中考数学冲刺——函数压轴2（21-30）.pdf

1、春中考冲刺讲师：小鞠老师思考让我快乐初三中考冲刺系列中考函数压轴 2（#21-30）讲师：小鞠老师21如图，抛物线 yax2+bx3 与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式（2）点 N 是 y 轴负半轴上的一点，且 ON，点 Q 在对称轴右侧的抛物线上运动，连接 QO，QO 与抛物线的对称轴交于点 M，连接 MN，当 MN 平分OMD 时，求点 Q的坐标（3）直线 BC 交对称轴于点 E，P 是坐标平面内一点，请直接写出PCE 与ACD 全等时点 P 的坐标思考让我快乐【解答】解：（1）抛物线 yax2+bx3 经过 A

2、（1，0），B（3，0）两点，解得：，抛物线的解析式为：yx22x3（2）如图 1，设对称轴与 x 轴交于点 H，MN 平分OMD，OMNDMN，又DMON，DMNMNO，MNOOMN，OMON在 RtOHM 中，OHM90，OH1，M1（1，1）；M2（1，1）当 M1（1，1）时，直线 OM 解析式为：yx，依题意得：xx22x3解得：，点 Q 在对称轴右侧的抛物线上运动，Q 点纵坐标 y，当 M2（1，1）时，直线 OM 解析式为：yx，同理可求：，综上所述：点 Q 的坐标为：，（3）坐标为 P1（3，4），P2（1，6），P3（2，1），P4（4，1）初三中考冲刺系列中考函数压轴 2（

3、#21-30）讲师：小鞠老师思考让我快乐初三中考冲刺系列22已知：二次函数 yx24x+3a+2（a 为常数）（1）请写出该二次函数的三条性质；（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在 x4 的部分与一次函数 y2x1 的图象有两个交点，求 a 的取值范围初三中考冲刺系列中考函数压轴 2（#21-30）讲师：小鞠老师中考函数压轴 2（#21-30）讲师：小鞠老师思考让我快乐中考函数压轴 2（#21-30）讲师：小鞠老师【解答】解：（1）二次函数 yx24x+3a+2（x2）2+3a2，该二次函数开口向上，对称轴为直线 x2，顶点坐标为（2，3a2），其性质有：开口向上，有最小值 3a2，

4、对称轴为 x2（2）二次函数的图象在 x4 的部分与一次函数 y2x1 的图象有两个交点，x24x+3a+22x1，整理为：x26x+3a+30，364（3a+3）0，解得 a2，把 x4 代入 y2x1，解得 y2417，把（4，7）代入 yx24x+3a+2 得 71616+3a+2，解得 a，故该二次函数的图象在 x4 的部分与一次函数 y2x1 的图象有两个交点，a 的取值为a2初三中考冲刺系列思考让我快乐初三中考冲刺系列中考函数压轴 2（#21-30）讲师：小鞠老师23如图 1，在平面直角坐标系中，一次函数 yx+3 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于 B 点，抛物线 yx2

5、+bx+c 经过 A，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点 D，过点 D 作DCx 轴于点 C，交直线 AB 于点 E（1）求抛物线的函数表达式（2）是否存在点 D，使得BDE 和ACE 相似？若存在，请求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图 2，F 是第一象限内抛物线上的动点（不与点 D 重合），点 G 是线段 AB 上的动点连接 DF，FG，当四边形 DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点 G 的坐标思考让我快乐【解答】解：（1）在 yx+3 中，令 x0，得 y3，令 y0，得 x4，A（4，0），B（0，3），将 A（4，0），B（0，3）分别代入抛物线 yx2

6、+bx+c 中，得：，解得：，抛物线的函数表达式为：yx2+x+3（2）存在如图 1，过点 B 作 BHCD 于 H，设 C（t，0），则 D（t，），E（t，），H（t，3）；EC，AC4t，BHt，DHt2+t，DEt2+4tBDE 和ACE 相似，BEDAECBDEACE 或DBEACE当BDEACE 时，BDEACE90，即：BDCEACDEt（）（4t）（t2+4t），解得：t10（舍去），t24（舍去），t3，D（，3）当DBEACE 时，BDECAEBHCDBHD90，tanBDEtanCAE，即：BHACCEDHt（4t）（）（t2+t），解得：t10（舍），t24（舍），t3

7、，D（，）；综上所述，点 D 的坐标为（，3）或（，）；（3）G（，）中考函数压轴 2（#21-30）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列思考让我快乐24如图，直线 yx+4 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，抛物线 yx2+bx+c 经过B，C 两点，与 x 轴另一交点为 A点 P 以每秒个单位长度的速度在线段 BC 上由点 B 向点C 运动（点 P 不与点 B 和点 C 重合），设运动时间为 t 秒，过点 P 作 x 轴垂线交 x 轴于点 E，交抛物线于点 M（1）求抛物线的解析式；（2）如图，过点 P 作 y 轴垂线交 y 轴于点 N，连接 MN 交 BC 于点 Q，当时，求 t的值

