四类立体几何题型-新高考数学大题秒杀技巧（解析版）.pdf

1、1四类立体几何题型-高考数学大题秒杀技巧立体几何问题一般分为四类：类型 1：线面平行问题类型 2：线面垂直问题类型 3：点面距离问题类型 4：线面及面面夹角问题下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.技巧：法向量的求算待定系数法：步骤如下：设出平面的法向量为 n=x,y,z找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a=a1,b1,c1，b=a2,b2,c2根据法向量的定义建立关于 x,y,z 的方程组 n a=0n b=0解方程组，取其中的一个解，即得法向量注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组 n a=0n b=0有无数多个解，只需给 x,y,z 中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法

2、向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量秒杀：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃(求外用外减，求内用内减)向 量 a=x1,y1,z1，b=x2,y2,z2是 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量，则 向 量 n=y1z2 y2z1,x2z1 x1z2,x1y2 x2y1是平面 的一个法向量.特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.类型 1：线面平行问题方法一：中位线型：如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中，点 E 是 PD 的中点.求证：PB 平面 AEC.分析：方法二：构造平行四边形如图,平行四边形 ABCD 和梯形

3、BEFC 所在平面相交，BE CF，求证：AE 平面 DCF.2分析：过点 E 作 EG AD 交 FC 于 G，DG 就是平面 AEGD与平面 DCF 的交线，那么只要证明 AE DG 即可。方法三：作辅助面使两个平面是平行如图，在四棱锥 O-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，M 为 OA 的中点，N 为 BC 的中点，证明：直线 MN平面 OCD分析：取 OB 中点 E，连接 ME,NE，只需证平面 MEN 平面 OCD。方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。已知公共边为 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内，P，Q 分别是对角线 AE，BD

4、上的点，且 AP=DQ(如图)求证：PQ 平面 CBE如图，已知三棱锥 P ABC，A、B、C 是 PBC,PCA,PAB 的重心.(1)求证：AB 面 ABC；方法五：(向量法)所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系(或找空间一组基底)及平面的法向量。线面平行问题专项训练31 如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1 平面 ABC，D、E 分别为 AC、AA1的中点，AC=AA1=2.(1)求证：DE 平面 A1BC；(2)求 DE 与平面 BCC1B1夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)104【详解】(1)证明：点 D、E 分别为 AC、AA1的中点，DE 为

5、三角形 ACA1的中位线，即 DE CA1，DE 平面 A1BC，CA1 平面 A1BC，DE 平面 A1BC(2)过点 A1作 B1C1的垂线，垂足为 F，连结 CF，因为平面 A1B1C1 平面 BCC1B1，且平面 A1B1C1 平面 BCC1B1=B1C1，A1F B1C1，所以 A1F 平面 BCC1B1，所以 CF 为 CA1在平面 BCC1B1的射影，A1CF 即为所求角，CF=12+22=5，A1F=3，A1C=22+22=2 2所以 cosA1CF=CFA1C=52 2=104.2 如图，在多面体 ABCDEFG 中，已知 ADGC 是正方形，GD EF,GF BC，FG 平

6、面 ADGC,M,N 分别是 AC,BF 的中点，且 BC=EF=12 CG=12 FG4(1)求证：MN 平面 AFG；(2)求直线 MN 与平面 BEF 所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)4 8585【详解】(1)如图，设 P 是 CG 的中点，连接 PM,PN M 为 AC 的中点，PM AG又 PM 平面 AGF,AG 平面 AGF，PM 平面 AGF同理可得，PN 平面 AGF PM PN=P,PM,PN 平面 PMN，平面 PMN 平面 AGF又 MN 平面 PMN，MN 平面 AGF(2)FG 平面 ADGC,CG,DG 平面 ADGC，FG CG,FG DG以 G 为

7、坐标原点，GD,GF,GC的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz不妨设 BC=1，则 G(0,0,0),M(1,0,2)，N 0,32,1,B(0,1,2),E(1,2,0),F(0,2,0)，MN=-1,32,-1,BE=(1,1,-2),BF=(0,1,-2)，设平面 BEF 的一个法向量为 n=(x,y,z)由 n BE=0,n BF=0得 x+y-2z=0,y-2z=0.令 z=1，得 n=(0,2,1)，设 MN 与平面 BEF 所成角为，则 sin=|cos|=|n MN|n|MN|=21725=4 8585 直线 MN 与平面 BEF 所

8、成角的正弦值为 4 858553 如图，在四棱锥 S-ABCD 中，ABCD 为直角梯形，AD BC，BC CD，平面 SCD 平面ABCD.SCD 是以 CD 为斜边的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=2，E 为 BS 上一点，且 BE=2ES.(1)证明：直线 SD 平面 ACE；(2)求二面角 S-AE-C 的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)3311【详解】(1)连接 BD 交 AC 于点 F，连接 EF因为 AD BC，所以 AFD 与 BCF 相似所以 BFFD=BCAD=2又 BEES=BFFD=2，所以 EF SD因为 EF 平面 ACE，SD 平面 ACE，所以直线

