专题20 新定义型二次函数问题（重点突围）(解析版).docx

1、专题20 新定义型二次函数问题【中考考向导航】目录【直击中考】1【考向一 新定义型二次函数问题】1【直击中考】【考向一 新定义型二次函数问题】例题：（2023秋江西南昌九年级南昌市第十七中学校考期末）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：(1)已知抛物线经过点，则b ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点成中心对称的抛物线表达式是 抽象感悟：我们定义：对于抛物线，以y轴上的点为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围问题解决：(3)已知抛物线若抛

2、物线y的衍生抛物线为，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；若抛物线y关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为，（为正整数）求的长（用含n的式子表示）【答案】(1)；(2)(3)；衍生中心的坐标为；【分析】（1）把代入 即可求出，然后把抛物线解析式变为顶点式即可求得抛物线的顶点坐标，继而可得顶点关于的对称点，从而可写出原抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式；（2）先求出抛物线 的顶点是，从而求出 关于的对称点是，得 ，根据两抛物线有交点，可以确定方程 有解，继而求得的取值范围即可；（3）先求出抛物线以及抛物

3、线的衍生抛物线为，的顶点坐标，根据两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求的值及再根据中点坐标公式即可求出衍生中心的坐标；根据中心对称，由题意得出 ， 分别是 ， 的中位线，继而可得 ， ， ，再根据点的坐标即可求得的长，即可求解【详解】（1）解：把代入，得，顶点坐标是，关于的对称点，成中心对称的抛物线表达式是：，即 ，故答案为：，；（2） ， 顶点是关于的对称点是， ， 两抛物线有交点， 有解， 有解， ， ；（3），顶点，代入 得：，顶点，代入 得：由 得 ， ， ， 两顶点坐标分别是，由中点坐标公式得“衍生中心”的坐标是；如图，设，与轴分别相于，则，分别关于， 中心对称， ， 分别是

4、， 的中位线， ， ， ， ， ，【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，理解题意，画出符合题意的图形借助数形结合思想解决问题是关键【变式训练】1（2022秋浙江绍兴九年级校考阶段练习）定义：同时经过x轴上两点的两条抛物线称为同弦抛物线如抛物线与抛物线是都经过的同弦抛物线(1)引进一个字母，表达出抛物线的所有同弦抛物线；(2)判断抛物线与抛物线是否为同弦抛物线，并说明理由；(3)已知抛物线是的同弦抛物线，且过点，求抛物线对应函数的最大值或最小值【答案】(1)(2)不是，理由见解析(3)【分析】（1）由题意可直接得出抛物线的所有同弦抛物线为；（2）将抛物线的表达式化为交点式，即得出其与x轴的交点

5、坐标，再根据“同弦抛物线”的定义，即可得出结论；（3）由题意可设抛物线的函数表达式为，再将点的坐标代入，求出a的值，得出抛物线的函数表达式，化为顶点式，即可得出答案【详解】（1）引进一个字母a，则抛物线的所有同弦抛物线可表示为；（2）不是理由如下：，抛物线与x轴交于点为，抛物线与抛物线不是同弦抛物线；（3）抛物线与抛物线是同弦抛物线，抛物线的函数表达式为把点的坐标代入，得：解得：抛物线的函数表达式为，抛物线有最小值，最小值为【点睛】本题考查新定义，二次函数与x轴的交点，二次函数的图象和性质解题的关键是理解题意，掌握“同弦抛物线”的定义是解题关键2（2022九年级单元测试）小明在课外学习时遇到这

6、样一个问题：定义：如果二次函数，是常数）与，是常数）满足，则称这两个函数互为“旋转函数”求函数的“旋转函数”小明是这样思考的：由函数可知，根据，求出，就能确定这个函数的“旋转函数”请参考小明的方法解决下面的问题：(1)写出函数的“旋转函数”；(2)若函数与互为“旋转函数”，求的值；(3)已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、关于原点的对称点分别是、，试证明经过点、的二次函数与函数互为“旋转函数”【答案】(1)(2)1(3)见解析【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出，从而得到原函数的“旋转函数”；（2）根据“旋转函数”的定义得到，再解方程组求出和的值，然后根据乘方的意义计算；（3）先

7、根据抛物线与坐标轴的交点问题确定，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到，则可利用交点式求出经过点，的二次函数解析式为，再把化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行判断【详解】（1）解：，函数的“旋转函数”为；（2）解：根据题意得，解得，；（3）证明：当时，则，当时，解得，则，点、关于原点的对称点分别是，设经过点，的二次函数解析式为，把代入得，解得，经过点，的二次函数解析式为，而，经过点、的二次函数与函数互为“旋转函数”【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力3（2021

