专题50 三角形相似-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（原卷版）.docx

1、专题50 三角形相似一、相似三角形的判定与性质的综合运用【典例】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于E，F两点，且MAN45，则下列结论：MNBM+DN；AEFBEM；AFAM=22；FMC是等腰三角形其中正确的是 （填写正确序号）【解答】解：将ABM绕点A逆时针旋转90至ADM，MANDAN+MAB45，AMAM，BMDM，MANMAN45，ANAN，AMNAMN（SAS），MNNM，MNMD+DNBM+DN，MNBM+DN；故正确；FDM135，MAN45，M+AFD180，AFE+AFD180，AFEM

2、，AMBM，AMBAFE，EAFEBM45，AEFBEM，故正确；AEBE=EFEM，即AEEF=BEEM，AEBMEF，AEBFEM，EMFABE45，AFM是等腰直角三角形，AFAM=22；故正确；在ADF与CDF中，AD=DCADF=CDF=45DF=DF，ADFCDF（SAS），AFCF，AFMF，FMFC，FMC是等腰三角形，故正确；故答案为：【巩固】如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AFFB=12，CEDF，垂足为点M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=12BC，连接GM有如下结论：AEBF；AN=24AD；ADFGMF；SANF=19SABC，上述结

3、论中，正确的是（）ABCD二、反比例函数中的相似应用【典例】如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（8，4），C（0，4），反比例函数y=kx的图象分别与线段AB，BC交于点D，E连接DE若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则K 【解答】解：过点E作EGOA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则BDEFDE，BDFD，BEFE，DFEDBE90易证ADFGFEAFEG=DFFE，AF：EGBD：BE，A（8，0），B（8，4），C（0，4），ABOCEG4，OABC8，D、E在反比例函数y=kx的图象上，E（k4，4）、D（8，-k8）OGEC=-k4，A

4、D=-k8，BD4+k8，BE8+k4，BDBE=4+k88+k4=12=DFFE=AFEG，AF=12EG2，在RtADF中，由勾股定理：AD2+AF2DF2即：（-k8）2+22（4+k8）2解得：k12故答案为：12【巩固】如图，已知动点A在函数y=4x(x0)的图象上，ABx轴于点B，ACy轴于点C，延长CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E，延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F，直线EF分别交x轴、y轴于点M、N，当NF4EM时，图中阴影部分的面积等于 三、二次函数中的相似问题【典例】如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yax2+bx+c与y轴交于点A（0，6

5、），与x轴交于点B（2，0），C（6，0）（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PDAC于点E，交x轴于点D，过点P作PGAB交AC于点F，交x轴于点G设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若PDG的面积为4912，求点P的坐标；设M为直线AP上一动点，连接OM，直线OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛

6、物线与x轴交于点B（2，0），C（6，0）设交点式ya（x+2）（x6）抛物线过点A（0，6）12a6a=-12抛物线解析式为y=-12（x+2）（x6）=-12x2+2x+6=-12（x2）2+8抛物线对称轴为直线x2（2）过点P作PHx轴于点H，如图1PHD90点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧2m6，PHn=-12m2+2m+6，n0OAOC6，AOC90ACO45PDAC于点ECED90CDE90ACO45DHPHnPGABPGHABOPGHABOPHAO=GHBOGH=BOPHAO=2PH6=13ndDHGHn-13n=23n=23（-12m2+2m+6）=

7、-13m2+43m+4（2m6）（3）SPDG=12DGPH=49121223nn=4912解得：n1=72，n2=-72（舍去）-12m2+2m+6=72解得：m11（舍去），m25点P坐标为（5，72）在抛物线上存在点R，使得ARS为等腰直角三角形设直线AP解析式为ykx+6把点P代入得：5k+6=72k=-12直线AP：y=-12x+6i）若RAS90，且S在线段AC上，如图2直线AC解析式为yx+6直线AR解析式为yx+6y=x+6y=-12x2+2x+6 解得：x1=0y1=6（即点A）x2=2y2=8R（2，8）ASROAC45RSy轴xSxR2S（2，4）直线OM：y2xy=2x

8、y=-12x+6 解得：x=125y=245M（125，245），同理，若S在CA的延长线上，R（2，8），S（2，8）直线OM：y4xy=-4xy=-12x+6，解得：x=-127y=487M（-127，487）；ii）若ASR90，如图4SARACO45ARx轴R（4，6）S在AR的垂直平分线上S（2，4）M（125，245）iii）若ARS90，如图5SARACO45，RSy轴ARx轴R（4，6）S（4，2）直线OM：y=12xy=12xy=-12x+6 解得：x=6y=3M（6，3）综上所述，M1（125，245），R1（2，8）；M2（-127，487），R2（2，8）；M3（125

9、，245），R3（4，6）；M4（6，3），R4（4，6）【巩固】如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点当QAB的面积等于PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；在的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y=13x-73交直线l于点F，点G在直线y=13x-73上，且AGAQ时，请直接写出GF的长巩固练习1如图，在ABC中，D、E分

10、别为BC，AB中点，F在AC上且AF2FC，AD与EF交于点G，则SAEGS四边形DCFG=（）A3：7B4：9C5：11D6：132如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在y=kx（k0，x0）的双曲线上，点O、E的对应点分别是点C、A若点A为OE的中点，且SAEF1，则k的值为（）A12B12C24D243如图，已知ABC，DCE，FEG，HGI是四个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB4，BC2，连接AI交FG于点Q，则QI的值为（）A4B103C3D83

11、4如图，在平行四边形OABC中，OA在x轴上，双曲线y=kx经过点C交AB于D，连接CD并延长交x轴于点E，连接BE，若SEBD=32，AE=13BC，则k的值为（）A-325B-165C2D25如图，点E、F分别在矩形ABCD的边BC、CD上，DE与AF相交于点N已知DF6，AN56若将矩形ABCD沿AF折叠后，点D恰好与点E重合，则ABE的面积为 6在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第3个正方形A2B2C2C1按这样的规律下去，第2022个正方

12、形的边长为 7如图，正方形ABCD和正方形AEFG，点F在BC边上，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG，以下四个结论：ACFADG；CF=2DG；DGAC；点G到直线AD和直线CD的距离相等；AHAC2AE2；其中正确的是 （只填序号）8已知四边形ABCD中，ABAD，AC平分DAB，过点C作CEAB于点E，点F为AB上一点，且EFEB，DGCADC（1）求证：CDCF；（2）H为线段DG上一点，连接AH，若ADC2HAG，AD5，DC3，求FGGH的值9如图，抛物线yax2+bx（a0）与双曲线y=kx相交于点A，B已知点A的坐标为（1，4），点B在第四象限内，且AOB的

13、面积为3（O为坐标原点）（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C，求所有满足EOCAOB的点E的坐标10如图，在平面直角坐标系xOy中，直角ABC的顶点A，B在函数y=kx（k0，x0）图象上，ACx轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M，交AC的延长线于点E，点A纵坐标为2，点B横坐标为1，CE1（1）求点C和点E的坐标及k的值；（2）连接BE，求MBE的面积11如图，在ABC中，点D在边BC上，联结AD，ADBCDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2DEDF（1）求证：BFDCAD；（2）求证：BFDEABAD12如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE（1）求抛物线的表达式；（2）判断BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，2为半径作C，在C上是否存在点P，使得BP+12EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由