9、SD 平面 ACE(2)平面 SCD 平面 ABCD，平面 SCD 平面 ABCD=CD，BC 平面 ABCD，BC CD，所以 BC 平面 SCD以 C 为坐标原点，CD,CB所在的方向分别为 y 轴、z 轴的正方向，与 CD,CB均垂直的方向作为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz则 C(0，0，0)，S(1，1，0)，A(0，2，2)，E 23,23,43，CA=(0，2，2)，AS=1,-1,-2,AE=23,-43,-23,CE=23,23,43设平面 SAE 的一个法向量为 m=(x，y，z)，则 m AS=x-y-2z=0m AE=23 x-43 y-23

10、z=0，令 x=1，得 m=3,1,1，设平面 EAC 的一个法向量为 n=(x，y，z)，则 n CA=2y+2z=0n CE=23 x+23 y+43 z=0，令 z=1，得 n=(-1，-1，1)设二面角 S-AE-C 的平面角的大小为，则 cos=|m n|m|n|=33 11=3311 6所以二面角 S-AE-C 的余弦值为3311 4 如图，四边形 ABB1A1是圆柱 OO1的轴截面，点 M 是母线 CC1的中点，圆柱底面半径 R=2,AA1=2.(1)求证：O1C1 平面 A1BM；(2)当三棱锥 A1-ABC 的体积最大时，求平面 A1BM 与平面 CBM 夹角的余弦值.【答案

11、】(1)见解析(2)66【详解】(1)证明：连接 OO1，OO1 A1B=N，则 OO1 CC1，且 OO1=CC1，MC=MC1，连接 MN，A1O,O1B，由圆柱的性质可得A1O1 OB,A1O1=OB，所以四边形 A1OBO1是平行四边形，O1N=NO，所以 N 为 OO1中点，所以易知 O1C1 MN，O1C1 平面 A1BM，MN 平面 A1BM，所以 O1C1 平面 A1BM；(2)设 AC=a,BC=b，则 a2+b2=8，VA1-ABC=13 SABC AA1=13 ab 13 a2+b22=43，当且仅当 AC=BC=2 时取等，如图所示，建立空间直角坐标系 C-xyz，A1

12、 2,0,2,B 0,2,0,M 0,0,1，MB=0,2,-1,MA1=2,0,1，设平面 A1BM 的法向量为 n=x,y,z，所以 MB n=0MA1 n=0 2y-z=02x+z=0，令 z=2，y=1,x=-1，所以 n=-1,1,2，取平面 CBM 的法向量为 m=1,0,0，所以平面 A1BM 与平面 CBM 夹角的余弦值 cosm,n=m nm n=66，所以平面 A1BM 与平面 CBM 夹角的余弦值为66.5 在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中，A1A=AB=BC=CA=2，M、N 分别为棱 BC 和 CC1的中点，点 P是侧面 A1ABB1上的动点.7(1)若 C1P

13、平面 AMN，试求点 P 的轨迹，并证明；(2)若 P 是线段 AB1的中点，求二面角 P-MN-A 的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)105【详解】(1)取 A1A 的中点为 Q，连 C1Q，QB，C1B，则点 P 的轨迹为线段 BQ.证明：因为 M，N 分别为 BC 和 C1C 的中点，所以 MN BC1又因为 BC1 平面 ANN，MN 平面 AMN所以 BC1 平面 AMN又因为 Q 是 A1A 的中点，所以 AQ=12 A1A=12 C1C=C1N而 C1C A1A，所以 QA C1C 且 QA=C1C所以四边形 C1NAQ 为平行四边形所以 C1Q AN又因为 C1Q 平面

14、ANN，AN 平面 AMN所以 C1Q 平面 AMN因为 C1Q C1B=C1，所以平面 C1BQ 平面 AMN因为点 P 在侧面 A1ABB1上，且 C1P 平面 AMN所以 C1P 在平面 C1BQ 内，所以点 P 在线段 BQ 上，所以点 P 的轨迹为线段 BQ.(2)依题设可知直三棱柱 A1B1C1-ABC 为正三棱柱，AM BC以 M 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示则 M 0,0,0，A3,0,0，B 0,1,0，C 0,-1,0，N 0,-1,1，P32,12,1，设平面 AMN 的法向量为 a=x,y,z，则a MA=0a MN=03x=0-y+z=0 x=0y=z.取 z

