专题07与圆有关的轨迹问题与最值问题（解析版）-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、专题07 与圆有关的轨迹问题与最值问题题型一 轨迹问题1动圆的圆心的轨迹方程是【解答】解：把圆的方程化为标准方程得则圆心坐标为，因为，得到，所以消去可得即故答案为：2一动点到两定点距离的比值为非零常数，当时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点、的坐标分别为：、，动点满足（1）求动点的阿波罗尼斯圆的方程；（2）过作该圆的切线，求的方程【解答】解：（1）设动点坐标为，则，又知，则，得（2）当直线的斜率存在为时，则直线的方程为，与圆相切，则，得，此时的方程为；当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，综上：直线的方程为与3已知在平面直角坐标系中，点到两个定点，的距离之比等于（1）求点的轨

2、迹方程，并说明轨迹的形状；（2）已知点为所求轨迹上任意一点，求的最大值【解答】解：（1）由题意可知：，由点到直线的距离公式，可得：，化简整理得：，即，点的轨迹方程，轨迹是以为圆心，以2为半径的圆；（2）由（1）可知，为圆上任意一点，由，当时，时，的最大值184已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点（）求圆的方程；（）若，点是圆上的动点，求线段中点的轨迹方程，并说明表示什么曲线【解答】解：（）设圆心半径为，则有，（1分）又落在过且垂直于的直线上，（3分），解得，从而（5分）圆方程为：（6分）（）设，则有，（8分）解得，代入圆方程得：，（10分）化简得（11分）表示以为圆心，为半径的圆（12分）5

3、已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，则和的交点的轨迹方程为（化为标准形式）【解答】解：设，则过、作两条互相垂直的直线和的交点，化简整理可得故答案为：6已知方程表示一个圆（1）求实数的取值范围；（2）求该圆半径的取值范围；（3）求圆心的轨迹方程【解答】解：（1）方程表示圆，（5分）（2）（5分）（3）设圆心坐标为，则，由得，代入消去得，即轨迹为抛物线的一段，圆心的轨迹方程为（5分）7已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为【解答】解：设，线段的中点为则，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程是：故答案为：8如图，已知矩形四点坐标为，（1）求对角线所在直线的方程；（2）求矩

4、形外接圆的方程；（3）若动点为外接圆上一点，点为定点，问线段中点的轨迹是什么，并求出该轨迹方程【解答】解：由两点式可知，对角线所在直线的方程为，整理得，设为外接圆的圆心，则为的中点，即，设为外接圆半径，则，外接圆方程为，设点坐标，线段中点坐标为，则，为外接圆上一点，将代入整理得：，该轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，轨迹方程为9阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆下面，我们来研究与

5、此相关的一个问题已知圆：和点，点，为圆上动点，则的最小值为【解答】解：如图，取点，连接、，在中，的最小值为的长，故答案为：10已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状【解答】解：设线段中点，由题意知：， 点在圆上运动，整理，得，点的轨迹方程是：，表示以为圆心，1为半径的圆 题型二 最值问题11已知实数，满足方程（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值【解答】解：（1）圆，圆心，半径为，令，即，的最值，就是圆心到直线的距离等于半径时的的值，解得，的最大值为，最小值为（2）圆，圆心，半径为，的最大值是，最小值是（3），的最

6、大值为，最小值为 12已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为A4B5C6D7【解答】解：如图示：半径为1的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹为为圆心，1为半径的圆，故当圆心到原点的距离的最小时，连结，在上且，此时距离最小，由，得，即圆心到原点的距离的最小值是4，故选：13圆为过点，的圆中最小的圆，则圆上的任意一点到原点距离的取值范围为A，B，CD【解答】解：根据题意，圆为过点，的圆中最小的圆，则圆是以为直径的圆，则圆心为，半径为，圆的方程为，且，则到原点距离的最小值为，故选： 14已知实数，满足，则的最大值是A3B2CD【解答】解：根据题意，即，则有，解可得，即的最大值是，故选：15

7、设圆与圆，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为ABCD【解答】解：根据题意，圆，即，其圆的圆心，圆，即，其圆的圆心，如图所示：对于直线上的任一点，有，求的最小值即求的最小值，即可看作直线上一点到两定点、距离之和的最小值减去7，由平面几何的知识易知当关于直线对称的点为，与、共线时，的最小值，其最小值为，故的最小值为；故选：16已知实数，满足，则的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：设，为参数，则，故选：17设是圆上任意一点，则的最大值为A6B25C26D36【解答】解：表示圆上的点到点的距离的平方，圆的圆心，半径为1，圆心到点的距离为，的最大值是故选：18设是圆上的动点，是直线上

8、的动点，则的最小值为A6B4C3D2【解答】解：是圆圆，圆即，由于圆心，半径等上的动点于，是直线上的动点，则的最小值为，故选：19已知实数，满足方程，则的最大值为 【解答】解：圆的标准方程为，圆心为，半径，设，即，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，即，得或，得或，则的最大值为，故答案为：20已知圆，则的最大值与最小值的和为A5B10C25D100【解答】解：圆，即，表示圆心，半径为 5把转变为到圆上点到原点的距离的平方，最大值为直径的平方为100，最小值为0，故的最大值与最小值的和为100，故选：21已知的顶点坐标为，（1）求边的中垂线所在直线的方程；（2）试求半径最小的的外接圆的标准方程【

9、解答】解：（1）的顶点坐标为，所以的中点为，的斜率为，所以的中垂线方程为，整理可得，所以边的中垂线所在直线的方程为；（2）又的中点为，的斜率为，所以的中垂线方程为，即，联立与，解得，所以外接圆的圆心为，则半径为，故当时，半径取得最小值为，此时圆心为，故半径最小的的外接圆的标准方程为22已知圆，圆，动点在轴上，动点，分别在圆和圆上，则的最小值是【解答】解：如图所示， 圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标，半径为2，连接，故，故的最小值是故答案为： 23已知以点为圆心的圆经过点和，且圆心在直线上（）求圆的方程；（）设点在圆上，求的面积的最大值【解答】解：（）依题意，所求圆的圆心为的垂

10、直平分线和直线的交点，中点为斜率为1，垂直平分线方程为即（2分）联立，解得，即圆心，半径（6分）所求圆方程为（7分）（），（8分）圆心到的距离为（9分）到距离的最大值为（11分）面积的最大值为（12分）24如果圆的方程为，则当圆面积最大时，圆心为【解答】解：将方程配方，得，此时圆心为故答案为：25已知，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，设的外接圆为（1）若，求的标准方程；（2）求面积最小时的值【解答】解：（1），又，中点，中点，线段的中垂线，线段的中垂线， 得 即圆心，而，的标准方程：（2），中点，线段的中垂线，由（1）知线段的中垂线， 即 即圆心，半径，而，当且仅当时，等号成立，当时，有最小值，此时最小26已知圆经过点，（1）求圆的方程；（2）若为圆上的一动点，求面积的最大值【解答】解：（1）设圆的方程为，由题意可得，解得，则圆的方程为即；（2），的方程：，且，圆心到直线的距离为，点到直线的距离的最大值为，故面积的最大值为27已知圆，点与，为圆上动点，当取最大值时点坐标是，【解答】解：设，则，的几何意义是到原点的距离，由已知，圆心，半径为1，到的距离，的最大值是，的最大值为，由直线与圆，可得，或，当取最大值时点坐标是，故答案为：，