小学数学讲义暑假四年级超常第2讲三角形进阶.pdf

1、第 2 讲1第 7 级上 超常体系教师版漫画释义三年级春季平行四边形与梯形四年级暑假三角形初步四年级暑假三角形进阶四年级春季等积变形四年级春季一半模型三角形的高、面积、简单等积变形和勾股定理知识站牌第二讲三角形进阶第 7 级上超常体系教师版21.通过生活中的事物，从熟悉的图形中总结三角形的面积，掌握并熟练运用三角形的面积，去解决生活中的问题2.通过分类，掌握简单的等积变形，发展学生空间观念，提高观察力和动手操作能力.3.通过三角形面积，综合运用学过的平行四边形、梯形、长方形、正方形的面积.4.通过直观操作，探索发现直角三角形的三边关系，初步学习勾股定理，让学生感受几何之美，学会欣赏数学之美.三

2、角形的高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底.三角形的面积=底高2，底和高都相等的两个三角形，面积完全相等.勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.如下图，222abc春天来了，森林里的小动物们可高兴了，小兔、小象和小老虎聚到了一起。它们拿来了自己的三角形，但是都认为自己的三角形是最大的，你一嘴，我一嘴，谁都不能说服对方.同学们，你们愿意帮它们解决这个问题么？今天你们就来当一次小评委，帮助它们三个评比一下.你们说谁的三角形大？说说你们的想法.课堂引入经典精讲教学目标第 2 讲3第 7 级上 超常体系教师版模块一：三角形面积公式推导及应用例1

3、.：三角形面积的推导例2.：三角形面积的应用模块二：三角形综合例3.：三角形面积与边、角关系的综合例4.例5：等积变形例6.例7：三角形和四边形的面积计算模块三：简单勾股定理例8.：简单勾股定理（1）用两个大小一样的等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼成几种常见的图形？（2）用三个大小一样的等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形？（3）将一个正方形分成相同的四个三角形，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形【分析】建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图：这种类型的题需要学生亲自操

4、作，建议教师准备材料与学生互动一共可以拼成如下图的几种形状：（3）平均分成四等分（以下面两种分法为例）组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行四边形、梯形分成大小相等的三角形如图所示：例 1例题思路第 7 级上超常体系教师版4下面两幅图都是由边长为 8 和 6 的两个正方形拼成，请根据图中所示的线段长度，求出阴影三角形的面积。6868【分析】左图的阴影面积等于68224,右图阴影面积等于 66218.已知三角形 ABC 中，BC=10 厘米，AD、EC 是三角形的高，AD 长为 8 厘米，EC 长为 5 厘米，求底边 AB 的长是多少厘米？【分析】三角形 ABC 的底 BC 是 1

5、0 厘米，高 AD 是 8 厘米，面积是108240平方厘米，AB 的长是 402516cm.例 3小欧拉圈羊圈在大数学家欧拉小的时候，有这样一个故事：欧拉家有一段长100 米的篱笆，欧拉的父亲打算圈一个面积为 600平方米的四边形羊圈最开始，父亲自己设计，无论怎么围，面积都不够后来，小欧拉自告奋勇要替父亲做这件事，结果等到小欧拉把羊圈围好后，父亲惊喜地发现，羊圈的面积比需要的还稍稍大了一点小欧拉按照周长相等，正方形面积最大的原理，确定了篱笆的形状是边长 25 米的正方形，围出的羊圈面积为22525625 m对应地，还有另一个结论成立：在所有面积相等的四边形里，正方形是周长最小的而这两个结论，

6、都是来自于我们这样一句话：和一定，差小积大也就是说，如果两个数的和一定，那么这两个数的差距越小，乘积就越大例如 6152433，这三组数字的和都是 6，而乘积则分别为5、8、9，依次递增同学们可以想想看，这些结论还可以如何应用在我们的生活中呢？例 2第 2 讲5第 7 级上 超常体系教师版图中3AB 厘米，12CD 厘米，8ED 厘米，7AF 厘米。四边形 ABDE 的面积是_平方厘米。【分析】连接 AD，三角形 ADE 面积为228DEAF平方厘米，三角形 ABD 面积为218ABCD平方厘米。所以四边形 ABDE 面积为 281846平方厘米。图 1图 2图 3图 4图 5图 6(1)如图