15、=1，得 a=0,1,18设平面 PMN 的法向量为 b=x,y,z，则b MP=0b MN=032 x+12 y+z=0-y+z=0 x=-3zy=z.取 z=1，得 b=-3,1,1 cos a,b=a bab=22 5=105所以，二面角 P-MN-A 的余弦值为105.类型 2：线面垂直问题必记结论：特殊的平行四边形 边长之比 1:2，夹角为 600，则对角线与边垂直特殊的直角梯形 边长之比 1:1:2,对角线与腰垂直等腰三角形三线合一，三线与底垂直直径所对的圆周角为直角 菱形和正方形：对角线互相垂直特殊的矩形：边长之比 1:2 或 1：2 有明显的直角关系线面垂直问题专项训练6 如图

16、，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1 平面 ABC，D，E 分别为 AC，A1C1的中点，AB=BC=5，AC=AA1=2(1)求证：AC 平面 BDE；(2)求点 D 到平面 ABE 的距离【答案】(1)证明见解析；(2)63【详解】(1)证明：AB=BC，D，E 分别为 AC，A1C1的中点，AC DB，且 DE AA1，又 AA1 平面 ABC，DE 平面 ABC，又 AC 平面 ABC，AC DE，9又 AC DB，且 DE DB=D，DE,DB 平面 BDE，AC 平面 BDE(2)AC DB，AB=5，AC=2AD=2，BD=AB2-AD2=2，BE=DE 2+BD2=2 2

17、，AE=DE 2+AD2=5，SABD=12 1 2=1在 ABE 中，AB=AE=5，BE=2 2，BE 边上的高为52-22=3 SABE=12 2 2 3=6设点 D 到平面 ABE 的距离为 d，根据 VD-ABE=VE-ABD，得 13 6 d=13 1 2，解得 d=63，所以点 D 到平面 ABE 的距离为63 7 如图，四边形 ABCD 为菱形，ED 平面 ABCD，FB ED，BD=2ED=2 2FB.(1)证明：平面 EAC 平面 FAC；(2)若 BAD=60，求二面角 F-AE-C 的大小.【答案】(1)证明见解析(2)4【详解】(1)设 BD 交 AC 于点 O，连接

18、 EO，FO，因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC BD.因为 ED 平面 ABCD,AC 平面 ABCD，所以 AC ED.又 ED BD=D，ED,BD 平面 BDEF，所以 AC 平面 BDEF；又 EO 平面 BDEF，所以 AC EO.设 FB=1，由题意得 ED=2，BD=2 2,DO=BO=2.因为 FB ED，且 ED 面 ABCD，则 FB 平面 ABCD，而 OB,OD 平面 ABCD，故 OB FB，OD ED，所以 OF=OB2+BF 2=3，EO=ED2+DO2=6，EF=BD2+ED-BF2=8+1=3.10因为 EF 2=OE 2+OF 2，所以 EO FO.

19、因为 OF AC=O，OF,AC 平面 ACF，所以 EO 平面 ACF.又 EO 平面 EAC，所以平面 EAC 平面 FAC.(2)取 EF 中点 G，连接 OG，所以 OG ED，OG 底面 ABCD.以 O 为原点，以 OA,OB,OG分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，因为 BAD=60，由(1)中所设知，AB=AD=2 2，所以，OA=OC=6,所以 A(6,0,0),F(0,2,1),E(0,-2,2),C(-6,0,0).所以 FA=(6,-2,-1)，EA=(6,2,-2)，EC=(-6,2,-2)，设平面 FAE 的一个法向量为 m=(x,y,z)，则

20、 m FA=0m EA=06x-2y-z=06x+2y-2z=0 x=3yz=2 2y，所以 m=(3,1,2 2)；平面 AEC 的一个法向量为 n=(a,b,c)，则 n EC=0n EA=0-6a+2b-2c=06a+2b-2c=0 a=0b=2c，所以 n=(0,2,1)；所以 cos m,n=3 23 3+1+(2 2)2=22，由图形可知二面角 F-AE-C 的平面角为锐角，所以二面角 F-AE-C 的大小为 4.8 如图，ADM 是等腰直角三角形，AD DM，四边形 ABCM 是直角梯形，AB BC，MC BC，且 AB=2BC=2CM=2，平面 ADM 平面 ABCM11(1)

21、求证：AD BM；(2)若点 E 是线段 DB 上的一动点，问点 E 在何位置时，三棱锥 M-ADE 的体积为218?【答案】(1)证明见解析(2)E 为线段 BD 上靠近点 D 的三等分点【详解】(1)四边形 ABCM 是直角梯形，AB BC，MC BC，AB=2BC=2MC=2，BM=1+1=2,AM=2-12+12=2，则 AM 2+BM 2=AB2，AM MB，平面 ADM 平面 ABCM，平面 ADM 平面 ABCM=AM，BM 平面 ABCM，BM 平面 DAM，又 DA 平面 DAM，AD BM；(2)由(1)可知 BM 平面 ADM，BM=2，设 DEBD=，则 E 到平面 A

