专题1.2 函数及其表示-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（人教版必修1）.docx

1、第一章 集合与函数概念1.2 函数及其表示一、函数的概念1函数的概念设A、B是_，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_x，在集合B中都有_的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集解读函数概念（1）“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的（2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而

2、是集合B的子集（3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个（任意性）元素x，在非空数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应（4）函数符号“”是数学中抽象符号之一，“”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，也不一定是解析式，还可以是图表或图象2函数的构成要素由函数概念知，一个函数的构成要素为_由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系辨析与：表示当自变量时函数的值，是一个常量，而是自变量x的函数，它是一个变量，是的一个特殊值3相等函数（同一函数）对于两个函数，只有当两个函数的_都分别相同时

3、，这两个函数才相等，即是同一函数名师提醒（1）判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的（3）在化简解析式时，必须是等价变形二、区间及其表示1区间的概念设a，b是两个实数，而且ab我们规定：（1）满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为_；（2）满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为_；（3）满足不等式的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为_其中实数a，b都叫做相应区间的端点我们可以在数轴

4、上表示上述区间，为了区别开区间、闭区间的端点，我们用_表示包括在区间内的端点，用_表示不包括在区间内的端点定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间注意：区间符号里面的两个字母（或数字）之间用“，”隔开2无穷大的概念实数集可以用区间表示为_，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”把满足的实数x的集合分别表示为三、函数的三种表示方法1解析法用_表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法2图象法用_来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法3列表法通过列出_来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法对三种表示法的说明解析法：利用解析式表示函数的前提是变量

5、间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性四、分段函数1分段函数的概念在函数定义域内，对于自变量x的不同_，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数知识提升（1）分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函数的解析式分段函数是一个函数，而不是几个函数（2）分段函数的定义域：一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式（3）分段函数的值域：求分段函数的值域，应先

6、求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集2分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据每段的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图象，作图时要注意每段曲线端点的_，横坐标相同的地方不能有两个或两个以上的点3.分段函数问题的5种常见类型及解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提求参数“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值依据

7、条件找到函数满足的性质，利用该性质求解名师提醒作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏五、映射一般地，设A，B是两个_，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_元素x，在集合B中都有_的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射对映射的理解（1）映射包括非空集合A，B以及对应关系f，其中集合A，B可以是数集，可以是点集，也可以是其他任何形式的集合 当A，B为数集时，此时的映射就是函数，即函数是一种特殊的映射（2）集合A，B是有先后次序的，即A到B的映

8、射与B到A的映射是不同的 （3）集合A中每一个元素在集合B中必有唯一的元素和它对应（有，且唯一），但允许B中元素没有A中元素与之对应（4）A中元素与B中元素对应，可以是“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”知识提升对于映射，我们通常把集合A中的元素叫原象，而把集合B中与A中元素相对应的元素叫象，集合A叫原象集，象集为C，则象是对原象而言的，原象也是对象而言的，原象和象不可以互换设A，B是两个集合，是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射一、1非空的数集 任意一个数 唯一确定2定

9、义域、对应关系和值域3定义域和对应关系 二、1（1）（2）（3）， 实心点 空心点2 三、1数学表达式2图象3表格 四、1取值区间2虚实 五、非空的集合 任意一个 唯一确定帮重点1函数的概念，函数的三要素；2函数的三种表示方法；3分段函数；4求函数的解析式；帮难点1函数概念及符号的理解；2分段函数的表示；3图象的画法；帮易错1求函数的定义域时，一定要根据最原始的解析式求解，否则可能会改变原函数的定义域2用换元法求函数的值域时，必须确定换元后新元的范围，否则会产生错解3在写函数的解析式，尤其是分段函数的解析式，及画函数的图象时，一定不要忽略函数的定义域1函数概念判断所给对应是否是函数，首先观察两

10、个数集A，B是否非空；其次验证对应关系下，集合A中数x的任意性和集合B中数y的唯一性（即不能没有数y对应数x，也不能有多于一个的数y对应数x）函数的概念部分考查时，要关注函数的三要素之间的关系,在复习时要注意函数的概念的准确性：例如：（1）下列图形中可以表示以Mx|0x1为定义域，Ny|0y1为值域的函数的图象是()【答案】C【解析】A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确（2）已知Ax|xn2，nN，给出下列关系式：f(x)x；f(x)x2；f(x)x3；f(x)x4；f(x)x21，其中能够表示函数f：AA的是_【答案】【解析】对于，当

