专题2-1函数的概念与性质（讲义）解析版.docx

1、专题2-1 函数的概念与性质01专题网络思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）02考情分析解密高考03高频考点以考定法（五大命题方向+6道高考预测试题，高考必考（4-20）分）考点一 函数的值域 高考猜题考点二 函数奇偶性的性质与判断 高考猜题04创新好题分层训练（ 精选17道最新名校模拟试题+9道易错提升）真题多维细目表考点考向考题函数的值域函数的值域2023秋季高考第5题函数奇偶性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断2023春季高考第13题2023秋季高考第18题考点一 函数的值域 典例01（2023上海）已知函数，则函数的值域为 ，【分析】分段求出的值域，再取并集即可【解答】解：当时，

2、当时，所以函数的值域为，故答案为：，【点评】本题主要考查了求函数的值域，属于基础题考点二 函数奇偶性的性质与判断典例01（2023上海）下列函数是偶函数的是ABCD【分析】根据偶函数的定义逐项分析判断即可【解答】解：对于，由正弦函数的性质可知，为奇函数；对于，由正弦函数的性质可知，为偶函数；对于，由幂函数的性质可知，为奇函数；对于，由指数函数的性质可知，为非奇非偶函数故选：【点评】本题考查常见函数的奇偶性，属于基础题典例02 （2023上海）已知，函数（1）若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由；（2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围【分析】

3、（1）时，求出函数的解析式，根据函数的定义域和奇偶性进行求解判断即可（2）根据函数过点，求出的值，然后根据与轴负半轴有两个不同交点，转化为一元二次方程根的分布进行求解即可【解答】解：（1）若，则，要使函数有意义，则，即的定义域为，是奇函数，是偶函数，函数为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数，使得是奇函数（2）若函数过点，则（1），得，得，此时，若数与轴负半轴有两个不同交点，即，得，当时，有两个不同的交点，设，则，得，得，即，若即是方程的根，则，即，得或，则实数的取值范围是且且，即，【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数与方程的应用，根据条件建立方程，转化为一元二次方程根的分布是

4、解决本题的关键，是中档题 （精选18道最新名校模拟考试题+9道易错提升）A新题速递一、单选题1（2023上海浦东新统考三模）已知定义在上的函数 对任意区间和，若存在开区间，使得，且对任意（）都成立，则称为在上的一个“M点” 有以下两个命题：若是在区间上的最大值，则是在区间上的一个M点；若对任意，都是在区间上的一个M点，则在上严格增那么（）A是真命题，是假命题B是假命题，是真命题C、都是真命题D、都是假命题【答案】D【分析】举出反例，得到错误.【详解】对于，设，满足是在区间上的最大值，但不是在区间上的一个M点，错误；对于，设，对于区间，令为有理数，满足对任意（）都成立，故为区间上的一个M点，但在

5、上不是严格增函数.故选：D【点睛】举出反例是一种特殊的证明方法，它在证明“某命题”不成立时，可达到事半功倍的效果.2（2023上海闵行上海市七宝中学校考二模）已知定义在R上的函数，对于给定集合A，若，当时都有，则称是“A封闭”函数.已知给定两个命题：若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数；：若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数.则下列判断正确的为（）A对，对B不对，对C对，不对D不对，不对【答案】C【分析】根据定义可得都有，都有，再判定所给定区间里是否有成立即可判断作答.【详解】对命题：对于集合使，则,而是“封闭”函数，则，即都有，对于集合使，则，而，所以，即，故一定是“封闭”函数正确；对

6、命题，其逆否命题为，若是“封闭”函数，则不是“a,b封闭”函数， 只需判断出其逆否命题的正误即可，使，则，若，则，由解得，因为，所以，即使，则，满足是“a,b封闭”函数，所以命题的逆否命题为假命题，则原命题也为假命题，错误.故选：C【点睛】思路点睛：函数性质及命题真假判断，根据给定条件可得都有，都有，再利用递推关系及函数新定义判断正误即可.3（2023上海普陀曹杨二中校考模拟预测）若存在实数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”.有下列命题：和之间存在唯一的“隔离直线”；和之间存在“隔离直线”，且的最小值为，则（）A都是真命题B都是假命题C是假命题