8、秋湖北武汉九年级统考期中）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”例如：的“同轴对称抛物线”为(1)请写出抛物线的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”的顶点坐标 ；写出抛物线的“同轴对称抛物线”为 (2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接、，设四边形的面积为当四边形为正方形时，求a的值当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围【答案】(1)，(2)a；或【分析】（

9、1）根据顶点式的顶点坐标为；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；（2）写出点B的坐标，再由对称轴求出点，然后结合正方形的性质列出方程求 a；先由对称性分析得到封闭区域内在x轴上整点的个数，然后针对抛物线L开口的不同进行分类讨论【详解】（1）解：由知顶点坐标为，由知顶点坐标为，抛物线的“同轴对称抛物线”为；故答案为：，（2）当时，抛物线L的对称轴为直线，点，四边形是正方形，即，解得：（舍）或抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为，L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，整点数也是关于x轴对称出现的，封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，（i）当时，

10、L开口向上，与y轴交于点，封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，当时，当时，解得：；（ii）当时，L开口向下，与y轴交于点，封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，当时，当时，解得：，综上所述：或【点睛】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”4（2023全国九年级专题练习）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系中，对于一个动点，若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”例如，将点（m为任意实数

11、）“去隐”的方法如下：设，由得将代入得，整理得，则直线是点M的运动路径【迁移应用】在平面直角坐标系中，已知动点（a为任意实数）的运动路径是抛物线(1)请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；(2)记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线始终过点A，点C的对应点为）试确定点运动路径所对应的函数表达式；）在直线的左侧，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)）；）或【分析】（1）设，可得；（2）设抛物线的解析式为，由，可得；）在上，则C点关于直线的对称点为，此时，为等腰三角形；

12、设，当时，；当时，只能在右侧不符合题意【详解】（1）解：设，由得，将代入得；（2）解：，令，则，解得或，点A在B的左侧，）设抛物线的解析式为，平移后的抛物线过点，令，；）存在点，使为等腰三角形，理由如下：在上，点关于直线的对称点为，此时，为等腰三角形；设，当时，整理得：，解得或（舍），；当时，只能在右侧，此时不符合题意；综上所述：点的坐标为或【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，理解定义，将所求问题转化为二次函数问题是解题的关键5（2022秋湖南长沙九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）定义若抛物线（）与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线

13、”，其交点为该直线的“幸运点”(1)已知直线解析式为，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是_；（填序号）；(2)如图，已知直线l：，抛物线为直线l的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为、，在直线l上方抛物线部分是否存在点使面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点坐标，若不存在，请说明理由；(3)已知x轴的“双幸运曲线”（）经过点（1，3），（0，），在x轴的“幸运点”分别为、，试求的取值范围【答案】(1)(2)存在，最大面积为此时(3)【分析】（1）分别联立一次函数与抛物线的解析式，再判断方程组的解的个数得到函数图象的交点个数，结合新定义可得答案；（2）如图，过作轴交于点先求解A，B的坐标，再设

14、则可得再利用面积公式列二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案；（3）先求解则抛物线为：再结合抛物线与x轴有两个交点，可得再利用，结合二次函数的性质可得答案【详解】（1）解：联立即方程无解，两个函数图象没有交点，根据定义：抛物线不为该直线的“双幸运曲线”；同理：由可得：方程有两个不相等的实根，两个函数有两个交点，抛物线为该直线的“双幸运曲线”；由可得：解得：方程有两个相等的实根，两个函数有1个交点，抛物线不为该直线的“双幸运曲线”；故选（2）存在，理由如下：如图，过作轴交于点联立解得：设则当时，面积最大，最大面积为此时（3）（）经过点（1，3），（0，），解得：抛物线为：令则结合题意可得方程

15、有两个不相等的实根，解得，当时，最小，为，当时，最大，为【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的交点问题，新定义的理解，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质，熟练构建函数，再利用函数的性质解决问题是关键6（2022湖南湘西统考中考真题）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图，抛物线C1：yx2+2x3与抛物线C2：yax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，1）(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标(2)点M

16、是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MNx轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值(3)如图，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)yx2+x1，G（0，3）(2)(3)存在，（2，0）或（2，0）【分析】（1）将A（3，0）、H（0，1）代入yax2+2ax+c中，即可求函数的解析式（2）设M（t，t2+2t3），则D（t，），N（t，0），分别求出MN，DM，再求比值即可（3）先求出E（2，1），设F（x，0），分来两种情况讨论：当EGEF时，