11、x1时，x21A，故错误，由函数定义可知均正确【温馨提示】 (1)函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同2同一函数讨论两个函数是否为同一函数时，要树立“定义域优先”的原则，若定义域相同，再化简函数解析式，看对应关系是否相同注意：定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数（1）下列五组函数中，表示同一函数的是_(填序号)f(x)x1与g(x)；f(x)x2，xR与g(x)x2，xZ；f(u)与f(v)；yf(

12、x)与yf(x1)【答案】【解析】是同一函数的要求要满足函数的三要素，有相同的定义域、值域与对应法则.中的两函数的定义域不同；中的对应法则不同；中的定义域、对应法则及值域都相同.（2）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A与B与C与D与【答案】D【解析】Af（x）=x+1的定义域为R，的定义域为x|x0，定义域不同，不是同一函数；B的定义域为（0，+），g（x）=x的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；Cf（x）=|x|，解析式不同，不是同一函数； Df（x）=x的定义域为R，的定义域为R，定义域和解析式都相同，是同一函数故选D【名师点睛】本题考查函数的定义域，判断两函数是否为同一函数的方

13、法：看定义域和解析式是否都相同解答本题时，通过求定义域，可以判断选项A，B的两函数都不是同一函数，通过看解析式可以判断选项C的两函数不是同一函数，从而只能选D3函数的定义域（1）当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有：分式的分母不为0；偶次根式的被开方数非负；要求；当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合；已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围；由实际问题建立的函数，还要符合实际问题

14、的要求注意：定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接（2）已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的方法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围这种思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解（1）函数的定义域是（ ）ABCD（2）函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）ABCD（3）已知函数f(x1)的定义域为(2,0)，则f(2x1)的定义域为()A.(1,0) B. C.(0,1) D.（4）若函

15、数y的定义域为R，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.【答案】（1）B （2）B （3）C （4）D【解析】（1）要使原式有意义只需：，解得且，故函数的定义域为故选B（2）的定义域为，需满足，的定义域为故选B（3）函数f(x1)的定义域为(2,0)，即2x0，1x11，则f(x)的定义域为(1,1)，由12x11，得0x1.f(2x1)的定义域为(0,1).【名师点睛】（1）求函数的定义域分两类，一是实际问题中函数的定义域，由变量的实际意义确定；二是一般函数的定义域，由使式子有意义的的范围确定，一般是列出不等式组求解注意结果要写成集合或区间的形式解答本题时，由题意，分子根号下的式子大于

16、或等于零，分母不为零，据此列出关于的不等式组，求解即可（2）本题考查函数定义域的概念及求法，已知的定义域求定义域的方法，其实质是由的取值范围，求出的取值范围，是基础题.解答本题时，根据的定义域即可得出需满足：，从而得出的定义域（3）本题考查的是上题的升级版，是由x x+1 2x1 x的过程.（4）函数y的定义域为R，mx24mx30，m0或即m0或0m，实数m的取值范围是.【名师点睛】本题考查的是与函数定义域有关的求参数的问题，要结合函数的分式形式，以及在函数有意义的前提下，对分母进行讨论，参数作为二次项的系数时，要有两种讨论方式，然后再根据二次方程进行根的讨论，最后确定参数的取值范围.4求函

17、数值或函数的值域（1）函数求值即用数值或字母代替表达式中的x，而计算出对应的函数值的过程注意所代入的数值或字母应满足函数的定义域要求求函数值应遵循的原则：已知的表达式求时，只需用a替换表达式中的x求的值应遵循由里往外的原则用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值（2）求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； 配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法求值域时一定要注意定义域的影响如函数的值域与函数的值域是不同的；分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化

18、为“反比例函数类”的形式，便于求值域分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x仅出现在分母上，这样x对函数的影响就比较清晰了，将形如(a0)的函数分离常数，变形过程为：，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.；换元法：对于一些无理函数（如），通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元的取值范围，否则会产生错解求新元的范围，要根据已知函数的定义域求下列函数的值域：（1）f（x）=；（2）f（x）=x【答案】（1）（，2）（2，+）； （2），+）.【解析】（1）因为f（x）=2，所以f（x）

