专题22函数与平行四边形的存在性问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题22函数与平行四边形的存在性问题解题策略经典例题【例1】（2021春盐湖区校级期末）在平面直角坐标系中，A（1，2），B（4，0）（1）如图1，若四边形OACB为平行四边形，请写出图中顶点C的坐标 （5，2）（2）在平面内是否存在不同于图1的点C，使得以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请在图2中画出满足情况的平行四边形，并在图上直接标出点C的坐标；（3）如图3，在直角坐标系中，P是x轴上一动点，在直线yx上是否存在点Q，使得以O、A、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出满足情况的平行四边形，并求出对应的点Q的坐标，若

2、不存在，说明理由【分析】（1）根据平行四边形的性质对边相等，即可解决问题；（2）存在注意有两种情形点C坐标根据平行四边形的性质即可解决；（3）存在如图3中所示，平行四边形AQ1P1O，平行四边形AOQ2P2，平行四边形AQ1OP2点Q的坐标根据平行四边形的性质即可解决【解答】解：（1）四边形OACB是平行四边形，OBAC，OBAC，A（1，2），B（4，0），AC4，点C坐标（5，2）故答案为：（5，2）（2）存在点C坐标如图2所示，当以AB为边时，点A向右平移3个单位向下平移2个单位得到点B，同样点O向右（左）平移3个单位向下（上）平移2个单位得到点C，点C的坐标为（3，2）或（3，2）；（

3、3）存在设P（x，0），Q（m，m），A（1，2），O（0，0），以OA为对角线时，解得：，Q（2，2）；以OQ为对角线时，解得：，Q（2，2）；以OP为对角线时，解得：，Q（2，2）；综上所述，存在点Q的坐标为（2，2）或（2，2）【例2】（2018春常熟市期末）如图，在ABC中，ACB90，AC4，BC3，点E、F分别在AC，AB上，连接EF（1）将ABC沿EF折叠，使点A落在AB边上的点D处，如图1，若S四边形ECBD2SEDF，求AE的长；（2）将ABC沿EF折叠，使点A落在BC边上的点M处，如图2，若MFCB求AE的长；求四边形AEMF的面积；（3）若点E在射线AC上，点F在边AB上

4、，点A关于EF所在直线的对称点为点P，问：是否存在以PF、CB为对边的平行四边形，若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由【分析】（1）先判断出SABC4SAEF，再求出AB，判断出RtAEFRtABC，得出，代值即可得出结论；（2）先判断出四边形AEMF是菱形，再判断出CMECBA得出比例式，代值即可得出结论；（3）分两种情况，利用平行四边形的性质，对边平行且相等，最后用勾股定理即可得出结论【解答】解：（1）ABC沿EF折叠，折叠后点A落在AB上的点D处，EFAB，AEFDEF，SAEFSDEF，S四边形ECBD2SEDF，SABC4SAEF，在RtABC中，ACB90，AC4，BC3，A

5、B5，EFAB，AFEACB，RtAEFRtABC，即：，AE；（2）ABC沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点M处，AEME，AFMF，AFEMFE，AEFAFE，AEAF，AEEMMFAF，四边形AEMF是菱形，设AEx，则EMx，CE4x，四边形AEMF是菱形，EMAB，CMECBA，x，CM，即：AE，由知，AE，CM，S菱形AEMFAECM；（3）如图3，当点E在线段AC上时，PF与CB是平行四边形的对边，PFCB，PFCB，由对称性知，PFAF，AEPE，PFAFBC3，设AEPEa，PFCB，AOFACB，AOFACB90，AO，OF，OEa，PO，在RtOPE中，PE2OE2

6、+OP2，a2（a）2+（）2，a，即：AE；如图4，当点E在线段AC的延长线上时，延长PF交AC于O，同理：OEa，po，在RtOPE中，PE2OE2+OP2，a2（a）2+（）2，a6，AE6，即：AE或6【例3】（2022春济南月考）如图，在矩形OABC中，AB2，BC4，点D是边AB的中点，反比例函数y1（x0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2mx+n（m0）（1）求反比例函数y1（x0）的解析式和E点坐标；（2）在y轴上找一点P，使PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；（3）若点M在反比例函数的图象上，点N在坐标轴上，是否存在以D、E、M、N为顶点的四边形是平行

7、四边形？若存在，请求出M点坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）根据点D为AB的中点，可得点D的坐标，从而得出反比例函数y1（x0）的解析式，当x2代入可得点E的坐标；（2）作点E关于y轴的对称点E，连接ED交y轴于P，此时PDE的周长最小，设EE交y轴于F，利用EFPDAP，可得PF的长，从而得出点P的坐标；（3）分点N在x轴或y轴上两种情形，分别利用中点坐标公式解决问题【解答】解：（1）点D是AB的中点，AD1，D（1，4），反比例函数y1（x0）的图象经过点D，k144，y，当x2时，y2，E（2，2）；（2）作点E关于y轴的对称点E，连接ED交y轴于P，此时PDE的周长最小，设EE交

8、y轴于F，则E（2，2），EFAD，EFPDAP，PF，P（0，）；（3）当N在x轴上时，设N（n，0），M（x，），当DE为对角线时，由中点坐标公式得，4+2，解得x，M（），当DN为对角线时，由中点坐标公式得，4+0+2，解得x2，M（2，2）（舍去），当DM为对角线时，由中点坐标公式得，4+2+0，解得x2，M（2，2）（舍去），当N在y轴上时，设N（0，n），M（x，），当DE为对角线时，由中点坐标公式得，1+20+x，x3，M（3，），当DN为对角线时，由中点坐标公式得，1+0x+2，x1，M（1，4）（舍去），当DM为对角线时，由中点坐标公式得，1+x0+2，x1，M（1，4）（舍

9、去），综上：M（）或（3，）【例4】（2022阜新）如图，已知二次函数yx2+bx+c的图象交x轴于点A（1，0），B（5，0），交y轴于点C（1）求这个二次函数的表达式；（2）如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发设运动时间为t秒（0t5）当t为何值时，BMN的面积最大？最大面积是多少？（3）已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为yx2+

10、4x+5；（2）过点M作MEx轴于点E，设BMN面积为S，由ONt，BM，可得BN5t，MEBMsin45，即得SBNME（5t）t（t）2+，由二次函数性质可得当秒时，BMN的面积最大，最大面积是；（3）由B（5，0），C（0，5）得直线BC解析式为yx+5，设Q（m，m+5），P（n，n2+4n+5），分三种情况：当PQ，AC是对角线，有，解得Q（7，12）；当QA，PC为对角线，有，解得Q（7，2）；当QC，PA为对角线，有，解得Q（1，4）或（2，3）【解答】解：（1）将点A（1，0），B（5，0）代入yx2+bx+c中，得，解这个方程组得，二次函数的表达式为yx2+4x+5；（2）过

