专题11 图形的变换篇（解析版）.docx

1、专题11 图形的变换知识回顾1. 平移的条件：平移的方向叫做平移方向，平移的距离叫做平移距离。平移方向与平移距离即为平移的条件。2. 平移的性质：平移前后的两个图形全等。即有对应边相等，对应角相等。对应点连线平行且相等，且长度都等于平移距离。3. 平移作图：具体步骤：确定平移方向与平移距离。将关键点按照平移方向与平移距离进行平移，得到平移后的点。将平移后的关键点按照原图形连接即得到平移后的图形。4. 坐标表示平移： 向右平移个单位，坐标 向左平移个单位，坐标 向上平移个单位，坐标向下平移个单位，坐标5. 轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等。即有对应边相等，对应角相等。对称轴是任意一组对应点连

2、线的垂直平分线。6. 关于坐标轴对称的点的坐标：关于轴对称的点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数。即关于轴对称的点的坐标为。关于轴对称的点的坐标：纵坐标不变，横坐标互为相反数。即关于轴对称的点的坐标为。关于原点对称的点的坐标：横纵坐标均互为相反数。即关于原点对称的点的坐标为。7. 关于直线对称的点的坐标： 关于直线对称，关于直线对称，8. 旋转的要素：旋转中心；旋转方向；旋转角。9. 旋转的性质：旋转前后的两个图形全等。即有对应边相等，对应角相等。对应点到旋转中心的连线距离相等。对应点与旋转中心的连线构成的夹角等于旋转角。10. 旋转对称图形：若一个图形旋转一定角度（小于360）之后与原图形

3、重合，则这个图形叫做旋转对称图形。如正多边形或圆。11. 中心对称：定义：把一个图形绕着某个点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。性质：I：关于中心对称的两个图形能够完全重合； II：关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。12. 坐标的旋转变换：若点顺时针或逆时针旋转90，则横纵坐标的绝对值互换，符号看象限。若点顺时针或逆时针旋转180，即关于原点成中心对称，则横纵坐标变为原来的相反数。即13. 旋转作图：基本步骤：确定旋转方向与旋转角；把图形的关键点

4、按照旋转方向与旋转角进行旋转，得到关键点的对应点；将对应点按照原图形连接。专题练习1如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（2，5），C（5，4）（1）将ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到A1B1C1，画出两次平移后的A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出A1B1C1绕点C1顺时针旋转90后得到A2B2C1，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长（结果保留）【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利

5、用旋转变换的性质分别作出A1，B1的对应点A2，B2即可；（3）利用勾股定理求出A1C1，再利用弧长公式求解【解答】解：（1）如图，A1B1C1即为所求，点A1的坐标（5，3）；（2）如图，A2B2C1即为所求，点A2的坐标（2，4）；（3）A1C15，点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长2如图，ABC的顶点坐标分别为A（2，3），B（3，0），C（1，1）将ABC平移后得到ABC，且点A的对应点是A（2，3），点B、C的对应点分别是B、C（1）点A、A之间的距离是 ；（2）请在图中画出ABC【分析】（1）根据两点间的距离公式即可得到结论；（2）根据平移的性质作出图形即可【解答】解：（1）

6、A（2，3），A（2，3），点A、A之间的距离是2（2）4，故答案为：4；（2）如图所示，ABC即为所求3已知ABC中，ACB90，ACBC4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒（1）如图，若PQBC，求t的值；（2）如图，将PQC沿BC翻折至PQC，当t为何值时，四边形QPCP为菱形？【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可（2）作PDBC于D，PEAC于E，APtcm，BQtcm（0t4），由ABC为等腰直角三角形，可得AB45，则可判断APE和PB

7、D为等腰直角三角形，得出PEAEAPtcm，BDPD，则CEACAE（4t）cm，由矩形和菱形性质及勾股定理，即可求得答案【解答】解：（1）如图，ACB90，ACBC4cm，AB4（cm），由题意得，APtcm，BQtcm，则BP（4t）cm，PQBC，PQB90，PQBACB，PQAC，解得：t2，当t2时，PQBC（2）作PDBC于D，PEAC于E，如图，APtcm，BQtcm（0t4），C90，ACBC4cm，ABC为等腰直角三角形，AB45，APE和PBD为等腰直角三角形，PEAEAPtcm，BDPD，CEACAE（4t）cm，四边形PECD为矩形，PDEC（4t）cm，BD（4t）c