19、2，所以函数f（x）的值域为（，2）（2，+）（2）令=t（t0），则x=t21，所以y=t2t1（t0）因为抛物线y=t2t1开口向上，对称轴为直线t=0，+），所以当t=时，y取得最小值为，无最大值，所以函数f（x）的值域为，+）【名师点睛】本题考查了函数值域的求法（1）利用分离常数法可得值域：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x仅出现在分母上，这样x对函数的影响就比较清晰了；（2）利用换元法转化为二次函数问题求解值域即可，对于一些无理函数（如），通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，

20、间接地求解原函数的值域（3）若函数f(x)=x2+ ax+b在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则M mA与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关【答案】B【解析】本题考点二次函数的最值，由题意可知最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B5函数解析式的求法（1）已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数（2）已知f（g（x）=h（x），求f（x），常用的有两种方法：换元法，即令t=g（x），解出x，代入h（x）中，得到一个含t的解析式，即为所求解析式；配凑法，即从f（g（x）的解析式中配凑出“g（x）”，即用g（x）来表

21、示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可利用这两种方法求解时一定要注意g（x）的取值范围的限定（3）已知f（x）与f（g（x）满足的关系式，要求f（x）时，可用g（x）代替两边所有的x，得到关于f（x）与f（g（x）的方程组，消去f（g（x）解出f（x）即可常见的有f（x）与f （x），f（x）与（4）所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替使用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定（1）已知是一次函数，且，求；（2）已知，求；（3）已知，求f（x）的解析式【答案】（1）或；（2）；（3）.【解析】（1）设，则，即

22、，解得或，或.（2）令，则，（3）由题意得，令x取代入得，由解得【名师点睛】本题主要考查了求函数解析式，掌握待定系数法、换元法、配凑法、列方程组法等，由条件的不同运用适当方法解题.（1）设，代入已知条件可得的方程组，解方程组即可得到答案（2）利用换元法求解求出解析式.（3）利用方程组法，令x取代入原方程化简，与原方程联立后求出f（x）的解析式6函数图象（1）要判断一个图象是否为某个函数的图象，其方法是：任作垂直于轴的直线，若此直线与该图象最多有一个交点，则该图象为在此定义域内的函数图象，否则不是（2）识别函数图象的关键是明确函数的定义域对函数图象的限制，再利用特殊点确定函数的图象若函数是分段函

23、数，需注意分段函数的图象由几部分构成（3）函数图象主要应用于研究函数的性质，如最值、值域等；也常用于研究方程的解、不等式的解集以及图象的交点个数等问题，应用时注意将所给的问题转化为函数问题，再通过画函数的图象，借助于图象的直观性来处理（1）如图所示，所给图象是函数图象的有()图211A1个 B2个 C3个 D4个【解析】中，当x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；中，当xx0时，y的值有两个，因此不是函数图象；中，每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B【答案】B（2）设，二次函数的图象可能是 （ ）OxyxyOxyOxyABCDO【答案】D【解析】由题意可知三系

24、数确定二次函数的具体位置，并且可知有以下几种情况：，.并且要明确的是当同号函数图象的对称轴位于y轴左侧，异号函数图象的对称轴位于y轴的右侧.表示的是函数图象与y轴的交点位置，当时，图象与y轴交于正半轴，当时，图象与y轴交于负半轴.结合题意可知符合题意的图象是D，此时.（3）函数的图象是（ ）ABCD【答案】C【解析】对x进行讨论，将函数转化为所熟知的基本初等函数即可作图当x0时，故图象为直线上的部分；当x0时，故图象为直线上的部分；当x=0时，无意义综上，的图象为直线上的部分，上的部分，即两条射线故选C【名师点睛】作分段函数图象的关键是根据定义域的不同部分，分别由解析式作出对应的图象作图时一定

