专题21 直角三角形存在性问题巩固练习（提优）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.docx

1、直角三角形存在性问题巩固练习1如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，8），点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（t0）（1）若反比例函数y=mx图象经过P点、Q点，求a的值；（2）若OQ垂直平分AP，求a的值；（3）当Q点运动到AB中点时，是否存在a使OPQ为直角三角形？若存在，求出a的值，若不存在请说明理由；【分析】（1）先用t表示出P、Q两点的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特点即可得出结论；（2）先根据OQ垂直平分AP得出OPOA，求出t的值，再由PQQA即可得出a的值

2、；（3）分OPQ90与POQ90两种情况进行分类讨论【解答】解：（1）A（10，0），C（0，8），点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，P（t，8），Q（10，at），反比例函数y=mx图象经过P点、Q点，8t10at，解得a=45；（2）OQ垂直平分AP，OPOA，PQQA，t2+82=10，解得t6，Q（10，6a），P（6，8），PQQA，（106）2+（6a8）2（6a）2，解得a=56；（3）如图，Q为AB的中点，Q（10，4），P（t，8）当OPQ90时，OP2+PQ2OQ2，即t2+82+（10t）2+4

3、2102+42，整理得，t210t+320，（10）2432100128280，此方程无解，即此种情况不存在；当PQO90时，OQ2+PQ2OP2，即102+42+（10t）2+42t2+82，整理得，20t168，解得t=425，AQ4，at4，即425a4，解得a=1021【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、直角三角形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论2如图，抛物线yax2+bx4（a0）与x轴交于A（4，0）、B（1，0）两点，过点A的直线yx+4交抛物线于点C（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置

4、时，使BDE的周长最小，求此时E点坐标；（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线ACBDA上运动时，是否存在使BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先判断出周长最小时BEAC，即作点B关于直线AC的对称点F，连接DF，交AC于点E，联立方程组即可；（3）三角形BDE是直角三角形时，由于BDBG，因此只有DBE90或BDE90，两种情况，利用直线垂直求出点E坐标【解答】解：（1）抛物线yax2+bx4（a0）与x轴交于A（4，0）、B（1，0）两点，16a+4b-4=0a-b-4=0，a=1b

5、=-3，抛物线解析式为yx23x4，（2）如图1，作点B关于直线AC的对称点F，连接DF交AC于点E，由（1）得，抛物线解析式为yx23x4，D（0，4），点C是直线yx+4与抛物线的交点，联立解得，x=4y=0（舍）或x=-2y=6，C（2，6），A（4，0），直线AC解析式为yx+4，直线BFAC，且B（1，0），直线BF解析式为yx+1，设点F（m，m+1），G（m-12，m+12），点G在直线AC上，-m-12+4=m+12，m4，F（4，5），D（0，4），直线DF解析式为y=94x4，直线AC解析式为yx+4，直线DF和直线AC的交点E（3213，2013），（3）BD=17，由（

6、2）有，点B到线段AC的距离为BG=12BF=1252=522BD，B（1，0），D（0，4），直线BD解析式为y4x4，BDE为直角三角形，DBE90，BEBD交AC于E，直线BE解析式为y=14x+14，点E在直线AC：yx+4的图象上，E（3，1），BDE90，DEBD交抛物线于E，直线DE的解析式为y=14x4，点E在抛物线yx23x4上，直线DE与抛物线的交点为（0，4）和（134，-5116），E（134，-5116），即：满足条件的点E的坐标为E（3，1）或（134，-5116）【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值，对称性，直角三角形的性质，解本题的关键是求函

7、数图象的交点坐标3如图，平面直角坐标系中，点A是反比例函数y1=kx（x0）的图象上一点，一次函数y2x+2的图象经过点A，交y轴于点B，AOB的面积是3（1）求点A的坐标及反比例函数解析式；（2）观察图象，当y1y2时，直接写出x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点P，使ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由【分析】（1）在y2x+2中，令x0，则y22，得到B（0，2），根据三角形的面积SAOB3，求得A（3，1），由点A是反比例函数y1=kx（x0）的图象上，得到k3，于是得到结论；（2）根据图象即可得到x的取值范围；（3）设P（0，a），当APB90，由A