7、 1，D 为 BC 边上中点，2800ABCScm，则2_ABDScm.(2)如图 2，D、E 分别为 BC、AC 边上中点，2800ABCScm，则2_AEDScm.(3)如图 3，D、E、F 分别为 BC、AC、AE 边上中点，280EFDScm，则2_ABDScm.(4)如图 4,D、E、F、G、H 分别为 BC、AC、AB、BD、CD 边上中点，2100EHCScm，则2_ABCScm.(5)如图 5,D、E、F、G、H 分别为 BC、AC、AB、DC、AE 边上中点，2100AHDScm，则2_ABCScm.(6)如图 6,D、E、F、G、H、I 分别是 BC、AC、AB、DC、AE

8、、AD 边上中点，2200ABIScm，则2_EDGScm.例 5例 4第 7 级上超常体系教师版6【分析】（1）如图 1，D 为 BC 边上中点，2800ABCScm，则2400ABDScm.（2）如图 2，D、E 分别为 BC、AC 边上中点，2800ABCScm，则2200AEDScm.（3）如图 3，D、E、F 分别为 BC、AC、AE 边上中点，280EFDScm，则2320ABDScm（4）如图 4,D、E、F、G、H 分别为 BC、AC、AB、BD、CD 边上中点，2100EHCScm，则2800ABCScm.（5）如图 5,D、E、F、G、H 分别为 BC、AC、AB、DC、A

9、E 边上中点，2100AHDScm，则2800ABCScm.（6）如图 6,D、E、F、G、H、I 分别是 BC、AC、AB、DC、AE、AD 边上中点，2200ABIScm，则2100EDGScm.如图，正方形 ABCD 被两条平行的直线截成了面积相等的三个部分，其中上、下两个部分都是等腰直角三角形。已知两条截线的长度都是 6 厘米，那么整个正方形的面积是多少平方厘米？【分析】把上下两个等腰三角形看做一个正方形，截线长6 为正方形对角线长，故得到的正方形面积为66218，因此正方形 ABCD的面积为182327.如图，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米

10、？（单位：厘米）7345【分析】四边形面积为大等腰直角三角形面积减去小等腰直角三角形面积四边形面积为：2273220（平方厘米）.例 8例 7例 6第 2 讲7第 7 级上 超常体系教师版直角三角形PQR 的直角边为6 厘米，8 厘米，问：图中三个正方形的面积之和比 4 个三角形的面积之和大多少？P86RQNMHGFECDBA【分析】延长 AR、DQ 过E、F 分别作 AR、DQ 的平行线，在大正方形内交成四个全等的直角三角形和一个小的正方形CHMN，四个全等的直角三角形和四个白色的三角形的面积之和相等，所以三个正方形的面积之和与4 个三角形的面积之和的差为：两个小的正方形与最小的正方形的面积

11、和即：8 86666104ARPBPQDCNMHGSSS (8)(8)(平方厘米)【铺垫】如图，由四个完全相同的直角三角形围成一个大正方形，已知小三角形的两条直角边分别长 3cm、4cm，求 AB 的长度.【分析】大正方形的边长为 7，面积为27749cm;一个小三角形的面积为23426cm,四个小三角形的面积为224cm.四边形 ABCD 是正方形，面积为2492425,2555cm，所以，AB长5cm.【巩固】如图所示，直角三角形 PQR 的短直角边长为 5 厘米。正方形 EFRQ 的面积是 89 平方厘米，则正方形 PQDC 的面积为多少？【分析】由勾股定理可知,222289564PQQ

