港高

13、中校考期中）在直角坐标平面内，已知向量，为满足条件（）的动点当取得最小值时，求：(1)向量的坐标；(2)的值；(3)求点A到直线的距离44（2022春浙江台州高一校联考期中）在直角梯形中，已知，动点、分别在线段和上，和交于点，且，(1)当时，求的值；(2)当时，求的值；(3)求的取值范围45（2022春江苏扬州高一统考期中）已知正六边形的边长为1，(1)当点满足_时，（注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）(2)若点为线段（含端点）上的动点，且满足，求的取值范围；(3)若点H是正六边形内或其边界上的一点，求的取值范围.【答案详解】1C【解析】利用向量的等式关系，

14、转化成，利用向量加减法运算化简得到，即证，再同理证得，即得是的垂心【详解】由得：，即，故，故，又，即，同理，即，所以是的垂心故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于将模的平方转化成向量的平方，进行向量的灵活运算，才能证得垂直关系，突破难点.2(1)证明见解析；(2).【分析】（1）画出示意图，根据边的关系可得，因而（2）以B为原点建立平面直角坐标系，写出各个点坐标，进而根据平面向量数量积的坐标运算即可求出结果【详解】（1）根据题意，画出示意图如下图所示由题意可知， ，所以三角形ABD为等边三角形，则，又 ，所以，即为直角三角形，且 ，所以，所以 ；（2）根据题意，建立如图所示的平面直角

15、坐标系，则，因为点是线段中点，所以， 则 ，所以，3(1)，.(2)证明见解析.【分析】（1）利用平面向量基本定理表示出；（2）利用数量积为0证明.【详解】（1）因为点是的中点，所以.因为，,所以.所以，.（2）由（1）可得： ，.因为，所以，所以.4C【分析】建立平面直角坐标系，写出坐标表示，利用二次函数求出最小值时的坐标，最后利用向量的夹角公式求解即可.【详解】建立如图所示平面直角坐标系：则,设，因为动点位于直线上，直线的方程为：，所以，当时，取得最小值，此时，所以，又因为，所以，故选：C.5(1)，(2)【分析】（1）由向量的运算得出，进而得出和的值；（2）由向量的运算得出，进而得出，再

16、由数量积公式求解即可.【详解】（1）根据题意，梯形中，E为的中点则又由可得，（2）是与所成的角，设向量与所成的角为，则，则则，因为所以所以与所成角的余弦值为.6(1)，(2)【分析】（1）由，根据向量数量积的运算即可求解；（2）由与的夹角即为，利用向量的夹角公式即可求解.(1)解：由题意，又，所以，即，=，即；(2)解：，=，与的夹角即为，.7D【分析】利用向量数量积去求长度即可.【详解】中，点D在边上且，则又，则，即长度为故选：D8C【分析】设，作关于的对称点，如图根据向量的线性运算化简题中的等式，利用点关于直线的对称性可得，结合余弦定理可得出，利用二倍角的余弦公式求出，最后根据即可求解.【

17、详解】解：由题意得：如图所示：设，则点在线段OB上运动故设 ，即作关于的对称点，设，即在中，由余弦定理可得：，解得：故选：C9(1)；(2).【分析】（1）用表示出，然后可计算出答案；（2），然后可计算出答案.（1）因为，所以，因为，与的夹角为，所以，所以；（2）10B【分析】以点为原点，以，所在的直线为和轴，建立平面直角坐标系，设，得到，即可求解.【详解】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，过点作轴，过点作轴，因为且，则，所以，设，则，所以，所以的最小值为.故答案为：B.11(1)(2)最小值为【分析】（1）以为坐标原点，边所在的直线为轴的正方向建立

18、平面直角坐标系求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算可得答案；（2）根据点在上，设，求出、的坐标，则，利用二次函数配方求最值可得答案.【详解】（1）如图，以为坐标原点，边所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标系，所以，为边中点，所以，则；（2）若点满足，则点在上，由（1），设，则，则，所以当时的最小值为.12(1)；(2).【分析】（1）根据点是三角形的重心，结合三角形重心的向量表示以及数量级运算，即可求得结果；（2）设，根据平面向量的线性运算结合题意，求得与的关系，再求得关于的函数关系，求该函数的最小值即可.【详解】（1）设，当，是的中点时，则是的重心，,.（2）设，则，由，得：.，因为，所

19、以，令，则当且仅当时取到等号，所以的最大值是又，在上单调递减，所以.故的最小值为.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的线性运算以及数量积运算，解决问题的关键是充分掌握三角形重心的向量表示，以及根据题意，建立参数与的对应关系，求函数的最值，属综合困难题.13C【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小【详解】解：由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：，在中，有，所以，所以，所以，所以小货船航行速度的大小为，故选：C.14D【分析】由

