专题突破卷19传统方法求夹角及距离（解析版）.docx

1、专题突破卷19传统方法求夹角及距离 1.求异面直线的夹角1在三棱锥中，的边长均为6，P为AB的中点，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（）ABCD【答案】C【分析】取中点，连接，易得，要求与所成角的余弦，只要求出即可.【详解】如图，取中点，连接，是中点，则是PC与BD所成角的平面角（或补角），在中，由余弦定理，在中，同理，在中，由余弦定理可得，异面直线与所成角的余弦为.故选：C.2如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M，N分别在上、下底面圆上，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD【答案】B【分析】作出异面直线与所成角，然后通过解三角形求得所成角的余弦值.【详解】连接，设，则是的中点，设是

2、的中点，连接，则，则是异面直线与所成角或其补角.由于，所以，由于，而是圆柱底面圆的直径，则，所以，则，而，在三角形中，由余弦定理得.故选：B3如图，在棱长为1的正方体中，点在对角线上移动，设异面直线与所成角为，则的最大值为（） ABCD【答案】C【分析】异面直线与所成角为转化为平面角，注意到为直角三角形，进一步结合锐角三角函数的定义即可求解.【详解】如图所示：因为，所以为异面直线与所成角，又平面，与不重合时，为直角三角形，当越大时其正弦值也越大，当与重合时最大，此时在中，有，因此.故选：C.4四面体中，是边长为12的等边三角形，为的中点，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正切值是 【答案

3、】【分析】连接，易得，则或其补角即为异面直线与所成角，利用勾股定理求出，再解即可.【详解】如图，连接，因为为的中点，为的中点，所以，且，则或其补角即为异面直线与所成角，因为，所以，所以，因为为的中点，所以，则，则，所以，故，即异面直线与所成角的正切值是.故答案为：.5已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，若球的体积为，则异面直线与所成角的余弦值为 【答案】【分析】作出图形，分别取、的中点、，连接、，利用中位线的性质并结合异面直线所成角的定义得出异面直线与所成的角为或其补角，并计算出各边边长，利用余弦定理计算出，即可得出答案【详解】设球的半径为，则，解得如下图所示，分别取、的中点、，连接

4、、，为球的直径，A，B在球上，平面平面，平面，为的中点，则，、分别为、的中点，则，且，同理可得，且，所以，异面直线与所成的角为或其补角，且，在中，由余弦定理得因此，异面直线与所成成的余弦值为故答案为：6已知正四面体ABCD，点E为棱AD的中点，O为的中心，则异面直线EO与CD所成的角等于 .【答案】【分析】通过作平行线作出异面直线EO与CD所成的角，结合余弦定理解三角形即可求得答案.【详解】设正四面体ABCD的棱长为，连接，O为的中心，故平面，连接OD，平面，故，点E为棱AD的中点，故，连接并延长交CD于H，H即为的中点，则， 过点O作，交于F，交于G，则，则；则与所成角即为异面直线EO与CD

5、所成的角或其补角；连接，则，同理求得，即,而点E为棱AD的中点，则，故，在中，则，因为异面直线EO与CD所成的角范围为大于小于等于，故异面直线EO与CD所成的角为，故答案为：2.求直线与平面的夹角7如图，在四棱台中，底面，M是中点.底面为直角梯形，且，.(1)求证：直线平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意可证，可知四点共面，进而可得，结合线面平行的判定定理分析证明；（2）过点作于点，连，根据垂直关系分析可得为与平面所成角，运算求解即可.【详解】（1）连接，因为是中点，且，则，又因为，则，可知四点共面，由，可得，则四边形是平行四边形，故，且

6、平面，平面，所以平面.（2）因为底面，底面，则，且，平面，所以平面，由（1）可知：，则平面，且平面，所以平面平面，过点作于点，连，平面平面，平面，所以平面，所以为与平面所成角，因为，则，可得，所以直线与平面所成角的正弦值.8如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，.(1)设分别为的中点，求证：平面；(2)求证：平面；(3)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）连接，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）取棱的中点，连接，利用面面垂直的性质，证得平面，得到，结合，进而证得平面；（3）连接，由平面，得到是直线与平面所

7、成的角，在直角中，结合，即可求解.【详解】（1）证明：连接，根据题意可得，可得为的中点，又由为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）证明：取棱的中点，连接，因为为等边三角形，所以，又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，且平面，所以平面.（3）解：连接，由平面，可得是直线与平面所成的角，因为为等边三角形，且为的中点，所以，又因为，在直角中，所以直线与平面所成的角的正弦值为.9如图，已知正四棱柱的底面边长是3，体积是45，M，N分别是棱、的中点(1)求过，的平面与该正四棱柱所截得的多面体的体积；(2)求直线与平面所成的角【答案】(1)(2)【分析】（1）利用棱