7、，是真命题D是真命题，是假命题【答案】D【分析】命题，和有公共点，故隔离直线过该点，设为点斜式，结合二次函数性质对参数分类讨论，即可求解；命题，设隔离直线为，则对任意恒成立，结合二次函数性质对参数分类讨论，即可求解；【详解】对于命题，函数和的图像在处有公共点，若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即由恒成立，即恒成立，（i）当时，则不恒成立，不符合题意；（ii）当时，令，对称轴，在上单调递增，且，故不恒成立，不符合题意；（iii）当时，令，对称轴，则，只有，即直线下面证明，令,求导，令，得，当时，函数在区间上单调递减；当时，函数在区间单调递增；故当时

8、，函数取得极小值，也是最小值，故，即所以和之间存在唯一的隔离直线.对于命题，设和的隔离直线为，则对任意恒成立，即对任意恒成立，由恒成立，得（i）当时，则符合题意；（ii）当时，则对任意恒成立，令，对称轴，需，即，故令，对称轴，需，即，所以，故同理可得，即，故故命题正确，命题错误；故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“隔离直线”，解题中理解“隔离直线”的定义，注意利用导数研究函数的单调性及最值时解题的关键，考查学生的转化与化归能力，属于难题.4（2023上海崇明统考一模）若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】不等式等价于，原命题等

9、价于存在实数，对任意实数不等式恒成立，等价于存在实数，不等式成立，分别讨论，的情况，先求出，再求出即可解决问题.【详解】不等式等价于即，原命题等价于存在实数，对任意实数不等式恒成立，等价于存在实数，不等式成立，记，则，（1）当时，对任意，恒成立，即在上单调递减当，即时，当，即时，从而当时，则在上单调递减，在上单调递增，所以；（2）当时，令，解得， 在区间上单调递增，在上单调递减，当时，此时， 当即时，当即时，从而当时， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增,所以；令，则，记，则，当时，恒成立，即在区间上单调递减，即，即；当时，此时，当即时，当即时，从而当时，则在区间上单调递减，在区间上单调递增

10、，所以；（3）当时，对任意，恒成立，即在上单调递增，当，即时，当，即时，从而当时，则在上单调递减，在上单调递增，所以；综上所述，所以.故选：A【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；（4）若，有，则的值域是值域的子集 二、填空题5（2023上海崇明统考二模）若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是 【答案】【分析】由题意将问题转化为在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，即转化为方程在上有两根，孤立参数为

11、在上有两根，求导确定函数的单调性与取值情况，作出大致图象，即可求得实数的取值范围.【详解】若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点由时，；得其关于原点对称后的解析式为问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，化简得，即与在上有两个交点对于，求导，令，解得：，即：当时，单调递增；令，解得：即：当时，单调递减，为其极大值点，时，；画出其大致图像：欲使与在时有两个交点，则，即6（2023上海统考模拟预测）在上非严格递增，满足，若存在符合上述要求的函数及实数，满足，则的取值范围是 .【答案】【分析】根据题意整理可得：对，则，分类讨论的取值范围，分析运算.【详解】，即对，则，故

12、对，则，则有：1.当时，则，可得，不成立；2.当时，则，可得，则，若，解得，符合题意；特别的：例如，取，则，解得；例如，取，则，解得；故；3.当时，则，可得，不成立；4.当时，则，可得，则，若，解得，符合题意；特别的：例如，取，则；例如，取，则；故；5.当时，则，可得，不成立；综上所述：的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：（1）对，结合累加法求得；（2）对于分段函数，一般根据题意分类讨论，本题重点讨论与的大小关系；（3）对特殊函数的处理，本题可取和.三、解答题7（2022上海长宁统考二模）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有，则称函数具有性质(1)若函数具有性质，求的值(

