专题12 二次函数的图象及性质（10个高频考点）（强化训练）（全国版）（解析版）.docx

1、专题12 二次函数的图象及性质（10个高频考点）（强化训练）【考点1 二次函数的定义】1（2022江苏淮安统考一模）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A y=3x-1By=ax2+bx+cCs=2t2-2t+1Dy=x2+ 1x【答案】C【分析】根据二次函数的定义求解即可【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；B、y=ax2+bx+c，当a=0时，不是二次函数，不符合题意；C、s=2t2-2t+1是二次函数，符合题意；D、y=x2+ 1x中1x不是整式，故y=x2+ 1x不是二次函数，不符合题意故选：C【点睛】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函

2、数的定义二次函数定义：一般地，把形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项x为自变量，y为因变量2（2022山东济南模拟预测）若y=m2+mxm2m是二次函数，则m的值等于（）A1B0C2D1或2【答案】C【分析】根据二次函数的定义求解即可，形如y=ax2+bx+c(a0)的函数为二次函数【详解】解：y=m2+mxm2m是二次函数，则m2m=2且m2+m0由m2m=2可得m=2或m=1，由m2+m0可得m0，m1，综上m=2故答案为：C【点睛】此题考查了二次函数的定义，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握二次函

3、数的定义3（2022四川成都校联考模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数y=ax2+a+bx+b叫做一次函数yaxb的“滋生函数”，一次函数yaxb叫做二次函数y=ax2+a+bx+b的“本源函数”（a，b为常数，且a0）若一次函数yaxb的“滋生函数”是y=ax23x+a+1，那么二次函数y=ax23x+a+1的“本源函数”是_【答案】y=2x-1【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数y=ax23x+a+1的本源函数【详解】解：由题意得3=a+ba+1=b解得a=2b=1函数y=ax23x+a+1的本源函数是y=2x-1故答案为：y=2x-1【点睛】本题考查新定义

4、运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”4（2022浙江模拟预测）无论a取什么实数，点Pa1,2a24a+1都在二次函数y上，Q(m,n)是二次函数y上的点，则4m22n+1=_【答案】3【分析】由题意可知y=2x2-1，首先把点Q（m，n）代入二次函数y=2x2-1解析式，代入得出，关于m，n的等式进一步整理得出答案即可【详解】解：由题意得，当x=a-1时，y=2a2-4a+1=2（a-1）2-1，可得：y=2x2-1，Q（m，n）是二次函数y=2x2-1上的点，2m2-1=n，2m2-n=1，所以4m2-2n+1=2（2m2-n）+1=3故答案为：3【点睛】此

5、题考查二次函数图象上点的坐标特点，注意适合解析式的点在图象上，在图象上的点都适合二次函数5（2013江苏徐州统考一模）请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象同时满足下列条件：开口向下；当x2时，y随x的增大而减小这样的二次函数的解析式可以是_【答案】答案不唯一，只要满足b4a，a0即可，如yx24x3，y2x28x3等【详解】试题分析：仔细分析题中要求根据二次函数的性质即可得到结果.答案不唯一，如y(x1)2或y(x1)22考点：二次函数的性质点评：二次函数的性质是初中数学的重点，是中考必考题，一般难度不大，需熟练掌握.【考点2 二次函数的图象与性质】6

6、（2022山东滨州统考二模）抛物线y=12x2+12x的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4，A2022在抛物线第一象限的图象上，点B1，B2，B3，B4.，B2022在y轴的正半轴上，OA1B1、B1A2B2、B2021A2022B2022都是等腰直角三角形，则B2021A2022=_【答案】20222【分析】先设第一个等腰直角三角形的直角边长为x，表示出点A1的坐标，代入二次函数的解析式，求出x；设第二个等腰直角三角形的直角边长为m，表示出A2的坐标，代入二次函数的解析式，求出m，同理求出第2022个等腰直角三角形的直角边长，即可求出斜边【详解】解：设A1B1=x，OA1B1是等腰直角三

7、角形，OB1=x，则A1的坐标为（x，x），代入二次函数y=12x2+12x，得x=12x2+12x，解得x=1或x=0（舍），设A2B2=m，B1A2B2腰是等腰直角三角形，B1B2=m，A2的坐标为（m，1+m），代入二次函数y=12x2+12x，得12m2+12m1+m，解得m=2或m=-1（舍），同理可求出A3B3=3，A4B4=4，B2022A2022=2022，根据勾股定理，得B2021A2022=20222，故答案为：20222【点睛】本题考查了二次函数图象与规律综合题，利用等腰直角三角形的性质和二次函数的点坐标特征是解决本题的关键7（2022四川泸州校考模拟预测）已知抛物线y=

8、ax2+bx+c上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表：x-10123y30-103抛物线y=ax2+bx+c的开口向下；抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1；方程ax2+bx+c=0的根为x1=0,x2=2；当y0时，x的取值范围是x2以上结论中，其中正确的有_【答案】【分析】从表格可以看出，函数的对称轴是直线x=1，顶点坐标为1，1，函数与x轴的交点为0，0、2，0，即可求解【详解】从表格可以看出，函数的对称轴是直线x=1，顶点坐标为1，1，函数与x轴的交点为0，0、2，0，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，错误；抛物y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，正确；方程ax

9、2+bx+c=0的根为x1=0,x2=2，正确；当y0时，x的取值范围是x2，正确故答案为：【点睛】本题考查的是二次函数的基本性质，涉及函数与坐标轴的交点、对称轴等，此类表格题目通常先确定函数的对称轴8（2022黑龙江牡丹江统考中考真题）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A1,0，B3,0两点，与y轴交于点C，顶点为D(1)求该抛物线的解析式；(2)连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是_注：抛物线y=ax2+bx+ca0的对称轴是直线x=b2a，顶点坐标是b2a,4acb24a【答案】(1)y=x2+2x+3(2)5【分析】（1）根据点A,B的坐标，利用待定系数

10、法即可得；（2）先根据抛物线的解析式求出点C,D的坐标，再利用中点坐标公式可得点P的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得【详解】（1）解：将点A1,0,B3,0代入y=x2+bx+c得：1b+c=09+3b+c=0，解得b=2c=3，则该抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）解：抛物线y=x2+2x+3=(x1)2+4的顶点坐标为D(1,4)，当x=0时，y=3，即C(0,3)，P为BD的中点，且B3,0，P(1+32,4+02)，即P(2,2)，CP=(20)2+(23)2=5，故答案为：5【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、两点之间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题关键9（2022

11、贵州贵阳统考中考真题）已知二次函数y=ax2+4ax+b(1)求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(1，e)，(3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当2m1时，n的取值范围是1n1，求二次函数的表达式【答案】(1)二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；(2)当a cd；当a0时，e=f cd；理由见解析(3)二次函数的表达式为y=29x2+89x-19或y=29x289x+19【分析】（1）利用配方法即可

12、求解；（2）由对称轴为直线x=-2，AB=6，得到A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，画出草图，分两种情况，利用数形结合求解即可；（3）分两种情况，利用数形结合求解即可（1）解：y=ax2+4ax+b=a(x2+4x+4-4)+b= a(x+2)2+b-4a，二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；（2）解：由（1）知二次函数的图象的对称轴为直线x=-2，又二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，当a cd；当a0时，画出草图如图：e=f cd；（3）解：点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当a0时，根据题意：当m=-