8、m，QDBDBQ（42t）cm，在RtPCE中，PC2PE2+CE2t2+（4t）2，在RtPDQ中，PQ2PD2+DQ2（4t）2+（42t）2，四边形QPCP为菱形，PQPC，t2+（4t）2（4t）2+（42t）2，t1，t24（舍去）当t的值为时，四边形QPCP为菱形4如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，ABC的顶点和线段EF的端点均在小正方形的顶点上（1）在方格纸中画出ADC，使ADC与ABC关于直线AC对称（点D在小正方形的顶点上）；（2）在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形EFGH的面积为4，连接DH，请直接写出线

9、段DH的长【分析】（1）根据轴对称的性质可得ADC；（2）利用平行四边形的性质即可画出图形，利用勾股定理可得DH的长【解答】解：（1）如图，ADC即为所求；（2）如图，EFGH即为所求；由勾股定理得，DH55图，图均是44的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形（1）在图中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；（2）在图中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形【分析】（1）作点B关于直线AC的对称点D，四边形ABCD为筝形（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点E，四边形AB

10、CE为平行四边形【解答】解：（1）作点B关于直线AC的对称点D，连接ABCD，四边形ABCD为筝形，符合题意（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点E，连接ABCE，AEBC且AEBC，四边形ABCE为平行四边形，符合题意6如图，已知四边形ABCD为矩形，AB2，BC4，点E在BC上，CEAE，将ABC沿AC翻折到AFC，连接EF（1）求EF的长；（2）求sinCEF的值【分析】（1）根据翻折变换的特点和勾股定理结合方程思想解答即可；（2）根据锐角三角函数的定义，利用勾股定理解答即可【解答】解：（1）CEAE，ECAEAC，根据翻折可得：ECAFCA，BACCAF，四边形ABCD

11、是矩形，DACB，ECACAD，EACCAD，DAFBAE，BAD90，EAF90，设CEAEx，则BE4x，在BAE中，根据勾股定理可得：BA2+BE2AE2，即：，解得：x3，在RtEAF中，EF（2）过点F作FGBC交BC于点G，设CGy，则GE3y，FC4，FE，FG2FC2CG2FE2EG2，即：16y217（3y）2，解得：y，FG，sinCEF7为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地A、B、C、D四个位置安装四个自动喷洒装置（如图1所示），A、B、C、D四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为

12、铺设的水管）方案一：如图2所示，沿正方形ABCD的三边铺设水管；方案二：如图3所示，沿正方形ABCD的两条对角线铺设水管（1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；（2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂巢原理”重新设计了一个方案（如图4所示）满足AEBCFD120，AEBECFDF，EFAD请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由（参考数据：1.4，1.7）【分析】（1）分别算出两种方案中铺设水管的总长度，再比较即可得答案；（2）过E作EGAB于G，过F作FHCD于H，由AEBE，GEAB，可得AGBGAB25米DHCH，AEGBEGAEB

13、60DFHCFH60，在RtAEG中，GE（米），AE（米），故EFGHGEFH（50）米，从而可得方案中铺设水管的总长度为50+50135（米），即知小明的方案中铺设水管的总长度最短【解答】解：（1）方案一：铺设水管的总长度为503150（米），方案二：铺设水管的总长度为2100140（米），140150，方案二铺设水管的总长度更短；（2）小明的方案中铺设水管的总长度最短，理由如下：如图：AEBE，GEAB，AGBGAB25米，AEGBEGAEB60，同理DHCH25米，DFHCFH60，在RtAEG中，GE（米），AE（米），同理FH米，BECFDFAE米EFGHGEFH（50）米，方案中

14、铺设水管的总长度为4+5050+50135（米），135140150，小明的方案中铺设水管的总长度最短8如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（0，3）（1）画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；（2）画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；（3）所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）【分析】（1）根据要求直接平移即可；（2）在第四象限画出关于x轴对称的图形；（3）观察图形可得结论【解答】解：（1）如图1，（2）如图2，（3）图1是W，图2是X9如图，是边长为1的小正方形组成的88方格，线段AB的端

15、点在格点上建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为（2，1）和（1，3）（1）画出该平面直角坐标系xOy；（2）画出线段AB关于原点O成中心对称的线段A1B1；（3）画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形（画出一个即可）【分析】（1）根据其中一个点的坐标，即可确定原点位置；（2）根据中心对称的性质，即可画出线段A1B1；（3）根据平行四边形的性质即可画出图形【解答】解：（1）如图，即为所求；（2）如图，线段A1B1即为所求；（3）如图，平行四边形AOBD即为所求（答案不唯一）10如图，在ABC中，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，连接DE，DF（1）如图1，求证：；（2）如图2，

16、将EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，当DPAB时，求DN的长【分析】（1）连接AF，可得AFBC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据中位线定理可得，即可得证；（2）证明DNFDME，根据（1）的结论即可得；（3）连接AF，过点C作CHAB于H，证明AGDAHC，可得，勾股定理求得GE，AG，根据，EMGADG，可得，进而求得MG，根据MDMG+GD求得MD，根据（2）的结论，即可求解【解答】（1）证明：如图1，连接AF，

