专题2.3 函数的奇偶性与周期性（解析版）.docx

1、专题2.3 函数的奇偶性与周期性思维导图知识点总结知识点一函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数知识点二函数奇偶性的定义1偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数2奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数知识点三奇(偶)函数的定义域特征奇(偶)函数的定义域关于原点对称知识点四用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间a，b上的解析式，想求关于原点的对称区间b，a上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪

2、个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设(2)要利用已知区间的解析式进行代入(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x)知识点五奇偶性与单调性若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相反的单调性典型例题分析考向一 函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)x2(x22)；(3)f(x)；(4)f(x).解(1)f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(2)f(x)x2(x22)的定义域为R

3、.f(x)f(x)，f(x)x2(x22)是偶函数(3)f(x)的定义域为(，1)(1，)，定义域不关于原点对称，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(4)f(x)的定义域为1,1f(x)f(x)f(x)0，f(x)既为奇函数，又为偶函数反思感悟判断函数奇偶性的方法(1)定义法：定义域关于原点对称；确定f(x)与f(x)的关系(2)图象法考向二 利用函数的奇偶性求解析式例2函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)x1，求当x0时，f(x)的解析式考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式解设x0，f(x)(x)1x1，又函数f(x)是定义域为R的奇函数，当xf(3)f(2)Bf

4、()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2)Df()f(2)32，所以f()f(3)f(2)，故f()f(3)f(2)反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小基础题型训练一、单选题1已知函数是定义在R上的偶函数，时，那么的值是多少（）.ABCD【答案】B【分析】利用函数的奇偶性，即可求解，【详解】是定义在R上的偶函数，故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性，属于基础题.2已知定义在上的奇函数满足，则（）AB0C1D2【答案】B【分析】由

5、奇偶性及对称性得函数的周期性，由周期性计算函数值，【详解】由及是奇函数得，所以，所以是周期函数，周期为4，故选：B3已知函数与函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则A1B2C0D-1【答案】D【分析】根据条件可得出f（x）f（x），g（x）g（x），从而根据f（x）+g（x）x3+x2+x即可得出f（x）g（x）x3+x2x，从而可求出f（1）g（1）1【详解】f（x）与g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）f（x），g（x）g（x），且f（x）+g（x）x3+x2+x，f（x）+g（x）f（x）g（x）x3+x2x，f（1）g（1）1+111故选：D【点睛】本题考查了奇函数

6、和偶函数的定义，考查了计算能力，属于基础题4已知非空集合A，B满足：，函数，对于下列两个命题：存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；存在无穷多非空集合对，使得方程无解.下面判断正确的是（）A正确，错误B错误，正确C都正确D都错误【答案】B【分析】在同一平面直角坐标系画出与的图象，结合函数图象即可判断；再分别求出与的解，即可判断无解的条件，从而判断，即可得解；【详解】解：在同一平面直角坐标系画出与的图象如下所示：由，解得，由函数图象可知当或时为偶函数，故错误；令，解得，令，解得，因为，所以当，时满足无解，故存在无穷多非空集合对，使得方程无解，故正确；故选：B5已知定义在上的函数是偶函数，且在上单调

7、递增，则满足的的取值范围为（）ABCD【答案】B【分析】先通过函数的性质得到的对称性和单调性，再利用的性质去掉中的，然后解不等式即可.【详解】函数是偶函数, 且在上单调递增，即函数的对称轴为，又函数向右平移1个单位可得，函数的对称轴为，且在上单调递增，由得解得或故选：B.6若函数同时满足:对于定义域上的任意,恒有；对于定义域上的任意,当时,恒有；则称函数为“理想函数”.给出下列三个函数：（1）（2）（3），其中能被称为“理想函数”的有（）个.A1B2C3D4【答案】A【分析】满足为奇函数，满足在定义域内是减函数，对（1）（2）（3）中的三个函数逐个判断，即可得结果.【详解】对于对于定义域上的任

8、意,恒有；则有，故满足条件为奇函数；对于对于定义域上的任意,当时，不妨设，恒有，故满足条件的函数是在定义域内是减函数；所以“理想函数”即为定义域内是减函数且为奇函数.（1），在定义域不是减函数，故不是；（2）不是奇函数，故不是；（3），所以为奇函数，作出其图像，函数在定义域内是减函数，故为“理想函数”.故选:A【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的奇偶性和单调性，注意运用定义法是解题的关键，属于中档题.二、多选题7已知，设函数，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为（）A4与1B5与2C5与3D6与4【答案】CD【分析】构造新函数，根据新函数的奇偶性，结合函数奇偶性的性质进行求解即可

