平面向量5类解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）（学生版）.pdf

1、1平面向量 5 类解题技巧(“爪子定理”、系数和(等和线)、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题)技法 01“爪子定理”的应用及解题技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握知识迁移形如 AD=xAB+yAC条件的应用(“爪子定理”)“爪”字型图及性质：(1)已知 AB,AC为不共线的两个向量，则对于向量 AD，必存在 x,y，使得 AD=xAB+yAC。则 B,C,D 三点共线 x+y=1当 0 x+y 1，则 D 与 A 位于 BC 两侧x+y=1 时，当 x 0,y 0，则 D 在线段 BC 上；当 xy 0，则 D 在线段

2、 BC 延长线上(2)已知 D 在线段 BC 上，且 BD:CD=m:n，则 AD=nm+n AB+mm+n AC1(全国高考真题)设 D 为 ABC 所在平面内一点，且 BC=3CD，则()A.AD=-13 AB+43 ACB.AD=13 AB-43 ACC.AD=43 AB+13 ACD.AD=43 AB-13 AC2(2023 江苏模拟)如图，在 ABC 中，AN=13 NC，P 是 BN 上的一点，若 AP=mAB+211 AC，则实数 m 的值为()A.911B.511C.311D.21121(2022全国统考高考真题)在 ABC 中，点 D 在边 AB 上，BD=2DA记 CA=m

3、，CD=n，则 CB=()A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n2(全国高考真题)在 ABC 中，AB=c，AC=b若点 D 满足 BD=2DC，则 AD=()A.23 b+13 cB.53 c-23 bC.23 b-13 cD.13 b+23 c3(2020新高考全国 1 卷统考高考真题)已知平行四边形 ABCD，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点(如图所示)，设 AB=a，AD=b，则 EF等于()A.12 a+bB.12 a-bC.12 b-aD.12 a+b4(全国高考真题)在 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 EB=()A.34

4、 AB-14 ACB.14 AB-34 ACC.34 AB+14 ACD.14 AB+34 AC5(江苏高考真题)设 D、E 分别是 ABC 的边 AB，BC 上的点，AD=12 AB，BE=23 BC.若DE=1AB+2AC(1,2为实数)，则 1+2的值是技法 02系数和(等和线)的应用及解题技巧近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，

5、同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用知识迁移3如图，P 为 AOB 所在平面上一点，过 O 作直线 l AB，由平面向量基本定理知：存在 x,y R，使得 OP=xOA+yOB下面根据点 P 的位置分几种情况来考虑系数和 x+y 的值若 P l 时，则射线 OP 与 l 无交点，由 l AB 知，存在实数，使得 OP=AB而 AB=OB-OA，所以 OP=OB-OA，于是 x+y=-=0若 P l 时，(i)如图 1，当 P 在 l 右侧时，过 P 作 CD AB，交射线 OA，OB 于 C,D 两点，则OCD OAB，不妨设 OCD 与 OAB 的相似比为 k由 P,C，D

6、 三点共线可知：存在 R 使得：OP=OC+(1-)OD=kOA+k(1-)OB所以 x+y=k+k(1-)=k(ii)当 P 在 l 左侧时，射线 OP 的反向延长线与 AB 有交点，如图 1 作 P 关于 O 的对称点 P，由(i)的分析知：存在存在 R 使得：OP=OC+(1-)OD=kOA+(1-)OB所以 OP=-kOA+-(1-)OB于是 x+y=-k+-k(1-)=-k综合上面的讨论可知：图中 OP用 OA,OB线性表示时，其系数和 x+y 只与两三角形的相似比有关。我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容

7、易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过 O 作 AB 边的垂线 l，设点 P 在 l 上的射影为 P，直线 l 交直线 AB 于点 P1，则|k|=|OP|OP1|(k 的符号由点 P 的位置确定)，因此只需求出|OP|的范围便知 x+y 的范围1(全国高考真题)在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若 AP=AB+AD，则 +的最大值为()4A.3B.2 2C.5D.22(衡水中学二模)边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为 1，圆心在线段 CD(含短点)上运动，P 是圆 Q 上及其内部的动点，设向量 AP=