8、PPB，根据点A的坐标即可得到 P1（0，1），当PAB90，由勾股定理和两点间的距离得到方程32+（a+1）2+32+32（2a）2，于是得到结论【解答】解：（1）在y2x+2中，令x0，则y22，一次函数y2x+2的图象与y轴相交于点B，B（0，2），又SAOB3，设A（m，n），122m3，m3，将其代入y2x+2中得n1，A（3，1），点A是反比例函数y1=kx（x0）的图象上，k3，反比例函数解析式为：y=-3x；（2）由图象知：当y1y2时，x3；（3）存在，设P（0，a），当APB90，则APPB，P1（0，1），当PAB90，则AP2+AB2PB2，即32+（a+1）2+32+

9、32（2a）2，a4，P2（0，4），综上所述：P（0，1），（0，4）【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两个函数的解析式，两点间的距离公式，弄清题意，正确的识别图形是解题的关键4如图，二次函数y=12(x-3)2-1的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OECD，垂足为H，OE与该图象的对称轴交于点E，连接AE，AD，求DAE的大小；（3）设点E关于点D的对称点为F，分别以E，F为圆心，1为半径作两个圆，该二次函数的图象上是否存在一点P，使得过P向两个圆各作

10、一条切线PM，PN（M，N为切点），且PM，PN刚好可以作为一个斜边为4的直角三角形的两条直角边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）令y0，即可求出点A、B坐标，根据顶点式可以知道点D坐标（2）先求出直线CD解析式，根据OECD求出直线OE解析式，再求出点E坐标，利用两点间距离公式求出线段AE2，AD2，DE2，由勾股定理的逆定理证明EAD是直角三角形即可解决问题（3）存在设点P为（m，n），求出PM2，PN2，根据PM2+PN242，列出方程即可解决问题【解答】解：（1）令y0，则12（x3）210，解得x32，点A坐标（3-2，0），点B坐标（3+2，0），令x0则

11、y=72，点C坐标（0，72），顶点D坐标（3，1）（2）设直线CD解析式为ykx+b，则3k+b=-1b=72解得k=-32b=72，直线CD解析式为y=-32x+72，OECD，直线OE解析式为y=23x，x3时，y2，点E坐标（3，2），AE2（2）2+226，AD2（2）2+123，DE2329，AE2+AD2DE2，EAD90（3）存在理由：由题意E（3，2），F（3，4），设点P为（m，n），点P在抛物线上，n=12（m3）21 PM2PE212（m3）2+（n2）21，PN2PF212（m3）2+（n+4）21，PM2+PN242，（m3）2+（n2）21+（m3）2+（n+4）

12、2142，整理得到（m3）2+（n+1）20 由得到m3，n1，点P坐标（3，1）【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数两点间距离公式、勾股定理、非负数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握求抛物线与坐标轴的交点，学会理由参数解决问题，本题有一定的代数技巧，巧用非负数的性质这个突破口，属于中考压轴题5如图所示，抛物线yx2+bx+c与直线yx1交于A、B两点，点A的纵坐标为4，点B在y轴上，直线AB与x轴交于点F，点P是线段AB下方的抛物线上一动点，横坐标为m，过点P作PCx轴于C，交直线AB于D（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，线段PD的长度取得最大值，其最大值是多少？（3）是否存在

13、点P，使PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）由直线方程得到点A、B的坐标，然后把点A、B的坐标代入二次函数解析式列出关于系数的方程组，通过解方程组来求系数的值即可；（2）根据直线上点坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征得到：P（m，m2+4m1），D（m，m1）所以由两点间的距离和二次函数的最值的求法进行解答即可；（3）如图2，当APD90时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由APDFCD列出比例式求解即可；如图3，当PAD90时，作AEx轴于E，根据比例式表示出AD，再由PADFEA列出比例式求解【解答】解：（1）yx1交于A、B两点，当x0时，

14、y1，即B（0，1）当y4时，x3，即a（3，4）抛物线yx2+bx+c与直线yx1交于A、B两点，-1=c-4=9-3b+c，解得b=4c=-1，则该抛物线的解析式为：yx2+4x1；（2）点P的横坐标是m，且点P在抛物线yx2+4x1上，PCx轴，P（m，m2+4m1），D（m，m1）点P在线段AB的下方，3m0，PD14mm21+m3mm2（m+32）2+94当m=-32时，线段PD取得最大值，最大值是94（3）如图1所示：当APD90，设P（m，m2+4m1），D（m，m1）APm+3，CD1m，OCm，CP14mm2，PD14mm21+m3mm2在直线yx1中，当y0时，x1，F（1