25、要注意每段自变量的取值范围，且要标出关键点的横、纵坐标7分段函数（1）求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现的形式时，应从内到外依次求值（2）在分段函数的前提下，求某条件下自变量的值的方法：先假设所求的值在分段函数定义域的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验（1）函数，则的值是_【答案】0【解析】函数，f（1）110，f（f（1）f（0）0故答案为：0【名师点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用解答时，由已知得f（1）0，从而f（f（1）f（0），由此能求出结果（2）设,

26、若,则 ( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【解析】 当0a1,f(a+1)=2(a+1-1)=2a,f(a)=f(a+1),解得或a=0(舍去).f(14)=f(4)=2(4-1)=6.当a1时,a+12,f(a)=2(a-1),f(a+1)=2(a+1-1)=2a,2(a-1)=2a,无解.当a=1时,a+1=2,f(1)=0,f(2)=2,不符合题意.综上,.故选C.【答案】 C8映射判断一个对应是不是映射，关键有两点：（1）对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素与之对应；（2）B中的对应元素是不是唯一的对于一一映射f：AB，应满足：（1）A中每一个元素在B中都有唯一的元素与之

27、对应；（2）A中的不同元素对应B中的元素也不同；（3）B中每一个元素在A中都有唯一的元素与之对应判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？（1）A1,2,3,4，B3,4,5,6,7,8,9，对应关系f：x2x1；（2）A平面内的圆，B平面内的矩形，对应关系是“作圆的内接矩形”；（3）A1,2,3,4，B1，对应关系f：xy.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）是映射也是函数，但不是一一映射因为数集A中的元素x按照对应关系f：x2x1和数集B中的元素2x1对应，这个对应是数集A到数集B的映射，也是函数，但B中的元素4,6,8没

28、有原象，不能构成一一映射（2）不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应（3）是A到B的映射，也是函数和一一映射【名师点睛】本题主要考查映射与一一映射以及函数的定义，意在考查对基本概念掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.解答时，直接利用映射与一一映射以及函数的定义，对三个对应逐一判断即可.9求函数的解析式时忽略函数的定义域已知等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，求关于的函数解析式【错解】根据等腰三角形的周长列出函数解析式，2xy20，y202x【错因分析】错解中的

29、函数解析式不完整，缺少自变量的取值范围 【正解】根据等腰三角形的周长列出函数解析式，2xy20，y202x202x0，x202x，得x5，所以函数的定义域为x|5x10所以关于的函数解析式为y202x（5x0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选B3下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A与B 与C与D与【答案】C【解析】对于A，的定义域为，的定义域为，两个函数的对应法则不相同，不是同一个函数对于B，的定义域为，的定义域为，两个函数不是同一个函数对于C，的定义域为且，的定义域为且，对应法则相同，两个函数是同一个函数对于D，的定义域是，的定义域是，定义域不相

30、同，不是同一个函数故选C【名师点睛】本题考查两个函数解析式是否表示同一个函数，需要两个条件：两个函数的定义域是同一个集合；两个函数的解析式可以化为一致这两个条件缺一不可，必须同时满足4函数的图象大致为（ ）【答案】A【解析】y，该函数的定义域为x|x1，值域为y|y1，故选A【名师点睛】本题考查了函数的图象，主要从定义域、值域、函数性质、特殊点等方面判断，属于基础题解答时，求出函数的定义域与值域，从而得出答案5已知函数f（x）=，x1，2，3，则函数f（x）的值域是（ ）AB（，0C1，+）DR【答案】A【解析】f（x）=，x1，2，3当x=1时，f（1）=1；当x=2时，f（2）=；当x=3

31、时，f（3）=函数f（x）的值域是故选A6函数y=x2+1的值域是（ ）A1，+）B（0，1C（，1D（0，+）【答案】A【解析】y=x2+11，函数y=x2+1的值域是1，+），故选A7已知A=B=R，xA，yB，f：xy=ax+b是从A到B的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在f下的象是（ ）A3B4C5D6【答案】A【解析】A=B=R，xA，yB，f：xy=ax+b是从A到B的映射，又1和8的原象分别是3和10，解得，即f：xy=x2，5在f下的象可得f（5）=152=3，故选A8已知f（）=，则f（x）的解析式为（ ）A BC D【答案】D【解析】由可知，函数的定义域为x|x0，