17、D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，AFBC，；（2）解：，理由如下：连接AF，如图2，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，四边形CDEF是平行四边形，DEFC，DFCC，DFCDEF，180DFC180DEF，DFNDEM，将EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到PDQ，EDFPDQ，FDN+NDEEDM+NDE，FDNEDM，DNFDME，；（3）解：如图，连接AF，过点C作CHAB于H，RtAFC中，DPAB，AGDAHC，RtGED中，RtAGD中，EFAD，EMGADG，DNFDME，11如图，在ABC中，ABAC，BAC120，点D在直线AC上，连接BD，将DB绕点D逆时针旋

18、转120，得到线段DE，连接BE，CE（1）求证：BCAB；（2）当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求的值；（3）过点A作ANDE交BD于点N，若AD2CD，请直接写出的值【分析】（1）作AHBC于H，可得BHAB，BC2BH，进而得出结论；（2）证明ABDCBE，进而得出结果；（3）当点D在线段AC上时，作BFAC，交CA的延长线于F，作AGBD于G，设ABAC3a，则AD2a，解直角三角形BDF，求得BD的长，根据DAGDBF求得AQ，进而求得AN，进一步得出结果；当点D在AC的延长线上时，设ABAC2a，则AD4a，同样方法求得结果【解答】（1）证明：如图1，作AHBC于H，

19、ABAC，BAHCAH60，BC2BH，sin60，BH，BC2BH；（2）解：ABAC，ABCACB30，由（1）得，同理可得，DBE30，ABCDBE，ABCDBCDBEDBC，ABDCBE，ABDCBE，；（3）解：如图2，当点D在线段AC上时，作BFAC，交CA的延长线于F，作AGBD于G，设ABAC3a，则AD2a，由（1）得，CE，在RtABF中，BAF180BAC60，AB3a，AF3acos60，BF3asin60，在RtBDF中，DFAD+AF2a+a，BDa，AGDF90，ADGBDF，DAGDBF，AG，ANDE，ANDBDE120，ANG60，ANaa，如图3，当点D在

20、AC的延长线上时，设ABAC2a，则AD4a，由（1）得，CE4，作BRCA，交CA的延长线于R，作AQBD于Q，同理可得，ARa，BR，BD2a，AQ，ANa，综上所述：或12如图1，ABC是等边三角形，点D在ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60，得到线段AE，连接BD，DE，CE（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；（2）延长ED交直线BC于点F如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 ；如图3，当点F为线段BC中点，且EDEC时，猜想BAD的度数并说明理由【分析】（1）证明BADCAE；（2）AEDEBEBDBECE；（3

21、）连接AF，作AGDE于G，先证明ABFADG，从而，BAFDAG，进而BADFAG，再证明ABDAFG【解答】解：（1）BDCE，理由如下：ABC是等边三角形，BAC60，ABAC，AE是由AD绕点A逆时针旋转60得到的，DAE60，ADAE，BACDAE，BACDACDAEDAC，即：BADCAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），BDCE；（2）由（1）得：DAE60，ADAE，BDCE，ADE是等边三角形，DEAE，AEDEBEBDBECE，故答案为：AEBECE；如图，BAD45，理由如下：连接AF，作AGDE于G，AGD90，F是BC的中点，ABC是等边三角形，ADE是等

22、边三角形，AFBC，ABFADG60，AFBAGD，ABFADG，BAFDAG，BAF+DAFDAG+DAF，BADFAG，ABDAFG，ADBAGF90，由（1）得：BDCE，CEDEAD，ADBD，BAD4513如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，AOB的顶点坐标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）（1）将AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的A1O1B1（不写作法，但要标出顶点字母）；（2）将AOB绕点O顺时针旋转90，画出旋转后的A2O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）；（3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长（结果保留）【分析】（1）利用

23、平移变换的性质分别作出A，O，B的对应点A1，O1，B1即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出A，O，B的对应点A2，O2，B2即可；（3）利用弧长公式求解【解答】解：（1）如图，A1O1B1即为所求；（2）如图，A2O2B2即为所求；（3）在RtAOB中，14在ABC中，BAC90，ABAC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为，DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC（1）如图，当20时，AEB的度数是 ；（2）如图，当090时，求证：BD+2CEAE；（3）当0180，AE2CE时，请直接写出的值【分析】（1）由旋转的性质得出BAD20，ABAD，求出D