9、.【详解】令，为奇函数，设的最大值为t，最小值为，可得，2b为偶数，故选：CD8已知函数是定义在上的奇函数，当时，则下列结论正确的是（）AB当时，C是图象的一条对称轴D在上单调递增【答案】ABD【解析】根据题意先求解出时，的解析式，然后根据已知条件作出的图象，根据图象即可判断出是否为对称轴以及在上是否单调递增.【详解】当时，所以，所以，所以，作出图象如下图所示：由图象可知：，所以，故A正确；当时，故B正确；由图象可知显然不是的对称轴，故C错误；由图象可知在上单调递增，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题考查奇函数的综合应用，其中涉及函数的解析式、单调性、对称性，考查学生综合分析问题的能力，难度

10、一般.三、填空题9函数为偶函数，当时，则时，_【答案】【分析】由，可得，根题意得到，代入化简，即可求解.【详解】由，可得，因为函数为偶函数，且当时，所以，即时，.故答案为：.10已知函数，若，则实数的取值范围是_【答案】【分析】先由函数奇偶性的概念判断为奇函数；再由二次函数单调性，得到函数在上是减函数；将不等式化为，求解，即可得出结果.【详解】因为，所以，当时，；当时，；当时，；所以为奇函数；又当时，单调递减；所以时，也单调递减；即函数在上是减函数；则由得，则，即，即实数的取值范围是.故答案为【点睛】本题主要考查由函数单调性解不等式，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型.11已知定义在的偶

11、函数在是增函数，且，则不等式的解集是_【答案】【解析】根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化求解即可【详解】是偶函数，定义域为，又在上是增函数，且（1），不等式等价为且，则或，即不等式的解集为，故答案为：【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于基础题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.12已知是R上的偶函数，且，当时，则_.【答案】【分析】根据，求得函数的周期，再根据函数的周期将所求的转

12、化到已知区间，即可得解.【详解】解：当时，则，因为，所以，所以函数是以8为周期的周期函数，则，由，得，所以.故答案为：.四、解答题13函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x0时，f（x）x1，求f（x）的解析式；【答案】f（x）【解析】根据已知可得，设x0，求出，再由奇偶性，求出即可.【详解】设x0，f(x)(x)1x1，又函数f（x）是定义域为R的奇函数，f(x)f（x）x1，当x0时，f（x）x1.又x0时，f（0）0，所以f（x）【点睛】本题考查求函数的解析式，利用函数的奇偶性是解题的关键，不要忽略“”情况，属于基础题.14已知偶函数定义域为，当时，.（1）求函数的表达式； （2）用函数

13、单调性的定义证明：函数在区间单调递减，并解不等式.【答案】（1）；（2）证明见解析，.【解析】(1) 设，则，结合已知条件可求出，结合函数的奇偶性即可求出函数的表达式.(2) 设且，求出，即可证明函数在单调递减，结合奇偶性和单调性可得，从而可解.【详解】（1）设，则，又因为定义域为的偶函数，所以， 所以，所以 .（2）当时，设且， 则=，因为，所以，所以函数在区间单调递减， 又因为定义域为的偶函数，所以，所以，又在区间单调递减，所以，解得.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是由奇偶性得，再结合函数的单调性列出关于的不等式.15已知函数是定义在上的奇函数.(1)求函数的解析式；(2)判断函数的单

14、调性并证明；(3)解不等式.【答案】(1)；(2)在上单调递增，证明见解析；(3).【分析】（1）由奇函数定义可得，由对应项系数相等可求得，进而得到；（2）任取，可证得，由此可得结论；（3）将不等式转化为，结合函数定义域和单调性可构造不等式求得结果.(1)是定义在上的奇函数，即，；(2)任取，在上单调递增.(3)由得：，又是奇函数，由（2）知：在上单调递增，解得：，即不等式的解集为.16已知函数为奇函数，且(1)求a，b的值；(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义加以证明；(3)求在区间上的值域.【答案】(1)，(2)函数在上单调递增，在上单调递减，证明见解析(3)【分析】（1）根据函数为奇