11、点M作MEx轴于点E，如图：设BMN面积为S，根据题意得：ONt，BMB（5，0），BN5t，在yx2+4x+5中，令x0得y5，C（0，5），OCOB5，OBC45MEBMsin45，SBNME（5t）tt2+t（t）2+，0t5，当时，BMN的面积最大，最大面积是；（3）存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由B（5，0），C（0，5）得直线BC解析式为yx+5，设Q（m，m+5），P（n，n2+4n+5），又A（1，0），C（0，5），当PQ，AC是对角线，则PQ，AC的中点重合，解得m0（与C重合，舍去）或m7，Q（7，12）；当QA，PC为对角线，则QA，

12、PC的中点重合，解得m0（舍去）或m7，Q（7，2）；当QC，PA为对角线，则QC，PA的中点重合，解得m1或m2，Q（1，4）或（2，3），综上所述，Q的坐标为（7，12）或（7，2）或（1，4）或（2，3）培优训练一解答题1（2022秋綦江区期中）已知抛物线yax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB4，设点D的横坐标为m（1）求抛物线的解析式；（2）连接AE、CE，当ACE的面积最大时，求出ACE的最大面积和点D的坐标；（3）当m2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C

13、，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设D（m，m+3），E（m，m22m+3），则DEm23m，故SACE3（m23m），进而求解；（3）分BC、BQ、BE分别为平行四边形的对角线三种情况，分别求解即可【解答】解：（1）点B（1，0），AB4，A（3，0），将B（1，0），A（3，0）代入yax2+bx+3，解得，yx22x+3；（2）设直线AC的解析式为ykx+b，解得，yx+3，D（m，m+3），E（m，m22m+3），DEm23m，SACE3（m23m）（m+）2+，当m时，SACE的值最大为，D

14、（，）；（3）存在，理由如下：m2，E（2，3），设Q（n，t），当BC为平行四边形的对角线时，则，解得，Q（3，0）；当BE为平行四边形的对角线时，则，解得，Q（1，0）；当BQ为平行四边形的对角线时，则，解得，Q（3，6）；综上所述：当Q点为（3，0）或（1，0）或（3，6）时，以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形2（2022秋汉阴县期中）如图，直线yx+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线yax2+x+c经过B，C两点（1）求抛物线的解析式；（2）点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存

15、在，请说明理由【分析】（1）先利用一次函数的性质求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入到抛物线解析式中求解即可；（2）分BC为对角线和边两种情况，利用平行四边形的性质进行求解即可【解答】解：（1）直线yx+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，点B，C的坐标分别为B（0，4），C（4，0），把点B（0，4）和点C（4，0）代入抛物线yax2+x+c得：，解之，得，抛物线的解析式为yx2+x+4；（2）存在由抛物线yx2+x+4可得对称轴是直线x1Q是抛物线对称轴上的动点，点Q的横坐标为1当BC为边时，点B到点C的水平距离是4，点Q到点P的水平距离也是4点P的横坐标是5或3，点P的坐标为（5，）或

16、（3，）；当BC为对角线时，点Q到点C的水平距离是3，点B到点P的水平距离也是3，点P的坐标为（3，）综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（5，）或（3，）或（3，）3（2022秋虹口区校级月考）若直线yx+2分别交x轴、y轴于A、C两点，点P是该直线上在第一象限内的一点，PBx轴，B为垂足，且SABC6（1）求点B和点P的坐标；（2）点D是直线AP上一点，ABD是直角三角形，求点D的坐标；（3）y轴上是否存在点Q，以Q、C、P、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）设B（x，0），则P（

17、x，x+2），由SABC6列方程求出x的值，即得到点B和点P的坐标；（2）当点D与点P重合时，ABD是直角三角形；当点D与点P不重合时，过点C作CEAP，先求出直线CE的解析式，再由直线BDCE求出直线BD的解析式且与yx+2联立方程组，求出点D的坐标；（3）由CQBP可得，当CQBP3时，联结Q、C、P、B形成的四边形是平行四边形，按点Q在点C的上方和点Q在点C的下方，分别求出点Q的坐标即可【解答】解：（1）如图1，设B（x，0），则P（x，x+2），对于yx+2，当y0时，由x+20，得，x4；当x0时，y2，A（4，0），C（0，2），点P在第一象限，且SABC6，2（x+4）6，解得x

18、2，B（2，0），P（2，3）（2）如图1，点D与点P重合，此时ABDABP90，ABD是直角三角形，此时D（2，3）；如图2，点D在线段AP上，ADB90，此时ABD是直角三角形，作CEAP，交x轴于点E，则ACEADB90，BDCE，AC2；设E（m，0），由AEOCACCESACE，得AEOCACCE，2（m+4）2CE，CE（m+4），COE90，OE2+OC2CE2，m2+22（m+4）2，整理得，m22m+10，解得，m1m21，E（1，0）；设直线CE的解析式为ykx+2，则k+20，解得，k2，y2x+2；设直线BD的解析式为y2x+n，则22+n0，解得，n4，y2x+4，由

19、，得，D（，）；由图象可知，当点D在PA的延长线上，或点D在AP的延长线上，则ABD不能是直角三角形，综上所述，点D的坐标是（2，3）或（，）（3）存在如图3，点Q在点C的上方，CQBP，当CQBP3时，四边形CBPQ是平行四边形，此时，OQ2+35，Q（0，5）；如图4，点Q在点C的下方，CQBP，当CQBP3时，四边形CBPQ是平行四边形，由231，得Q（0，1），综上所述，点Q的坐标为（0，5）或（0，1）4（2022秋随县校级月考）已知抛物线yax2+bx+3（a0）交x轴于A（1，0）和B（3，0），交y轴于C（1）求抛物线的解析式；（2）若M为抛物线上第二象限内一点，求使MBC面积

20、最大时点M的坐标；（3）D是抛物线的顶点，P为抛物线上的一点，当SPABSABD时，请直接写出点P的坐标；（4）若F是对称轴上一动点，Q是抛物线上一动点，是否存在F、Q，使以B、C、F、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标【分析】（1）把A和B的坐标代入抛物线解析式，得到关于a与b的二元一次方程组，求出方程组的解集得到a与b的值，进而确定出抛物线的解析式；（2）根据点M为抛物线上第二象限内一点，求出直线BC解析式为yx+3，设M（m，m22m+3），N（m，m+3），MNm22m+3m3m23m（m+）2+，然后根据MBC的面积SBNM+SCMN3MN，进而可以求出点M的坐