22、DM 的距离为 B 到平面 ADM 的距离的 倍，即 E 到平面 ADM 的距离 d=2，ADM 是等腰直角三角形，AD DM，AM=2，AD=DM=1，VM-ADE=VE-ADM=13 SADM d=218，即 13 12 1 1 2=218，=13，E 为线段 BD 上靠近点 D 的三等分点9 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，BAC=90，AB=AC=12 AA1=2，AE=14 AA1，D 为棱CC1的中点，F 为棱 BC 的中点12(1)求证：BE 平面 AB1C；(2)求三棱锥 B-DEF 的体积【答案】(1)证明见解析(2)23【详解】(1)AE=14 AA1，AB=AC

23、=12 AA1，AA1=BB1，AE=12 AB，AB=12 BB1，则 AEAB=ABBB1 ABC-A1B1C1为直三棱柱，故侧面 ABB1A1为矩形，A1AB=ABB1=90，综上，AEB BAB1，故 BAB1=AEB，又 EBA+AEB=90，EBA+BAB1=90，则 BE AB1 AA1 平面 ABC，AC 平面 ABC，AA1 AC，又 AC AB，AA1 AB=A，AA1 平面 ABB1A1，AB 平面 ABB1A1，AC 平面 ABB1A1，又 BE 平面 ABB1A1，则 AC BE AB1 AC=A，AB1 平面 AB1C，AC 平面 AB1C，BE 平面 AB1C(2

24、)连接 AF，AA1 BB1，AA1 平面 BCC1B1，BB1 平面 BCC1B1，AA1 平面 BCC1B1，13 三棱锥 B-DEF 的体积 VB-DEF=VE-BDF=VA-BDF=VD-ABF=13 SABF CD AB=AC=2，BAC=90，F 为 BC 的中点，BC=2 2，AF BC，AF=BF=2，SABF=12 BF AF=12 2 2=1，三棱锥 B-DEF 的体积 VB-DEF=VD-ABF=13 SABF CD=13 1 2=23 10 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，A1C1=B1C1，A1C1 B1C1，A1A=12 A1B1，M 为棱 A1B1的中点

25、.(1)求证：AM 平面 BC1M；(2)若 A1C1=2，求三棱锥 A-BC1M 的体积.【答案】(1)证明见解析(2)2 23【详解】(1)因为 ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以 A1A 平面 A1B1C1.又 C1M 平面 A1B1C1，所以 A1A C1M.因为 M 为棱 A1B1的中点，A1C1=B1C1，所以 C1M A1B1.因为 A1A 平面 A1ABB1，A1B1 平面 A1ABB1，A1A A1B1=A1，所以 C1M 平面 A1ABB1.又 AM 平面 A1ABB1，所以 C1M AM.因为 M 为棱 A1B1的中点，所以 A1A=12 A1B1=A1M.又 A1A

26、A1M，所以 A1MA=45，同理 B1MB=45，所以 AM BM.因为 C1M 平面 BC1M，BM 平面 BC1M，C1M BM=M，所以 AM 平面 BC1M.(2)因为 A1C1=B1C1=2，A1C1 B1C1，A1A=12 A1B1，所以 A1B1=2 2，A1A=12 A1B1=A1M=C1M=2，所以 AM=BM=A1A2+A1M 2=2.由(1)知 C1M 平面 A1ABB1，14所以 VA-BC1M=VC1-ABM=13 SABM C1M=13 12 AM BM C1M=16 2 2 2=2 23，即三棱锥 A-BC1M 的体积为 2 23.类型 3：点面距离问题结论 1

27、：点线距离d=PP12PP1 aa2异面直线求距离问题结论 2：点面距离d=PP1 nn结论 3：线面距离d=PP1 nn结论 4：面面距离d=PP1 nn结论 5：点点距离d=x1 x22+y1 y22+z1 z2211 如图，在底面是矩形的四棱雉 P-ABCD 中，PA 平面 ABCD，PA=AB=2，BC=4，E 是 PD的中点.(1)求证：平面 PCD 平面 PAD；(2)求平面 EAC 与平面 ACD 夹角的余弦值；(3)求 B 点到平面 EAC 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)23(3)43【详解】(1)由题可知，以 A 为原点，建立空间直角坐标系 A-xyz，如图所示15则

28、 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),E(0,2,1),P(0,0,2).所以 AB=(2,0,0),AD=(0,4,0),AP=(0,0,2),CD=(-2,0,0),AE=(0,2,1),AC=(2,4,0),所以 CD AD=-2 0+0 4+0 0=0,即 CD AD,所以 CD AP=-2 0+0 0+0 2=0,即 CD AP,又 AD AP=A,AD,AP 平面 PAD,所以 CD 平面 PAD,又 CD 平面 PCD，所以平面 PCD 平面 PAD.(2)设平面 AEC 的法向量为 n=x,y,z，则n.AE=0n.AC=0，即 2y+z=0