13、2时，函数有最小值为-1，当m=1时，函数值为1，即b4a=1a+4a+b=1，解得：a=29b=19，二次函数的表达式为y=29x2+89x-19综上，二次函数的表达式为y=29x2+89x-19或y=29x289x+19【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式等知识和方法，解第（2）（3）题时应注意分类讨论，求出所有符合条件的结果10（2022河北统考中考真题）如图，点Pa,3在抛物线C：y=46x2上，且在C的对称轴右侧(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P，C平移该胶片，使C所在

14、抛物线对应的函数恰为y=x2+6x9求点P移动的最短路程【答案】(1)对称轴为直线x=6，y的最大值为4，a=7(2)5【分析】（1）由y=a(x)2+k的性质得开口方向，对称轴和最值，把Pa,3代入y=46x2中即可得出a的值；（2）由y=x2+6x9=(x3)2，得出抛物线y=x2+6x9是由抛物线C：y=x62+4向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点P移动的最短路程【详解】（1）y=46x2=(x6)2+4，对称轴为直线x=6，10，抛物线开口向下，有最大值，即y的最大值为4，把Pa,3代入y=46x2中得：4(6a)2=3，解得：a=5或a=7，点Pa,3在C的对称轴右

15、侧，a=7；（2）y=x2+6x9=(x3)2，y=(x3)2是由y=x62+4向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，平移距离为32+42=5，P移动的最短路程为5【点睛】本题考查二次函数y=a(x)2+k的图像与性质，掌握二次函数y=a(x)2+k的性质以及平移的方法是解题的关键【考点3 二次函数的图象与系数的关系】11（2022湖北黄石统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=1，有以下结论：abc0；若t为任意实数，则有abtat2+b；当图象经过点(1,3)时，方程ax2+bx+c3=0的两根为x1，x2（x10，利用抛物线与y轴的交点位置得

16、到c0，则可对进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对进行判断；由于二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为（-3，3），从而得到x1=-3，x2=1，则可对进行判断【详解】抛物线开口向上，a0，抛物线的对称轴为直线x=1，即x=b2a=1，b=2a0，抛物线与y轴的交点在x轴下方，c0，abc0，所以正确；x=1时，y有最小值，ab+cat2+bt+c（t为任意实数），即abtat2+b，所以正确；图象经过点(1,3)时，代入解析式可得c=33a，方程ax2+bx+c3=0可化为ax2+2ax3

17、a=0，消a可得方程的两根为x1=3，x2=1，抛物线的对称轴为直线x=1，二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为(3,3)，x1=3，x2=1代入可得x1+3x2=0，所以正确综上所述，正确的个数是3故选D【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）12（2022四川广元统考中考真题）二次函数yax2+bx+c（a0）的部分

18、图象如图所示，图象过点（1，0），对称轴为直线x2，下列结论：（1）abc0；（2）4a+c2b；（3）3b2c0；（4）若点A（2，y1）、点B（12，y2）、点C（72，y3）在该函数图象上，则y1y3y2；（5）4a+2bm（am+b）（m为常数）其中正确的结论有（）A5个B4个C3个D2个【答案】C【分析】由图象可知a0，对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为1,0，然后可得b=4a0,ab+c=0，则有c=5a，进而可判断（1）（2）（3），最后根据函数的性质可进行判断（4）（5）【详解】解：由图象及题意得：a0，对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为1,0，b=4a0,ab+c=0

19、，a+4a+c=0，即c=5a，abc0，故（1）（3）正确；由图象可知当x=-2时，则有4a2b+c0，即4a+cy2y1，故（4）错误；由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为y=4a+2b+c，当x=m时，（m为常数），则有y=am2+bm+c，4a+2b+cam2+bm+c，即为4a+2bmam+b，故（5）正确；综上所述：正确的有（1）（3）（5）共3个；故选C【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键13（2022辽宁抚顺统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=1，直线y=kx+c与抛物线都经过点(3

20、,0)，下列说法：ab0；4a+c0；2,y1与12,y2是抛物线上的两个点，则y1y2；方程ax2+bx+c=0的两根为x1=3,x2=1；当x=1时，函数y=ax2+bkx有最大值，其中正确的个数是（）A2B3C4D5【答案】A【分析】抛物线的对称轴为直线x=1，开口向下，可得a0，b=2a1时，y随x的增大而减小，2,y1关于对称轴的对称点为0,y1，可得到y1y2，故错误；令y=0，则ax2+bx+c=0解得：x1=3,x2=1，故正确；根据二次函数的性质可得当x=bk2a时，函数y=ax2+bkx有最大值，再由直线经过点(3,0)，可得k=13c，从而得到k=a，进而得到x=bk2a

21、=32，故错误，即可求解【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=1，开口向下，a0,b2a=1，b=2a0，故正确；抛物线过点(3,0)，9a3b+c=0，b=2a，9a32a+c=0，即3a+c=0，a0，4a+c=a1时，y随x的增大而减小，2,y1关于对称轴的对称点为0,y1，10y2，故错误；令y=0，则ax2+bx+c=0解得：x1=3,x2=1，方程ax2+bx+c=0的两根为x1=3,x2=1，故正确；y=ax2+bkx=ax+bk2a2bk24a，a0；a13；对于任意实数m，都有m(am+b)a+b成立；若(2,y1)，(12,y2)，(2,y3)在该函数图象上，则y3y20,c

22、=1,b0，即可判断正确；令y=ax22ax1=0，解得x=2a4a2+4a2a=1a2+aa，根据图得，11a2+aa0,c=1,b2a=1，b=2a0，故正确；令y=ax22ax1=0，解得x=2a4a2+4a2a=1a2+aa，由图得，11a2+aa13，故正确；b=2a，m(am+b)a+b可化为m(am2a)a2a，即m(m2)1，(m1)20，若m(am+b)a+b成立，则m1，故错误；当x1时，y随x的增大而减小，2y2，对称轴为直线x=1，x=2时与x=0时所对应的y值相等，y2y3y1，故错误；ax2+bx+c=k（k0，k为常数）的解，是抛物线与直线y=k的交点的横坐标，则

23、ax2+bx+c=k（k0，k为常数）解的个数可能有2个，3个或4个，根据抛物线的对称性可知，当有3个或4个交点时，ax2+bx+c=k（k0，k为常数）的所有解的和是4，当有2个交点时，即k=0时，ax2+bx+c=k（k0，k为常数）的所有解的和是2，故错误；综上，正确的个数为2，故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，一元二次方程求根公式，根与系数的关系等，熟练掌握知识点，能够运用数形结合的思想是解题的关键15（2022湖北武汉统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A1,0，Bm,0两点，且1m0；若m=32，则3a+2c0；若点Mx1,y1，

24、Nx2,y2在抛物线上，x11，则y1y2；当a1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根其中正确的是_（填写序号）【答案】【分析】首先判断对称轴x=b2a0，再由抛物线的开口方向判断；由抛物线经过A（-1，0），Bm,0，当m=32时，y=ax+1x32，求出c=32a，再代入3a+2c判断，抛物线y=ax2+bx+c=ax+1xm=ax2+a1mxam，由点Mx1,y1，Nx2,y2在抛物线上，得y1=ax12+a1mx1am，y2=ax22+a1mx2am，把两个等式相减，整理得y1y2=ax1x2x1+x2+1m，通过判断x1x2，x1+x2+1m的符号判断；