21、标；（3）由SPABSABD，根据三角形面积公式可得点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离的一半，根据D的坐标为（1，4），所以点P的纵坐标为2将y2代入（1）中所求解析式，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；（4）根据抛物线解析式为yx22x+3（x+1）2+4，可得抛物线的对称轴方程为x1，然后根据平行四边形的性质分当点Q在x轴上方时，当点Q在x轴下方时，可得点Q的坐标【解答】解：（1）把点A（1，0）和点B（3，0）代入抛物线yax2+bx+3（a0）得：，解得，抛物线解析式为yx22x+3；（2）M为抛物线上第二象限内一点，如图，过点M作MNx轴交BC于点N，抛物线解析式为y

22、x22x+3，B（3，0）C（0，3），OC3，OB3，设直线BC解析式为ykx+b，直线BC解析式为yx+3，设M（m，m22m+3），N（m，m+3），MNm22m+3m3m23m（m+）2+，当m时，MN有最大值，当m时，MBC的面积最大，MBC的面积SBNM+SCMN3MN，此时点M的坐标为（，）；（3）抛物线解析式为：yx22x+3（x+1）2+4，抛物线的顶点D（1，4），SPABSABD，且点P在抛物线上，点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离的，点P的纵坐标为2令y2，则x22x+32，解得x11+，x21，点P的坐标为（1+，2）或（1，2），令y2，则x22x+32

23、，解得x11+，x21，点P的坐标为（1+，2）或（1，2），综上所述：当SPABSABD时，点P的坐标为（1+，2）或（1，2）或（1+，2）或（1，2）；（4）存在，理由如下：抛物线解析式为yx22x+3（x+1）2+4，抛物线的对称轴方程为x1，F是对称轴上一动点，Q是抛物线上一动点，当点Q在x轴上方时，F是对称轴上一动点，Q是抛物线上一动点，如图，四边形BQCF是平行四边形，CQFB，CQBF2，点Q与点C关于对称轴对称，点Q的坐标为（2，3），当点Q在x轴下方时，如图所示，四边形BCFQ是平行四边形，BCFQ，BCFQ，B（3，0），Q的横坐标为4，（4）22（4）+35，Q（4，5

24、），Q与Q是对称点，Q（2，5），综上所述，点Q的坐标为（2，3），（4，5），（2，5）5（2022秋万州区月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：yx+1与y轴交于点A，过B（6，1）的直线l2与直线l1交于点C（m，5）（1）求直线l2的解析式；（2）若点D是第一象限位于直线l2上的一动点，过点D作DHy轴交l1于点H当DH10时，试在x轴上找一点E，在直线l1上找一点F，使得DEF的周长最小，求出周长的最小值；（3）如图2，直线l2与x轴交于点M，与y轴交于点N，将直线l2绕点O逆时针旋转90得到直线l3，点P是直线l3上一点，且横坐标为2，在平面内是否存在一点Q，使得以点M，C，

25、P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）先求得点C的坐标，进一步求得结果；（2）作点D关于x轴的对称点D，关于l1的对称点D，连接DD，分别交x轴于E，交l1于F，求出点D的坐标和点D，进而求得DEF的最小值为DD的长；（3）求出点M和点N旋转后的对应点的坐标，从而求出l3的解析式，进而求得点P的坐标，根据平行四边形的性质，求得点Q的坐标【解答】解：（1）把xm，y5代入yx+1，m+15，m6，C（65），设直线l2的解析式为：ykx+b，yx2；（2）如图1，由H（x+1）（）10得，x14，当x14时，y5，D（14，5），作点D

26、关于x轴的对称点D（14，5），关于l1的对称点D，连接DD，交x轴于E，交l1于F，则D（4，15），DEF的周长最小，最小值为：DD，DD10，DEF的周长最小值为：10（3）如图2，点M（4，0），N（0，2），点M和点N旋转后的对应点M（0，4），N（2，0），直线l3的解析式为：y2x+4，当x2时，y2（2）+48，P（2，8），当PCMQ时，2+4（6）10，8+0（5）13，Q（10，13），当CMPQ时，（2）1012，853，Q（12，3），当PCQM时，（2）0，8，Q（0，），综上所述：点Q（10，13）或（12，3）或（0，）6（2022春南岗区校级期中）如图1，平面

27、直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴上，点C在x轴上，OCOA且OC和OA长度分别为一元二次方程x23x+20的两个根，B为第一象限内一点，连接AB、OB、BC，满足ABx轴且ABO30（1）求点B坐标；（2）如图2，点P在线段OB上，点Q在OC延长线上，且BPCQt，连接PQ交BC于点E，取OP中点D，连接DE，若DE长度为d，用含t的式子表示d；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AP，以AP为边向上作等边APW，当点E纵坐标为点W横坐标的时，第三象限内是否存在点H，使得以点O、A、W、H为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出H点坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）先解方程可得O

28、A1，OC2，再由ABOC并结合含30角的直角三角形的性质可得点B的坐标；（2）先根据含30角的直角三角形的性质可得OBOC2，如图2，过点P作PFx轴，交BC于F，证明PFEQCE（AAS），得DE是OPQ的中位线，从而得结论；（3）如图3，取OB的中点K，连接MK交AB于M，连接AK，过点D作DLOC于L，过点P作PNAB于N，证明WAKPAO（SAS），得AKWAOP60，再证明WKAB，AKBK，根据点E纵坐标为点W横坐标的，列方程可得t0.5，表示W的坐标，最后由平移的知识可得点H的坐标【解答】解：（1）x23x+20，解得：x11，x22，OA1，OC2，ABOC，BAO+AOC1

29、80，AOC90，OAB90，ABO30，ABOA，B（，1）；（2）在RtABO中，ABO30，OA1，OB2，OC2，OBOC2，OBCOCB，如图2，过点P作PFx轴，交BC于F，则PFEECQ，PFBBCO，OBCPFB，BPPF，PBCQ，PFCQ，PEFCEQ，PFEQCE（AAS），PEEQ，D是OP的中点，DE是POQ的中位线，DEdOQ（OC+CQ）（2+t），d1+t；（3）如图3，取OB的中点K，连接MK交AB于M，连接AK，过点D作DLOC于L，过点P作PNAB于N，BAO90，K是OB的中点，AKOKKB，AOB60，AOK是等边三角形，AKAO，OAK60，APW是

30、等边三角形，APAW，PAW60，WAKPAO，WAKPAO（SAS），AKWAOP60，MAK30，AMK90，WKAB，AKBK，AMBM，点W的横坐标为，点E纵坐标为点W横坐标的，当点E纵坐标，ODOP（2t）1t，在RtODL中，DOL30，DLODt，DEOC，点E的纵坐标点D的纵坐标，t，t0.5，在RtPNB中，PBN30，BN，ANABBN，由勾股定理得：AP，WM1，W（，2），四边形OWAH是平行四边形，O（0，0），H（，1）7（2022春姑苏区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC中，ABAC，BAC90，已知点A（0，6）、C（3，7），点B在第三象限内（1）