24、AEDAC35，由三角形外角的性质可求出答案；（2）延长DB到F，使BFCE，连接AF，证明ADEACE（SAS），由全等三角形的性质可得出DEACEA，ADEACE，DECE，证明ABFACE（SAS），由全等三角形的性质可得出AFAE，AFBAEC45，由等腰直角三角形的性质可得出结论；（3）分两种情况画出图形，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案【解答】（1）解：线段AB绕点A逆时针旋转至AD，20，BAD20，ABAD，ADBABD（18020）80，又BAC90，DAC70，AE平分DAC，DAEDAC35，AEBADBDAE803545，故答案为：45；（2）证明：延

25、长DB到F，使BFCE，连接AF，ABAC，ADAB，ADAC，AE平分DAC，DAECAE，又AEAE，ADEACE（SAS），DEACEA，ADEACE，DECE，ABAD，ABDADB，ADE+ADB180，ACE+ABD180，BAC90，BEC360（ACE+ABD）BAC3601809090，DEACEA，DEACEA9045，ABF+ABD180，ACE+ABD180，ABFACE，ABAC，BFCE，ABFACE（SAS），AFAE，AFBAEC45，FAE180454590，在RtAFE中，FAE90，cosAEF，EF，EFBF+BD+DECE+BD+CEBD+2CE，BD

26、+2CEAE；（3）解：如图3，当090时，由（2）可知BD+2CEAE，CEDE，AE2CE，BD+2DE2DE，2；如图4，当90180时，在BD上截取BFDE，连接AF，方法同（2）可证ADEACE（SAS），DECE，ABACAD，ABFADE，ABFADE（SAS），AFAE，BAFDAE，又DAECAE，BAFCAE，EAFFAC+CAEFAC+BAFBAC90，AEF是等腰直角三角形，EFAE，BDBF+DE+EF2DE+AE，AE2CE2DE，BD2DE+2DE，+2综上所述，的值为2+2或2215【特例感知】（1）如图1，AOB和COD是等腰直角三角形，AOBCOD90，点C

27、在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是 ；【类比迁移】（2）如图2，将图1中的COD绕着点O顺时针旋转（090），那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由【方法运用】（3）如图3，若AB8，点C是线段AB外一动点，AC3，连接BC若将CB绕点C逆时针旋转90得到CD，连接AD，则AD的最大值是 ；若以BC为斜边作RtBCD（B，C，D三点按顺时针排列），CDB90，连接AD，当CBDDAB30时，直接写出AD的值【分析】（1）证明AODBOC（SAS），即可得出结论；（2）利用旋转性质可证得BOCAOD，再证明AODBO

28、C（SAS），即可得出结论；（3）过点A作ATAB，使ATAB，连接BT，AD，DT，BD，先证得ABCTBD，得出DT3，即点D的运动轨迹是以T为圆心，3为半径的圆，当D在AT的延长线上时，AD的值最大，最大值为8+3；如图4，在AB上方作ABT30，过点A作ATBT于点T，连接AD、BD、DT，过点T作THAD于点H，可证得BACBTD，得出DTAC3，再求出DH、AH，即可求得AD；如图5，在AB下方作ABE30，过点A作AEBE于点E，连接DE，可证得BACBTD，得出DE，再由勾股定理即可求得AD【解答】解：（1）ADBC理由如下：如图1，AOB和COD是等腰直角三角形，AOBCOD

29、90，OAOB，ODOC，在AOD和BOC中，AODBOC（SAS），ADBC，故答案为：ADBC；（2）ADBC仍然成立.证明：如图2，AOBCOD90，AOB+AOCAOC+COD90+，即BOCAOD，在AOD和BOC中，AODBOC（SAS），ADBC；（3）过点A作ATAB，使ATAB，连接BT，AD，DT，BD，ABT和CBD都是等腰直角三角形，BTAB，BDBC，ABTCBD45，ABCTBD，ABCTBD，DTAC33，ATAB8，DT3，点D的运动轨迹是以T为圆心，3为半径的圆，当D在AT的延长线上时，AD的值最大，最大值为8+3，故答案为：8+3；如图4，在AB上方作ABT

30、30，过点A作ATBT于点T，连接AD、BD、DT，过点T作THAD于点H，cos30，ABCTBD30+TBC，BACBTD，DTAC3，在RtABT中，ATABsinABT8sin304，BAT903060，TAHBATDAB603030，THAD，THATsinTAH4sin302，AHATcosTAH4cos302，在RtDTH中，DH，ADAH+DH2+；如图5，在AB上方作ABE30，过点A作AEBE于点E，连接DE，则cos30，EBDABCABD+30，BDEBCA，DEAC3，BAE903060，AEABsin3084，DAEDAB+BAE30+6090，AD；综上所述，AD的值为2+或