13、2)设，若，求证：存在常数，使得具有性质(3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在上存在零点【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）对任意，都有，代入和即可得出答案；（2）设，利用零点存在性定理即可证得结论；（3）先转化为，然后令得，分情况利用零点存在性定理证得结论.【详解】（1）函数具有性质，所以对任意，都有，令，得，令，得， 所以（2）证明：函数具有性质的充要条件为存在，使得，即，设，因为，所以在区间上函数存在零点，取，则，得函数具有性质（3）设，因为，所以，令得，若，则函数存在零点 若，当时，所以此时函数在区间上存在零点因为所以若，当时，所以此时

14、函数在区间上存在零点综上，函数在上存在零点8（2022上海闵行统考二模）对于定义域为的函数，若存在实数使得对任意恒成立，则称函数具有性质.(1)判断函数与是否具有性质，若具有性质，请写出一个的值，若不具有性质，请说明理由；(2)若函数具有性质，且当时，解不等式；(3)已知函数，对任意，恒成立，若由“具有性质”能推出“恒等于”，求正整数的取值的集合.【答案】(1)不具有性质，理由见解析；具有性质，（只要满足即可）(2)(3)【分析】（1）根据可知不具有性质；当时，结合诱导公式可知，可得具有性质；（2）由可推导得到是以为周期的周期函数；分别在和的情况下，解不等式，根据周期性可得到结论；（3）由可知

15、只需研究的情况；当、和时，通过反例可知不合题意；当、和时，结合可推导得到，由此可得取值集合.【详解】（1）不具有性质，理由如下：对于任意实数，即，不具有性质；具有性质，若，则；的一个取值为（只要满足即可）.（2）由得：，是以为周期的周期函数；当时，不等式无解；当时，则，解得：；综上所述：当时，的解集为；的解集为.（3），则只需研究的情况；当时，令且对于任意恒成立，此时满足，并具有性质，但不恒等于；当时，；当时，；当时，；令且对于任意恒成立，此时满足，并具有性质，但不恒等于；当时，满足题意；当时，又，则，满足题意；当时，又，则，满足题意；综上所述：当时，满足题意的的取值集合为，满足题意的正整数的

16、取值的集合为.【点睛】关键点睛：本题考查函数中的新定义运算问题；解题关键是能够根据已知抽象函数关系式推导得到函数的周期性，进而根据周期性可将所研究的问题转化为一个周期内的函数关系式的求解问题.9（2023上海宝山统考一模）已知函数，.(1)判断函数的奇偶性；(2)若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围；(3)记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)时，为偶函数；时，为非奇非偶函数(2)；(3).【分析】（1）根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断；（2）根据极值，求出，得到，利用导数的性质，判断有3个不同的实根时

17、，的取值范围；（3）根据的单调性，问题转化为，整理得，分别判断函数和函数在上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出的取值范围.【详解】（1），因为的对称轴为，故当时，的对称轴为轴，此时为偶函数；时，为非奇非偶函数.（2）在处有极值，因为，则，故，得；，此时，故和上，单调递增，上，单调递减，因为关于x的方程有3个不同的实根，根据导数的性质，当时，满足题意，得，故（3），单调递减，对任意、且时，则对任意、且时，均有成立，转化为，对任意、且时，均有成立，即，所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增，函数在上单调递减，即在上恒成立，又因为，故，得在上恒成立，令，令，得，所以，在上单调递增