31、求点B的坐标；（2）将ABC以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使在第二象限内点B、C两点的对应点B，C正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；（3）在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）过点B作BEy轴于点E，过点C作CFy轴于点F，证明ACFBAE得出BE与OE的长度便可求得B点坐标；（2）先用t表示B和C点的坐标，再根据“B、C正好落在某反比例函数的图象上”得B和C点的横、纵坐

32、标的积相等，列出t的方程求得t，进而求得反比例函数的解析式；（3）分各种情况：BC为平行四边形的边，BC为平行四边形的对角线分别解答问题【解答】解：（1）如图1，过点B作BEy轴于点E，过点C作CFy轴于点F，则AFCAEB90，点A（0，6），C（3，7），CF3，AF1，ABAC，BAC90，CAF+BAECAF+ACF90，ACFBAE，ACFBAE（AAS），CFAE3，AFBE1，OEOAAE633，B（1，3）；（2）根据题意得，B（1，3+2t），C（3，7+2t），设经过B、C的反比例函数解析式为：y（k0），k1（3+2t）3（7+2t），解得，t，k1（3+2t）396，反

33、比例函数的解析式为：y；（3）存在，设P（n，0），由（2）知B（1，6），C（3，2），当BC为平行四边形的边时，则BCQP，BCQP，Q（n+2，4）或（n2，4），把Q（n+2，4）代入y中，得，4（n+2）6，解得，n，Q（，4），把Q（n2，4），代入y中，得，4（n2）6，解得，n，Q（，4）；当BC为对角线时，则BC的中点坐标为（2，4），PQ的中点坐标为（2，4），Q（4n，8），把Q点坐标代入y中，得，8（n4）6，解得，n，Q（，8），综上，存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形Q点坐标为（，4）或（，4）或（，8）8

34、（2022秋曲阜市校级月考）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，已知顶点B（2，4），反比例函数y（x0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；（3）若点F在直线AC上，点G在反比例函数y（x0）的图象上，是否存在合适的F、G点，使四边形BCFG为平行四边形，若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）先求出点D坐标，代入解析式可求解析式，即可求解；（2）通过证明ABCEBD，可得BDEBCA，可得结论；（3）由平行四边形的性质可得BGCF，先求出直线CF的解析式，联立方程组

35、可求解【解答】解：（1）点B（2，4），BC2，AB4，点C（0，4），点A（2，0），BD，CD，点D（，4），反比例函数y（x0）的图象过点D，k46，反比例函数关系式为y，当x2时，y3，点E（2，3）；（2）DEAC，理由如下：连接DE，点E（2，3），点B（2，4），BE1，AB4，又BABC，ABCEBD，BDEBCA，DEAC；（3）存在，如图，点C（0，4），点A（2，0），直线AC的解析式为y2x+4，四边形BCFG为平行四边形，CFGB，设直线BG的解析式为y2x+b，422+b，b8，直线BG的解析式为y2x+8，联立方程组可得：，解得：，点G坐标为（1，6）或（3，2）

36、9（2021秋莱西市期末）已知：如图，菱形ABCD中，AB5cm，AC6cm，动点P从点B出发，沿BA方向匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s过点P作PMBC，过点B作BMPM，垂足为M，连接QP设运动时间为t（s）（0t5）解答下列问题：（1）菱形ABCD的高为 cm，cosABC的值为 ；（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形MPQB为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（3）是否存在某一时刻t，使四边形MPQB的面积是菱形ABCD面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（4）是否存在某一时刻t，使点M在PQB

37、的角平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）连接BD交AC于点O，作AEBC于点E，根据菱形的性质得BCAB5cm，OAOC3cm，AOB90，根据勾股定理求得OB4cm，即可求得菱形ABCD的面积为24cm2，由5AE24得AE，即菱形ABCD的高为；再由勾股定理求得BEcm，则BE：AE：AB7：24：25，所以cosABC；（2）由四边形MPQB为平行四边形，且M90得四边形MPQB是矩形，所以PQB90，可推导出BQBP，可列方程5tt，求出t的值即可；（3）由cosBPMcosABC，sinBPMsinABC得PMt，BMt，再根据S四边形MPQBS菱形ABC

38、D列方程t（t+5t）24，解方程求出符合题意的t值即可；（4）作MRQP交直线QP于点R，先由tanBPMtanABC得MPMB，可知MPMB，而MRMP，所以MRMB，这说明点M到PQB的两边的距离不相等，所以不存在某一时刻t，使点M在PQB的角平分线上【解答】解：（1）如图1，连接BD交AC于点O，作AEBC于点E，则AEB90，四边形ABCD是菱形，AB5cm，AC6cm，BCAB5cm，BDAC，OAOCAC3cm，AOB90，ODOB4（cm），S菱形ABCDACOD+ACOB64+6424（cm2），5AE24，AE（cm），菱形ABCD的高为cm；BE（cm），BE：AE：AB

39、7：24：25，cosABC，cosABC的值为，故答案为：，（2）存在，如图2，四边形MPQB为平行四边形，且M90，四边形MPQB是矩形，PQB90，cosABC，BQBP，BPCQt，BQ5t，5tt，解得t，t的值为（3）存在，如图1，PMBC，BPMABC，cosBPMcosABC，sinBPMsinABC，PMt，BMt，S四边形MPQBS菱形ABCD，t（t+5t）24，整理得18t2125t+1000，解得t1，t2（不符合题意，舍去）t的值为.（4）不存在，理由：如图3，作MRQP交直线QP于点R，MBQ180PMB90，MBQB，tanBPMtanABC，MPMB，MPMB

40、，MRMP，MRMB，点M不可能在PQB的平分线上，不存在某一时刻t，使点M在PQB的角平分线上10（2022春五华区校级期中）如图，直线l1：y1kx+b分别与x轴、y轴交于A（8，0）、B（0，4）两点，与直线l2：y22x6交于点C（1）求直线l1的解析式；（2）若l2与y轴交于点D，求BCD的面积；（3）在线段BC上是否存在一点E，过点E作EFy轴与直线CD交于点F，使得四边形OBEF是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）联立方程组可求点C坐标，由三角形的面积公式可求解；（3）先求出点F坐标，即可求解【解答】解：（

41、1）由题意可得：，解得：，直线l1的解析式为：yx+4；（2）l2与y轴交于点D，当x0时，y6，点D（0，6），直线l1与直线l2：y22x6交于点C，解得：，点C的坐标为（4，2）；SBCDBDxC4（6）420；（3）存在点E，使四边形OBEF是平行四边形；四边形OBEF是平行四边形BCOF，EFOB，OF的解析式为yx，联立方程组：，解得：，点F（，），点E的横坐标为，当x时，y+4，点E的坐标为（，）11（2022章丘区模拟）已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为（4，2），反比例函数y的图象经过AB的中点D，