25、将方程ax2+bx+c=1写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得x2+1mxm1a=0，再利用判别式即可判断【详解】解：抛物线过A1,0，Bm,0两点，且1m2，x=b2a=1+m2，1m2，01+m212，即b2a0，抛物线开口向下，a0，b0 ，故正确；若m=32，则y=ax+1x32=ax212ax32a，c=32a，3a+2c=3a+232a=0，故不正确； 抛物线y=ax2+bx+c=ax+1xm=ax2+a1mxam，点Mx1,y1，Nx2,y2在抛物线上，y1=ax12+a1mx1am，y2=ax22+a1mx2am，把两个等式相减，整理得y1y2=ax1x2x1+x2+1

26、m， a0,x11，1m2，x1x20,x1+x2+1m0，y1y2=ax1x2x1+x2+1m0，y1y2，故正确；依题意，将方程ax2+bx+c=1写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得x2+1mxm1a=0，=1m24m1a=m+12+4a，1m2，a1，4m+129，4a4，m+12+4a0，故正确综上所述，正确故答案为；【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系【考点4 二次函数的对称性】16（2022广东广州校考模拟预测）已知，二次函数f（x）=ax2+bx+c的部分对应值如下表，则f（-2）= _ x-2-101

27、2345y0-3-4-30512【答案】5【分析】根据二次函数的对称性结合图表数据可知，x2时的函数值与x4时的函数值相同【详解】由图表数据可知，抛物线的对称轴为：x=1f2=f4=5 故答案为5【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解题的关键17（2022浙江杭州校考三模）已知二次函数ya（xx1）（xx2），其中x1x2，若x1+x24，当x0时，y0，当x3时，y0，且mx2n（m，n为相邻整数），则m+n_【答案】7【分析】求出该函数的对称轴为直线x2，根据二次函数的对称性可知x4时，y0，再根据x3时，y0，可得3x24，即可求解【详解

28、】解：由题意得：该函数的对称轴为直线x12（x1+x2）2，x0时，y0，根据二次函数的对称性可得x4时，y0，当x3时，y0，3x24，mx2n（m，n为相邻整数），m3，n4，m+n7，故答案为：7【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键18（2022江苏南京统考二模）已知点2,m、2,p和4,q在二次函数y=ax2+bxa0的图像上若pq0，则p，q，m的大小关系是_（用“”连接）【答案】mq0)上，设抛物线的对称轴为x=t.(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；(2)点(x0,m)(x01)在抛物线上，若mnc,求t的取值范围及

29、x0的取值范围【答案】(1)（0，2）；2(2)t的取值范围为32t2，x0的取值范围为2x0t时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点(1,m)，点(3,n)，点（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点(1,m)在对称轴的左侧，点(3,n)，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解【详解】（1）解：当c=2时，y=ax2+bx+2，当x=0时，y=2，抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；m=n，点(1,m),(3,n)关于对称轴x=t对称，t=1+32=2；（2）解：当x=0时，y=c，抛物线与y轴交点坐标为（0，c），抛物线与y轴交点关于对称轴x=t的对称点坐标为（2t，c），a0，当

30、xt时，y随x的增大而减小，当xt时，y随x的增大而增大，当点(1,m)，点(3,n)，（2t，c）均在对称轴的右侧时， t1，mn32（不合题意，舍去），当点(1,m)在对称轴的左侧，点(3,n)，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点(x0,m)在对称轴的右侧，1t3，此时点(3,n)到对称轴x=t的距离大于点(1,m)到对称轴x=t的距离，t13t，解得：t2，mn32，32t2，(x0,m)，(1,m)，对称轴为x=t，t=x0+12， 32x0+122，解得：2x03，t的取值范围为32t2，x0的取值范围为2x03【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质

31、是解题的关键20（2022北京西城校考模拟预测）已知抛物线y=x24mx+4m21(1)求此抛物线的顶点的坐标；(2)若直线y=n与该抛物线交于点A、B，且AB=4，求n的值；(3)若这条抛物线经过点P(2m+1,y1)，Q(2mt,y2)，且y1y2，求t的取值范围【答案】(1)(2m,1)(2)3(3)t1【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解；（2）由二次函数的对称性及AB=4可得点A，B坐标，进而求解；（3）由点P坐标及抛物线对称轴可得点P关于对称轴的对称点P的坐标，由抛物线开口向上和点P(2m+1,y1)在抛物线对称轴的右边可分情况求解（1）解：y=x24mx+4m21=(x2

32、m)21，抛物线的顶点坐标为(2m,1)；（2）解：点A，B关于抛物线对称轴对称，AB=4，对称轴为直线x=2m，抛物线经过(2m+2,n)，(2m2,n)，将(2m+2,n)代入y=(x2m)21得n=221=3；（3）解：点P(2m+1,y1)关于抛物线对称轴的对称点P的坐标为(2m1,y1)， a=10，抛物线开口向上，点P(2m+1,y1)在抛物线对称轴的右边，当2m+12mt或2mt2m1时，有y1y2，解得t1【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与不等式的关系【考点5 二次函数的最值】21（2022贵州黔西校考一模）平面直角坐标系xOy中，

33、抛物线G：y=ax2+bx+c(aa12)过点A(1,c5a)，B(x1,3)，C(x2,3)顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设OBE的面积为S1，OCE的面积为S2，S1=S2+32(1)用含a的式子表示b；(2)求点E的坐标：(3)若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为6a+3，求y=ax2+bx+c在1x6时的取值范围（用含a的式子表示）【答案】(1)b=6a(2)(72,3)或(52,3)(3)0y9a【分析】（1）把点A的坐标代入解析式即可得到a、b的数量关系；（2）根据S1=S2+32，得到BE=CE+1，由b=6a得到对称轴为x=3，推导线段长度得到EM=12（见详

34、解图），进而得到E点的坐标；（3）由题干条件表示出D、F的坐标从而表示出DF的解析式，然后判断E点的坐标为(72,3)，表示出直线DE的解析式，再由DE、DF是同一条直线消掉参数c，最后利用求二次函数的函数值取值范围的方法求出最终结果【详解】（1）解：抛物线G：y=ax2+bx+c(aa12)过点A(1,c5a) c5a=a+b+c b=6a（2）解：如图，设BC的中点为M B(x1,3)，C(x2,3)，线段BC上有一点E S1=12BE3=32BE，S2=12CE3=32CE S1=S2+32 32CE+32=32BE BE=CE+1 b=6a抛物线G：y=ax26ax+c对称轴为x=6a

35、2a=3 BC的中点M坐标为(3,3) BE=BM+EM，CE=CMEM，BM=CM，BE=CE+1 EM=12点E为(72,3)或(52,3)（3）解：直线DE与抛物线G：y=ax26ax+c的另一个交点F的横坐标为6a+3 y=a(6a+3)26a(6a+3)+c=36a9a+c点F(6a+3,36a9a+c)点D是抛物线的顶点点D(3,9a+c)直线DF的解析式为：y=6x18+c9a点E坐标为(72,3)又点D(3,9a+c)直线DE解析式为：y=(6+18a2c)x+7c63a18直线DE与直线DF是同一直线 6=6+18a2c c=9a抛物线解析式为：y=ax26ax+9a 1x6

36、当x=3时，ymin=0，当x=6时，ymax=9a 0y9a【点睛】本题考查了二次函数综合，掌握二次函数相关知识点并能灵活运用是解决本题的关键22（2022浙江宁波校考一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(2，0),(4，0)，与y轴交于点(0，4)(1)求该二次函数的解析式；(2)点x，y在该二次函数上当y=32时，求x的值；当mxm+2时，y的最小值为12，求m的取值范围【答案】(1)该二次函数的解析式为y=12x23x+4.(2)x的值为1或5；1m3【分析】（1）利用待定系数法求得即可；（2）把y=32代入，即可求得；把二次函数解析式化为顶点式，求得函数的最小值为12，