29、2x+4y=0，令 x=2，则 x=-1,z=2，所以 n=2,-1,2，由题意知，PA 平面 ABCD，平面 ACD 的法向量为 AP=0,0,2,设平面 EAC 与平面 ACD 夹角的，则cos=cos=n AP|n|AP|=43 2=23，所以平面 EAC 与平面 ACD 夹角的余弦值为 23.(3)由(2)知，平面 AEC 的法向量为 n=2,-1,2，AB=2,0,0设 B 点到平面 EAC 的距离为 h，则h=n ABn=2 2+-1 0+2 022+-12+22=43，所以 B 点到平面 EAC 的距离为 43.12 如图，直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 为

30、平行四边形，DAB=3，3AD=2CD=2DD1=6，点 P，M 分别为 AB，CD1上靠近 A,D1的三等分点16(1)求点 M 到直线 PD1的距离；(2)求直线 PD 与平面 PCD1所成角的正弦值.【答案】(1)52(2)155【详解】(1)由题可得 AD=2，CD=DD1=3，又点 P 为 AB 上靠近 A 的三等分点，所以 AP=1在 ADP 中，由余弦定理可得，DP2=AD2+AP3-2AD AP cosDAP=4+1-2 2 1 12=3，故 AD2=4=AP2+DP2，所以 ADP 为直角三角形，故 DP AB因为底面 ABCD 为平行四边形，所以 DP CD由直四棱柱性质可

31、知 DD1 DP，DD1 CD，即 DP，CD，DD1两两垂直故以 D 为坐标原点，分别以 DP，DC，DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz则 D(0,0,0),P(3,0,0),D1(0,0,3),M(0,1,2)因为 PD1=-3,0,3，过点 M 作 ME PD1，(点到直线的距离即为通过该点向直线做垂线，点到垂足的距离)令 PE=PD1=-3,0,3，所以 E3-3,0,3，故 ME=3-3,-1,3-2由 ME PD1=-3+3+9-6=0，解得 =34，所以 ME=34,-1,14，故点 M 到直线 PD1的距离为ME=316+1+116=

32、52 17(2)因为 DP=3,0,0，D1M=0,1,-1，PD1=-3,0,3，设平面 PCD1的法向量为 n=x,y,z，则 n D1M=0,n PD1=0,即 y-z=0,-3x+3z=0,令 x=3，得 y=1，z=1，故 n=3,1,1设直线 PD 与平面 PCD1所成角为，则 sin=|cosn,DP|=n DP|n|DP|=35 3=155所以直线 PD 与平面 PCD1所成角的正弦值为15513 如图，在四棱锥 S-ABCD 中，四边形 ABCD 是菱形，AB=1，SC=2 33，三棱锥 S-BCD 是正三棱锥，E，F 分别为 SA，SC 的中点.(1)求二面角 E-BF-D

33、 的余弦值；(2)判断直线 SA 与平面 BDF 的位置关系.如果平行，求出直线 SA 与平面 BDF 的距离；如果不平行，说明理由.【答案】(1)147(2)平行，距离为 3 714【详解】(1)连接 AC，交 BD 于点 O，连接 SO，因为四边形 ABCD 是菱形，所以 O 为 AC，BD 的中点，且BD AC，因为三棱锥 S-BCD 是正三棱锥，SB=SD，O 为 BD 的中点，所以 BD SO，SO 平面 SAC,AC 平面 SAC,又 SO AC=O，所以 BD 平面 SAC.作 SH 平面 BCD 于 H，则 H 为正三角形 BCD 的中点，H 在线段 OC 上，且 OC=32，

34、OH=13 OC=1332=36，CH=23 OC=33，SH=SC2-CH 2=43-13=1.18如图，以 O 为坐标原点，分别以 OB，OC，HS的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A 0,-32,0，B 12,0,0，C.0,32,0，D.-12,0,0，S 0,36,1，E 0,-36,12，F 0,32,12，所以 BE=-12,-36,12，BF=-12,33,12，BD=-1,0,0，设 n1=x1,y1,z1是平面 EBF 的法向量，则n1 BE=-12 x1-36 y1+12 z1=0n1 BF=-12 x1+33 y1+12 z1=0，则 n1