8、mAB+nAF(m,n R)，则 m+n 的取值范围是()A.1,2B.5,6C.2,5D.3,53 已知 ABC 为边长为 2 的等边三角形，动点 P 在以 BC 为直径的半圆上.若 AP=AB+AC，则2+的取值范围是1 在矩形 ABCD 中，AB=1,AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，若 AP=AB+AD，则 +的最大值为()A3B2 2C5D22 如图，正六边形 ABCDEF，P 是 CDE 内(包括边界)的动点，设 AP=AB+AF(,R)，则 +的取值范围是3 如图在直角梯形 ABCD 中，AB CD，AB AD，AD=DC=1，AB=3，动点 P 在以

9、 C 为圆心，且与直线 BD 相切的圆内运动，设 AP=AD+AB(,R)则 +的取值范围是54 若点 C 在以 P 为圆心,6 为半径的弧 AB上,且 PC=xPA+yPB,则 2x+3y 的取值范围为5(2023浙江高三专题练习)如图，在直角梯形 ABCD 中，AB AD，AB DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点 C，半径为 12，且点 P 在图中阴影部分(包括边界)运动若AP=xAB+yAC，其中 x，y R，则 4x-y 的取值范围是()A.2，3+3 24B.2，3+52C.3-24，3+52D.3-172，3+172技法 03极化恒等式的应用及解题技巧利用向量

10、的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。知识迁移6极化恒等式a b=(a+b)2-(a-b)24恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平

11、行四边形 ABCD 中,AB=a,AD=b则 a b=(AB+AD)2-(AB-AD)24在上述图形中设平行四边形 ABCD 对角线交于 M 点,则对于三角形来说:a b=(AB+AD)2-(AB-AD)24=|AM|2-|DB|241(全国高考真题)设向量 a，b 满足 a+b=10，a-b=6，则 a b=()A.1B.2C.3D.52(2023全国统考高考真题)正方形 ABCD 的边长是 2，E 是 AB 的中点，则 EC ED=()A.5B.3C.2 5D.51(江苏高考真题)如图，在 ABC 中，D 是 BC 的中点，E,F 是 A,D 上的两个三等分点，BA CA=4，BF CF=

12、-1，则 BE CE的值是.72 如图,在 ABC 中,已知 AB=4,AC=6,BAC=60,点 D,E 分別在边 AB,AC 上,且 AB=2AD,AC=3AE,若 F 为 DE 的中点,则 BF DE的值为3(2022北京统考高考真题)在 ABC 中，AC=3,BC=4,C=90 P 为 ABC 所在平面内的动点，且 PC=1，则 PA PB的取值范围是()A.-5,3B.-3,5C.-6,4D.-4,6技法 04奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量

13、中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、极化恒等式、本技法我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融合到一起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的 logo 相似而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。知识迁移81.奔驰定理如图，已知 P 为 ABC 内一点，则有 SPBC OA+SPAC OB+SPAB OC=0.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.2.奔驰定理的证明如图：延长 OA 与

14、BC 边相交于点 D则 BDDC=SABDSACD=SBODSCOD=SABD-SBODSACD-SCOD=SAOBSAOCOD=DCBC OB+BDBC OC=SAOCSAOC+SAOBOB+SAOBSAOC+SAOBOC ODOA=SBODSBOA=SCODSCOA=SBOD+SCODSBOA+SCOA=SBOCSAOC+SAOB OD=-SBOCSAOC+SAOBOA-SBOCSAOC+SAOBOA=SAOCSAOC+SAOBOB+SAOBSAOC+SAOBOC SBOC OA+SAOC OB+SAOB OC=03.奔驰定理的推论及四心问题推论 O 是 ABC 内的一点,且 x OA+y

15、 OB+z OC=0,则 SBOC:SCOA:SAOB=x:y:z有此定理可得三角形四心向量式(1)三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1.(2)三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.9(3)三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径 r.(4)三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤

16、其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点 O 在 ABC 内部，有以下四个推论：若 O 为 ABC 的重心，则 OA+OB+OC=0；若 O 为 ABC 的外心，则 sin2A OA+sin2B OB+sin2C OC=0；或 OA=OB=OC若 O 为 ABC 的内心，则 a OA+b OB+c OC=0；备注：若 O 为 ABC 的内心，则 sinA OA+sinB OB+sinC OC=0 也对.若 O 为 ABC 的垂心，则 tanA OA+tanB OB+tanC OC=0，或 OA OB=OB OC=OCOA1(宁夏高考真题)已知 O，N，P 在 A

17、BC 所在平面内，且 OA=OB=OC,NA+NB+NC=0，且 PAPB=PBPC=PCPA，则点 O，N，P 依次是 ABC 的(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心)A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心2(江苏高考真题)O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP=OA+AB|AB|+AC|AC|，0,+)，则 P 的轨迹一定通过 ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心3(2023全国高三专题练习)奔驰定理：已知点 O 是 ABC 内的一点，若 BOC,AOC,AOB 的面积分别记为 S1,S2,S3，则 S

18、1 OA+S2 OB+S3 OC=0“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”如图，已知 O 是 ABC 的垂心，且 OA+2OB+3OC=0，则 cosC=()10A.3 1010B.1010C.2 55D.551(2023 春上海长宁高三上海市延安中学校考期末)若 O 是 ABC 内一点，OA+OB+OC=0，则 O 是 ABC 的()A.内心B.外心C.垂心D.重心2(2023江苏高三专题练习)在 ABC 中，若 HA HB=HB HC=HC HA，则点 H 是 ABC的()A.垂心B.重心C.内心D.

19、外心3(2023 春湖南株洲高三炎陵县第一中学校联考期末)(多选)如图.P 为 ABC 内任意一点，角A,B,C 的对边分别为 a,b,c，总有优美等式 SPBCPA+SPACPB+SPABPC=0 成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有()A.若 P 是 ABC 的重心，则有 PA+PB+PC=0B.若 aPA+bPB+cPC=0 成立，则 P 是 ABC 的内心C.若 AP=25 AB+15 AC，则 SABP:SABC=2:5D.若 P 是 ABC 的外心，A=4，PA=mPB+nPC，则 m+n -2,1技法 05范围与最值的应用及解题技巧11平面向量

20、中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。本讲内容难度较大，需要综合学习。1(浙江高考真题)已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(a-c)(b-c)=0，则 c的最大值是A.1B.2C.2D.222(四川高考真题)在平面内，定点 A，B，C，D 满足 DA=DB=DC,DA DB=DB DC=DCDA=-2，动点

21、P，M 满足 AP=1，PM=MC，则 BM2的最大值是A.434B.494C.37+6 34D.37+2 3343(2023全国高三专题练习)若平面向量 a，b，c 满足 c=1，a c=1，b c=3，a b=2，则 a，b 夹角的取值范围是()A.6,2B.6,C.3,2D.3,1(湖南高考真题)已知 a,b 是单位向量，a b=0.若向量 c 满足 c-a-b=1,则 c的取值范围是()A.2-1，,2+1B.2-1，,2+2C.1，,2+1D.1，,2+22(湖南高考真题)已知点 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上运动，且 AB BC，若点 P 的坐标为(2，0)，则12PA+PB

22、+PC的最大值为A.6B.7C.8D.93(2023全国高三专题练习)已知平面向量 a=OA，b=OB，c=OC，满足 4OC AC=1-OA2，4OB CB=1-OC2，则向量 a-4b 与 c-2b 所成夹角的最大值是()A.6B.3C.23D.564(2022浙江湖州湖州市菱湖中学校考模拟预测)已知平面向量 a，b，c 满足 a=1，b=2，a2=a b，2c2=b c，则 c-a2+c-b2的最小值为.5(2023四川成都四川省成都市玉林中学校考模拟预测)在平面内，定点 A,B,C,O，满足OA=OB=OC=2，且 OA+OB+OC=0，则 AB=；平面内的动点 P,M 满足 AP=1，PM=MC，则|BM|2的最大值是