37、所以m3m+2，即1m3【详解】（1）设二次函数的解析式为y=ax2x4，把点0,4代入得4=8a，解得a=12，y=12x2x4，该二次函数的解析式为y=12x23x+4；（2）y=32时，则32=12x23x+4，解得x1=1，x2=5；故x的值为1或5；y=12x23x+4=12(x3)212，当x=3时，函数有最小值12，当m3m+2时，即1m3时，y有最小值12，故m的取值范围是1m3【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键23（2022河南郑州统考一模）已知，二次函数y=ax2+bx3的图象与x轴

38、交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为1,0，且OB=OC(1)求二次函数的解析式；(2)当0x4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？(3)设点C与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使PCC与POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)y=x22x3(2)函数的最大值为5，最小值为4(3)存在，P(0,9)或P(0,95)【分析】（1）先求出点C的坐标，得到点B的坐标，再将点A、B的坐标代入解析式计算即可；（2）将函数解析式化为顶点式，根据函数的性质解答即可；（3）存在点P，设P0,m，根据相似三角

39、形对应边成比例列得PCPO=CCOB，代入数值求出m即可【详解】（1）二次函数y=ax2+bx3的图象与y轴交于C点，C0,3OB=OC，点A在点B的左边，B3,0又点A的坐标为1,0，由题意可得：0=9a+3b30=ab3，解得：a=1b=2二次函数的解析式为y=x22x3（2） y=x22x3=x124，二次函数顶点坐标为1,4，当x=1时，y最小值=4，当0x1时，y随着x的增大而减小，当x=0时，y最大值=3，当10）(1)当AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得BOP的周长最小；(2)当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；(3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整

40、点”当m=2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数【答案】(1)P（3，3）(2)点C与l距离的最大值为1；(3)m2022时“整点”的个数为4046个【分析】（1）由题意求出m6，得出抛物线L的解析式为yx26x，当B、P、D三共线时，OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，则可求出答案；（2）求出L的顶点C(m2，m24)，由二次函数的性质可得出答案；（3）联立两个解析式得出yx22022xyx2022，解得x12022，x21，求出线段和抛物线上各有2024个整数点，则可得出答案（1）解：当x0时，yxmm，B （0，m），AB12，A（0，m），

41、m（m）12，m6，抛物线L的解析式为：yx26x，抛物线L的对称轴x3，又知O、D两点关于对称轴对称，则OPDP，OBOPPBOBDPPB，当B、P、D三共线时，OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，当x3时，yx63，P（3，3 ）（2）解：y=x2+mx=(xm2)2m24，L的顶点C(m2，m24)，点C在l上方，C与l的距离m24(m)14 (m2)211，点C与l距离的最大值为1；（3）解：当m2021时，抛物线解析式L：yx22022x，直线解析式a：yx2022，联立上述两个解析式得方程组yx22022xyx2022 ，可得：x12022，x21，可知每一个整数x的值

42、都对应的一个整数y值，且2022和1之间（包括2022和1）共有2024个整数；另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，线段和抛物线上各有2024个整数点，总计4048个点，这两段图象交点有2个点重复，整点”的个数：404824046（个）；故m2022时“整点”的个数为4046个【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用轴对称求最短距离解题是关键25（2022山东滨州统考模拟预测）如图，直线l:y=m与y轴交于点A，直线a:y=x+m与y轴交于点B，抛物线y=x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m0）（1）当A

43、B=12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得BOP的周长最小；（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”当m=2021时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数【答案】（1）3,3；（2）1；（3）4044个【分析】（1）先求出点B坐标，B的纵坐标减去A的纵坐标等于12求出m值，再求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性和两点之间线段最短知，当B、P、D三点共线时OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，进而求解即可；（2）先求出抛物线的顶点C坐标m2,m24，由C与l的距离=m24(m)=14(m2)2+1

44、1即可求出最大值；（3）先求出抛物线与直线a的交点的横坐标，根据每一个整数x的值都对应的一个整数y值，结合边界由线段和抛物线组成求解即可【详解】解：（1）当x=0时，y=x+m=m，B(0,m)，AB=12，而A(0,m)，m(m)=12，m=6，抛物线L的解析式为：y=x2+6x，L的对称轴x=3，又知O、D两点关于对称轴对称，则OP=DPOB+OP+PB=OB+DP+PB当B、P、D三点共线时OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，当x=3时，y=x+6=3，P(3,3)；（2）y=x+m22m24，L的顶点Cm2,m24，点C在l上方，C与l的距离=m24(m)=14(m2)2+

45、11，点C与l距离的最大值为1；（3）当m=2021时，抛物线解析式L:y=x2+2021x直线解析式a:y=x+2021联立上述两个解析式y=x2+2021xy=x+2021可得：x1=2021，x2=1可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且-2021和1之间（包括-2021和1）共有2023个整数；另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，线段和抛物线上各有2023个整数点，总计4046个点这两段图象交点有2个点重复，“整点”的个数：40462=4044（个）；故m=2021时“整点”的个数为4044个【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、图形与坐标

46、、最短路径问题、二次函数的最值、两函数图象的交点问题、解二元一次方程组等问题，综合性强，难度适中，解答的关键是读懂题意，找寻相关知识的关联点，利用数形结合思想解决问题【考点6 待定系数法求二次函数的解析式】26（2022山东济南统考中考真题）抛物线y=ax2+114x6与x轴交于At,0，B8,0两点，与y轴交于点C，直线ykx6经过点B点P在抛物线上，设点P的横坐标为m(1)求抛物线的表达式和t，k的值；(2)如图1，连接AC，AP，PC，若APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQBC，垂足为Q，求CQ+12PQ的最大值【答案

47、】(1)，y=14x2+114x6，t=3，k=34(2)点P10,72(3)16916【分析】（1）分别把B8,0代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解；（2）作PMx轴于点M，根据题意可得Pm,14m2+114m6，从而得到PM=14m2114m+6，AM=m3，再根据COAAMP，可求出m，即可求解；（3）作PNx轴交BC于点N，过点N作NEy轴于点E，则PN=14m2+114m634m6=14m2+2m，再根据PQNBOC，可得NQ=35PN，PQ=45PN，然后根据CNECBO，可得CN=54m，从而得到CQ+12PQ=CN+NQ+12PQ=CN+PN，在根据二次函数的性质，即

48、可求解（1）解：B8,0在抛物线y=ax2+114x6上，64a+11486=0，a=14，抛物线解析式为y=14x2+114x6，当y=0时，14t2+114t6=0，t1=3，t2=8（舍），t=3B8,0在直线y=kx6上，8k6=0，k=34，一次函数解析式为y=34x6（2）解：如图，作PMx轴于点M，对于y=14x2+114x6，令x=0，则y=-6，点C（0，-6），即OC=6，A（3，0），OA=3，点P的横坐标为mPm,14m2+114m6，PM=14m2114m+6，AM=m3，CAP=90，OAC+PAM=90，APM+PAM=90，OAC=APM，AOC=AMP=90，

49、COAAMP，OAPM=OCMA，OAMA=OCPM，即3(m3)=614m2114m+6，m1=3（舍），m2=10，m=10，点P10,72（3）解：如图，作PNx轴交BC于点N，过点N作NEy轴于点E，Pm,14m2+114m6，点Nm,34m6，PN=14m2+114m634m6=14m2+2m，PNx轴，PNy轴，PNQ=OCB，PQN=BOC=90，PQNBOC，PNBC=NQOC=PQOB，OB=8，OC=6，BC=10，NQ=35PN，PQ=45PN，ENy轴，ENx轴，CNECBO，CNBC=ENOB，即CN10=m8CN=54m，CQ+12PQ=CN+NQ+12PQ=CN+