15、，0），OF1，CF1m，AF42PCx轴于C，PCFAPD，CFAP，APDFCD，APCF=DPCD，即m+31-m=-3m-m21-m，解得m1或m3（舍去），P（1，4）如图2所示：当PAD90时，作AEx轴于E，AEF90，CEm+3，EF4，AF42，PDm1（1+4m+m2）3mm2PCx轴，DCF90，DCFAEF，AECD43+m=42AD，AD=2（3+m）PADFEA，PDFA=ADAE，即-3m-m242=2(3+m)4m2或m3（舍去）P（2，5）当APD90时点A与点P关于对称轴对称A（3，4）P（1，4）综上，存在点P（2，5）或P（1，4）使PAD是直角三角形【

16、点评】本题考查了二次函数综合题解题过程中，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离以及相似三角形的判定与性质，综合性比较强，难度较大解题过程中，还有注意m的取值范围，才能正确求得点P的坐标6如图1，一次函数yx+10的图象交x轴于点A，交y轴于点B以P（1，0）为圆心的P与y轴相切，若点P以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移，同时P的半径以每秒增加1个单位的速度不断变大，设运动时间为t（s）（1）点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（0，10），OAB45；（2）在运动过程中，点P的坐标为（1+2t，0），P的半径为1+t（用含t的代数式表示）；（

17、3）当P与直线AB相交于点E、F时如图2，求t=52时，弦EF的长；在运动过程中，是否存在以点P为直角顶点的RtPEF，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由（利用图1解题）【分析】（1）利用待定系数法求出点A、B的坐标，即可解决问题（2）根据题意可得P（1+2t，0），O半径为1+t（3）如图1中，作PKAB于K，连接PE在RtAPK中，由PKA90，PAK45，PA4，推出PK=22PA22，在RtPEK中，根据EK=PE2-PK2计算即可分两种情形a、如图2中，当点P在点A左侧时，点F与点A重合时，EPF90；b、如图3中，当点P在点A右侧时，点F与点A重合时，EPF90分别列出方程

18、求解即可，【解答】解：（1）yx+10的图象交x轴于点A，交y轴于点B，A（10，0），B（0，10），OAOB10，AOB90，OABOBA45，故答案分别为（10，0），（0，10），45（2）由题意P（1+2t，0），O半径为1+t，故答案分别为（1+2t，0），1+t（3）如图1中，作PKAB于K，连接PE当t=52时，P（6，0），半径为3.5，在RtAPK中，PKA90，PAK45，PA4，PK=22PA22，在RtPEK中，EK=PE2-PK2=172，EF2EK=17存在a、如图2中，当点P在点A左侧时，点F与点A重合时，EPF90OP+PAOA，1+2t+1+t10，t=83

19、b、如图3中，当点P在点A右侧时，点F与点A重合时，EPF90由OPPFOA，1+2t（1+t）10，t10，综上所述，t=83s或10s时，存在以点P为直角顶点的RtPEF【点评】本题考查圆的综合题、垂径定理、等腰直角三角形的性质、一次函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会分类讨论，学会利用方程的思想思考问题，属于中考常考题型7如图，A，B是直线yx+4与坐标轴的交点，直线y2x+b过点B，与x轴交于点C（1）求A，B，C三点的坐标；（2）点D是折线ABC上一动点当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，用直尺和圆规画出点E的位置（保留作图痕迹，不要求写作

20、法和证明），并求E点的坐标是否存在点D，使ACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）先利用一次函数图象上点的坐标特点求得点A、B的坐标；然后把B点坐标代入y2x+b求出b的值，确定此函数解析式，然后再求C点坐标；（2）根据轴对称最短路径问题求得点E的位置，由待定系数法确定直线DB1的解析式为y3x4，易得点E的坐标；存在分两种情况：当点D在AB上时，当点D在BC上时当点D在AB上时，不难得BAC45，由等腰直角三角形求得D点的坐标为（1，3）；当点D在BC上时，设AD交y轴于点F证AOF与BOC全等，得OF2，点F的坐标为（0，2），求得直线AD的解析式