42、且与BC交于点E，设直线DE的解析式为ymx+n，连接OD，OE（1）求反比例函数y的表达式和点E的坐标；（2）点M为y轴正半轴上一点，若MBO的面积等于ODE的面积，求点M的坐标；（3）点P为x轴上一点，点Q为反比例函数y图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据矩形的性质求出点D的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的表达式，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点E的坐标；（2）根据三角形的面积公式计算即可；（3）分DE为平行四边形的边、DE为平行四边形的对角线两种情况，根据平行四边形的性

43、质计算即可【解答】解：（1）四边形OCBA为矩形，点B的坐标为（4，2），点D为AB的中点，点D的坐标为（2，2），反比例函数y的图象经过点D，k224，反比例函数的表达式为：y，由题意得，点E的横坐标为4，则点E的纵坐标为：1，点E的坐标为（4，1）；（2）设点M的坐标为（0，n），点D的坐标为（2，2），点E的坐标为（4，1），SODE242241213，由题意得：4n3，解得：n，MBO的面积等于ODE的面积时，点M的坐标（0，）；（3）当DE为平行四边形的边时，DEPQ，DEPQ，点D的坐标为（2，2），点E的坐标为（4，1），点P的纵坐标为0，点Q的纵坐标为1，当y1时，x4（不合题

44、意，舍去）当y1时，x4，则点Q的坐标为（4，1），当DE为平行四边形对角线时，点D的坐标为（2，2），点E的坐标为（4，1），DE的中点坐标为（3，），设点Q的坐标为（a，），点P的坐标为（x，0），则，解得：a，点Q的坐标为（，3），综上所述：以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形时，点Q的坐标为（4，1）或（，3）12（2022秋明山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于C，且ABC面积为10（1）求点C的坐标及直线BC的解析式；（2）如图1，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作

45、正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标；（3）如图2，若M为线段BC上一点，且满足SAMBSAOB，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法可求得答案；（2）根据等腰三角形的性质可得F（1，2），设G（0，n），分两种情况：当n2时，当n2时，分别得到答案；（3）设M（m，m+4），利用三角形的面积和差关系可得答案【解答】解：（1）直线y2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，A（2，0），B（0，4），OA2，OB4，SABCAC

46、OB10，AC5，OC3，C（3，0），设直线BC的解析式为ykx+b，则有，直线BC的解析式为yx+4；（2）FAFB，A（2，0），B（0，4），F（1，2），设G（0，n），当n2时，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为M、N，MN90，MBF+BFM90，四边形FGQP是正方形，FGQG，FGQ90，MBF+NBQ90，MFBNGQ，FMGGNQ（ASA），MGNQ1，FMGNn2，Q（n2，n1），点Q在直线yx+4上，n1（n2）+4，n，G（0，），当n2时，同法可得Q（2n，n+1），点Q在直线yx+4上，n+1（2n）+4，n1，G（0

47、，1），综上所述，满足条件的点G的坐标为（0，），（0，1）；（3）存在，设M（m，m+4），（m+4），m，M（，），直线AM的解析式为yx+，作BEOC交直线AM于E，此时E（，4），当CDBE时，可得四边形BCDE，四边形BECD是平行四边形，可得D（，0），D（，0），根据对称性可得点D关于点A的对称点D2（，0）也符合条件，综上所述，满足条件的点D的坐标为（，0），（，0），（，0）13（2022秋仓山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x+c与直线yx+1交于点A、C，且点A的坐标为（1，0）（1）求点C的坐标；（2）若点P是直线AC下方的抛物线上一动点，求点P到直

48、线AC距离的最大值；（3）若点E是抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在点E使以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）把点A的坐标代入yx22x+c，求出c的值，联立直线yx+1即可求解；（2）过点P作PMx轴交AC于点M，当SACP最大时，点P到直线AC的距离最大，运用待定系数法求直线AC解析式为yx+5，设P（m，m22m3）（1m5），则M（m，m+1），求得PM，再根据二次函数的性质可得SACP的最大值，根据勾股定理求出AC，利用三角形的面积公式求解即可；（3）分三种情况讨论：当AC为平行四边形的对角线时，当

49、AF为平行四边形的对角线时，当AE为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可【解答】解：（1）点A（1，0）在抛物线yx22x+c的图象上，01+2+c，c3，抛物线为yx22x3，联立直线yx+1得，解得或，点C的坐标为（4，5）；（2）过点P作PMx轴交AC于点M，如图：设P（m，m22m3）（1m5），则M（m，m+1），PMm+1（m22m3）m2+3m+4，SACP5（m2+3m+4）（m）+，当m时，SACP最大为，点A（1，0），点C（4，5），AC5，设点P到直线AC的距离为h，SACP5h，h，点P到直线AC距离的最大值为；（3）存在，理由如下：yx22x3（x

50、1）24，抛物线的对称轴为直线x1，设点F的坐标为（1，n），点E的坐标为（x，x22x3），分三种情况：当AC为平行四边形的对角线时，1+41+x，解得x2，点E的坐标为（2，3）；当AF为平行四边形的对角线时，1+1x+4，解得x4，点E的坐标为（4，21）；当AE为平行四边形的对角线时，1+x4+1，解得x6，点E的坐标为（6，21）；综上，点E的坐标为（2，3）或（4，21）或（6，21）14（2022前进区校级开学）如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足|OA15|+0，点N在OC上，将BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在x轴上的点D处，且

51、OD3（1）求点B的坐标；（2）求直线BN的解析式；（3）坐标平面内是否存在一点P，使以B、N，D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由非负数的性质可求得OA、OC的长，则可求得B点坐标；（2）由折叠可知，BDBC15，BCOBDN90，CNDN，由勾股定理可分别求得AD，DN和ON的长，可求得N点坐标，利用待定系数法可求得直线BN的解析式；（3）根据平行四边形的性质，可分类讨论：当BD是平行四边形的对角线时，当ND是平行四边形的对角线时，当BN是平行四边形的对角线时分别求解即可【解答】解：（1）|OA15|+0，OA15，OC9，O

52、ABC15，ABOC9，B（15，9）；（2）由折叠可知，BDBC15，BCOBDN90，CNDN，设CNm，则DNm，ON9m，在RtABD中，BAO90，由勾股定理可知，AD12，OD3，在RtODN中，由勾股定理可知，（9m）2+32m2，解得m5，ON4，N（0，4），设直线BN的解析式为：ykx+b，直线BN的解析式为：yx+4（3）存在，理由如下：由上可知，B（15，0），N（0，4），D（3，0），若以点B、N，D、P为顶点的四边形是平行四边形，根据题意，需要分以下三种情况：当BD为平行四边形的对角线时，xB+xDxP+xN，yB+yDyP+yN，解得xP18，yP5，P（18，