50、35PN+1245PN=CN+PN，CQ+12PQ=54m14m2+2m=14m2+134m=14m1322+16916，当m=132时，CQ+12PQ的最大值是16916【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题27（2022四川绵阳统考中考真题）如图，抛物线yax2bxc交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1(1)求抛物线的解析式；(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使APBACB180若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点C作直线l与y轴

51、垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MFl，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)存在，P（0，-1）使APBACB180，理由见解析；(3)存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或13,209【分析】（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线的解析式；（2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形，即可得出点P的坐标

52、；（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出AD，DE，AE的长，可得出ADE是直角三角形，且DEAE=1：3，再根据相似三角形的性质可得出EF和FM的比例，由此可得出点M的坐标【详解】（1）解：顶点D的横坐标为1，抛物线的对称轴为直线x=1，A（-1，0），B（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），把C（0，3）代入抛物线的解析式得：-3a=3，解得a=-1，抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；（2）存在，P（0，-1），理由如下：APB+ACB=180，CAP+CBP=180，点A，C，B，P四点共圆，如图

53、所示，点A（0，-1），B（3，0），C（0，3），OB=OC=3，OCB=OBC=45，APC=ABC=45，AOP是等腰直角三角形，OP=OA=1，P（0，-1）；（3）解：存在，理由如下：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，D（1，4），由抛物线的对称性得：E（2，3），A（-1，0），AD=25,DE=2,AE=32，AD2=DE2+AE2，ADE是直角三角形，且AED=90，DEAE=13，点M在直线l下方的抛物线上，设M(t,t2+2t+3)，则t2或t0，MFl，点F（t，3），EF=|t2|，MF=3t2+2t+3=t22t，以M，F，E三点为顶点的三角形与ADE相似，E

54、F:MF=DE:AE=1:3或MF:EF=DE:AE=1:3，|t2|:(t22t)=1:3或(t22t):|t2|=1:3，解得t=2（舍去） 或t=3或t=-3或t=13（舍去）或t=13，点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或13,209，综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或13,209【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共固是解题关键；第（3）问得出ADE是直角三角形并得出ADAE的值是解题关键28（20

55、22四川广安统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+m（a0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，4），点C坐标为（2，0）(1)求此抛物线的函数解析式(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得PAB为直角三角形，请求出点P的坐标【答案】(1)y=12x2+x4(2)（-2，-4）(3)P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），1，2+7，1，27【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入y=a

56、x2+x+m，即可求出解析式；（2）先求出直线AB关系式为：y=x4，直线AB平移后的关系式为：y=x4+n，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D距AB最大，此时ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标；（3）分三种情况讨论，当PAB=90时，即PAAB，则设PA所在直线解析式为：y=x+z，将A（-4,0）代入y=x+z得，解得：z=4，此时P点坐标为：（-1,3）；当PBA=90时，即PBAB，则设PB所在直线解析式为：y=x+t，将B（0，-4）代入y=x+t得，t=4，此时P点坐标为：（-1,-5）；当APB=90时，设P点坐标为：1，yp，由于PA所在直线斜率为：yp3，PB在直线斜率

57、为：yp+41，yp3 yp+41=-1，则此时P点坐标为：1，2+7，1，27【详解】（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入y=ax2+x+m， 得：m=44a+2+m=0，解得：m=4a=12，抛物线的函数解析式为：y=12x2+x4（2）向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时ABD的面积最大，12x2+x4=0时，x1=2，x2=4，A点坐标为：（-4,0），设直线AB关系式为：y=kx+b（k0），将A（-4,0），B（0，-4），代入y=kx+b（k0），得：4k+b=0b=4，解得：k=1b=4，直线AB关系式为：y=x

58、4，设直线AB平移后的关系式为：y=x4+n，则方程x4+n=12x2+x4有两个相等的实数根，即12x2+2xn=0有两个相等的实数根，n=2，即12x2+2x+2=0的解为：x=-2，将x=-2代入抛物线解析式得，y=122224=4，点D的坐标为：（-2，-4）时，ABD的面积最大；（3）当PAB=90时，即PAAB，则设PA所在直线解析式为：y=x+z，将A（-4,0）代入y=x+z得，4+z=0，解得：z=4，PA所在直线解析式为：y=x+4，抛物线对称轴为：x=-1，当x=-1时，y=1+4=3，P点坐标为：（-1，3）；当PBA=90时，即PBAB，则设PB所在直线解析式为：y=

59、x+t，将B（0，-4）代入y=x+t得，t=4，PA所在直线解析式为：y=x4，当x=-1时，y=14=5，P点坐标为：（-1，-5）；当APB=90时，设P点坐标为：1，yp，PA所在直线斜率为：yp3，PB在直线斜率为：yp+41，PAPB，yp3 yp+41=-1，解得：yp1=2+7，yp2=27，P点坐标为：1，2+7，1，27综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），1，2+7，1，27时，PAB为直角三角形【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键29（2022黑龙江齐齐哈尔统考中考真题）综合与探究如图，某一次函数与二次

60、函数y=x2+mx+n的图象交点为A（-1，0），B（4，5） (1)求抛物线的解析式；(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DEx轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标【答案】(1)y=x22x3(2)（1，2）(3)254(4)N1(1,1),N2(1,2),N3(1,4),N412,52【分析】（1）将A（-1，0），B（4，5）代入y=

61、x2+mx+n得到关于m，n的二元一次方程组求解即可；（2）抛物线的对称轴为x=1，求出直线AB与对称轴的交点即可求解；（3）设Dd,d22d3，则E(d,d+1)，则DE=(d+1)d22d3=d2+3d+4(1d4)，根据二次函数的性质求解即可；（4）根据题意画出图形，分情况求解即可【详解】（1）解：将A（-1，0），B（4，5）代入y=x2+mx+n得，1m+n=016+4m+n=5 ，解这个方程组得m=2n=3，抛物线的解析式为：y=x22x3；（2）解：如图，设直线AB的解析式为：y=kx+b，把点 A（-1，0），B（4，5）代入y=kx+b，得k+b=04k+b=5，解得k=1b

62、=1 ， 直线AB的解析式为：y=x+1 ，由（1）知抛物线y=x22x3的对称轴为x=221=1， 点C为抛物线对称轴上一动点，AC+BCAB， 当点C在AB上时，AC+BC最小，把x=1代入y=x+1，得y=2，点C的坐标为（1，2）；（3）解：如图，由（2）知 直线AB的解析式为y=x+1设Dd,d22d3，则E(d,d+1)，则DE=(d+1)d22d3=d2+3d+4(1d0)个单位，得到二次函数y=mx2+nx+q的图像，使得当1x3时，y随x增大而增大；当4x5时，y随x增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数y=mx2+nx+q的表达式y=_，实数k的取值范围是_；(3)A、B

63、、C是二次函数y=ax2+bx+3的图像上互不重合的三点已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，求ACB的度数【答案】(1)y=x22x+3(2)y=x32+4（答案不唯一），4k5(3)ACB=45或135【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出平移后的二次函数对称轴为直线x=k1，然后根据二次函数的增减性求出4k5，即可得到答案；（3）先分别求出A、B、C三点的坐标，然后求出xBxC=2m+3，yByC=2m3，然后分四种情况讨论求解即可得到答案（1）解：由题意得：ab+c=4a+b+c=0c=3，解得a=1b=2，二次函数解析式为y=x22x