20、题意分析可得，即可求解.【详解】设船的实际速度为，因为点在A的正北方向，所以，所以.故选：D.15C【分析】根据题意知水平速度为50m/s，然后由 求解.【详解】解：如图所示：由题意知：，所以，故选：C16(1)；(2)；(3)1.【分析】(1)结合条件证明，再用和来表示即可；(2)利用表示，根据模的性质和数量积的性质求；(3)由条件确定的关系，结合基本不等式求的最大值.【详解】（1）因为为线段上的中点，所以，又方向相同，所以，所以；（2）因为，所以，因为，所以，所以，又，所以又，所以；（3）设线段的中点为，连接，交与点，由已知为的重心，由重心性质可得，又，所以，设，所以，由基本不等式可得，所

21、以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1.17(1)(2)【分析】（1）结合图形由向量的线性分解知识可以得到；（2）利用向量的模长计算线段的长度，将向量平方结合数量积运算可得结果.(1)由题意知，所以(2)，所以18(1)；(2)；(3).【分析】（1）由重心的性质有，结合三角形面积公式求PAB的面积；（2）由题设，可得，再应用基本不等式求目标式最值，注意等号成立条件.（3）构建直角坐标系并设P（x，y），确定相关点坐标，利用向量数量积的坐标运算求，即可得结果，注意最值对应x、y.(1)由题设知：P为ABC的重心，故；(2)由于，即，则，当且仅当时取到等号，故的最大值为；(3)以BC的中点O为

22、原点，分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，设P（x，y），易知A（0，），B（1，0），C（1，0），则化简得，故的最小值为，当且仅当时取到等号.19A【分析】根据向量加法和线性运算可知向量与的平分线共线，根据可知的平分线与对边垂直，由此可知ABC是等腰三角形；再由和向量数量积的定义可求出的大小，从而可判断ABC的形状【详解】即方向上的单位向量，即方向上的单位向量，向量与的平分线共线，又由可知的平分线与对边垂直，则ABC是等腰三角形，即，ABC为等边三角形故选：A20A【分析】利用功的计算公式以及向量数量积定义，列式求解即可【详解】解：因为且与小车的位移方向的夹角为，又力作用于小车，使小

23、车发生了40米的位移，则力做的功为故选：A21D【分析】延长交于，设，结合条件及数量积的定义可得，然后利用二次函数的性质即得.【详解】延长交于，因为，为等边三角形，设，则，所以当时，的最小值为.故选：D.22A【分析】求出的值，由已知可得出，可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【详解】因为，则为锐角，由，可得，因为，则，则，所以，则，可得.当且仅当时，等号成立，故的最大值为.故选：A.23A【分析】先将所求问题中的向量转换成起点为外心的向量，再根据向量数量积建立函数模型，最后通过函数思想即可求解【详解】如图，设等边的外心为，又半径为1，且是的边的中点，、三点共线，且，又，当时，的最大值为故选

24、：A24D【分析】本题主要利用向量的线性运算和即可求解.【详解】解：由题意得：设，则又由，不共线，解得：故选：D25(1)(2)【分析】（1）根据平面向量的夹角公式计算可得结果；（2）将表示为的函数，再根据二次函数知识可求出结果.(1)由题意可得，.因为，故向量与向量的夹角为.(2).当时，取得最小值，且最小值为.26(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据平面向量基本定理，化简得证明即可；（2）根据，代入化简可得，再根据二次函数的最值分析最小值即可【详解】（1）当时， ，故，故C、M、N三点共线，即得证（2）当时，故，故，故当时，取得最小值，即的最小值为27A【分析】作出辅助线，利用向量的线

25、性运算及数量积运算法则得到，数形结合得到当B，P，O三点共线时，PO取得最小值2，从而求出最小值.【详解】设AC中点为O，连接OB，则OB3，因为，所以P点在以B为圆心，1为半径的圆上，所以，显然，当B，P，O三点共线时，PO取得最小值2，故选：A28D【分析】根据，得到，不妨设，利用坐标法求解.【详解】解：因为，所以，又，所以，如图所示：不妨设，则，所以，因为，所以，即，表示点C在以为圆心，以2为半径的圆上，所以最小值为，故选：D29C【分析】以为基底，表示，根据数量积的计算以及性质，即可求解.【详解】选择为基底，故选:C30B【分析】根据向量数量积的分配率结合可得，即AGCB，结合G为AB

26、C重心可得ABC为等腰三角形，再根据几何关系即可求ABC外接圆半径【详解】延长AG交BC于D，G是ABC重心，AD为ABC中线，即ADBC，故ABC是等腰三角形，且，则ABC外接圆圆心在AD上，设为O，则OA=OC，OAC=，OAC是等边三角形，OA=OC=AC=AB=1，即ABC外接圆半径为1故选：B31AD【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解.【详解】对于A，根据题意，得，所以，解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故A正确；对于B，由题意知的取值范围是，故B错误；对于C，因为，所以当时，所以，故C错误；对于D，因为，所以当时，所以，故D正确.故选：AD