21、为y=12x+2，与y2x+4组成方程组，求得交点D的坐标为（45，125）【解答】解：（1）在yx+4中，令x0，得y4，令y0，得x4，A（4，0），B（0，4）把B（0，4）代入y2x+b，得b4直线BC为：y2x+4在y2x+4中，令y0，得x2，C点的坐标为（2，0）；（2）如图点D是AB的中点，A（4，0），B（0，4）D（2，2）点B关于x轴的对称点B1的坐标为（0，4）设直线D B1的解析式为ykx+b把D（2，2），B1（0，4）代入，得-2k+b=-2b=-4解得k3，b4故该直线方程为：y3x4令y0，得E点的坐标为（-43，0）存在，D点的坐标为（1，3）或（45，12

22、5）附：当点D在AB上时，由OAOB4得到：BAC45，由等腰直角三角形求得D点的坐标为（1，3）；当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F在AOF与BOC中，FAO=CBOAO=BOAOF=BOC AOFBOC（ASA）OFOC2，点F的坐标为（0，2），易得直线AD的解析式为y=12x+2，与y2x+4组成方程组y=12x+2y=-2x+4，解得x=45y=125交点D的坐标为（45，125）【点评】本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第（2）题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，列比例式可解决问题8如图，抛

23、物线y（xm）2+n的顶点P在直线y2x上，该抛物线与直线的另一个交点为A，与y轴的交点为Q（1）当mn1时，求m的值；（2）当AQx轴时，试确定抛物线的解析式；（3）随着顶点P在直线y2x上的运动，是否存在直角PAQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）由抛物线的顶点在y2x上可知n2m，然后由mn1可求得m的值；（2）先求得点Q、点A的坐标（用含m的式子表示），然后根据平行与x轴的直线上所有点的纵坐标相等列出关于m的方程，从而可求得m的值；（3）先求得直线AQ、PQ的一次项系数“k”的值（用含m的式子表示），然后依据相互垂直的两条直线的一次项系数的乘积是1，分别列

24、出关m的方程求解即可【解答】解：（1）抛物线的解析式为y（xm）2+n，P（m，n）顶点P在直线y2x上，n2m又mn1，m2m1解得：m1（2）n2m，抛物线的解析式为y（xm）2+2m当x0时，ym2+2m，点Q的坐标为（0，m2+2m）由y（xm）2+2m与y2x得：2x（xm）2+2m，解得：x1m，x2m+2当xm时，y2m，即点P的坐标为（m，2m），当xm+2时，y2m+4，即点A的坐标为（m+2，2m+4）AQx轴，m2+2m2m+4，解得：m2或m2当m2时，点A与点Q与原点重合，与AQx轴不符，m2不合题意m2抛物线的解析式为y（x2）2+4（3）Q（0，m2+2m），P（

25、m，2m），A（m+2，2m+4），直线AQ的一次项系数=2m+4-(m2+2m)m+2-0=-m+2，直线PQ的一次项系数=2m-(m2+2m)m-0=-m当AQP90时，m（m+2）1，解得m1m21，则P（1，2）；当APQ90时，m21，解得m=12，则P（12，1）；当PAQ90时，（m+2）21，解得m=52，则P（52，5）综上所述，点P的坐标为（1，2）或（12，1）或P（52，5）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，依据平行与x轴的直线上所有点的纵坐标相等、相互垂直的两条直线的一次项系数的乘积是1列出关于m的方程是解题的关键9如图，当x2时，抛物线yax2+bx+c取

26、得最小值1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B（1）直接写出抛物线的解析式；（2）若点M（x，y1），N（x+1，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；（3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F设点E的横坐标为x，是否存在x，使线段EF最长？若存在，求出最长值；若不存在，请说明理由；是否存在点E，使DEF是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由当x2时，抛物线yax2+bx+c取得最小值1，可得抛物线yax2+bx+c的顶点坐标为（2，1），即可得yax2+bx+ca

27、（x2）21，又由抛物线与y轴交于点C（0，3），即可求得抛物线的解析式；（2）由y1y2（x24x+3）（x+1）24（x+1）+332x，然后分别讨论当x为何值时，y1与y2的大小；（3）首先求得点A与B的坐标，继而求得直线AC的解析式，再设点E的坐标为：（x，3x），则点F的坐标为：（x，x24x+3），即可求得答案；由EFOC，可得DEF45，则在DEF中只能以点D，F为直角顶点，然后分别求解即可求得答案【解答】解：（1）当x2时，抛物线yax2+bx+c取得最小值1，抛物线yax2+bx+c的顶点坐标为：（2，1），yax2+bx+ca（x2）21，抛物线与y轴交于点C（0，3），4