64、+3；（2）解：原二次函数解析式为y=x22x+3=x+12+4 由题意得平移后的二次函数解析式为y=x+1k2+4，平移后的二次函数对称轴为直线x=k1，二次函数y=mx2+nx+q的图像，使得当1x3时，y随x增大而增大；当4x0）的图象经过点P(2，4)(1)求m的值；(2)判断二次函数y=x2+mx+m23的图象与x轴交点的个数，并说明理由【答案】(1)m=1(2)二次函数y=x2+x2的图象与x轴有两个交点，理由见解析【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m23即可求得m的值；（2）首先求出=b2-4ac的值，进而得出答案【详解】（1）解：二次函数y= x2+mx+m23图

65、象经过点P(2，4) ，4=4+2m+m23，即m2+2m3=0，解得：m1=1，m2=3，又m0，m=1；（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x2，=b24ac=12+8=90，二次函数y=x2+x2的图象与x轴有两个交点【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出的值是解题关键37（2022黑龙江大庆统考中考真题）已知二次函数y=x2+bx+m图像的对称轴为直线x=2将二次函数y=x2+bx+m图像中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图像C(1)求b的值；(2)当m0时，图像C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P当MNP为直角三角形时，求m

66、的值；在的条件下，当图像C中4y0时，结合图像求x的取值范围；(3)已知两点A(1,1),B(5,1)，当线段AB与图像C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围【答案】(1)4(2)1，1x0，AB为平行于x轴的线段，由题意知，分两种情况求解：当线段AB与图像C在y轴左侧有一个交点时，线段AB与图像C在y轴右侧有一个交点，即令x2+4xm=1，x24x+m=1，当1x0时，根据x的取值范围求m的取值范围，当0x5时，根据x的取值范围求m的取值范围，然后取公共部分即可；当线段AB与图像C在y轴左侧没有交点，线段AB与图像C在y轴右侧有两个交点，即令x2+4xm=1，x24x+m=1，当1x0时，

67、根据x的取值范围求m的取值范围，当0x5时，根据x的取值范围求m的取值范围，然后取公共部分即可（1）解：由题意知，二次函数的对称轴为直线x=b2=2，解得b=4，b的值为4（2）解：由（1）知，二次函数的解析式为y=x24x+m，令x=0，则y=m，P0,m，令y=0，则x24x+m=0，解得xM=24m，或xN=2+4m，M24m,0，N2+4m,0，MO=4m2，ON=2+4m，OP=m，MNP为直角三角形，MPN=90，又POMN，MOP=PON=90，PMO=NPO，MOPPON，MOPO=OPON，即4m2m=m2+4m，整理得，m=m2，解得m=1，或m=0（不合题意，舍去），m的

68、值为1解：由可知，二次函数解析式为y=x24x1，y轴左侧图像的解析式为y=x2+4x+1x0，与x轴的交点坐标为M25,0，图像C如下所示，令y=4，则x2+4x+1=4，解得x=1，或x=5（不合题意，舍去），令y=4，则x24x1=4，解得x=1，或x=3，由图像可知求x的取值范围为1x0，AB为平行于x轴的线段，由线段AB与图像C恰有两个公共点可知，当线段AB与图像C在y轴左侧有一个交点时，线段AB与图像C在y轴右侧有一个交点，即令x2+4xm=1，x24x+m=1，当1x0时，m=x2+4x+1=x22+5，有4m1，当01或m4，当0x5时，m=x2+4x1=x22+3，有1m3，

69、10，S为ABM的面积已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和(1)求c的值；(2)直接写出T的值；(3)求k4k8+k6+2k4+4k2+16的值【答案】(1)2(2)114(3)150【分析】（1）将点（0，2）带入直接求解；（2）找到三个点M的纵坐标之间的而关系，即可求解；（3）将函数转化为方程，即可表示出k2+4k2=(k2k)2+4=7，k4+16k4=(k2+4k2)28=41，带入原式即可求解(1)解：将点（0，2）带入y=x23x+c得：c=2(2)由（1）可知，抛物线的解析式为y=x23x+2，当S=m时恰好有三个点M满足，必有一个M为抛物线的顶点，且M纵

70、坐标互为相反数当x=32(1)=32时，y=(32)23(32)+2=114即此时M（32 ，114 ），则另外两个点的纵坐标为114T=114+(114)+(114)=114(3)由题可知，k23k+2=0，则k2k=3k2+4k2=(k2k)2+4=7，k4+16k4=(k2+4k2)28=41则k4k8+k6+2k4+4k2+16=1k4+k2+2+4k2+16k4=1(k4+16k4)+(k2+4k2)+2=141+7+2=150【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与方程的关系、代数式求值等，属于综合题目，灵活运用代数计算是解题的关键40（2022四川自贡统考中考真题）已知二次函数

71、y=ax2+bx+ca0(1)若a=1，且函数图象经过0,3，2,5两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点的坐标；(2)在图中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y3时自变量x的取值范围；(3)若a+b+c=0且abc，一元二次方程ax2+bx+c=0 两根之差等于ac，函数图象经过P12c,y1，Q1+3c,y2两点，试比较y1,y2的大小 【答案】(1)1,0，3,0；1,4；(2)见详解；2x0；(3)y2y1【分析】（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，可得所求点的坐标；（2）由题意画出图象，结合图象写出x的取值范围；（3）根据题意分别求出a=1，b

72、=1c，将点P点Q的坐标代入分别求出y1,y2，利用作差法比较大小即可【详解】（1）解：a=1，且函数图象经过0,3，2,5两点，a=1c=35=4a+2b+ca=1c=3b=2，二次函数的解析式为y=x22x+3，当y=0时，则0=x22x+3，解得x1=1，x2=3，抛物线与x轴交点的坐标为1,0，3,0，y=x22x+3=x+12+4，抛物线的顶点的坐标为1,4（2）解：函数的大致图象，如图所示：当y=3时，则3=x22x+3，解得x1=0，x2=2，由图象可知：当2x0时，函数值y3（3）解：a+b+c=0且abc，a0，c0，b=ac，且一元二次方程0=ax2+bx+c必有一根为x1

73、=1，一元二次方程ax2+bx+c=0 两根之差等于ac，且x1x2=cac，a=1，b=1c，y=x21+cx+cP12c,y1，Q1+3c,y2，y1=12c21+c12c+c=2c2+12c14，y2=1+3c21+c1+3c+c=6c2+3c，y2y1=6c2+3c2c2+12c14=4c+5162964，bc,-1-cc,c0，y2y1【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，数形结合的思想，求出b与c的关系是解题的关键【考点9 利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根】41（2022江苏扬州校考一模）根据下面表格中的对应值：x3.233.243.25

74、3.26ax2bxc0.060.020.030.09判断方程ax2bxc0（a0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A3x3.23B3.23x3.24C3.24x3.25D3.25x3.26【答案】C【分析】根据表中数据得到x3.24时，ax2+bx+c0.02；x3.25时，ax2+bx+c0.03，则x取3.24到3.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c0（a0）的一个解x的范围是3.24x3.25【详解】解：x3.24时，ax2+bx+c0.02；x3.25时，ax2+bx+c0.03，关于x的方程ax2+bx+c0（a0）的一个解x的