35、=1,0,1，设 n2=x2,y2,z2是平面 DBF 的法向量，则 n2 BD=-x2=0n2 BF=-12 x2+33 y2+12 z2=0，取 n2=0,3,-2，所以 cos n1,n2=n1 n2n1n2=-22 7=-147，又因为二面角 E-BF-D 是锐二面角，所以二面角 E-BF-D 的余弦值为147.(2)直线 SA 与平面 BDF 平行.法 1:连接 OF，由(1)知 O 为 AC 的中点，又 F 为 SC 的中点，所以 OF SA，又因为 SA 平面 BDF，OF 平面 BDF，所以直线 SA 平面 BDF.法 2:由(1)知 n2=0,3,-2是平面 BDF 的一个法

36、向量，又 A 0,-32,0，S 0,36,1，所以 SA=0,-2 33,-1，所以 SA n2=0 0+3 -2 33+-2-1=0，所以 SA n2，又因为 SA 平面 BDF，所以直线 SA 平面 BDF.设点 A 与平面 BDF 的距离为 h，则 h 即为直线 SA 与平面 BDF 的距离，因为 OA=0,-32,0，n2=0,3,-2是平面 DBF 的一个法向量，所以OA n2n2=0 0+3 -32+0 -27=3 714，所以点 A 与平面 BDF 的距离为 3 714，19所以直线 SA 与平面 BDF 的距离为 3 714.14 四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 的

37、菱形，DAB=60，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，PO 底面 ABCD，PB 与底面 ABCD 所成的角为 60，E 是 PB 的中点(1)求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；(2)证明：OE 平面 PAD，并求点 E 到平面 PAD 的距离【答案】(1)arccos24(2)证明见解析，155【详解】(1)由题意，PO,OC,OB 两两互相垂直，以 O 为坐标原点，射线 OB、OC、OP 分别为 x 轴、y 轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，菱形 ABCD 中，DAB=60，所以 BD=2OB=2,在 RtAOB 中 OA=AB2-OB2=3，

38、因为 PO 底面 ABCD，所以 PB 与底面 ABCD 所成的角为 PBO=60，所以 PO=OB tan60=3，则点 A、B、D、P 的坐标分别是 A(0,-3,0),B(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,3)，E 是 PB 的中点，则 E12,0,32，于是 DE=32,0,32，AP=(0,3,3).设 DE,AP的夹角为，则有 cos=3294+343+3=24，故 =arccos24，异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos24.20(2)连接 OE，E,O 分别是 PB,BD 的中点，EO PD，EO 平面 PAD，PD 平面 PAD，EO 平面 PA

39、D.因为 AP=(0,3,3)，AD=(-1,3,0),设平面 PAD 的法向量 n=(x,y,z)，则 n AD=-x+3y=0n AP=3y+3z=0，令 x=3，则 y=1,z=-1，所以 n=(3,1,-1)，又 DE=32,0,32，则点 E 到平面 PAD 的距离 d=|DE n|n|=3 32-323+1+1=35=155.15 斜三棱柱 ABC-A1B1C1的各棱长都为 2，A1AB=60，点 A1在下底面 ABC 的投影为 AB 的中点 O(1)在棱 BB1(含端点)上是否存在一点 D 使 A1D AC1？若存在，求出 BD 的长；若不存在，请说明理由；(2)求点 A1到平面

40、 BCC1B1的距离【答案】(1)存在，BD=25(2)2 155【详解】(1)连接 OC，因为 AC=BC，O 为 AB 的中点，所以 OC AB，由题意知 A1O 平面 ABC，又 AA1=2，A1AO=60，所以 A1O=3，以 O 点为原点，如图建立空间直角坐标系，则 A1 0,0,3，A 1,0,0，B-1,0,0，C 0,3,0，由 AB=A1B1得 B1-2,0,3，同理得 C1-1,3,3，设 BD=tBB1,t 0,1，得 D-1-t,0,3t，又 AC1=-2,3,3，A1D=-1-t,0,3t-3，21由 AC1 A1D=0，得-2-1-t+33t-3=0，得 t=15，

41、又 BB1=2，BD=25，存在点 D 且 BD=25 满足条件；(2)设平面 BCC1B1的法向量为 n=x,y,z，BC=1,3,0，CC1=-1,0,3，则有 n BC=x+3y=0n CC1=-x+3z=0，可取 n=3,-1,1，又 BA1=1,0,3，点 A1到平面 BCC1B1的距离为 d=BA1cos BA1,n=BA13+0+3BA15=2 155，所求距离为 2 155.类型 4：线面及面面夹角问题结论 1：异面直线所成角 cos=a ba b 0,2能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式 cos a,b=a

42、 ba b求出关键是求出 a b 及 a与 b结论 2：线面角 cos=sin=AB nAB n 0，2结论 3：二面角的平面角 cos=n1 n2n1 n2 0，线面及面面夹角问题专项训练16 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC=2CD,AB BC,AC CD，以 AC 为折痕将 ACD 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且 PB=5CD(1)证明：AB 平面 PBC；(2)若 M 为 PA 的中点，求直线 PB 与平面 MBC 所成角的正弦值22【答案】(1)证明见解析(2)25【详解】(1)因为 BC=2CD=2PC，又 PB=5CD，所以 PB2=5CD2=5PC2=BC2+P