28、a13，解得：a1，抛物线的解析式为：y（x2）21x24x+3；（2）y1y2（x24x+3）（x+1）24（x+1）+332x，当32x0，即x32时，y1y2；当32x0，即x=32时，y1y2；当32x0，即x32时，y1y2；（3）存在x=32，使线段EF最长令y0，即x24x+30，解得：x11，x23，点A（3，0），点B（1，0），设直线AC的解析式为：ymx+n，则n=33m+n=0，解得：m=-1n=3，直线AC的解析式为：yx+3，线段AC的中点D的坐标为：（32，32），设点E的坐标为：（x，3x），则点F的坐标为：（x，x24x+3），EF（3x）（x24x+3）x2

29、+3x（x-32）2+94，当x=32时，EF最长，其值为94；EFOC，DEF45，则在DEF中只能以点D，F为直角顶点，若以点F为直角顶点，则DFEF，此时DEFACO，DF所在直线为：y=32，由x24x+3=32，解得：x1=4-102，x2=4+1023（不符合题意，舍去），将x=4-102代入yx+3，得点E的坐标为：（4-102，2+102）；若点D为直角顶点，则DFAC，此时DEFOCA，点D为线段AC的中点，DF所在直线过原点O，其关系式为yx，x24x+3x，解得：x1=5-132，x2=5+1323（不符合题意，舍去），将x=5-132代入yx+3，得点E的坐标为：（5-

30、132，1+132）【点评】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题注意方程思想与数形结合思想的应用10如图，已知平行四边形ABCD，ADBD，AD=25，BD2AD，过D点作DEAB于E，以DE为直角边作等腰直角三角形DEF，点F落在DC上，将DEF在同一平面内沿直线DC翻折，所得的等腰直角三角形记为PQR，点R与D重合，点Q与F重合，如图，平行四边形ABCD保持不动，将PQR沿折线DBC匀速平移，点R的移动的速度为每秒5个单位，设运动时间为t，当R与C重合时停止运动（1）当点Q落在BC边上时，求t的值；（2）记PQR与DBC的重

31、叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；（3）当PQR移动到R与B重合时，如图，再将PQR绕R点沿顺时针方向旋转（0360），得到P1Q1R，若直线P1Q1与直线BC、直线DC分别相交于M、N，问在旋转的过程中是否存在CMN为直角三角形，若存在，求出CN的长；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据同角的三角函数设未知数，利用勾股定理求AE、DE的长度，由翻折和平移的性质得到PDDF4，PRRQ4，利用勾股定理求BR的长，从而得到RD的长，根据速度为5求出t；（2）分四种情况分类讨论，当0t125时，如图2，重叠部分是四边形GRQH，根据面积公式求梯形GRQH

32、的面积就是S；当125t4时，如图3，重叠部分是五边形GRNMH，SSPRQSPGHSMNQ，代入面积公式计算即可；如图4，先计算当PQ经过点C时t=143，当4t143时，如图5，重叠部分为四边形GRMH，根据SSPRQSPGHSRMQ，代入求出；当143t6时，如图6，重叠部分为三角形GRC，代入面积公式计算即可；（3）根据旋转的度数，分三种情况讨论：如图7，CNM90，CNPNPC22-2；如图8，CMN90，利用余弦求CN的长；如图9，CNM90，CNPC+PN2+22【解答】解：（1）如图1，当点Q落在BC边上时，点R运动的路程就等于RD的长，ADBD，DEAB，ADBDEA90，t

33、anDAB=BDAD=EDAE，BD2AD，EDAE=2，设AEx，则ED2x，由勾股定理得：x2+（2x）2（25）2，5x220，x12，x22（舍），AE2，DE4，DEF是等腰直角三角形，DEDF4，由翻折得：PDDF4，PRRQ4，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DBCADB90，由平移得：RQDC，BRQBDC，tanBRQtanBDC，BCBD=BQBR=2545=12，设BQx，则BR2x，由勾股定理得：x2+（2x）242，解得：x1=455，x2=-455（舍），BR2x=855，RDBDBR45-855=1255，t=12555=125；（2）分四种情况：由勾股定理