75、范围是3.24x3.25故选：C【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根42（2022四川眉山一模）根据表格对应值：x1.11.21.31.4ax2+bx+c-0.590.842.293.76判断关于x的方程ax2+bx+c=0a0的一个解x的取值范围是（）A1.1x1.2B1.2x1.3C1.3x1.4D无法判定【答案】A【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2bxc0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个解

76、的范围【详解】解：一元二次方程的解即为对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，当二次函数函数值y发生正负变化时，说明图象与x轴有交点，正负变化的范围即为方程解的范围当x=1.1，y=0.59，x=1.2，y=0.84，关于x的方程ax2+bx+c=0a0的一个解x的范围是1.1x1.2故选：A【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在43（2022湖北武汉校考三模）方程x2+3x10的根可视为函数yx+3的图象与函数y1x的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3+x10的实根x0所在

77、的范围是（）A1x00B0x012C12x01D1x02【答案】C【分析】两边都除以x可转化为二次函数和反比例函数，画出相应函数图象即可得到实根x0所在的范围【详解】解：方程x3+x10，x2+11x，它的根可视为yx2+1和y1x的交点的横坐标，当x1时，前者为2，后者为1，当x12时，前者为54，后者为2，交点在第一象限12x01，故选：C【点睛】本题考查了运用图象法求一元二次方程的近似根，难度中等解决本题的关键是得到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标44（2022陕西西安统考中考模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的x与y的不符对应值如下表：x3210123

78、y1111115且方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2 (x1x2)，下面说法错误的是（）Ax=2，y=5B1x22C当x1x0D当x=12时，y有最小值【答案】C【分析】分别结合图表中数据得出二次函数对称轴以及图像与x轴交点范围和自变量x与y的对应情况，进而得出答案.【详解】A、利用图表中x0，1时对应y的值相等，x1，2时对应y的值相等，x2，5时对应y的值相等，x2，y5，故此选项正确；B、方程ax2bcc0的两根分别是x1、x2（x1x2），且x1时y1；x2时，y1，1x22，故此选项正确；C、由题意可得出二次函数图像向上，当x1xx2时，y0，故此选项错误；D、利用图表中

79、x0，1时对应y的值相等，当x12时，y有最小值，故此选项正确，不合题意.所以选C.【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及利用图像上点的坐标得出函数的性质，利用数形结合得出是解题关键.45（2022山西校联考三模）阅读与思考小明在九年级总复习阶段，针对“求一元二次方程的解”整理得出以下几种方法，请仔细阅读并完成相应的任务：九年级总复习笔记专题：一元二次方程解法归纳时间：2021年3月日引例：求一元二次方程x22x3=0的解方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法）求解解方程：x22x3=0【解析】解：公式法：配方法：方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解，如图所示，把方程x22x3

80、=0的解看作是一个二次函数的图象与x轴交点的横坐标由图1可知该方程的近似解为x1=1,x2=3方法三：将方程x22x3=0移项可得x2=2x+3，此时原方程的解就是二次函数y=x2的图象与一个一次函数图象交点的横坐标由图2可知该方程的近似解为x1=1,x2=3任务：（1）选择一种合适的方法（公式法、配方法）解方程；（2）根据“方法二”的思路，直接写出图1中对应的二次函数表达式为_；（3）参照“方法三”的思路，求解一元二次方程x2x6=0的解时，请在图3的平面直接坐标系中画出相应函数图象并依据图象直接写出方程的近似解【答案】（1）见解析，x1=1,x2=3；（2）y=x22x3；（3）见解析，原

81、方程的近似解为x1=2,x2=3【分析】（1）可选择配方法进行解方程；（2）根据二次函数与一元二次方程的关系即可得解；（3）将原方程变形为x2=x+6，在坐标系中画出y=x+6的图象和y=x2的图象，这两个函数图象的交点的横坐标即为原方程的近似解【详解】解：（1）解方程：x22x3=0x22x+1=4(x1)2=4x1=2x1=1,x2=3（2）y=x22x3（3）原方程变形为x2=x+6，如答图所示：原方程的近似解为x1=2,x2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程一元二次方程既可按照常规的方法解，又可以从函数角度解；用函数方法解题，也可以看作求函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交

82、点的横坐标，又可以看作求一个一次函数与一个二次函数图象的交点横坐标【考点10 二次函数与不等式】46（2022浙江宁波校考三模）已知抛物线y1=x2+bx+c与一次函数y2=x+4有两个交点，且交点的横坐标分别为x1=0，x2=2(1)根据图象直接写出，当y1y2时，x的取值范围为 ；(2)将抛物线y1=x2+bx+c向上平移，使其顶点落在一次函数图象上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式【答案】(1)x0或x2(2)y=x2x+194【分析】（1）观察函数图象便可得解；（2）先求出原抛物线与直线的交点坐标，再用待定系数法求得原抛物线的解析式，进而求得顶点坐标，根据平行性质求出平移后抛物线的

83、顶点坐标，便可根据顶点式写出新抛物线的解析式【详解】（1）解：（1）根据图象可知，当y1y2时，x0或x2，故当y1y2时，x的取值范围为：x0或x2，故答案为：x0或x2；（2）（2）把x1=0代入y=x+4，得y=4，把x2=2代入y=x+4，得y=6，抛物线y1=x2+bx+c与一次函数y2=x+4有两个交点坐标为(0,4)或(2,6)，把(0,4)或(2,6)都代入y1=x2+bx+c，得c=44+2b+c=6，解得b=1c=4，原抛物线的解析式为y1=x2x+4， y1=x2x+4=(x12)2+154，原抛物线的解析式为y1=x2x+4的顶点为(12，154)，把x=12代入y2=

84、x+4，得y=92，将抛物线y1=x2+bx+c向上平移，使其顶点落在一次函数图象上时，新抛物线的顶点坐标为(12，92)，平移后图象所对应的二次函数的表达式为：y=(x12)2+92，即y=x2x+194【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，二次函数与不等式的关系，平移的性质，解题的关键是掌握二次函数与不等式的关系，及二次函数图象平移的性质47（2022广东深圳深圳市宝安中学（集团）校考三模）自主学习，请阅读下列解题过程（1）【问题探究】解一元二次不等式：x24x0解：设x24x=0，解得：x1=0，x2=4，则抛物线y=x24x与x轴的交点坐标为（0，0）和（4

85、，0）画出二次函数y=x24x的大致图像（如图所示），由图像可知：当x4时函数图像位于x轴上方，此时y0，即x24x0，所以，一元二次不等式x24x0的解集为：x4（2）【知识理解】通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：a请归纳得到上述解一元二次不等式的基本步骤为 （按先后顺序填序号）解一元二次方程，并画出大致图像将一元二次不等式转化为相应的一元二次方程利用数形结合求解一元二次不等式b一元二次不等式x24x0的解集为 （3）【知识应用】用类似的方法解一元二次不等式：x2x60（4）【拓展延伸】直接写出一元二次不等式组6x2x60的解集【答案】（2）ab0x4（3）2x3（

86、4）2x0或1x3【分析】（2）a、根据题中例子总结步骤即可；b、利用题干例子的图像得出答案即可；（3）利用题干例子的思路得出答案即可；（4）看成两个不等式，分别求解再取公共部分即可【详解】（2）a、根据题干示例可得步骤是：不等号改等号得到一元二次方程，解得方程两根，画出对应函数图像，利用函数图像写出不等式的解集故答案为： ；b 由（1）图像可知：当0x4时函数图像位于x轴下方，此时y0，即x24x0，所以，一元二次不等式x24x0的解集为：0x4故答案为： 0x4 ；(3)令x2x6=0，解得x1=2，x2=3； 抛物线y=x2x6与x轴的交点坐标为（-2，0）和（3，0）， 画出二次函数y