8、；（3）如图，连接 AM 交 BC 于点 D，当PDM 是等腰三角形时，直接写出 t 的值初三中考冲刺系列中考函数压轴 2（#21-30）讲师：小鞠老师思考让我快乐中考函数压轴 2（#21-30）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列【解答】解：（1）直线 yx+4 中，当 x0 时，y4C（0，4）当 yx+40 时，解得：x4B（4，0）抛物线 yx2+bx+c 经过 B，C 两点解得：抛物线解析式为 yx2+3x+4（2）B（4，0），C（0，4），BOC90OBOCOBCOCB45MEx 轴于点 E，PBtBEP90RtBEP 中，sinPBEBEPEPBtxMxPOEOBBE4t，yPPEt

9、点 M 在抛物线上yM（4t）2+3（4t）+4t2+5tMPyMyPt2+4tPNy 轴于点 NPNONOEPEO90四边形 ONPE 是矩形ONPEtNCOCON4tMPCNMPQNCQ解得：t1，t24（点 P 不与点 C 重合，故舍去）t 的值为（3）当PDM 是等腰三角形时，t1 或 t1思考让我快乐25如图，抛物线 yax2+bx+c 经过 A（3，0），B（1，0），C（0，3）三点（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图 1，P 为抛物线上在第二象限内的一点，若PAC 面积为 3，求点 P 的坐标；（3）如图 2，D 为抛物线的顶点，在线段 AD 上是否存在点 M，使得以 M，A

10、，O 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由初三中考冲刺系列中考函数压轴 2（#21-30）讲师：小鞠老师思考让我快乐中考函数压轴 2（#21-30）讲师：小鞠老师【解答】解：（1）把 A（3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式 yax2+bx+c 得，解得，所以抛物线的函数表达式为 yx22x+3（2）如解（2）图 1，过 P 点作 PQ 平行 y 轴，交 AC 于 Q 点，A（3，0），C（0，3），直线 AC 解析式为 yx+3，设 P 点坐标为（x，x22x+3），则 Q 点坐标为（x，x+3），PQx22x+3（x+3）x23xSP

11、AC，解得：x11，x22当 x1 时，P 点坐标为（1，4），当 x2 时，P 点坐标为（2，3），综上所述：若PAC 面积为 3，点 P 的坐标为（1，4）或（2，3），（3）存在使得以 M，A，O 为顶点的三角形与ABC 相似的点 M，其坐标为（2，2）或（，），初三中考冲刺系列思考让我快乐初三中考冲刺系列中考函数压轴 2（#21-30）讲师：小鞠老师26如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y5x+5 与 x 轴，y 轴分别交于 A，C 两点，抛物线 yx2+bx+c 经过 A，C 两点，与 x 轴的另一交点为 B（1）求抛物线解析式及 B 点坐标；（2）若点 M 为 x 轴下方抛物线上

12、一动点，连接 MA、MB、BC，当点 M 运动到某一位置时，四边形 AMBC 面积最大，求此时点 M 的坐标及四边形 AMBC 的面积；（3）如图 2，若 P 点是半径为 2 的B 上一动点，连接 PC、PA，当点 P 运动到某一位置时，PC+PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由思考让我快乐中考函数压轴 2（#21-30）讲师：小鞠老师【解答】解：（1）直线 y5x+5，x0 时，y5C（0，5）y5x+50 时，解得：x1A（1，0）抛物线 yx2+bx+c 经过 A，C 两点解得：抛物线解析式为 yx26x+5当 yx26x+50 时，解得：x11，x25B（5，0）（2）如图 1

13、，过点 M 作 MHx 轴于点 HA（1，0），B（5，0），C（0，5）AB514，OC5SABCABOC4510点 M 为 x 轴下方抛物线上的点设 M（m，m26m+5）（1m5）MH|m26m+5|m2+6m5SABMABMH4（m2+6m5）2m2+12m102（m3）2+8S 四边形 AMBCSABC+SABM10+2（m3）2+82（m3）2+18当 m3，即 M（3，4）时，四边形 AMBC 面积最大，最大面积等于 18（可以直接利用点 M 是抛物线的顶点时，面积最大求解）（3）如图 2，在 x 轴上取点 D（4，0），连接 PD、CDBD541AB4，BP2PBDABPPBD

14、ABPPDAPPC+PAPC+PD当点 C、P、D 在同一直线上时，PC+PAPC+PDCD 最小CDPC+PA 的最小值为初三中考冲刺系列思考让我快乐中考函数压轴 2（#21-30）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列27探究活动一：如图 1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线 AB 上的三点 A（1，3）、B（2，5）、C（4，9），有 kAB2，kAC2，发现 kABkAC，兴趣小组提出猜想：若直线 ykx+b（k0）上任意两点坐标 P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1x2），则 kPQ是定值通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，kPQ 是定值，并且是直线 ykx+b（k0）

15、中的 k，叫做这条直线的斜率请你应用以上规律直接写出过 S（2，2）、T（4，2）两点的直线 ST 的斜率 kST探究活动二数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值如图 2，直线 DE 与直线 DF 垂直于点 D，D（2，2），E（1，4），F（4，3）请求出直线 DE 与直线 DF 的斜率之积综合应用如图 3，M 为以点 M 为圆心，MN 的长为半径的圆，M（1，2），N（4，5），请结合探究活动二的结论，求出过点 N 的M 的切线的解析式思考让我快乐中考函数压轴 2（#21-30）讲师：小鞠老师【解答】解：