18、，在上单调递减，故，故；函数在上单调递增，即在上恒成立，又因为，故，得在上恒成立，因为函数在上为单调递增函数，故，此时，；综上所述，实数的取值范围为：.10（2023上海徐汇南洋中学校考三模）设函数，其中a为常数对于给定的一组有序实数，若对任意、，都有，则称为的“和谐数组”(1)若，判断数组是否为的“和谐数组”，并说明理由；(2)若，求函数的极值点；(3)证明：若为的“和谐数组”，则对任意，都有【答案】(1)是的“和谐数组”，理由见解析；(2)为函数的一个极大值点,为的一个极小值点.(3)见解析【分析】（1）代入有，根据指数函数、幂函数性质可得，再将代入即可证明；（2）代入值有，直接求导，令导

19、函数为0即可得到其极值点；（3）假设存在,使得,通过和谐数组定义转化得对任意恒成立，设，再利用二次函数的性质即可证明假设不成立.【详解】（1）是的“和谐数组”,理由如下：当时,.根据幂函数、指数函数的性质,对任意,都有.对任意,代入,得: 是的“和谐数组”.（2）当,于是可列表如下:00极大值极小值为函数的一个极大值点,为的一个极小值点.（3）反证法:假设存在,使得,则对任意,都有.对任意恒成立.令，则在上恒成立,由二次函数性质可知,必存在使得当时,恒成立,且此时,当时有，其中，由二次函数性质可知,必存在使得当时，.这与在上恒成立矛盾.对任意,都有【点睛】关键点睛：本题第3问的关键是运用反证法

20、，首先假设存在,使得,根据和谐数组的定义转化得存在,使得,设，通过二次函数与指数函数的图象与性质即可推理出与假设矛盾的结论，最后即得到证明.11（2023上海浦东新华师大二附中校考模拟预测）设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“函数”.(1)分别判断和是否为函数，并说明理由；(2)若是函数，求正数的取值范围；(3)已知奇函数及其导函数定义域均为.判断“在上严格减”是“为函数”的什么条件，并说明理由.【答案】(1)是函数,不是函数，理由见解析(2)(3)“在上严格减”是“为函数”的充分非必要条件，理由见解析【分析】（1）根据“函数”的定义结合函数的奇偶性以及单调性判断即可；（2）令，利用

21、导数讨论其单调性即可求解；（3）先用特殊函数作为反例说明“在上严格减”不是“为函数”的必要条件，再构造，利用导数与单调性、最值的关系证明，根据单调性定义即可证明“在上严格减”是“为函数”的充分条件.【详解】（1）设，所以，所以和均为定义在上的奇函数.当时，函数严格减，故是函数.而当和时，故不是函数.（2），设，定义域为，所以是定义在上的奇函数.当时，不是函数，下设.当时，令，则.再设，则.设，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以，即恒成立，所以当时，所以当时，；当时，.因为，所以当时，当时，即恒成立，则函数严格单调递增，当时，即恒成立，则函数严格单调递减，所以正数的取值范围是.（3

22、）证：函数是定义在上的奇函数，且在上严格减，故为函数.但当或时取值相等，从而不是上严格减的函数.故“在上严格减”不是“为函数”的必要条件.下证“在上严格减”是“为函数”的充分条件.对任意，定义.则由得，且由严格减得,当时，故当时，即.现任取，考虑.则，且当时，.由关于函数的讨论知，此时.故当时，即：对任意，.移项得，故在上严格减，即为函数.综上，“在上严格减”是“为函数”的充分非必要条件.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于证明的导函数恒成立，在中，再设，则，利用常用不等式以及的取值范围即可确定的符号，进而可确定的符号；本题第三问的关键在于构造函数，利用导数与单调性、最值的关系证明，根据单

23、调性的定义即可证明.12（2023上海闵行统考一模）定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系(1)判断函数和是否具有C关系；(2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；(3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围【答案】(1)是(2)(3)【分析】（1）根据C关系的理解，令，解得，从而得以判断；（2）利用换元法，结合二次函数的性质得到在上恒成立，分类讨论与，利用基本不等式即可求得a的取值范围；（3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解.【详解】（1）与是具有C关系，理由如下：根据定义，若与