12、RPR,所以正方形的面积为 64.第 7 级上超常体系教师版81.如图,AD=4,AB=3,BC=13,CD=12,90BAD,求 ABCD 的面积【分析】连接 BD，利用勾股定理得 BD=5,因为222BCBDDC,所以 BCD为直角三角形，223 425 12236ABCDABDBCDABADBDCDSSS 四2、长方形 ABCD 中，AE 平分BAD，EAO=15，求BOE。EODCBA【分析】因为 AE 平分BAD，所以BAE=45，那么三角形 ABE 就是一个等腰三角形，可得 AB=BE，BAO=45+15=60，ABO=60，则三角形 ABO 是一个等边三角形，AB=BO,所以 B

13、O=BE，等腰三角形 BOE 底角=（180-30）2=75_D_A_B_C附加题德克萨斯州的牲口贩子德克萨斯州的三个贩子在公路上碰头，打算进行下述的物物交换。汉克对吉姆说：“我用6 头猪换你1 匹马，那么你的牲口数将是我所有牲口数的2 倍。”杜克对汉克说：“我用14 只羊换你1 匹马，那么你的牲口数将是我的3倍。”吉姆对杜克说：“我用4 头牛换你1 匹马，那么你的牲口数将是我的6倍。”了解了这些有趣事实之后，你能不能说出他们三人各有多少头牲口？答案：汉克有11 头牲口，吉姆有7 头，杜克21 头，共有牲口39 头。第 2 讲9第 7 级上 超常体系教师版三角形的高：从三角形的一个顶点到对边的

14、垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底.三角形的面积=底高2，底和高都相等两个三角形，面积完全相等.勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.如下图，222abccba1.已知三角形 ABC 中，BC=16 厘米，AD、EC 是三角形的高，AD 长为 6 厘米，AB 长为 12 厘米，求高 EC 长是多少厘米？（同学们请先找出 EC 并把它画出来！）DCBA【分析】三角形 ABC 中，底边 BC 长是 16 厘米，高 AD 长是 6 厘米，面积是166248平方厘米，那么 EC 的长是482128 厘米2.如图，三角形 ABC 的面积是 24，D、E 和 F 分别是 BC

15、、AC 和 AD 的中点求：三角形 DEF的面积【分析】三角形 ADC 的面积是三角形 ABC 面积的一半 24212，三角形 ADE 又是三角形 ADC 面积的一半1226三角形 FED 的面积是三角形 ADE 面积的一半，所以三角形 FED 的面积6233.三角形 ABC 和三角形 ADE 都是等腰直角三角形，它们的直角边分别是 10 厘米和 6 厘米，求四边形 BCDE 的面积。家庭作业知识点总结第 7 级上超常体系教师版10ECDAB【分析】(106)102(106)62201232BCDEBCECDESSS4.如图，三角形 ABC 被分成了甲、乙两部分，4BDDC，3BE，6AE，乙

16、部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲EDCBAABCDE甲乙【分析】连结 AD.3BE，6AE 3ABBE，3ABDBDESS又4BDDC，2ABCABDSS，6ABCBDESS，5SS乙甲5.已知图中每个小三角形都为等腰直角三角形，直角边长是 2 厘米，用 12 个这样的三角形拼成如图所示的图形，求这个图形的面积是多少平方厘米？【分析】每个等腰直角三角形的面积是2222 平方厘米，12 个面积是12224平方厘米6.下图中甲的面积比乙的面积大_平方厘米乙甲6厘米8厘米4厘米【分析】甲的面积 白色三角形的面积 28 6224cm乙的面积 白色三角形的面积 842216cm 所以，甲的面积 乙的面积

17、=224168cm7.如图，长方形 ABCD，AE=2cm，EB=4cm，BF=3cm，FC=1cm，求三角形 DEF 的面积.第 2 讲1第 7 级上 超常体系教师版【分析】长 方 形ABCD 面 积 为224cm，24AEDScm,26BEFScm,23CDFScm,所 以211DEFScm.8.如下图，边长分别为5,7,10 的三个正方形放在一起，则其中四边形 ABCD 的面积是_.【分析】延长 AB 交CD 于E，用AEDBCESS 15 122-572=72.5【超常班学案 1】一个长方形和一个等腰直角三角形如图放置，图中六块的面积分别 1、1、1、1、2、3，大长方形的面积是_.3