32、x1，将x换为，代入上式得：f（x），故选D【名师点睛】本题属于求解函数的表达式问题，使用的是构造法，即在定义域范围内以x代从而解决问题，属于基础题.9已知函数y=，若f（a）=10，则a的值是（ ）A3或3B3或5C3D3或3或5【答案】B【解析】若a0，则f（a）=a2+1=10，解得a=3（a=3舍去）；若a0，则f（a）=2a=10，解得a=5综上可得，a=5或a=3，故选B10已知函数，分别由下表给出123131123321则方程的解集为_【答案】【解析】因为，所以，由于，故或，即方程的解集为.【名师点睛】本题考查了函数的表示方法，列表法，解决问题的关键是从表中寻找对应关系，属于基础

33、题.解答时，观察表中数据，分别求出外函数与内函数的函数值，即可得到所求解集.11若函数，则函数的解析式为_.【答案】【解析】，即，本题正确结果为.【名师点睛】已知的解析式求解的问题，主要有两种方法：一是配凑法：将的解析式配凑成用表示的形式，然后整体替换；二是换元法：设，用表示，得到的解析式，即为的解析式.解答本题时，通过配凑的方式，将配凑成与相关的形式，整体将用替换即可得到的解析式.12.已知，且x+y=1，则的取值范围是_【答案】 【解析】，所以当时，取最大值1；当时，取最小值.因此的取值范围为. 【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转

34、化为几何关系求取值范围，即，表示线段，那么的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.13已知f(x)=.（1）若f(a)=4，且a0，求实数a的值;（2）求的值.【答案】（1）a=或a=；（2）2.【解析】（1）若0a2，则f(a)=2a+1=4，解得a=，满足0a2.若a2，则f(a)=a21=4，解得a=或a=(舍去)，a=或a=.（2）由题意，=2+1=2.【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各

35、段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围14.设xR，定义符号函数则()A|x|x| B|x| C|x| D|x|【答案】D【解析】对于选项A，右边而左边|x|显然不正确；对于选项B，右边而左边|x|显然不正确；对于选项C，右边，而左边|x|显然不正确；对于选项D，右边而左边|x|显然正确.故应选D.【名师点睛】本题是考查新定义的分段函数问题，解决本题最好的办法就是根据分段函数区间进行逐一验证.15已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题得A=x|x1，B=y|y=x2=y|y0，所以，所以.故选C.【名师点睛】本题主要考查集合的化

36、简，涉及函数定义域和值域，考查集合的补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知函数f(x)的定义域为(1，1)，则函数g(x)ff(x1)的定义域为()A(2，0)B(2，2)C(0，2) D.【答案】C【解析】由题意得0x2，函数g(x)ff(x1)的定义域为(0，2)17函数，的值域为（ ）A BC D【答案】C【解析】令，xt21，.时，f（x）取最小值；t2时，f（x）取最大值0，但是取不到，f（x）的值域为：故选C【名师点睛】本题主要考查函数值域的概念及求法，换元法求函数的值域以及配方求二次函数值域的方法求解时，可令，根据x的范围，可求出，并求出

37、xt21，原函数变成y2（t21）3t，配方即可求出该函数的最值，从而得出f（x）的值域18已知f（x）=，则不等式x+（x+2）f（x+2）5的解集是（ ）A2，1B（，2CD【答案】D【解析】当x+20时，即x2，f（x+2）=1，由x+（x+2）f（x+2）5可得x+x+25，x即2x，当x+20即x2时，f（x+2）=1，由x+（x+2）f（x+2）5可得x（x+2）5，即25，x2，综上，不等式的解集为x|x，故选D19函数的值域是Ay|1y1By|1y1Cy|1y1Dy|0y1【答案】C【解析】法一、由整理得y+yx2=1x2，（y+1）x2+y1=0当y+10时，=4（y+1）（

38、y1）0，解得1y1当y+1=0时，1=1不成立，y1故选C法二、由，所以可得.故选C20已知函数f（x）=的定义域为R，则实数m取值范围为（ ）Am|1m0Bm|1m0Cm|m0Dm|m0【答案】A【解析】函数f（x）=的定义域为R，函数y=mx2+6mxm+8的函数值非负，（1）当m=0时，y=8，函数值非负，适合题意；（2）当m0时，要mx2+6mxm+8恒为非负，则m0，关于x的方程mx2+6mxm+8=0根的判别式0，即（6m）24（m）（m+8）0，m2+m0，1m0，1m0，综上，1m0故选A21已知函数满足，则函数的解析式为_【答案】【解析】 中将x换成，得f（）+2f（x）