43、C2，所以 PC BC，由 AC CD，可知 AC PC，因为 AC,BC 平面 ABC,AC BC=C，所以 PC 平面 ABC，因为 AB 平面 ABC，所以 PC AB，又 AB BC,PC BC=C,PC,BC 平面 PBC，所以 AB 平面 PBC；(2)取 AC 的中点 O，连接 OM,OB，由(1)知，PC 平面 ABC，OM 为 PAC 的中位线，OM PC，所以 OM 平面 ABC，又 AC,OB 平面 ABC，所以 OM AC,OM OB，即 OM,OB,AC 两两垂直，如图，以 O 为原点，OB,OC,OM 所在直线分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz，

44、设 CD=2，则 AB=BC=4，AC=4 2，OB=12 AC=2 2，OM=12 PC=1，则 P 0,2 2,2,B 2 2,0,0,C 0,2 2,0,M 0,0,1，所以 PB=2 2,-2 2,-2,BC=-2 2,2 2,0,BM=-2 2,0,1，设平面 MBC 的一个法向量为 n=x,y,z，则由 n BC=0,n BM=0-2 2x+2 2y=0,-2 2x+z=0,令 x=1，得 y=1，z=2 2，得 n=(1,1,2 2)，设直线 PB 与平面 MBC 所成角为，则 sin=cos=n PBn PB=2 2-2 2-4 22 5 10=25，所以直线 PB 与平面 M

45、BC 所成角的正弦值为 25 17 在四棱锥 P-ABCD 中，面 PAB 面 ABCD，PA=PC,AD AB,AD BC,AD=2BC=2，AB=3,E 是线段 AB 上的靠近 B 点的三等分点.(1)求证：CD 面 PEC；23(2)若面 BPC 和面 PEC 的夹角为 45，求线段 BP 的长.【答案】(1)证明见解析(2)BP=1【详解】(1)法一：由 AD AB，面 PAB 面 ABCD，AD 面 ABCD，面 PAB 面 ABCD=AB，所以 AD 面 PAB，PA 面 PAB，故 AD PA，由勾股定理得：CD=AB2+(AD-BC)2=2，而 AD=2，又 PA=PC,PD=

46、PD，所以 PCD PAD，所以 CD PC，易得：EC=BE 2+BC2=233,ED=AE 2+AD2=433，所以 ED2=EC2+CD2，故 CD EC，又 PC EC=C，PC,EC 面 PEC，所以 CD 面 PEC.法二：因为面 PAB 面 ABCD，在平面 PAB 内作 Bz BA，则 BZ 面 ABCD，以 B 点为原点建立空间直角坐标系，则 A 0,3,0,D 2,3,0,E 0,33,0,C 1,0,0，设 P 0,a,b，因为 PA=PC，所以(a-3)2+b2=1+a2+b2，可得 a=33.所以 EP=0,0,b，又 CD=1,3,0,EC=1,-33,0，故 CD

47、 EP=0,CD EC=0，所以 CD EP,CD EC，又 PC EC=C，PC,EC 面 PEC，所以 CD 面 PEC.(2)法一：取 AD 的中点 F，连结 BF，交 EC 于点 O，则 BC FD,BC=FD，所以 BCDF 为平行四边形，则 BF CD，由(1)知：BF 面 PEC，过 O 作 OG PC 于点 G，连结 BG,BGO 就是二面角 B-PC-E 的平面角，即 BGO=45，而 BO=12，则 BG=22，且 BG PC，BC=1，故 BCP=45，24而 AD BC，由(1)知：AD 面 PAB，则 BC 面 PAB，BP 面 PAB，所以 BC BP，故在直角 B

48、PC 中 BP=1.法二：因为 BP=0,33,b,BC=1,0,0，若平面 BPC 的法向量 n=(x,y,z)，所以 n BP=33 y+bz=0n BC=x=0，令 z=1，则 n=0,-3b,1，面 PEC 的法向量为：CD=1,3,0，所以 cos CD,n=3b2 3b2+1=22，所以 b=63(负值舍)，则 BP=1.18 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA 底面 ABCD，AB=PA=2，且直线 PD与底面 ABCD 所成的角为 4(1)求证：平面 PBD 平面 PAC；(2)若 3PM=MB，求二面角 M-AC-P 的余弦值【答案】(1)证明见解