24、具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得，因为，所以，令，即，解得，所以与具有C关系.（2）令，因为，所以，令，则，故，因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正，又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立，当时，显然成立；当时，在上恒成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，综上：，即.（3）因为和，令，则，因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，因为，当且时，因为，所以，所以在上单调递增，则，此时在上不存在零点，不满足题意；当时，显然当时，当时，因为在上单调递增，且，故在上存在唯一零点，设为，则，所以当；当；又当时，所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点，因为，

25、所以，又因为，所以在上存在唯一零点，所以函数与在上具有C关系，综上：，即.【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到与具有C关系，则在定义域上存在，使得，从而得解.13（2023上海青浦统考一模）设函数（其中是非零常数，是自然对数的底），记(1)求对任意实数，都有成立的最小整数的值；(2)设函数，若对任意，都存在极值点，求证：点在一定直线上，并求出该直线方程；(3)是否存在正整数和实数，使且对于任意，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由【答案】(1)；(2)证明见解析，；(3)存在，满足条件.【分析】（1）按照给定定义，依次求导，再观察规律即可判断作答.（

26、2）由（1）求出函数，求出的导数，再利用已知结合极值点的意义推理作答.（3）由（1）结合已知，确定或，再分类讨论极值点的情况作答.【详解】（1）依题意，因此，即，所以对任意实数，都有成立的最小整数的值是5.（2）由（1）知，求导得，显然函数单调，当时，有唯一零点，当时，当时，因此当时，函数都存在唯一极值点，依题意，即，方程两边同时加上得，即，所以点在一定直线上，该直线方程为.（3）当，时，方程无解，因此要使，必有,当时，即，解得，而当时，时，函数单调递减，无极值点，严格递减，无极值点，且，当时，当时，在上严格递增，在上严格递减，有一个极值点，又，则恒成立，有单调递减，无极值点，综上得存在，满足

27、条件，当时，即，解得或，当时，不符合题意，当时，解得，有，单调递减，当时，当，当时，在上严格递增，在上严格递减，而，则存在，使得，在上，在上，在上，则在上严格递减，在上严格递增，在上严格递减，有两个极值点，不符合题意，因此，所以存在，满足条件【点睛】结论点睛：可导函数y=f(x)在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧值的符号不同14（2023上海黄浦统考二模）三个互不相同的函数与在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”.(1)设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；(2)求所有的二次函数（用表示，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；(3)若，且存在实数，使得为

28、与在区间上的“分割函数”，求的最大值.【答案】(1)是与在上的“分割函数”；不是与在上的“分割函数”；(2)；(3).【分析】（1）根据题意可得当时恒成立，结合“分割函数”的定义依次判断，即可求解；（2）根据“分割函数”的性质，则对一切实数恒成立，由导数的几何意义和恒成立可得且对一切实数恒成立，结合图形即可求解；（3）利用导数求出函数的极值，则，作出其函数与函数的图象，设直线与的图象交于点，利用代数法求出弦长，结合导数研究函数的性质即可求解.【详解】（1）因为恒成立，且恒成立，所以当时，恒成立，故是与在上的“分割函数”.又因为，当与时，其值分别为与， 所以与在上都不恒成立，故不是与在上的“分割

29、函数”.（2）设是与在上的“分割函数”，则对一切实数恒成立,由,当时，它的值为，可知的图象在处的切线为直线，它也是的图象在处的切线，所以，可得所以对一切实数恒成立，即且对一切实数恒成立，可得且，即，又时与为相同函数，不合题意，故所求的函数为.（3）关于函数，令，可得，当与时,；当与时,. 可知是函数极小值点，0是极大值点,该函数与的图象如图所示.由为与在区间,上的“分割函数”，故存在使得且直线与的图象相切，并且切点横坐标，此时切线方程为，即，设直线与的图象交于点，则由可得，所以，令，(仅当时，),所以严格减，故的最大值为,可知的最大值为，所以的最大值为.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念