53、5）当ND为平行四边形的对角线时，xN+xDxB+xP，yN+yDyB+yP，解得xP12，yP5，P（12，5）当BN为平行四边形的对角线时，xB+xNxP+xD，yB+yNyP+yD，解得xP12，yP13，P（12，13）综上，符合题意的点P的坐标为（18，5）或（12，5）或（12，13）15（2022沙坪坝区校级开学）在平面直角坐标系中，直线l1：yx+b与直线l2：y交于点B，直线l1交x轴于点A，交y轴于点C，直线l2交x轴于点E，交y轴于点D，OAOD，点D与点P关于x轴对称（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，M、N为直线l1上两动点，且MN3，求PM+MN+ND的最小值；

54、（3）如图2，点H为直线l1上一动点，在直线l3：yx上是否存在一点F，使以E、F、H、P四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）求出A（3，0），再将将A点代入yx+b，即可求解析式；（2）分别求出CAO60，DEO30，则ABE90，作D点关于AC的对称点G，则G点在直线ED上，连接GN，过M点作MHGN，过G点作GHMN，两平行线交于点H，当H、M、P三点共线时，MN+PM+ND的长最小，联立方程组，求出B（，），进而能求G（3，2），将G点沿BA平移3个单即为H，则H（，），再求PM+MN+ND的最小值为3+3；（3）设H（t，t+

55、3），F（m，m），分三种情况讨论：当HF为平行四边形的对角线时，求得F（，）；当HE为平行四边形的对角线时，求得F（，）；当HP为平行四边形的对角线时，求得F（，）【解答】解：（1）在y可求E（3，0），D（0，），OD，OAOD，OA3，A（3，0），将A点代入yx+b，3+b0，解得b3，yx+3；（2）点D与点P关于x轴对称，P（0，），OC3，OA3，CAO60，OE3，OD，DEO30，ABE90，作D点关于AC的对称点G，则G点在直线ED上，连接GN，过M点作MHGN，过G点作GHMN，两平行线交于点H，四边形GHMN是平行四边形，MNGH，GNHM，MN+ND+PMMN+HM+

56、MPMN+HP，当H、M、P三点共线时，MN+PM+ND的长最小，联立方程组，解得，B（，），G（3，2），将G点沿BA平移3个单位即为H，H（，），PH3，PM+MN+ND的最小值为3+3；（3）存在F，使以E、F、H、P四点构成的四边形为平行四边形，理由如下：设H（t，t+3），F（m，m），当HF为平行四边形的对角线时，解得，F（，）；当HE为平行四边形的对角线时，解得，F（，）；当HP为平行四边形的对角线时，解得，F（，）；综上所述：F点坐标为（，）或（，）或（，）16（2022秋合川区校级月考）在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+3的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0）两

57、点，与y轴交于点C（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形ABCP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）将二次函数yax2+bx+3的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新抛物线，点M在新抛物线上，点N在原抛物线的对称轴上，直接写出所有使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来【分析】（1）将点A（3，0），B（1，0）代入yax2+bx+3中，即可求解；（2）求出直线AC的解析式，过点P作PGy轴交AC于点G，设P（t，t22t+3），则G（

58、t，t+3），可得S四边形ABCP（t+）2+，再求解即可；（3）把原抛物线解析式化为顶点式，利用平移求出新抛物线解析式，确定M、N、A、B四点坐标后分类讨论：当AB为对角线时，当AM为对角线时，当AN为对角线时，利用平行四边形的性质即可求解【解答】解：（1）将点A（3，0），B（1，0）代入yax2+bx+3中，解得yx22x+3；（2）令x0，则y3，C（0，3），设直线AC的解析式为ykx+p，解得，yx+3，过点P作PGy轴交AC于点G，设P（t，t22t+3），则G（t，t+3），PGt22t+3t3t23t，S四边形ABCPSAPC+SACB3（3+1）+3（t23t）t2t+6（

59、t+）2+，点P是直线AC上方，3t0，当t时，S四边形ABCP有最大值，此时点P的坐标为（，）；（3）yx22x+3（x+1）2+4，将二次函数yx22x+3的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新抛物线：y（x+12）2+4+1（x1）2+5x2+2x+4，点M在新抛物线上，点N在原抛物线的对称轴上，设M（m，m2+2m+4），N（1，n），A（3，0），B（1，0），以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况讨论：当AB为对角线时，则，解得，N（1，1）；当AM为对角线时，则，解得，N（1，1）；当AN为对角线时，则，解得，N（1，31），综上所述，点N的

60、坐标为（1，1）或（1，1）或（1，31）17（2022秋海珠区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（1，0）、B（4，0）、C三点，且OBOC，点P是抛物线上的一个动点（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点P在直线BC下方，P运动到什么位置时，四边形PBOC面积最大？求出此时点P的坐标和四边形PBOC的最大面积；（3）直线BC上是否存在一点Q，使得以点A、B、P、Q组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由B（4，0），且OBOC，得C（0，4），设二次函数的解析式为yax2+bx+c，用待定系数法可得二次函数的解析式为

61、yx23x4；（2）设P（t，t23t4），过P作PEx轴于点E，交直线BC于点F，由B（4，0），C（0，4），得直线BC解析式为yx4，SBOCOBOC448，当SPBC最大时，四边形PBOC的面积最大，而SPBCSPFC+SPFBPFOE+PFBEPF（OE+BE）PFOB2（t2）2+8，由二次函数性质得当P点坐标为（2，6）时，四边形PBOC的最大面积为16；（3）设P（m，m23m4），Q（n，n4），而A（1，0），B（4，0），分三种情况：若AB，PQ为平行四边形对角线，则AB，PQ的中点重合，得Q（2，6）；AP，BQ为对角线，方程组无实数解；AQ，BP为对角线，得Q（10，

62、6）【解答】解：（1）B（4，0），且OBOC，C（0，4），设二次函数的解析式为yax2+bx+c，把A（1，0）、B（4，0）、C（0，4）代入得：，解得，二次函数的解析式为yx23x4；（2）点P在抛物线上，可设P（t，t23t4），过P作PEx轴于点E，交直线BC于点F，如图：B（4，0），C（0，4），直线BC解析式为yx4，SBOCOBOC448，F（t，t4），当SPBC最大时，四边形PBOC的面积最大，PF（t4）（t23t4）t2+4t，SPBCSPFC+SPFBPFOE+PFBEPF（OE+BE）PFOB（t2+4t）42（t2）2+8，当t2时，SPBC最大值为8，此时t