16、（1）S（2，2）、T（4，2）kST故答案为：（2）D（2，2），E（1，4），F（4，3）kDE2，kDF，kDEkDF21，任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于1（3）设经过点 N 与M 的直线为 PQ，解析式为 ykPQx+bM（1，2），N（4，5），kMN1，PQ 为M 的切线PQMNkPQkMN1，kPQ1，直线 PQ 经过点 N（4，5），514+b，解得 b9直线 PQ 的解析式为 yx+9初三中考冲刺系列思考让我快乐28在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 yx22x，其顶点为 A（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点 A 的坐标，并说

17、明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”试求抛物线 yx22x 的“不动点”的坐标；平移抛物线 yx22x，使所得新抛物线的顶点 B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴与 x 轴交于点 C，且四边形 OABC 是梯形，求新抛物线的表达式中考函数压轴 2（#21-30）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列思考让我快乐中考函数压轴 2（#21-30）讲师：小鞠老师【解答】解：（1）a10，故该抛物线开口向上，顶点 A 的坐标为（1，1），当 x1，y 随 x 的增大而增大，当 x1，y 随 x 增大而减小；（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则 tt2

18、2t，解得：t0 或 3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；当 OCAB 时，新抛物线顶点 B 为“不动点”，则设点 B（m，m），新抛物线的对称轴为：xm，与 x 轴的交点 C（m，0），四边形 OABC 是梯形，直线 xm 在 y 轴左侧，BC 与 OA 不平行，OCAB，又点 A（1，1），点 B（m，m），m1，故新抛物线是由抛物线 yx22x 向左平移 2 个单位得到的；当 OBAC 时，同理可得：抛物线的表达式为：y（x2）2+2x24x+6，当四边形 OABC 是梯形，字母顺序不对，故舍去，综上，新抛物线的表达式为：y（x+1）21初三中考冲刺系列思考让我快乐中考函数压轴

19、 2（#21-30）讲师：小鞠老师19如图，抛物线 C1：yx22x 与抛物线 C2：yax2+bx 开口大小相同、方向相反，它们相交于 O，C 两点，且分别与 x 轴的正半轴交于点 B，点 A，OA2OB（1）求抛物线 C2 的解析式；（2）在抛物线 C2 的对称轴上是否存在点 P，使 PA+PC 的值最小？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由；（3）M 是直线 OC 上方抛物线 C2 上的一个动点，连接 MO，MC，M 运动到什么位置时，MOC 面积最大？并求出最大面积初三中考冲刺系列思考让我快乐中考函数压轴 2（#21-30）讲师：小鞠老师【解答】解：（1）令：yx22x0，则

20、 x0 或 2，即点 B（2，0），C1、C2：yax2+bx 开口大小相同、方向相反，则 a1，则点 A（4，0），将点 A 的坐标代入 C2 的表达式得：016+4b，解得：b4，故抛物线 C2 的解析式为：yx2+4x；（2）联立 C1、C2 表达式并解得：x0 或 3，故点 C（3，3），作点 C 关于 C2 对称轴的对称点 C（1，3），连接 AC交函数 C2 的对称轴与点 P，此时 PA+PC 的值最小为：线段 AC的长度3，此时点 P（2，2）；（3）直线 OC 的表达式为：yx，过点 M 作 y 轴的平行线交 OC 于点 H，设点 M（x，x2+4x），则点 H（x，x），则

21、SMOCMHxC（x2+4xx）x2+x，0，故 x，故当点 M（，）时，SMOC 最大值为初三中考冲刺系列思考让我快乐初三中考冲刺系列中考函数压轴 2（#21-30）讲师：小鞠老师20已知：如图，抛物线 yax2+bx+3 与坐标轴分别交于点 A，B（3，0），C（1，0），点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线解析式；（2）当点 P 运动到什么位置时，PAB 的面积最大？（3）过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 AB 于点 D，再过点 P 作 PEx 轴交抛物线于点 E，连接DE，请问是否存在点 P 使PDE 为等腰直角三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理

22、由思考让我快乐【解答】解：（1）抛物线 yax2+bx+3 过点 B（3，0），C（1，0）解得：抛物线解析式为 yx22x+3（2）过点 P 作 PHx 轴于点 H，交 AB 于点 Fx0 时，yx22x+33A（0，3）直线 AB 解析式为 yx+3点 P 在线段 AB 上方抛物线上设 P（t，t22t+3）（3t0）F（t，t+3）PFt22t+3（t+3）t23tSPABSPAF+SPBFPFOH+PFBHPFOB（t23t）（t+）2+点 P 运动到坐标为（，），PAB 面积最大（3）点 P 坐标为（2，3）或（，）时使PDE 为等腰直角三角形初三中考冲刺系列中考函数压轴 2（#21-30）讲师：小鞠老师