30、、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.15（2023上海普陀统考二模）已知，设函数的表达式为（其中）(1)设，当时，求x的取值范围；(2)设，集合，记，若在D上为严格增函数且对D上的任意两个变量s，t，均有成立，求c的取值范围；(3)当，时，记，其中n为正整数求证：【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）由题设可得，解

31、不等式求x的取值范围；（2）问题化为在上成立，根据单调性、导数研究单调性求最值，即可求参数范围；（3）问题化为证，令则，结合二项式定理有，且及基本不等式证，即可证结论.【详解】（1）由题设，则，即，故，又，则，所以.（2）由题设，要使D上的任意两个变量s，t均有成立，所以在上成立，又在D上为严格增函数，即，同时在上恒成立，由解析式知：在上递减，只需，故，由且，即在上递减，所以，故，可得.综上，；（3）由题设，则且，故，所以，而，所以，又，且，当且仅当时等号成立，所以，同理，.，且均在时等号成立，所以，综上，即成立.【点睛】关键点点睛：第三问，首先转化问题为证，再应用二项式定理展开左侧，结合组合

32、数性质、基本不等式证明结论.16（2023上海闵行上海市七宝中学校考二模）已知关于的函数，与在区间上恒有，则称满足性质.(1)若，判断是否满足性质，并说明理由；(2)若，且，求的值并说明理由；(3)若，试证：是满足性质的必要条件.【答案】(1)满足，理由见解析(2)，理由见解析(3)证明见解析【分析】（1）结合题意，利用配方法与二次函数的性质，分别证明，即可；（2）先根据题意得到是的极小值点，从而求得，再进行检验即可；（3）构造函数，求得的隐零点，结合题意得到，与，从而得证.【详解】（1）满足，理由如下：因为，所以，在上单调递增，在上单调递减，当时，取到最小值0，故.又，综上，满足性质.（2）

33、，理由如下：设，则，由条件知，则是的极小值点，所以，即.当时，当时，；当时，；所以，即恒成立(当且仅当时取等号)因此.（3）设，由（2）所证的(当且仅当时取等号)知:，当时取等号.设，则，所以在上单调递增，又，所以存在使得，即，则，又，则，结合条件可得，所以，设，则，又由已知，则是的极小值点，所以，即，结合，可得，故，所以是满足性质的必要条件.【点睛】关键点睛：本题第3小问解决的关键是构造函数，求得的隐零点，从而得到的关系，由此得解.17（2023上海浦东新统考二模）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”(1)判断点与点是否为函数的1度点，不需要说

34、明理由；(2)已知，证明：点是的0度点；(3)求函数的全体2度点构成的集合【答案】(1)是函数的一个1度点；不是函数的1度点(2)证明见解析(3)或【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，该切线过点时，列出方程，求出一个根，满足要求，该切线过点，构造函数，解超越方程，无解，不合要求；（2）求出在点处的切线方程，转化为无解，构造，求导得到其单调性，证明出无解，故证毕；（3）求出切线方程，得到的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，设，分，与三种情况，进行求解.【详解】（1）设，则曲线在点处的切线方程为则该切线过点当且仅当，即 故原点是函数的一个1度点，该切线过点，故，令，则，令得，令

35、得，故在上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值，也时最小值，且，故无解，点不是函数的一个1度点（2）设，则曲线在点处的切线方程为则该切线过点当且仅当（*）设，则当时，故在区间上严格增因此当时，（*）恒不成立，即点是的一个0度点（3），对任意，曲线在点处的切线方程为故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解设 则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求若，因为，由或时得严格增；而当时，得严格减 故在时取得极大值，在时取得极小值又因为，所以当时，由零点存在定理，在、上各有一个零点，不合要求；当时，仅上有一个零点，不合要求；当时，仅上有

