专题22 解直角三角形模型之实际应用模型（原卷版）.docx

1、专题22 解直角三角形模型之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。模型1、背靠背模型 图1 图2 图3 【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键.【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB

2、；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。例1（2023年四川省中考数学真题）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度（结果精确到米；参考数据：，）例2（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的

3、点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米已知目高为米(1)求教学楼的高度(2)若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线例3（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比已知斜坡长度为20米，求斜坡的长（结果精确到米）（参考数据：）例4（2023年山东省菏泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为，楼顶C点处的俯角为，已知点A与大楼

4、的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号）模型2、母子模型 图1 图2 图3 图4【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。【重要等量关系】如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB；如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9如图5，BE+EC= BC； 如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+A

5、F= BG；如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG；如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。例1（2023河北沧州模拟预测）如图1，嘉淇在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点(1)在图1中，过点画出水平线，并标记观测的仰角若铅垂线在量角器上的读数为，求的值；(2)如图2，已知嘉淇眼睛离地米，站在处观测的仰角为（1）中的，向前走米到达处，此时观测点的仰角为，求树的高度（注：，）例2（2023内蒙古统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一

6、条河流的宽度如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，在同一条直线上，其中求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）例3（2023年山东省青岛市中考数学真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排某校组织学生进行综合实践活动测量太阳能路灯电池板的宽度如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆地面上三点D，E与C在一条直线上，该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为此时点A、B与E在一条直线上求太阳能电池板宽的长度（结果精确到参考

7、数据：，）例4（2023年四川省内江市中考数学真题）某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）模型3、拥抱模型 图1 图2 图3 图4【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。【重要等量关系】如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE；如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。例1（2023包河区三模）如图，校园内两栋教学楼AB和CD之间有一棵古树EF，从楼顶C

8、处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角为30，从教学楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的顶部A点，且仰角为53，已知树高EF6米，求DF的长及教学楼AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据：1.73、sin53、cos53、tan53）例2（2022巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB和CD的高度，小明将木杆EF放在楼AB和CD之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G处（A、F、G三点在一条直线上），测得楼AB顶部的仰角AGB30，再将测角仪放在H处（D、F、H三点在一条直线上），测得楼CD顶部的仰角DHC60，同时测得BE15m，CE14m，EG6m（

9、点A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面内，结果精确到0.1米，1.732）（1）求楼AB的高度；（2）求楼CD的高度例3（2023年浙江省湖州市中考数学真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是 米例4（2023年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度如图，塔前有一座高为的观景

10、台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为(1)求的长；(2)设塔的高度为h（单位：m）用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）；求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）课后专项训练1（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（）ABCD2（2022浙江金华中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，则房顶A离地面的高度为（）A B C D3（2023年山东省日照市中考数学真题）日照灯塔是日照海滨港口城市

11、的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，则灯塔的高度大约是（）（结果精确到，参考数据：，）ABCD4（2022黑龙江牡丹江中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30，小明在坡比为512的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60，求山高()A(600250)米 B(600250)米 C(350350)米 D500米5（2022贵州毕节中考真题）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（）ABCD6（2023云南昆明校考模拟预测）为做

12、好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测某学校大门高6.5米，学生身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像头A的仰角为，则体温检测有效识别区域段的长为（）A米B米C10米D5米7（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，某飞机于空中处探测到某地面目标在点处，此时飞行高度米，从飞机上看到点的俯角为飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动当飞机飞行米到达点时，地面目标此时运动到点处，从点看到点的仰角为，则地面目标运动的距离约为 米（参考数据：）8（2

13、023年湖北省黄冈市中考数学真题）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为 米（结果保留根号）9（2023浙江校考三模）如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，且AB2AD2BC现将两扇门推到如图2（图1的平面示意图）的位置，其中，且点A，C，D在一条直线上，测得A，C间的距离为cm，则门宽AD_如图3，已知A30，B60，点P在AB上，且AP54cm，点M是AD上一动点，将点M绕点P顺时针旋转60至M，则CM的最小距离是 _cm10（

14、2023年浙江省绍兴市中考数学真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，(1)求的度数(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由（参考数据：）11（2023年浙江省温州市中考数学真题）根据背景素材，探索解决问题测算发射塔的高度背景素材某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1）他们通过自制的测倾仪（如图2）在，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度

15、问题解决任务1分析规划选择两个观测位置：点_和点_获取数据写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离任务2推理计算计算发射塔的图上高度任务3换算高度楼房实际宽度为米，请通过测量换算发射塔的实际高度注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到112（2023年浙江省丽水市中考数学真题）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道，已知，求管道的总长13（2023年浙江省台州市中考数学真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线，及在黑板上的投影图像高度抽象成如图所示的，黑板上投影图像的高度，与的夹角，求的长（结果精确到1cm参考数据：，）14（2

16、023年浙江省宁波市中考数学真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示(1)如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示(2)如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，求气球离地面的高度（参考数据：，）15（2023年浙江省金华市中考数学真题）问题：如何设计“倍力桥”的结构？图1是搭成的“倍力桥”，纵梁夹住横梁，使得横梁不能移动，结构稳固图是长为，宽为的横梁侧面示意图，三

17、个凹槽都是半径为的半圆圆心分别为，纵梁是底面半径为的圆柱体用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计探究：图是“桥”侧面示意图，为横梁与地面的交点，为圆心，是横梁侧面两边的交点测得，点到的距离为试判断四边形的形状，并求的值探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形，求的值；若有根横梁绕成的环（为偶数，且），试用关于的代数式表示内部形成的多边形的周长16（2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，

18、摄像头高度，识别的最远水平距离(1)身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别(2)身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明（精确到，参考数据）17（2022浙江嘉兴中考真题）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2已知，（结果精确到0.1，参考数据：，）。(1)连结，求线段的长(2)求点A，B之间的距离 18（2022浙江绍兴中考真题）圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，

19、它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米(1)求BAD的度数(2)求表AC的长（最后结果精确到0.1米）（参考数据：sin37，cos37，tan37，tan84）19（2022浙江金华中考真题）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点B，处各安装定

20、日镜（介绍见图3）绕各中心点旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处已知，在点A观测点F的仰角为（1）点F的高度为_m（2）设，则与的数量关系是_20（2023浙江金华校考一模）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1是新金婺大桥的效果图2022年4月13日开始主塔吊装作业如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段为主塔，在离塔顶10米处有一个固定点米在东西各拉一根钢索和，已知等于214米吊装时，通过钢索牵拉，主塔由平躺桥面的位置，绕点O旋转到与桥面垂直的位置中午休息时，此时一名工作人员在离M米的B处，在位于B点正上方的钢索上A点处挂彩旗正好是他的身高米（1）主塔的高度为 _米，（精确到整数米）（2）吊装过程中，钢索也始终处于拉直状态，因受场地限制和安全需要，与水平桥面的最大张角在到之间即，的取值范围是 _（注：，）