17、可得F（2，0）或（2，0）；当EGFG时，2，F点不存在【详解】（1）解：将A（3，0）、H（0，1）代入yax2+2ax+c中，解得，yx2+x1，在yx2+2x3中，令x0，则y3，G（0，3）（2）设M（t，t2+2t3），则D（t，），N（t，0），NMt22t+3，（3）存在点F，使得EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得yx2+2x3的对称轴为直线x1，E点与H点关于对称轴x1对称，E（2，1），设F（x，0），当EGEF时，G（0，3），EG2，2，解得x2或x2，F（2，0）或（2，0）；当EGFG时，2，此时x无解；综上所述：F点坐标为（2，0）或（2，0）

18、【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键7（2022秋安徽淮北九年级淮北市第二中学校联考阶段练习）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点，他们把这个点定义为点的“简朴”点他们发现：二次函数所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“简朴曲线”例如，二次函数的“简朴曲线”就是，请按照定义完成：(1)点的“简朴”点是_；(2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“简朴曲线”；(3)已知抛物线图象上的点的“简朴点

19、”是，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为，当时，求的取值范围【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题目中给出的信息解答即可；（2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“简朴曲线”即可；（3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“简朴曲线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当0c3时，n的取值范围即可（1）解：根据题意可知，点A(x，y)的“简朴”点是，点P（1，2）的“简朴”点的纵坐标为1+2=3，即故答案为：（2）将点M（1

20、，-3）代入抛物线得：，解得：，即抛物线的解析式为，抛物线的“简朴曲线”为，即（3）根据题意可知，点是点B（x，y）的“简朴”点，解得：，即，将点代入抛物线得：，则，抛物线为，抛物线的“简朴曲线”为：，即其顶点坐标为（m，n），将n看作c的函数，时，n有最大值，且最大值为1，当0c3时，n有最小值，且最小值为，当0c3时，n的取值范围是【点睛】本题主要考查了新定义下的二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键8（2022春九年级课时练习）定义：若二次函数的图象记为，其顶点为，二次函数的图象记为，其顶点为，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”分类一：若二次函数经过的顶

21、点B，且经过的顶点A，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”(1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是_命题（填“真”或“假”）(2)试求出的“反顶伴侣二次函数”(3)若二次函数与互为“反顶伴侣二次函数”，试探究与的关系，并说明理由(4)分类二：若二次函数可以绕点M旋转180得到二次函数；，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是_命题（填“真”或“假”）互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？如图，互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且轴，当四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数，的顶点有什么关系并说明理由【答案】(1)假(2

22、)(3)见解析(4)真；见解析；见解析【分析】（1）根据题意举反例验证求解即可；（2），则“反顶伴侣二次函数”为，再将（2，1）代入求出a值，即可得出解析式；（3）根据题意，分别表示出过顶点坐标的函数解析式，进行相加化简即可得出结果；（4）由旋转的性质，找到对称中心M，可知对于任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”；利用A，B坐标求出中点M的坐标，进而得出结论；根据矩形的性质和平行的性质，得出ABy轴，进而得出A，B点的坐标均为（h，h），最后得出结论【详解】（1）解：令的顶点坐标A为（1，4），开口向上，则的顶点坐标B为（4，1），此时C1不经过B（4，1），所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数

23、”是假命题故答案为：假（2）解：，则“反顶伴侣二次函数”为，由题意，得将（2，1）代入，得，解得a=-1，的“反顶伴侣二次函数”为（3）解：二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，+，得，当h=k时，与任意非零实数；当hk时，=0（4）解：如图A，B的中点为M，对称中心为M，任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”故答案为：真；M为A，B的中点，M的坐标为，即M在直线y=x上解：轴，四边形EFQG为矩形，ABy轴，h=k，即A，B的坐标均为（h，h），A，B两点重合在直线y=x上【点睛】本题考查二次函数的性质，以及矩形的性质，读懂题意，理解新定义是解决问题的关键9（2022全国九年级专题练习）定义：

24、将二次函数l的图象沿x轴向右平移t，再沿x轴翻折，得到新函数l的图象，则称函数l是函数l的“t值衍生抛物线”已知l：yx22x3(1)当t2时，求衍生抛物线l的函数解析式；如图1，函数l与l的图象交于M（，n），N（m，2）两点，连接MN点P为抛物线l上一点，且位于线段MN上方，过点P作PQy轴，交MN于点Q，交抛物线l于点G，求SQNG与SPNG存在的数量关系(2)当t2时，如图2，函数l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC函数l与x轴交于D，E两点，与y轴交于点F点K在抛物线l上，且EFKOCA请直接写出点K的横坐标【答案】(1)；(2)点K的横坐标为4或【分析】（1）利用抛物线