15、函数得到，解得，再计算解得答案.（2）判断函数在上单调递增，在上单调递减，设，计算得到证明，同理可得答案.（3）根据函数的单调性计算函数的最小值和最大值得到值域.【详解】（1）函数为奇函数，故，即，故，即.，定义域为，为奇函数，满足.（2）函数在上单调递增，在上单调递减.设，则，易知，故，函数单调递增；设，则，易知，故，函数单调递减；故函数在上单调递增，在上单调递减.（3），.故函数的值域为.提升题型训练一、单选题1已知一个奇函数的定义域为，则（）AB3CD1【答案】A【分析】利用奇函数的定义域关于原点对称，即可得答案；【详解】奇函数的定义域关于原点对称，故选：A.【点睛】本题考查奇函数的性质

16、，属于基础题.2已知偶函数在区间上单调递减，那么下列式子成立的是（）ABCD【答案】A【分析】根据已知在区间上单调递增，而且，即可比较大小.【详解】偶函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，.故选:A.【点睛】本题考查奇偶性与单调性的综合应用，考查利用抽象函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题.3下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 ABCD【答案】A【详解】对于A,是偶函数，且在区间上单调递增，符合题意；对于B, 对于既不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；对于C, 是奇函数，不合题意；对于D,在区间上单调递减，不合题意，只有合题意，故选A.4已知函数，若，则实数()A2B1C1

17、D3【答案】D【分析】利用奇函数的性质，可以得到，依题意可以求出实数【详解】因为，所以，又，所以，解得.故选D.【点睛】本题主要考查利用奇函数的性质解决和抽象函数有关的问题5已知定义在上的函数满足若函数与的图像的交点为，则（）A5B10C15D20【答案】A【分析】由题意可知函数与都关于点点对称，则可知，由此即可得处答案.【详解】由题意函数满足，则函数关于点点对称，记，则，则所以函数也关于点点对称，则其交点，也关于点点对称，即，所以.故选：A6狄利克雷函数为F(x).有下列四个命题：此函数为偶函数，且有无数条对称轴；此函数的值域是；此函数为周期函数，但没有最小正周期；存在三点，使得ABC是等腰

18、直角三角形，以上命题正确的是（）ABCD【答案】B【分析】根据奇偶性定义和对称轴对应的表达式进行判断；根据的取值得到值域；根据周期性的定义进行分析；先假设存在，然后推理证明是否存在.【详解】的定义域为关于原点对称，当为有理数时，当为无理数时，所以恒成立，所以是偶函数，取非零有理数，当为有理数时，当为无理数时，所以恒成立，有无数种可能，所以有无数条对称轴；因为的取值只有，所以的值域为；取有理数，当为有理数时，当为无理数时，所以恒成立，有无数种可能，所以是周期函数且无最小正周期；设存在满足条件，根据函数值域可知，的可能组合为：两个有理数一个无理数、两个无理数一个有理数，(1)不妨设为有理数，为无理

19、数，因为为等腰直角三角形，所以只能为的斜边，所以，所以为有理数，与假设矛盾，故不成立；(2)不妨设为无理数，为有理数，因为为等腰直角三角形，所以只能为的斜边，所以，所以为无理数，与假设矛盾，故不成立，综上可知：不存在三点使得为等腰直角三角形.故选：B.【点睛】本题考查函数的性质的综合应用，难度较难.处理新函数的性质问题，可从函数各个性质的定义入手解决问题；常见的函数对称轴对应的形式，周期函数对应的形式.二、多选题7某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的结论是（）A是偶函数B的值域为C有且只有1个零点D【答案】BD【分析】由函数的奇偶性的定义判断A，求出函数的值域判断B，求解函数

20、的零点判断C，由函数的单调性判断D【详解】解：函数的定义域为，因为，所以为奇函数，所以A错误；当时，当时，因为，所以，即，因为 为奇函数，所以的值域为，所以B正确；，当时，则0是函数的零点，当时， ，由，得或，而方程无解，当时，由由，得或，方程有一负根，则有一负的零点，综上，有2个零点，所以C错误；当时， 为单调减函数，因为为奇函数，所以在上为减函数，而，所以，所以D正确，故选：BD【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性的判断，函数的单调性的判断，考查函数的值域的求法，考查函数零点的判方法，考查计算能力，解题的关键是对函数解析式恒等变形，属于中档题8已知函数，若存在实数m，使得对于任意的，都

21、有，则称函数，有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意的，都有，则称函数，有上界，M为其一个上界.若函数，既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.下列说法正确的是（）A若函数在定义域上有下界，则函数有最小值B若定义在上的奇函数有上界，则该函数一定有下界C若函数为有界函数，则函数是有界函数D若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数【答案】BC【分析】根据函数上界，下界，有界的定义分别进行判断即可【详解】解：对于A，当时，则恒成立，则函数有下界，但函数没有最小值，故A错误；对于B，若定义在上的奇函数有上界，不妨设当时，成立，则当时，则，即，则，该的下界是，则函数是有界函数，故