18、21111111123【分析】如右图对图形进行适当的分割可得大长方形的面积是 19【超常班学案 2】如图，ABCD 是一个长方形，E 点在 CD 延长线上已知5AB，12BC，且三角形 AFE 的面积等于 20，那么三角形CFE 的面积等于多少？CFDEBA超常班学案第 7 级上超常体系教师版12【分析】方法一：三角形 ABE 面积为：230ABBC，则三角形 ABF 面积为：302010且三角形 ABF 和三角形 CFD 的面积和为长方形 ABCD面积的一半，则三角形 FCD面积为301020.可得2AFFD.则三角形 EFD 面积为 202=40，三角形CFE 面积为：402060.方法二

19、：利用三角形面积公式：三角形 ABE 面积为：5 12230，三角形 ABF 面积为：302010，10254AF，那么1248FD，又因为ED 是三角形 AEF的高，202410ED，三角形CFE 面积为(105)8260【超常班学案 3】在四边形 ABCD中，线段 BC 长6 厘米，90ABC,135BCD且点 A 到边 CD 的垂线段12AE 厘米，线段5ED 厘米，求四边形 ABCD的面积.DECBAFCBEDA【分析】如图，ABCDAFDBFCS-S=(12+5)122-6 62=84S.【超常班学案 4】在图中，平行四边形 ABCD 的边 BC 长10 厘米，直角三角形 ECB 的

20、直角边 EC 长8厘米已知阴影部分的总面积比三角形 EFG 的面积大10 平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积【分析】因为阴影部分比三角形 EFG 的面积大10 平方厘米，都加上梯形 FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边形 ABCD比直角三角形 ECB 的面积大10平方厘米,所以平行四边形 ABCD的面积等于10821050平方厘米【超常 123 班学案 1】如图，直角梯形 ABCD 中，AB=15 厘米，BC=12 厘米，AE 垂直于 AB，阴影部分的面积为 15平方厘米，问梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？超常 123 班学案第 2 讲1第 7 级上

21、 超常体系教师版FBCEDA【分析】因为 AB=15 厘米，BC=12 厘米，所以15 12290ABDS平方厘米，又因为阴影部分面积为 15 平方厘米，所以901575ABES平方厘米，7521510AE厘米，则可知152103DF 厘米，所以梯形 ABCD的面积(1518)122198平方厘米。【超常 123 班学案 2】在图中，三角形 ABC 和 DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中 DF 长9 厘米，CF 长3 厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?ADBFCEECFBDAHGIECFBDA图(a)图(b)【分析】方法一：如图(a)，将原题中图形分为12 个完全一样的小等腰三

22、角形ABC占有 9 个小等腰三角形，其中阴影部分占有 6 个小等腰三角形，ABC99240.5S(平方厘米)，所以阴影部分的面积为 40.59627(平方厘米)方法二：如图(b)，连接 IG，有四边形 ADGI 为正方形，易知3FGFC(厘米)，所以936DGDFFG(厘米)，于是2116944HIGAIGDSS正方形.而四边形IGFB 为 长 方 形，有6BFADDG(厘 米)，3GF(厘 米)，所 以IGFB6 318S 长方形.阴影部分面积为 AHIG 与长方形 IGFB 的面积和，即为91827(平方厘米)【超常 123 班学案 3】如图，一张边长为 18 厘米的正方形纸片，从距离四角

23、 5 厘米处，用剪刀剪出45的角度，纸片中间会形成一个小正方形。这个小正方形的面积是多少平方厘米？第 7 级上超常体系教师版145cm5cm5cm5cm45454545BAM【分析】根据题意可得5MAMB,再根据勾股定理知2225550ABS正，因此这个小正方形的面积是 50平方厘米【超常 123 班学案 4】如图，D 是三角形 ABC 一边上的中点，两个长方形分别以 B、D 为顶点，并且有一个公共顶点 E，已知两块阴影部分的面积分别是100和120，则 BDE的面积是_【分析】因为 D 是中点，所以CBD和ABD面积相等，从ABD中把 BDE抠出来给了CBD后，两块面积之差变成了12010020，可见 BDE=20210.