63、23t46，当P点坐标为（2，6）时，SPBC8，故此时四边形PBOC的最大面积，四边形PBOC的最大面积为SBOC+SPBC8+816；（3）直线BC上存在一点Q，使得以点A、B、P、Q组成的四边形是平行四边形，理由如下：设P（m，m23m4），Q（n，n4），而A（1，0），B（4，0），若AB，PQ为平行四边形对角线，则AB，PQ的中点重合，解得（此时Q与B重合，舍去）或，Q（2，6）；AP，BQ为对角线，方程组无实数解；AQ，BP为对角线，解得（此时P与A重合，舍去）或，Q（10，6），综上所述，Q的坐标为（2，6）或（10，6）18（2022攀枝花）如图，二次函数yax2+bx+c的

64、图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）根据题意知，二次函数顶点为（1，1），设二次函数解析式为ya（x1）21，将点B（0，0）代入得，a10，即可得出答案；（2）连接OP，根据题意得点A的坐标，则SSAOB+SO

65、APSOBP，代入化简即可；（3）设N（n，n22n），分AB或AN或AM分别为对角线，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，分别求出n的值，进而得出答案【解答】解：（1）二次函数的最小值为1，点M（1，m）是其对称轴上一点，二次函数顶点为（1，1），设二次函数解析式为ya（x1）21，将点O（0，0）代入得，a10，a1，y（x1）21x22x；（2）连接OP，当y0时，x22x0，x0或2，A（2，0），点P在抛物线yx22x上，点P的纵坐标为t22t，SSAOB+SOAPSOBP+（t2+2t）tt2+1；（3）设N（n，n22n），当AB为对角线时，由中点坐标公式得，2+01+n，n1，

66、N（1，1），当AM为对角线时，由中点坐标公式得，2+1n+0，n3，N（3，3），当AN为对角线时，由中点坐标公式得，2+n0+1，n1，N（1，3），综上：N（1，1）或（3，3）或（1，3）19（2022资阳）已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B（1，0）（1）求二次函数的表达式；（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180，此时点A、B的对应点分别为点C、D连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；在的条件下，若点M是直线xm上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存

67、在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为ya（x1）2+4，再把B（1，0）代入即可得出答案；（2）过点A（1，4）作AEx轴于点E，根据BADBEA90，又因为ABEDBA，证明出BAEBDA，从而得出AB2BEBD，将BD2（m+1），BE2，AE4代入即可求出m的值；根据上问可以得到C（7，4），点M的横坐标为4，B（1，0），要让以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，所以分为三种情况讨论：1）当以BC为边时，存在平行四边形为BCMQ；2）当以BC为边时，存在平行四边形为BCQM；3）当以BC为对角线时，存在平行四边形为BQ

68、CM；即可得出答案【解答】解：（1）二次函数的图象的顶点坐标为A（1，4），设二次函数的表达式为ya（x1）2+4，又B（1，0），0a（11）2+4，解得：a1，y（x1）2+4（或yx2+2x+3）；（2）点P在x轴正半轴上，m0，BPm+1，由旋转可得：BD2BP，BD2（m+1），过点A（1，4）作AEx轴于点E，BE2，AE4，在RtABE中，AB2BE2+AE222+4220，当四边形ABCD为矩形时，ADAB，BADBEA90，又ABEDBA，BAEBDA，AB2BEBD，4（m+1）20，解得m4；由题可得点A（1，4）与点C关于点P（4，0）成中心对称，C（7，4），点M在直

69、线x4上，点M的横坐标为4，存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，1）当以BC为边时，平行四边形为BCMQ，点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，Q（4，y1）代入yx2+2x+3，解得：y121，Q（4，21），2）当以BC为边时，平行四边形为BCQM，点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，Q（12，y2）代入yx2+2x+3，解得：y2117，Q（12，117），3）当以BC为对角线时，点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，Q（2，y3）代入

70、yx2+2x+3，得：y33，Q（2，3），综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为（4，21）或（2，3）或（12，117）20（2022春九龙坡区期末）已知二次函数yax2+bx+3的图象和x轴交于点A（3，0）、B（1，0），与y轴交于点C、D（0，1）（1）求二次函数解析式；（2）在线段AC上方的抛物线上有一动点P，直线PC与直线BD交于点Q，当PAQ面积最大时，求点P的坐标及PAQ面积的最大值；（3）在（2）条件下，将抛物线yax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，得到新二次函数yax2+bx+c，点R在新抛物线对称轴上，在直线yx上有一点S，使得以点P，D，R，S为顶点的四边形是

71、平行四边形，写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程【分析】（1）将A，B的坐标代入二次函数解析式，建立方程组，求解即可；（2）分别求出直线AC，BD的解析式，可证ACBD，所以ACQ的面积ACD的面积，进而求PAQ的面积最大可转化为求PAC的面积最大；过点P作PEy轴交AC于点E，表达PAC的面积，利用二次函数的性质求解即可；（3）由平移的性质可知，抛物线yax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，即向右平移2个单位，向上平移2个单位，由此可得出新抛物线的解析式，可得出点R的横坐标，根据平行四边形的性质，可分类讨论：当PD是平行四边形的边时，当PD是平行四边形

72、的对角线时，分别求解即可【解答】解：（1）二次函数yax2+bx+3的图象和x轴交于点A（3，0）、B（1，0），二次函数的解析式为：yx22x+3（2）抛物线与y轴交于点C，C（0，3），直线AC的解析式为：yx+3；B（1，0），D（0，1），直线BD的解析式为：yx1；ACBD，CD4，SACQSACD436SAPQSAPC+SACQSAPC+SACDSAPC+6过点P作PEy轴交AC于点E，如图，设点P的横坐标为t，则P（t，t22t+3），E（t，t+3），PEt23tSAPQSAPC+63（t23t）+6（t+）2+0，当t时，PAQ的最大值为，此时P（，）（3）由平移的性质可知，

73、抛物线yax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，即向右平移2个单位，向上平移2个单位，yx22x+3（x+1）2+4，当抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位后，平移后的抛物线为：y（x1）2+6x2+2x+5R在新抛物线对称轴上，R的横坐标为x1若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，根据题意，需要分以下两种情况：当PD为平行四边形的边时，xPxDxRxS或xPxDxSxR，01xS或0xS1，解得xS或xSS（，）或（，）yPyDyRyS或yPyDySyR，（1）yR（）或（1）yR，yR或yRR（1，）或（1，）当PD为平行四边形的对角线时，xP+xDxR+xS，+01+x

74、S，解得xS，S（，），yP+yDyR+yS，+（1）yR+，yRR（1，）综上，若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，点R的坐标为：（1，）或（1，）或（1，）21（2022春青秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c，与y轴交于点A，与x轴交于点E、B且点A（0，5），B（5，0），抛物线的对称轴与AB交于点M（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，连接PB，PM，求PMB面积的最大值；（3）若点P是抛物线上一点，在直线AB上是否存在一点Q，使得以点M、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在