27、.32ABD【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A；若为中点，根据已知有共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断D.【详解】由，又斜边，则，则，A正确；若为中点，则，故，又，所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误；由上，则，又，则，当且仅当等号成立，所以，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断轨迹，求、.33ACD【分析】根据向量的线性运算结合重心的性质判断A，根据投影向量的定义判断B，根据向量的数量积的运算律判断CD.【详解】

28、对于A，当点为的重心时，如图所示：四边形为平行四边形，根据重心性质可得.则，A正确；对于B，在方向上的投影为，在方向上的投影向量为，B错误；对于C，是的重心，所以，C正确；对于D，如下图，取的中点，连接，取中点，连接，则，则，显然当重合时，取最小值，D正确.故选：ACD34BCD【分析】对A，根据向量的数量积运算分析即可；对B，对两边平方判断即可；对C，根据平面向量数量积的运算求解即可；对D，根据，结合数量积的运算可得，进而得到判断即可【详解】对A，即，即，可得，不能证明ABC为钝角三角形，故A错误；对B，即，解得，故，故B正确；对C，若，则，故，故ABC为等腰三角形，故C正确；对D，因为，故

29、，即，又，所以，故，故，同理，结合可得，故ABC为等边三角形，故D正确；故选：BCD35ACD【分析】根据向量间的线性关系及向量数量积的运算律化简求值判断A、D；若得到是的重心，根据与不平行、相关三角形面积关系判断B、C.【详解】，则，A正确；若，则，所以是的重心，直线过中点，而与不平行，所以直线不过边的中点，B错误；又，而，所以，C正确；若，且，所以，而，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：注意向量之间的线性关系，结合向量数量积的运算律化简求值；根据重心的性质求三角形的面积关系.36垂【分析】根据向量数量积的运算律以及减法法则可得，即可求解.【详解】由得,所以，因此 ，同理,因此O是的垂

30、心，故答案为：垂37【分析】根据平面向量运算法则得到，利用数量积公式得到，设，从而得到，结合求出取值范围.【详解】因为是的中线，所以，故，因为，设，则，所以，故当时，取得最小值，最小值为，当或3时，.故答案为：.38【分析】以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，由正八边形的性质可得轴，为等腰直角三角形，设，求出、点坐标及、坐标，根据的坐标运算可得答案.【详解】如图，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，所以，所以，即轴，为等腰直角三角形，设，则，所以，所以，与关于轴对称，所以，由得，即，解得，所以.故答案为：.

31、【点睛】本题主要考查了平面向量坐标法解决几何问题，建立坐标系是解题的关键，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题39等腰直角三角形【分析】求出向量，计算数量积，计算它们的模后可判断三角形形状【详解】由已知，得，又，是等腰直角三角形.故答案为：等腰直角三角形.40【分析】根据题意建立直角坐标系，得到力，的坐标，再根据向量夹角坐标公式，即可求得结果.【详解】如图，以和的公共起点为原点，以的方向为轴正方向建立平面直角坐标系设，因为，且与的夹角为，可得，所以，因为三个力，作用于同一点，且处于平衡状态，所以，所以，则，所以设与的夹角为，则因为，所以，所以与的夹角为故答案为:.41【分

32、析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小.【详解】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东，在中，有，所以，所以，所以，所以小货船航行速度的大小为故答案为：42(1)(2)【分析】（1）用、表示，再根据、的长度和夹角可求出结果；（2）根据夹角公式可求出结果.（1）设，则故（2）因为所以43(1)(2)(3)【分析】（1）先表示出，再表示出，利用二次函数研究最值；（2）直接利用向量的

33、夹角公式求解；（3）直接利用公式求出点A到直线PB的距离.【详解】（1），当取得最小值时，t2（2，4）（2），（3）设点A到直线PB的距离为h，则h44(1)；(2)；(3)【分析】(1)在直角梯形ABCD中，根据几何关系求出ABC和BC长度，当AEBC时，求出BE长度，从而可得；(2)设，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于x、y的方程组，解方程组可得；(3)以为基底表示出、，从而表示出，求出的范围即可求出的范围(1)在直角梯形中，易得，为等腰直角三角形，故；(2)，当时，设，则，不共线，解得，即；(3)，由题意知，当时，取到最小值，当时，取到最大值，的取值范围是45(1)答案见解析(2)(3)【分析】(1)根据题意，建立坐标系，设，所以，根据，可得为直线AD上的任意一点即可.(2)建系，设，由可得：，利用的取值范围，最后可得的取值范围(3) 设，因为点H是正六边形内或其边界上的一点，则，进而，利用的取值范围即可求解(1)建系如图，则因为，设，所以，又因为，所以，可得，又因为，所以，直线：，所以， M为直线AD上的任意一点即可(答案不唯一).故答案为： (答案不唯一)(2)建系如图，则设，由可得：所以解得所以 故答案为：(3)设，因为点H是正六边形内或其边界上的一点，则，则=故答案为：