87、=x2x6的大致图象如图所示，由图象可知：当2x3时函数图象位于x轴下方，此时y0，即x2x60，所以，一元二次不等式x2x60的解集为2x3（4）将一元二次不等式组6x2x60化为常规形态得：6x2x6x2x60x2x60令x2x=0，解得x1=0，x2=1； 抛物线y=x2x与x轴的交点坐标为（0，0）和（1，0）， 画出二次函数y=x2x的大致图象如图所示，由图象可知：当x1时函数图象位于x轴上方，此时y0，即x2x0，所以，一元二次不等式x2x0的解集为x1由（3）得一元二次不等式x2x60的解集为2x3，不等式组6x2x60的解集为：2x0或1xx2+2bxb2+4b+1，结合图象，

88、求x的取值范围；(3)如图2，点A坐标为5,0，点M在AOB内，若点C14,y1，D34,y2都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小【答案】(1)点M在直线y4x+1上，理由见解析；(2)x0或x5；(3)当0b12时，y1y2；当b12时，y1y2；当12b45时，y1y2【分析】（1）点M在直线y4x+1上，理由如下：配方yx2+2bxb2+4b+1（xb）2+4b+1，表示出顶点M的坐标是（b，4b+1），把xb代入y4x+1，即可求解；（2）由直线关系式可得B点坐标为（0，5），代入二次函数关系式得5（0b）2+4b+1，得b2，理由函数关系式求出A（5，0），由图象，得当mx+5

89、x2+2bxb2+4b+1时，x的取值范围是x0或x5；（3）如图2，直线y4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，利用A（5，0），B（0，5）求出直线AB的解析式为yx+5，联立EF，AB得方程组y=4x+1y=x+5 ，解得：x=45y=215，得点E（45，215），而F点坐标为（0，1），由题意得14b+1215，求出0b45，根据b的范围进行分类讨论（1）解：点M在直线y4x+1上，理由如下：yx2+2bxb2+4b+1（xb）2+4b+1，顶点M的坐标是（b，4b+1），把xb代入y4x+1，得y4b+1，点M在直线y4x+1上；（2）解：如图1，直线ymx+5交y轴于点B，当

90、x0时，y5，B点坐标为（0，5），又B在抛物线上，5（0b）2+4b+1，解得b2，二次函数的解析是为y（x2）2+9，当y0时，（x2）2+90，解得x15，x21，A（5，0），由图象，得当mx+5x2+2bxb2+4b+1时，x的取值范围是x0或x5；（3）解：如图3，直线y4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，设直线AB的函数关系式为：ypx+q，将A（5，0），B（0，5）代入得，5p+q=0q=5，解方程组得，p=1q=5 ，直线AB的解析式为yx+5，联立EF，AB得方程组y=4x+1y=x+5，解得：x=45y=215，点E（45，215），而F点坐标为（0，1），点M（

91、b，4b+1）在AOB内，14b+1215，0b45，当b1434b时，即0b12时，二次函数图象开口向下， y1y2；当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b1434b，b12，此时y1y2；当b1434b时，即12b45时，二次函数图象开口向下， y1y2综上：当0b12时，y1y2；当b12时，y1y2；当12b45时，y1y2【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，数形结合有利于对知识的理解，根据抛物线的增减性和点与对称轴的距离确定纵坐标的大小关系是解题的关键49（2022吉林长春统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线yx22mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴(1)求抛物线

92、的对称轴（用含m的式子表示）；(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点当m0时，若x1x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；若对于x1m1，x2m+1，都有y1y2，求m的取值范围；(3)当图象G与直线ym+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围【答案】(1)x=m.(2)y1y2.(3)1+174m2或2my2利用图象法，根据函数的增减性判断即可通过计算可知，点P(m1,1),Q(m+1,1)为抛物线上关于对称轴x=m对称的两点，分类讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：当y轴在点P左侧时（

93、含点P），作出图形，即可得出经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，此时y1=y2,不符题意；当y轴在点Q右侧时（含点Q），作出图形，即可得出点M，N分别和点P，Q重合，此时y1=y2,不符题意；当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），作出图形，即可得出经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，此时y1y2,符合题意即有m10m+1,即1m0时，图象G与直线ym+2恰好有3个公共点时，可列不等式组m+2m2m+22m2,当m0m+2m2,分别解出即可得到结果(1)抛物线yx22mx+m2的对称轴为直线x=2m2=m.(2)当m=0时，二次函数解析式是y=x2,对称轴为y轴，图形G如图1所示：图

94、形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小x1y2.通过计算可，P(m1,1),Q(m+1,1)为抛物线上关于对称轴x=m对称的两点，下面讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：如图2所示：当y轴在点P左侧时（含点P），经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，y1=y2,不符题意；如图3所示：当y轴在点Q右侧时（含点Q），点M，N分别和点P，Q重合，y1=y2,，不符题意；如图3所示：当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，y1y2,符合题意此时有m10m+1,1m1综上所述：m的取值范围为1m0时，如图所示抛物线y=x22m+m2翻折后为y

95、=xm2+2m2,图象G与直线ym+2恰好有3个公共点时在点A，B之间，m+2m2m+22m2,解得1+174m2.当m0m+2m2,解得2m1.故综上所m的取值范围为：1+174m2或2m1.【点睛】本题为二次函数综合题，考查抛物线的对称轴，二次函数图象的性质等知识，较难，利用数形结合与分类讨论的思想是解答本题的关键50（2022辽宁沈阳统考二模）如图，抛物线y=x2+mx与直线yxn交于点A2,0和点B(1)求m和n的值；(2)求点B的坐标；(3)结合图象请直接写出不等式x2+mxx+n的解集；(4)点P是直线AB上的一个动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q，若线段PQ与抛物线只有一个

96、公共点，直接写出点P的横坐标xP的取值范围【答案】(1)m=2n=2(2)（-1，-3）(3)x1或x2(4)1xP2或xP=3【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）联立抛物线和直线解析式进行求解即可；（3）根据不等式x2+mxx+n的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交点处的自变量的取值范围，进行求解即可；（4）分点P在点B下方，点P在线段AB上，点P在A点上方进行讨论求解即可（1）解：抛物线y=x2+mx与直线yxn交于点A2,0和点B，4+2m=02+n=0，m=2n=2；（2）解：由（1）得抛物线解析式为y=x2+2x，直线解析式为y=x2，联立y=x2+2xy=x2，解

97、得x=1y=3或x=2y=0（舍去），点B的坐标为（-1，-3）；（3）解：由题意得不等式x2+mxx+n的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交点处的自变量的取值范围，不等式x2+mxx+n的解集为x1或x2；（4）解：如图所示，当点P在点B下方时，线段PQ与抛物线没有交点；当点P在线段AB之间（包含B不包含A）时，线段PQ与抛物线只有一个交点，此时1xP2，当P在A点时，线段PQ与抛物线有两个交点；当线段PQ恰好经过抛物线顶点时，线段PQ与抛物线恰好只有一个交点，抛物线解析式为y=x2+2x=x12+1，抛物线顶点坐标为（1，1），此时点P的纵坐标为1，点P的坐标为（3，1），xP=3；综上所述，线段PQ与抛物线只有一个公共点，1xP2或xP=3【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，待定系数法求函数解析式，图象法解不等式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键