36、一个零点，也不合要求故两个不同的零点当且仅当或若，同理可得两个不同的零点当且仅当或综上，的全体2度点构成的集合为或【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.B易错提升一选择题（共2小题）1（2023秋浦东新区校级月考）（上海春卷已知函

37、数的图象关于点对称，则点的坐标是ABCD【分析】利用对称性质和中点坐标公式进行求解【解答】解：设，任意给点关于的对称点为，由，联立方程组：，解这个方程组得到，故选：【点评】巧妙运用对称性质，合理借助中点坐标公式是求解对称问题的重要方法2（2023春闵行区校级月考）已知实数，满足，记，则的最大值是A3BC6D【分析】由已知结合向量数量积的性质的坐标表示可得然后结合点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系可求【解答】解：由题意，设，则，在以原点为圆心，为半径的圆上，由得设点，到直线的距离之和为，则，转化为求的最大值设点为点与点的中点，则故点轨迹方程为圆设点到直线的距离为，则，圆上点到直线距离的最大值

38、所以的最大值是故选：【点评】本题主要考查圆的轨迹方程，直线与圆的位置关系，属难题二填空题（共2小题）3（2023春浦东新区校级期中）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为（a）若映射满足：对所有、及任意实数，都有（a）（b），则称为平面上的线性变换现有下列命题：设是平面上的线性变换，、，则（a）（b）；若是平面上的单位向量，对，设（a），则是平面上的线性变换；对，设（a），则是平面上的线性变换；设是平面上的线性变换，则对任意实数均有（a）其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）【分析】根据题意，对每一个命题进行推导，看是否和已知条件相符【解答】解：令，则故是真命题，同理，：令，则故是

39、真命题，：，则有，是线性变换，故是真命题，：由，则有，是单位向量，故是假命题故答案为【点评】本题考查了向量知识的命题判断，注意向量的基本运算4（2023春杨浦区校级月考）已知函数，若对任意的，都存在，使得，则实数的最大值为 1【分析】首先去绝对值，讨论，结合函数的图象和任意性和存在性思想，解不等式可得的取值范围，进而得到所求最大值【解答】解：时，当时，当时，画出的图象（如右图）时，而对任意的，都存在，使得，要求，而时，令，则有，不符题意；时，当时，当时，画出的图象（如图）当时，（2），即，则，时，成立才有可能；，则，需满足，即，即，解得，所以的最大值为1故答案为：1【点评】本题考查函数恒成立问

40、题解法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于难题三解答题（共5小题）5（2023秋浦东新区校级期中）已知，函数（1）当时，若对任意都有，证明；（2）当时，证明：对任意，的充要条件是；（3）当时，讨论：对任意，的充要条件【分析】（1）因为对任意都有，所以把函数变为顶点形式，且，有当时，化简即可得证；（2）先证明必要性：讨论绝对值不等式的解集为或，分别得到的范围，求出公共解集即可；证明充分性；由得得到的取值范围，由，求出公共解集得到的范围即可（3）先证必要性：得到即；再证充分性：由得到，得到的充要条件【解答】（1）证明：根据题设，对任意，都有又，（2）证明：必要性：对任意，据此可推出（1），

41、即，对任意，因为，可得，可推出，即，充分性：因为，对任意，可以推出，即，因为，对任意，可以推出：，即，综上，当时，对任意，的充要条件是（3）解：因为，时，对任意，有，即；（1），即，又，即所以，当，时，对任意，的充要条件是【点评】让学生理解函数恒成立时满足的条件，会找一个命题的充分必要条件6（2023秋普陀区校级期中）设是不小于1的实数若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1”（1）分别判断和时是否满足“性质1”；（2）先证明：若，且，则；并由此证明当时，对任意，总存在，使得（3）求出所有满足“性质1”的实数【分析】（1）分别举反例证明和时性质1不成立；（2）先分别就，讨论证明若，且，则