22、B正确；对于C，对于函数，若函数为有界函数，设，则或，该函数是有界函数，故C正确；对于D，函数，则函数的定义域为闭区间，值域为，则只有下界，没有上界，即该函数不是有界函数，故D错误.故选：BC.三、填空题9函数为偶函数，则实数a的值_.【答案】【分析】利用函数的奇偶性列方程，由此求得的值.【详解】由于为偶函数，所以，所以，所以，.故答案为：.10已知是定义域为的奇函数，且函数为偶函数，当时，则_【答案】【解析】根据函数的对称性和奇偶性即可求得函数值.【详解】关于对称，关于直线对称，所以.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和对称性求函数值，属综合基础题.11已知函数，若对任意的，不等式

23、恒成立，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】由题意可得为偶函数，求得在上连续，且为减函数，可得，即有即在恒成立，由一次函数的单调性，解不等式组，即可得到所求范围【详解】为偶函数且在单调递减在恒成立在恒成立，则在恒成立在恒成立，解得.故答案为：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，解答本题的关键是判断出函数的奇偶性与单调性，属于中档题12定义函数如下:对于实数,如果存在整数,使得,则.则下列结论:是实数上的递增函数;是周期为1的函数;是奇函数;函数的图像与直线有且仅有一个交点.则正确结论的序号是_.【答案】【分析】直接利用对于实数，如果

24、存在整数,使得,则，对四个命题分别进行判断，即可得出结论.【详解】对于如果对于实数,存在整数，使得，则，即时，所以在上为常数函数，故不正确；对于令，则时，令，则时，所以，即是周期为1的函数不正确，故不正确；对于因为，所以，所以，所以为奇函数，故正确；由可知，函数为奇函数，又函数也为奇函数，根据奇函数的图像关于原点对称知，两个函数的图像如果有交点，那么它们至少有两个交点，故不正确.综上所述：只有正确.故答案为：【点睛】本题考查了对新定义的理解和运用能力，考查了函数的单调性，奇偶性和周期性，考查了奇函数的图像的对称性，属于中档题.四、解答题13判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)【

25、答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数(2)偶函数(3)既是奇函数也是偶函数(4)奇函数【分析】（1）确定函数的定义域，并判断其定义域不关于坐标原点对称；（2）根据奇偶函数的定义进行判断，可得 ，即可判断；（3）根据奇偶函数的定义进行判断，判断出两个点在轴上；（4）根据可判断其奇偶性.(1)（1）函数的定义域是，关于坐标原点不对称既不是奇函数也不是偶函数(2)函数的定义域为，关于坐标原点对称又为偶函数(3)函数的定义域为，关于坐标原点对称，既是奇函数也是偶函数(4)的定义域为，为奇函数14已知函数，（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；（3）求不等式的解集.【答案】（1）；（

26、2）函数为奇函数；（3）.【分析】（1）真数位置大于0，得到的取值范围；（2）得到，然后判断与的关系，从而得到函数的奇偶性；（3）根据题意得到关于的不等式，从而得到的解集.【详解】解：（1）真数部分大于零，即解不等式，解得,函数的定义域为.（2）函数为奇函数，证明：由第一问函数的定义域为，所以函数为奇函数.（3）解不等式，即即，从而有， 所以.不等式的解集为.【点睛】本题考查函数的定义域，奇偶性，根据函数的性质解不等式，属于简单题.15设设函数.(1)若，判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明；(2)若函数为奇函数，且对恒成立，求的取值范围.【答案】(1)在上单调递增，证明见解析(2)【分析

27、】(1)求出a的值，利用定义证明函数单调性的方法和步骤证明即可；(2)求出a的值，再判定函数的单调性，借助奇偶性及单调性脱去法则“f”，转化为恒成立的不等式即可得解.(1)函数中，由得，则，函数在区间上的单调递增，设且，则，因，则，即，于是得，即，所以函数在上单调递增.(2)因函数为奇函数，则，即，即有对任意成立，于是得，函数在上递减，当时，而，又，于是得，因此有对恒成立，又在单调递增，当时，则，所以.16是定义在上的函数，对一切都有且（1）求；（2）判断函数的奇偶性【答案】(1)(2)偶函数【分析】（1）取，得到（2）取得到，即得到答案.【详解】（1）取，则 （2）取得到，即 函数为偶函数【点睛】本题考查了求函数的值和函数奇偶性的判断，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.