专题2.20 轴对称的最值问题（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题2.20 轴对称的最值问题（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】垂直线段最短问题；【知识点二】将军饮马问题；【知识点三】造桥选址问题【考点一】垂线段最短问题动点所在的直线已知型方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短【例1】如图，在锐角三角形中， 的平分线交于点D，点M、N分别是和上的动点，则的最小值为（） A B C6 D5【答案】D【分析】如下图，先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得解：如图，在上取一点E，使，连接， 是的平分线，在和中，由两点之间线

2、段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，又由垂线段最短得：当时，取得最小值，解得，即的最小值为5，故选D【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键【举一反三】【变式】如图，在锐角中，平分，、分别是 和上 的动点，则的最小值是 【答案】【分析】根据题意画出符合题意的图形，作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出BM+MNBE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.解：作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上）平分，ABC是锐角三角形

3、R必在AC上N关于AD的对称点是RMN=MRBM+MN=BM+MRBM+MN=BRBE（垂线段最短），=18BE=cm即BM+MN的最小值是cm.【点拨】本题考查了轴对称最短路径问题. 解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值.【考点二】垂线段最短问题动点所在的直线隐藏型方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短【例2】通过教材“13.4最短路径问题”的学习，我们体会到轴对称变换的作用请你用轴对称的有关知识解决下面的问题：如图，为的中点，则的最大值是 【答案】9.5【分析】作A关于的对称点M，B关于的对称点N，连接，

4、利用轴对称的性质得出，则可求出，进而证明是等边三角形，求出，由知，当D，M，N，E共线时，最大，然后代入数值即可求出最大值【详解】解：作A关于的对称点M，B关于的对称点N，连接，则，为的中点，是等边三角形，又，当D，M，N，E共线时，的最大值为9.5故答案为：9.5【点拨】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键【举一反三】【变式】小华的作业中有一道题：“如图，AC，BD在AB的同侧，点E为AB的中点若，求CD的最大值”哥哥看见了，提示他将和分别沿CE、DE翻折得到和，连接最后小华求解正确，得到CD的最大值是 【答案】

5、7【分析】根据对称的性质得到，结合点E是AB中点，可证明是等边三角形，从而有，即可求出CD的最大值解： ，点E为AB的中点，将和分别沿CE、DE翻折得到和，是等边三角形，当点C，点，点，点D四点共线时，CD有最大值，即，【点拨】本题考查了翻折的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质【考点三】将军饮马问题两定一动型方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值【例3】如图，在ABC中，AB6，AC9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则ABP周长的最小值是 【答案】15【分析】如图，连接PC求出PA+PB的最小值可得结论解：如图，连接PCEF垂直平分

6、线段BC，PB=PC，PA+PB=PA+PCAC=9，PA+PB的最小值为9，ABP的周长的最小值为6+9=15，故答案为：15 【点拨】本题考查了轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质【举一反三】【变式】如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，点是上的任意一点，则周长的最小值是 cm 【答案】12【分析】当点与重合时，的周长最小，根据垂直平分线的性质，即可求出的周长解：DE垂直平分AC，点C与A关于DE对称，当点于重合时，即A、D、B三点在一条直线上时，BF+CF=AB最小，（如图），的周长为：，是垂直平分线，又，故答案为：12 【点拨】本题考

7、查最短路径问题以及线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握最短路径的求解方法以及垂直平分线的性质是解题的关键【考点三】将军饮马问题一定两动型方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值【例4】如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，则的周长的最小值为 .【答案】3【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D连接OC，OD则当M，N是CD与OA，OB的交点时，PMN的周长最短，最短的值是CD的长根据对称的性质可以证得：COD是等边三角形，据此即可求解解：如图，作P关于OA，OB的对称点C，D连接OC，OD则当M，N是CD与OA，OB的交点时，PMN的

8、周长最短，最短的值是CD的长 点P关于OA的对称点为C，PM=CM，OP=OC，COA=POA；点P关于OB的对称点为D，PN=DN，OP=OD，DOB=POB，OC=OD=OP=3，COD=COA+POA+POB+DOB=2POA+2POB=2AOB=60，COD是等边三角形，CD=OC=OD=3PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DNCD=3【点拨】此题主要考查轴对称-最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识正确作出图形，理解PMN周长最小的条件是解题的关键【举一反三】【变式】如图，点P是内任意一点，点M和点N分别是射线和射线上的动点，则周长的最小值是 【答案】【分析】分别

9、作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接，当点M、N在上时，的周长最小解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接 点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，；点P关于的对称点为D，是等边三角形，的周长的最小值故答案为：【点拨】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定 作点P关于OA、OB的对称点C、D是解题的关键所在【知识点四】造桥选址问题方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值【例4】在长方形ABCD中，AB4，BC8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ2（1）如图，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点

10、时，求证：APQE；（2）如图，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；（3）如图，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积【答案】(1）见解析； (2) 4； (3) 4【分析】（1）由“SAS”可证ABPQCE，可得AP=QE；（2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的

11、平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明GEH=45，再由CQ=EC即可求出BP的长度；（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解（1）解：证明：四边形ABCD是矩形，CD=AB=4，BC=AD=8，点E是CD的中点，点Q是BC的中点，BQ=CQ=4，CE=2，AB=CQ，PQ=2，BP=2，BP=CE，又B=C=90，ABPQ

12、CE（SAS），AP=QE；（2）如图，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点 GH=DF=6，EH=2+4=6，H=90，GEH=45，CEQ=45，设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在CQE中，QCE=90，CEQ=45，CQ=EC，6-x=2，解得x=4，BP=4；（3）如图，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T， PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，PF=8，PH=8，PF=PH，又FPH=90，F=H=45，PFAD，CDQH，F=TMF=45，H=CNH=45，FT=TM=4，CN=CH=3，四边形PQNM的面积=PFPH-PFTM-QHCN=88-84-63=7【点拨】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键