25、的性质和衍生抛物线的定义解答即可；利用待定系数法求得直线MN的解析式，设P（m，m22m+3），则得到Q（m，2m），G（m，m22m3），利用m的代数式分别表示出PQ，QG的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论；（2）利用函数解析式求得点A，B，C，D，E，F的坐标，进而得出线段OA，OC，OD，OE，AC，OF的长，设直线FK的解析式为ykx5，设直线FK交x轴于点M，过点M作MNEF于点N，用k的代数式表示出线段OMFM，ME的长，利用EFKOCA，得到sinEFKsinOCA，列出关于k的方程，解方程求得k值，将直线FK的解析式与衍生抛物线l的函数解析式联立即可得出结论

26、(1)解：yx22x3（x1）24，当t2时，将二次函数l的图象沿x轴向右平移t个单位得：y（x+1）24此时函数的顶点坐标为（1，4）再沿x轴翻折，得到新函数的顶点坐标为（1，4）沿x轴翻折，得到新函数的形状大小不变，开口方向相反，沿x轴翻折，得到新函数的解析式为y（x+1）2+4衍生抛物线l的函数解析式为yx22x+3；M（，n），N（m，2）两点在抛物线yx22x3上，n2，mM（，2），N（，2）直线MN的解析式为y2x如图，设P（m，m22m+3），PQy轴，Q（m，2m），G（m，m22m3）PQ（m22m+3）（2m）m2+3，QG（2m）（m22m3）m2+3，PQQGQGPG

27、PNG与QNG高相等，SQNG与SPNG存在的数量关系：；(2)解：点K的横坐标为4或理由：当t2时，函数l的衍生抛物线l的函数解析式为y（x3）2+4x2+6x5令x0，则y5，F（0，5）OF5令y0，则x2+6x50，解得：x1或5D（1，0），E（5，0）OE5OFOEOFEOEF45令x0，则y3，C（0，3）OC3令y0，则x22x30，解得：x1或3A（1，0）OA1AC设直线FK交x轴于点M，过点M作MNEF于点N，如图，设直线FK的解析式为ykx5，令y0，则x，M（，0）OM，FMMEOEOM5MNEF，OEF45，MNNE（5）EFKOCA，sinEFKsinOCAsin

28、MFE，解得：k2或直线FK的解析式为y2x5或yx5或或点K的横坐标为4或【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法求得一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，配方法求抛物线的顶点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键10（2022秋浙江九年级专题练习）定义：关于轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”例如：的“镜像抛物线”为(1)请写出抛物线的顶点坐标_，及其“镜像抛物线的顶点坐标_写出抛物线的“镜像抛物线”为_(2)如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“镜像抛物线”于点

29、，分别作点，关于抛物线对称轴对称的点，连接，当四边形为正方形时，求的值求正方形所含（包括边界）整点个数（说明：整点是横、纵坐标均为整数的点）【答案】(1)(2，-4)；(2，4)；(2)；9个【分析】（1）根据抛物线解析式即可直接得出其顶点坐标，再根据“镜像抛物线”的定义即可得出抛物线的“镜像抛物线”解析式；（2）根据题意可用a表示出B点坐标和C点坐标，再根据抛物线的对称性结合其对称轴即可用a表示出B点坐标，由此可用a表示出BC的长，再求出BB的长，最后根据正方形的性质可知BC=BB，由此即得出关于a的方程，解出a再舍去不合题意的值即可；根据可知抛物线L解析式为，即得出(1，-1)，(3，-1

30、)，(1，1)，(3，1)再根据整点的概念即可得解【详解】（1）解：由知顶点坐标为(2，-4)，由知顶点坐标为(2，-4)，抛物线的“镜像抛物线”为故答案为：(2，-4)，(2，-4)，；（2）解：当x1时，y1-3a，B (1，1-3a)，C(1，3a-1)，BC=|1-3a-(3a-1) |=|2-6a|，抛物线L的对称轴为直线，点B(3，1-3a)，BB=3-1=2四边形BBCC是正方形，BC=BB，即|2-6a|2，解得：a0（舍）或；根据可知抛物线L解析式为，当时，当时，(1，-1)，(3，-1)根据L与“镜像抛物线”关于x轴对称，其点也关于x轴对称，(1，1)，(3，1)如图，整点个数有(1，1)，(2，1)，(3，1)，(1，0)，(2，0)，(3，0)，(1，-1)，(2，-1)，(3，-1)共9点【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正方形的性质，两点的距离公式解题的关键是读懂题意理解“镜像抛物线”和“整点”的概念