专题十九 数列解答题-2022届天津市各区高三一模数学试题分类汇编.docx

1、2022届天津市各区高三年级一模数学分类汇编专题十九 数列1. 【2021天津卷】已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64是公比大于0的等比数列，（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明2. 【2020天津卷】已知为等差数列，为等比数列，（）求和的通项公式；（）记的前项和为，求证：；（）对任意的正整数，设求数列的前项和3. 【2022和平一模】已知等差数列各项均不为零，为其前项和，点在函数的图像上.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和；（3）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.4. 【2022部分区一模】在；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中

2、并完成解答.设是等差数列，公差为d，是等比数列，公比为q，已知，_.（1）请写出你的选择，并求和的通项公式；（2）设数列满足，求；（3）设，求证：.5. 【2022河东一模】已知数列是公比大于的等比数列，为数列的前项和，且，成等差数列.数列的前项和为，满足，且.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和为；6. 【2022红桥一模】已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，（1）求数列，的通项公式；（2）求7. 【2022河西一模】已知数列前n项和为，（1）求数列的通项公式；（2）设的值；（3）设，数列的前n项和为，证明：8. 【2022南开一模】已知数列满足，其前5项和为15；数列

3、是等比数列，且，成等差数列（1）求和的通项公式；（2）设数列的前n项和为，证明：；（3）比较和的大小9. 【2022河北一模】设数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列前n项和为，求；（3）利用第二问结果，设是整数，问是否存在正整数n，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由10. 【2022天津一中四月考】 已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于，.（1）求和的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项和；（3）若数列满足：，证明：.11. 【十二区县一模】设数列的前n项和为，且满足(nN*).（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前2n项和

4、为，若不等式对一切nN*恒成立，求的取值范围.2022届天津市各区高三年级一模数学分类汇编专题十九 数列（答案及解析）1. 【2021天津卷】已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64是公比大于0的等比数列，（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64所以

5、，所以，所以；设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去），所以；（II）（i）由题意，所以，所以，且，所以数列是等比数列；（ii）由题意知，所以，所以，设，则，两式相减得，所以，所以.【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.2. 【2020天津卷】已知为等差数列，为等比数列，（）求和的通项公式；（）记的前项和为，求证：；（）对任意的正整数，设求数列的前项和【答案】（），；（）证明见解析；（）.【解析】【分析】()由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；()利用()的结论首先求得数列前n项和，

6、然后利用作差法证明即可；()分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.【详解】()设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.由，可得d=1.从而的通项公式为.由，又q0，可得，解得q=2，从而的通项公式为.()证明：由()可得，故，从而，所以.()当n为奇数时，当n为偶数时，对任意的正整数n，有，和 由得 由得，由于，从而得：.因此，.所以，数列的前2n项和为.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.3. 【2022和平一模】已知等差数列各项均不为零，为其

7、前项和，点在函数的图像上.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和；（3）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.【答案】（1） （2） （3）最大值为，最小值为【分析】（1）将点代入函数解析再结合前和即可求解；（2）运用错位相减法或分组求和法都可以求解；（3）将数列的通项变形为，再求和，通过分类讨论从单调性上分析求解即可.【小问1详解】因为点在函数的图像上，所以，又数列是等差数列，所以，即所以，；【小问2详解】解法1：，=，解法2：， ， - 得，；【小问3详解】记的前n项和为，则=，当n为奇数时随着n的增大而减小，可得，当n为偶数时随着n的增大而增大，可得，所以的最大值为，最小值为

8、.4. 【2022部分区一模】在；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并完成解答.设是等差数列，公差为d，是等比数列，公比为q，已知，_.（1）请写出你的选择，并求和的通项公式；（2）设数列满足，求；（3）设，求证：.【答案】（1）条件选择见解析， （2） （3）证明见解析【分析】（1）根据等差与等比数列的通项公式进行基本运算求解即可；（2）由（1）得，进而错位相减法求解即可；（3）由（1）得，进而裂项求和即可.【小问1详解】解：选，由题意有，解得，故；选，由题意有，解得，故；选，由题意有，解得，故；【小问2详解】解：由（1）得，记，（1）.（2）（1）-（2）可得，故.以.【小问3详解】

9、解：由（1）得，所以.5. 【2022河东一模】已知数列是公比大于的等比数列，为数列的前项和，且，成等差数列.数列的前项和为，满足，且.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和为；【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，可得；运用等差数列的定义和通项公式可得；（2）求得，运用数列的裂项相消求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和.【详解】（1）由已知，得，即，也即，解得，故；，可得是首项为1，公差为等差数列，当时，经检验时也符合上式.则，；（2），设，所以，两式相减得= 所以，所以.【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有