42、，再利用这个结论可得证；（3）结合（2）的结论可得解【解答】解：（1）记，假如，则当时，对任意，均有，不满足要求；假如，则当，时，对任意，均有，若，同正或同负，则，其余情况下总有，不满足要求；（2）先来证明：若，且，则，同时该结论记为引理，当时，当时，不妨设，则，又，所以，所以若，且，则，下面证当时，对任意，总存在，使得，若，则取，此时，其中，且，由引理可得，若，则取，此时，其中，且，故由引理可得，综上，当时，对任意，总存在，使得；（3）当时，当，时，可取，使得，理由如下：当，时，取，则；当，时，取，则，则，故，同理，可取，使得，此时，所以当时，对任意，总存在，使得；结合（2）的结论可得，对任

43、意，总存在，使得，综上，所有满足性质1的实数【点评】此题考查新定义问题，主要是利用基本不等式研究式子的最值，进而解决不等式恒成立问题，属于较难的题目7（2023秋普陀区校级期中）已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在实数，使得（2）（1）判断是否属于集合，并说明理由；（2）若属于集合，求实数的取值范围；（3）若，求证：对任意实数，都有【分析】（1）利用，通过（2）推出方程无解，说明不属于集合（2）由属于集合，推出有实解，即有实解，若时，若时，利用判断式求解即可（3）当时，方程（2），令，则在上的图象是连续的，当时，当时，判断函数是否有零点，证明对任意实数，都有【解答】解：（1）当时

44、，方程（2）（2分）此方程无解，所以不存在实数，使得（2），故不属于集合（4分）（2）由属于集合，可得方程有实解有实解有实解，（7分）若时，上述方程有实解；若时，有，解得，故所求的取值范围是（10分）（3）当时，方程（2），（12分）令，则在上的图象是连续的，当时，（1），故在内至少有一个零点；当时，故在内至少有一个零点；故对任意的实数，在上都有零点，即方程（2）总有解，所以对任意实数，都有（16分）【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力8（2023春黄浦区校级期中）已知关于的方程的一个根为（1）求方程的另一个根及实数的值；（2）是否存在实数，使对

45、时，不等式对，恒成立？若存在，试求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】（）由题意知另一根为，由此能求出（）设存在实数满足条件，不等式为，由的最小值为1，知对，恒成立，由此能够推导出存在满足条件【解答】解：（）由题设知一根为，（）设存在实数满足条件，不等式为，的最小值为1，对，恒成立，即对，恒成立，设则解得，因此存在满足条件【点评】本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化9（2023秋静安区校级期中）在区间上，如果函数为增函数，而函数为减函数，则称函数为“弱增函数”已知函数（1）判断函数在区间，上是否为“弱增函数”；（2）设，且

46、，证明：；（3）当，时，不等式恒成立，求实数，的取值范围【分析】（1）根据弱增函数的定义，只需证明函数在区间，上是增函数，而函数为减函数，即可；（2）证法1：要证，不妨设，构造函数，利用导数证明该函数在单调递减即可证明结论；证法2：把代入，利用分母有理化，即可证明结论；（3）要解）当，时，不等式恒成立，利用分离参数转化为当，时，等价于恒成立，即可求得实数，的取值范围【解答】解：（1）显然在区间上为增函数，因为，所以在区间，上为减函数所以在区间，上为“弱增函数”（2）证法1：要证，不妨设，由在，单调递增，得，那么只要证，即证令，则问题转化为只要证明在，单调递减即可事实上，当，时，所以在，单调递减，故命题成立证法，因为，且，所以（3）当，时，不等式恒成立当时，不等式显然成立当，时，等价于恒成立由（1）知为减函数，所以且【点评】此题是个难题考查基本初等函数的单调性，以及构造函数证明不等式和恒成立问题，综合性强，方法灵活，很好的考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力