34、得：DCAB=(45)2+(25)2=10，当0t125时，如图2，重叠部分是四边形GRQH，则DR=5t，在RtDGR中，tanCDB=RGDG=12，设RGx，则DG2x，x2+（2x）2（5t）2，解得：xt，RGt，GHPG4t，SS梯形GRQH=12（GH+RQ）GR=12（4t+4）t=-12t2+4t；当125t4时，如图3，重叠部分是五边形GRNMH，同理得：GRt，PGGH4t，DR=5t，RB45-5t，BN=45-5t2，RNDC，RNDC=BRBD，RN10=45-5t245，RN5-54t，NQ4RN45+54t=54t1，过M作MTRQ于T，tanMNQtanRNB

35、=MTNT=RBBN=2，MT2NT，Q45，MTQ90，MTTQ，NT=13NQ=13（54t1）=512t-13，MT2NT=56t-23，SSPRQSPGHSMNQ，=1244-12（4t）2-12（54t1）（56t+23），=-4948t2+296t-13；如图4，当PQ经过点C时，过C作CNPQ于N，同理得：RN=43，NQCN=83，RC=(83)2+(43)2=453，BD+BRBD+BCRC45+25-453=1435，这时t=14535=143；当4t143时，如图5，重叠部分为四边形GRMH，BD+BR=5t，BR=5t45，RC65-5t，cosGRC=RGRC=451

36、0，RG65-5t=4510，RG122t，PG4（122t）2t8，SSPRQSPGHSRMQ，=1244-12（2t8）2-12483，2t2+16t-883；当143t6时，如图6，重叠部分为三角形GRC，由得RG122t，则CG6t，SSGRC=12CGRG=12（122t）（6t）t212t+36；综上所述：S=-12t2+4(0t125)-4948t2+296t-13(125t4)-2t2+16t-883(4t143)t2-12t+36(143t6)（3）存在，分三种情况：如图7，CNM90，DNAG，AGMCNM90，BGP1是等腰直角三角形，BG=42=22，由（1）得：CP2

37、，PNBG22，CNPNPC22-2；如图8，CMN90，BC25，BM22，CM22+25，cosNCM=PCBC=CMCN，225=22+25CN，CN=5（22+25）210+10；如图9，CNM90，PNBG22，PC2，CNPC+PN2+22；综上所述：CN的长为22-2或210+10或2+22【点评】本题是几何变换的综合题，考查了平行四边形、等腰直角三角形的性质；同时还运用了同角的三角函数列比例式求边的长，比利用三角形相似列比例式要简单；在求重叠部分图形的面积时，先确定特殊位置时的t值，根据重叠图形分类讨论解决，利用面积差或和求解11如图，在平面直角坐标系中，ACB90，OC2OB

38、，tanABC2，点B的坐标为（1，0）抛物线yx2+bx+c经过A、B两点（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12DE求点P的坐标和PAB的面积；在直线PD上是否存在点M，使ABM为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）先得AB的解析式为：y2x+2，根据PDx轴，设P（x，x23x+4），则E（x，2x+2），根据PE=12DE，列方程可得P的坐标，先求出点E的坐标，从而得PE2，根据SPABSP

39、AE+SPBE=12PE（xBxA）计算可得；先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标【解答】解：（1）B（1，0），OB1，OC2OB2，C（2，0），RtABC中，tanABC2，ACBC=2，AC3=2，AC6，A（2，6），把A（2，6）和B（1，0）代入yx2+bx+c得：-4-2b+c=6-1+b+c=0，解得：b=-3c=4，抛物线的解析式为：yx23x+4；（2）A（2，6），B（1，0），易得AB的解析式为：y2x+2，设P（x，x23x+4），则E（x，2x+2

40、），PE=12DE，x23x+4（2x+2）=12（2x+2），x1（舍）或1，P（1，6）；在y2x+2中x1时，y4，即E（1，4），则PE2，SPABSPAE+SPBE=12PE（xBxA）=122（1+2）3；M在直线PD上，且P（1，6），设M（1，y），AM2（1+2）2+（y6）21+（y6）2，BM2（1+1）2+y24+y2，AB2（1+2）2+6245，分三种情况：i）当AMB90时，有AM2+BM2AB2，1+（y6）2+4+y245，解得：y311，M（1，3+11）或（1，3-11）；ii）当ABM90时，有AB2+BM2AM2，45+4+y21+（y6）2，y1，M