10、：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）倒序相加法；（5）分组求和.要根据具体情况灵活选择合适的方法求解.6. 【2022红桥一模】已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，（1）求数列，的通项公式；（2）求【答案】（1）， （2）【分析】（1）利用等差数列求和公式和等比数列通项公式可构造方程求得公差和公比，由此可得所求通项公式；（2）由（1）可求得，采用分组求和法和错位相减法求解即可得到结果.【小问1详解】设等差数列公差为，等比数列公比为，解得：，；又，即，解得：，.【小问2详解】由（1）得：，；设，得：；令，得：，；设，得：，；7. 【2022河西一模】已知数列前n项和

11、为，（1）求数列的通项公式；（2）设的值；（3）设，数列的前n项和为，证明：【答案】（1） （2） （3）证明见解析【分析】（1）先由退位相减法得到，再变形得到，又，再由等比数列通项公式求解即可；（2）先由求出，再按照分组求和及等比数列求和公式求解即可；（3）先判断出为递增数列，得到，再化简得到，由裂项相消求和得，即可得证.【小问1详解】依题意，所以，两式相减得，化简得，即，又时，得，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以，即【小问2详解】由及，所以，【小问3详解】因为，所以为递增数列，则，由（1）知所以，所以，从而，综上可得8. 【2022南开一模】已知数列满足，其前5项和为15；数列是等

12、比数列，且，成等差数列（1）求和的通项公式；（2）设数列的前n项和为，证明：；（3）比较和的大小【答案】（1），； （2）证明见解析 （3）【分析】（1）求出等差数列的首项，可得等差数列的通项公式；求出等比数列的公比，可得其通项公式；（2）写出等比数列前n项和公式，作差，化简，即可证明结论；（3）利用错位相减法求得，化简，将两式相减，根据差的结果，比较大小，可得答案.【小问1详解】因为，所以数列是公差为1的等差数列，因为的前5项和为15，所以，所以，解得，所以设等比数列的公比为q，依题意，又，可得，解得，所以【小问2详解】由（1）得，所以,故.【小问3详解】记，-得,所以，当时，当时，当时，当

13、时，因为，所以，综上，【点睛】本题考查了等差等比数列通项公式的求解以及数列的求和方法和有关和式的大小比较，涉及到二项式系数和，综合性较强，解答时要注意数列求和的错位相减法的应用，比较大小时要注意二项式展开式的二项式系数和的应用9. 【2022河北一模】设数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列前n项和为，求；（3）利用第二问结果，设是整数，问是否存在正整数n，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由【答案】（1）;（2）（3）当时，存在正整数，使等式成立，当时，不存在正整数使等式成立.【分析】（1）直接由与的关系求解；（2）将（1）中求得的结果代入，化简后利用裂项相

14、消法求和；（3）将表示为含n的等式，利用是整数，找出符合条件的n即可.【详解】（1）令n1得，；当n时，所以（2）当时，,此时 ，又. 故， 当时，. （3）若，则等式为，不是整数，不符合题意； 若，则等式为，是整数, 必是的因数, 时 当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，当时，不存在正整数使等式成立【点睛】本题考查了数列的通项与前n项和的关系，考查了裂项求和法，考查了分析问题解决问题的能力及逻辑思维能力，属于难题.10. 【2022天津一中四月考】 已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于，.（1）求和的通项公式；（2）若数列满足

15、：，求数列的前项和；（3）若数列满足：，证明：.【答案】（1）， （2） （3）证明见解析【分析】（1）根据，可解得，即可求得的通项公式，根据条件中其余两个等式结合等差数列通项公式可解得，即可得到的通项公式；（2）由（1）可得，根据裂项相消法求解即可；（3）由（1）可得，根据真分数性质可得，则，进而结合等比数列前项和公式即可证明结果.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由已知，得，而，所以.又因为，解得，所以.由，可得，由，可得，即，联立，解得，由此可得.所以通项公式为，的通项公式为.【小问2详解】由（1），所以.【小问3详解】证明：由（1），.由真分数性质，若，则，所以，

16、所以，所以，故不等式得证.11. 【十二区县一模】设数列的前n项和为，且满足(nN*).（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前2n项和为，若不等式对一切nN*恒成立，求的取值范围.【答案】（1）； （2）.【分析】（1）根据及等比数列的定义即可求得答案；（2）结合（1）求出，当n为奇数时用裂项法求出奇数项和，当n为偶数时用错位相减法求出偶数项和，最后结合数列的单调性求出答案.【小问1详解】由题意， n=1时， n2时， 所以，即，数列是首项为1，公比为3等比数列， .【小问2详解】由（1）,当n为奇数时，,设数列的前2n项中奇数项的和为，所以,设数列的前2n项中偶数项的和为，所以 , ,两式相减得：，整理得：，故， ，不等式对一切nN*恒成立，即不等式对一切nN*恒成立，易知为递增数列，当n为偶数时，当n为奇数时，故，所以的取值范围为.