75、，请说明理由【分析】（1）将点A，B坐标代入二次函数解析式中，建立方程求解，即可求出答案；（2）先确定出点M坐标，直线AB的解析式，过点P作PHy轴交AB于H，利用三角形面积公式得出SPMB（x）2+，即可求出答案；（3）分EM为边和为对角线两种情况进行求解：当EM为平行四边形的边时，由EMPQ建立方程求解；当EM为对角线时，由EM与PQ互相平分建立方程组求解即可【解答】解：（1）点A（0，5），B（5，0）在抛物线yx2+bx+c上，二次函数的解析式为yx2+4x+5；（2）如图，A（0，5），B（5，0），直线AB的解析式为yx+5，点M是抛物线的对称轴与直线AB的交点，M（2，3），由（

76、1）知，二次函数的解析式为yx2+4x+5，过点P作PHy轴交AB于H，设P（m，m2+4m+5）（0m5），H（m，m+5），PHm2+4m+5（m+5）m2+5m，SPMBPH（xBxM）（m2+5m）（52）（x）2+，当x时，SPMB最大，即PMB面积的最大值为；（3）抛物线的对称轴与yx+5交于点M，M（2，3），设Q（a，a+5），P（m，m2+4m+5），若EMPQ，四边形EMPQ为平行四边形，解得或，Q（1，6）或（0，5）；若EMPQ，四边形EMQP为平行四边形，同理求出Q（9，4）；若EM为对角线，则，解得（不合题意舍去）或综合以上可得出点Q的坐标为Q（1，6）或（0，5）

77、或（9，4）或（5，10）22（2022春兴宁区期末）如图，已知二次函数yx2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，2），点C（0，5），顶点为点M，过点A作ABx轴，交y轴于点D，交二次函数yx2+bx+c的图象于点B，连接BC（1）求该二次函数的表达式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC的内部（不包括ABC的边界），求m的取值范围；（3）若E为线段AB上一点，且BE：EA3：1，P为直线AC上一点，在抛物线上是否存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请

78、说明理由【分析】（1）将点A（3，2），点C（0，5）代入yx2+bx+c，即可求解；（2）平移后的顶点坐标为（1，m6），求出直线AC的解析式，由题意可知4m62，求出m的取值即可；（3）设P（t，t5），Q（x，x22x5），根据对角线分三种情况求解即可【解答】解：（1）将点A（3，2），点C（0，5）代入yx2+bx+c，解得，yx22x5，M（1，6）；（2）平移后的函数解析式为y（x1）26+m，平移后的顶点坐标为（1，m6），抛物线的顶点在x1的直线上，设直线CA的解析式为ykx+b，yx5，当x1时，y4，4m62，解得2m4；（3）存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是

79、平行四边形，理由如下：当y2时，x22x52，解得x1或x3，B（1，2），AB4，BE：EA3：1，AE1，E（2，2），设P（t，t5），Q（x，x22x5），当BE为平行四边形的对角线时，解得或，Q（，）或（，）；当BP为平行四边形的对角线时，解得或，Q（，）或（，）；当BQ为平行四边形的对角线时，此时无解；综上所述：Q点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）23（2022聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x1，顶点为点D（1）求二次函数的表达式；（2）连接DA，DC，CB，CA，如图所示，求证：DACBC

80、O；（3）如图，延长DC交x轴于点M，平移二次函数yx2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD12CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标【分析】（1）根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值，进而求得结果；（2）根据点A，D，C坐标可得出AD，AC，CD的长，从而推出三角形ADC为直角三角形，进而得出DAC和BCO的正切值相等，从而得出结论；（3）先得出y1的顶点，进而得出先抛物线的表达式，N的坐标，根据三角形相似或一次函数可求得点M坐标，以MN为边

81、，点M，N，P，Q为顶点的四边形是MNQP和MNPQ根据M，N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标，进而求得结果【解答】（1）解：由题意得，二次函数的表达式为：yx22x+3；（2）证明：当x1时，y12（1）+34，D（1，4），由x22x+30得，x13，x21，A（3，0），B（1，0），AD220，C（0，3），CD22，AC218，AC2+CD2AD2，ACD90，tanDAC，BOC90，tanBCO，DACBCO；（3）解：如图，作DEy轴于E，作D1Fy轴于F，DEFD1，DECD1FC，FD12DE2，CF2CE2，D1（2，1），y1的关系式为：y（x2）2+1，当x0时，y

82、3，N（0，3），同理可得：，OM3，M（3，0），设P（2，m），当MNQP时，MNPQ，PQMN，Q点的横坐标为1，当x1时，y（12）2+18，Q（1，8），当MNPQ时，同理可得：点Q横坐标为：5，当x5时，y（52）2+18，Q（5，8），综上所述：点Q（1，8）或（5，8）24（2022庆阳二模）如图，二次函数yax2+bx3（a0）的图象交x轴于A（1，0），B两点，交y轴于点C，且OBOC（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点D是y轴右侧抛物线上一点（D不与B重合），过点D作DEx轴，垂足为点E，交直线BC于点F，若DF2EF，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，平面内是否存

83、在点G，使得以点B，C，D，G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）求出B点坐标，把B（3，0）和A（1，0）代入yax2+bx3（a0）中，即可求解；（2）设D（m，m22m3），则E（m，0），F（m，m3），由题意可得|m2+3m|2|（3m）|，求得D点坐标为（2，3）；（3）设G（x，y），当BC为平行四边形的对角线时，解得G（1，0）；当BD为平行四边形的对角线时，解得G（5，0）；当BG为平行四边形的对角线时，解得G（1，6）【解答】解：（1）二次函数yax2+bx3（a0）的图象交y轴于点C，C（0，3），OBOC3，二次函

84、数yax2+bx3（a0）的图象交x轴于B点，B（3，0），把B（3，0）和A（1，0）代入yax2+bx3（a0）中，所以，解得，二次函数的表达式为yx22x3；（2）点D是y轴右侧抛物线yx22x3上一点（D不与B重合），设D（m，m22m3），其中0m3，DEx轴，垂足为点E，E（m，0），设直线BC的表达式为ykx+b（k0），C（0，3）和B（3，0）在直线ykx+b（k0）上，解得，直线BC的表达式为yx3，DEx轴，交直线BC于点F，F（m，m3），DF|m3（m22m3）|m2+3m|，EF|3m|，DF2EF，|m2+3m|2|（3m）|，解得m2或m3（舍），D点坐标为（2，3）；（3）存在点G，使得以点B，C，D，G为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设G（x，y），当BC为平行四边形的对角线时，解得，G（1，0）；当BD为平行四边形的对角线时，解得，G（5，0）；当BG为平行四边形的对角线时，解得，G（1，6）；综上所述：点G的坐标为（1，0）或（5，0）或（1，6）