39、，由联立消去f（）得f（x），故答案为：f（x）【名师点睛】本题考查了函数解析式的求解，主要有：待定系数法、换元法、配凑法、方程组法等等属基础题解题时，将已知函数方程中的x换成得到另一个函数方程，然后两个方程联立消去f（）可得f（x）.22已知函数满足，且对任意实数都有，则的值为_【答案】0【解析】根据题意，函数f（x）满足f（xa）x3+1，则f（x）（x+a）3+1，则f（2x）（2x+a）3+1，若对任意实数x都有f（x）+f（2x）2，则有f（x）+f（2x）（x+a）3+1+（2x+a）3+12，变形可得（x+a）3+（2x+a）30，所以有：x+a=（2x+a），可得a1，则f（x

40、）（x1）3+1，所以f（0）（01）3+1（1）+10.故答案为0【名师点睛】本题考查函数解析式的求解及函数值的计算，关键是求出a的值先根据题意可得f（x）（x+a）3+1，进而可得f（x）+f（2x），变形分析可得a的值，即可得函数的解析式，将x0代入计算可得答案23.已知二次函数的图象经过三点，那么这个二次函数的解析式为_【答案】【解析】由题意可设二次函数的解析式为，将题中三点分别代入解析式中可得：，解此方程组得到，所以函数的解析式为.24已知函数f（x）=（1）在坐标系中作出函数的图象；（2）若f（a）=，求a的取值集合【答案】（1）图象详见解析；（2），【解析】（1）函数f（x）=的

41、图象如下图所示：（2）当a1时，f（a）=a+2=，可得：a=；当1a2时，f（a）=a2=，可得：a=；当a2时，f（a）=2a=，可得：a=（舍去）；综上所述，a的取值构成集合为，25已知.（1）求，的值；（2）求和的解析式；（3）求的值域【答案】（1）f（2）=10，f（a）=a2+6；（2）f（x）=x2+6，f（x+1）=（x+1）2+6；（3）6，+）【解析】（1）f（x1）=x22x+7，f（2）= f（31）=96+7=10，f（a）= f（a+11）=（a+1）22（a+1）+7=a2+6（2）f（x）=f（x+1）1=（x+1）22（x+1）+7=x2+6，f（x+1）=（

42、x+1）2+6.（3）f（x+1）=（x+1）2+66，f（x+1）的值域为6，+）26.已知函数，记是在区间上的最大值.（1） 证明：当时，；（2）当，满足，求的最大值.【分析】（1）分析题意可知在上单调，从而可知，分类讨论的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知，再由可得，即可得证.【解析】（1）由，得对称轴为直线，由，得，故在上单调，当时，由，得，即，当时，由，得，即，综上，当时，；（2） 由得，故，由，得，当，时，且在上的最大值为，即，的最大值为.27.【2020年高考全国卷】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积

43、压为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A10名B18名C24名D32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，配货的概率，,故需要志愿者名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.28.【2020年高考天津】函数的图象大致为（ ）A BC D【答案】A【解析】法一、本题可用验证法来找选项，用正负1来验证即可.法二、由函数的解析式可得：，则函数为奇函

44、数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，选项B错误.故选：A【名师点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项29.【2020北京高三月考】已知函数满足，且，则A16B8C4D2【答案】B【解析】因为,且,故,解得.故选B.【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,属于基础题.30.【2020陕西省交大附中高三三模（文）】设函数，则_【答案】4【解析】函数，【点睛】本

45、题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题31【2017年高考浙江】若函数f(x)=x2+ ax+b在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则M mA与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关.故选B【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端

46、点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值32【2017年高考山东文数】设,若,则 A2 B4C6 D8【答案】C【解析】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则.故选C.【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围33【2019年高考江苏】函数的定义域是 .【答案】【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得,即，解得，故函数的定义域为.【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可