41、（1，1），iii）当BAM90时，有AM2+AB2BM2，1+（y6）2+454+y2，y=132，M（1，132）；综上所述，点M的坐标为：M（1，3+11）或（1，3-11）或（1，1）或（1，132）【点评】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用12如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边BCD，连接AD交BC于E（1）直接回答：OBC与ABD全等吗？试说明：无论

42、点C如何移动，AD始终与OB平行；（2）当点C运动到使AC2AEAD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1试问：y1上是否存在动点P，使BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y=3x+3m的图象l与M有公共点试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值【分析】（1）利用等边三角形的性质证明OBCABD；证明OBABAD60，可得OBAD；（2）先证明DEBC，再求直线AE与抛物线的交点就是点P，所以分别求直线AE和抛物线y1的解析式组成方程组，求解即可；由OBAD得OBE是直

43、角三角形，所以P与O重合时，满足BEP为直角三角形且BE为直角边；（3）先画出如图3，根据图形画出直线与图形M有个公共点时，两个边界的直线，上方到y=3x，将y=3x向下平移即可满足l与图形M有3个公共点，一直到直线l与y2相切为止，主要计算相切时，列方程组，确定0时，m的值即可【解答】解：（1）OBC与ABD全等，理由是：如图1，OAB和BCD是等边三角形，OBACBD60，OBAB，BCBD，OBA+ABCCBD+ABC，即OBCABD，OBCABD（SAS）；OBCABD，BADBOC60，OBABAD，OBAD，无论点C如何移动，AD始终与OB平行；（2）如图2，AC2AEAD，ACA

44、D=AEAC，EACDAC，AECACD，ECAADC，BADBAO60，DAC60，BEDAEC，ACBADB，ADBADC，BDCD，DEBC，RtABE中，BAE60，ABE30，AE=12AB=1221，RtAEC中，EAC60，ECA30，AC2AE2，C（4，0），等边OAB中，过B作BHx轴于H，BH=22-12=3，B（1，3），设y1的解析式为：yax（x4），把B（1，3）代入得：3=a（14），a=-33，设y1的解析式为：y1=-33x（x4）=-33x2+433x，过E作EGx轴于G，RtAGE中，AE1，AG=12AE=12，EG=12-(12)2=32，E（52，

45、32），设直线AE的解析式为：ykx+b，把A（2，0）和E（52，32）代入得：2k+b=052k+b=32，解得：k=3b=-23，直线AE的解析式为：y=3x23，则y=3x-23y=-33x2+433，解得：x1=3y1=3，x2=-2y2=-43，P（3，3）或（2，43）；由（2）知：OBAD，OBEAEC90，OBE是直角三角形，P在点O处时，也符合条件，综上所述，点P的坐标为：（3，3）或（2，43）或（0，0）；（3）如图3，y1=-33x2+433x=-33（x2）2+433，顶点（2，433），抛物线y2的顶点为（2，-433），y2=33（x2）2-433，直线y=3x

46、+3m和组成图形M的抛物线y1有两个交点或一个交点或没有交点，抛物线y2有两个交点或一个交点或没有交点，要图象M和直线y=3x+3m只有3个交点，则直线y=3x+3m和y1或y2相切，当y2与l相切时，直线l与y2只有一个公共点，即：l与图形M有3个公共点，则y=33(x-2)2-433y=3x+3m，3x+3m=33(x-2)2-433，x27x3m0，（7）241（3m）0，m=-4912，当y1与l相切时，直线l与y1只有一个公共点，l与图形M有3个公共点，y=-33(x-2)2+433y=3x+3m，x2x+3m0，112m0，m=112，当直线经过（0，0）或（4，0）时，也符合题意，此时m0或4当l与M的公共点为3个时，m的取值是：m=-4912或m=112或0或4【点评】本题是二次函数与三角形的综合题，考查了等边三角形的性质、三角形全等和相似的性质和判定、平行线的判定、两函数的交点问题、翻折变换、利用待定系数法求函数的解析式等知识，比较复杂，计算量大，尤其是第三问，利用数形结合的思想有助于理解题意，解决问题