49、析(2)3 3819【详解】(1)证明：PA 平面 ABCD，且直线 PD 与平面 ABCD 所成的角为 4 AD,BD 平面 ABCD，PA AD，PA BD，PDA=4，又 PA=2，AD=2 底面 ABCD 为矩形，且 AB=2，底面 ABCD 为正方形，AC BD而 AC PA=A，AC,PA 平面 PAC，BD 平面 PAC，又 BD 平面 PBD，平面 PBD 平面 PAC.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A 0,0,0，B 0,2,0，C 2,2,0，D 2,0,0，P 0,0,2，3PM=MB，M 0，12，32，25设平面 MAC 的法向量 m=x,y,z，则 m A

50、C=0m AM=0，m=3,-3,1又平面 PAC 的法向量 n=1,-1,0，cos m,n=m nmn=3 3819，二面角 M-AC-P 的余弦值为 3 381919 如图，在 ABC 中，ACB=90，AB=2BC=12，E 是 AB 的中点，D 在 AC 上，DE AB，以DE 为折痕把 ADE 折起，使点 A 到达点 A1的位置，且二面角 A1-DE-B 的大小为 60.(1)求证：A1C BE；(2)求直线 A1E 与平面 A1CD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)77【详解】(1)依题 DE BE,DE A1E,BE A1E=E，所以 DE 平面 A1EB，则

51、A1EB 为二面角 A1-DE-B 的平面角，即 A1EB=60，因为 EA1=EB，所以 BEA1为等边三角形，取 BE 中点 O，连接 OA1，OC，CE，则 BE A1O，因为 BC=BE=CE，所以 BE OC，又 OC OA1=O，所以 BE 平面 OCA1，又 A1C 平面 OCA1，所以 BE A1C；(2)因为 DE EB,DE A1E,EB A1E=E，所以 DE 面 A1EB，从而 DE A1O因为 DE BE,BE OC，所以 DE CO，所以 CO A1O，所以 OC,OB,OA1两两垂直，以 O 为原点，以 OC,OB,OA1的方向分别为 x,y,z 轴的正方向，建立

52、空间坐标系 O-xyz，则 A1 0,0,3 3,C 3 3,0,0,D 2 3,-3,0,E 0,-3,0，所以 EA1=0,3,3 3，A1C=3 3,0,-3 3,CD=-3,-3,0，26设平面 A1CD 的一个法向量 n=x,y,z，则n A1C=0n CD=0，所以 3 3x-3 3z=0-3x-3y=0，令 y=1，则平面 A1CD 的一个法向量 n=-3,1,-3，设直线 A1E 与平面 A1CD 所成角为，则 sin=cos EA1,n=0+3-96 7=77，则直线 A1E 与平面 A1CD 所成角的正弦值为77.20 如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，BC=C

53、D=DB=3AB=3AD=2,C1B=C1D(1)求证：平面 BC1D 平面 ACC1A1；(2)设 E 为棱 BC 的中点，线段 AC,DE 交于点 F,C1F 平面 ABCD，且 C1F=2，求平面 ABC1与平面CBC1的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)6565.【详解】(1)设 AC,BD 交于点 O，连接 C1O，如图，因为 BC=CD,AB=AD，则点 A,C 在线段 BD 的垂直平分线上，即有 AC BD,O 为 BD 的中点，又因为 C1B=C1D，则 C1O BD，又 C1O AC=O,C1O,AC 平面 ACC1A1，因此 BD 平面 ACC1A1，而 BD

54、平面 BC1D，所以平面 BC1D 平面 ACC1A1.27(2)由(1)知，BD 平面 ACC1A1，而 BD 平面 ABCD，则平面 ABCD 平面 ACC1A1，在平面 ACC1A1内过 O 作 Oz AC，又平面 ABCD 平面 ACC1A1=AC，因此 Oz 平面 ABCD，射线 OB,OC,Oz 两两垂直，以 O 为原点，射线 OB,OC,Oz 的方向为 x,y,z 轴正方向，建立空间直角坐标系，因为 E 为棱 BC 的中点，则点 F 是正 BCD 的重心，又 BC=CD=DB=3AB=3AD=2，C1F 平面 ABCD，且 C1F=2，则 A 0,-33,0,B(1,0,0),C

55、(0,3,0),F 0,33,0,C1 0,33,2，所以 AB=1,33,0,BC1=-1,33,2,BC=(-1,3,0)，设平面 ABC1的法向量为 n1=x1,y1,z1，则n1 AB=x1+33 y1=0n1 BC1=-x1+33 y1+2z1=0，令 x1=1，得 n1=1,-3,1，设平面 CBC1的法向量为 n2=x2,y2,z2，则n2 BC=-x2+3y2=0n2 BC1=-x2+33 y2+2z2=0，令 x2=3，得 n2=3,3,1，设平面 ABC1与平面 CBC1的夹角为，则 cos=|n1 n2|n1|n2|=15 13=6565，即平面 ABC1与平面 CBC1的夹角的余弦值为6565.