8、柱以及棱锥的体积公式结合割补法即可求得答案；（2）证明，即可找到直线与平面所成的角，解三角形即可求得答案.【详解】（1）正四棱柱的底面边长是3，体积是45，即有，解得；所以三棱锥的体积为，所以多面体的体积为正四棱柱体积减去三棱锥的体积，即为；（2）因为M，N分别是棱、的中点，故，所以直线MN与平面所成的角即为直线与平面所成的角；连接BD、AC，交于点O，则；又平面平面，故，平面，故平面，则平面，所以是直线与平面所成的角；又平面，故，又，故， ，所以，又，所以10如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上（点E异于A、B两点），点F在DE上，且，若圆柱的底面积与ABE的面积之比等于(1

9、)求证：；(2)求直线DE与平面ABCD所成角的正切值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，结合圆的性质，可得答案；（2）根据线面角的定义，结合面面垂直性质，利用几何法，可得答案.【详解】（1）根据圆柱性质，平面因为平面，所以因为是圆柱底面的直径，点在圆周上，所以，又平面，故平面因为平面DAE，所以又，且平面，故平面因为平面，所以（2）因为平面平面，所以过作，由平面平面平面ABE，则平面，即为与平面所成角，设圆柱的底半径为，因为圆柱的轴截面是正方形，的面积为圆柱的底面积，因为圆柱的底面积与的面积之比等于，所以，解得，所以点为圆柱底面圆的圆心，则，即直线与平面所成角

10、的正切值11如图，在四棱锥中，是等边三角形，. (1)求的长度；(2)求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，由线面垂直判定可知平面，由此可知，根据长度关系可得结果；（2）作交于点，由面面垂直的判定与性质、线面角的定义可知为所求线面角，由长度关系可得结果.【详解】（1）取中点，连接，是等边三角形，又，平面，平面，平面，为等边三角形，.（2）平面，平面，平面平面，作，垂足为，则平面，连接，为直线与平面所成的角，由题意知：，又，直线与平面所成的角的正弦值为.12如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角ACDF为60，CDDE，AD2，DED

11、C3，CF6(1)求证：平面ADE；(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；（2）分析可知二面角的平面角为，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，可得出直线与平面所成角为，计算出、的长，即可求得的正弦值，即为所求.【详解】（1）四边形ABCD是矩形，又平面ADE，平面ADE，平面ADE，平面ADE，平面ADE，平面ADE，又，BC，平面BCF，平面平面ADE，而平面BCF，平面ADE；（2）CDAD，CDDE，ADE即为二面角ACDF的平面角，ADE60，又ADDED，平面ADE，平面ADE，CD

12、平面ADE，又平面CDEF，平面CDEF平面ADE，作AODE于O，连接CO，平面CDEF平面ADE，平面CDEF平面ADEDE，平面ADE，则AO平面CDEF，所以直线AC与平面CDEF所成角为ACO，可知，所以因此，直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为3.求平面与平面的夹角13如图，在三棱柱中，已知平面，且.(1)求的长；(2)若为线段的中点，求二面角的余弦值.【答案】(1)2(2)【分析】（1）根据题意可得平面，进而分析可知正方形，即可得结果；（2）根据题意利用补形法分析可得二面角的平面角为，利用余弦定理运算求解.【详解】（1）连接，因为平面，平面，则，又因为，平面，所以平面，且平面，

13、可得，因为为平行四边形，且，则为矩形，所以正方形，可得.（2）根据题意将三棱柱转化为正四棱柱，取的中点，连接，则三点共线，且/，因为/，可得/，所以平面即为平面，同理平面即为平面，因为/，平面，则平面，且平面，则，所以二面角的平面角为，可得，在中，则，所以二面角的余弦值为.14在四棱锥中，底面是菱形，底面，点在棱上，且(1)证明：平面平面；(2)证明：(3)求二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；（2）先证明PD平面，即可根据线面垂直的性质定理证明结论；（3）说明为二面角的平面角，解三角形即可求得答案.【详解】（

14、1）平面，平面，在菱形中，且，平面，平面，平面ACE，平面平面，即平面平面；（2）连接，则平面平面，由（1）知平面，平面，则，又，平面，PD平面，平面，即（3）由于平面，平面，则，又，且平面平面，平面，平面，故为二面角的平面角；在菱形中，则ABC是等边三角形，而O为AC，BD的中点，则，又，故，即二面角的余弦值为15如图，在三棱柱中，平面，分别为，的中点，为上的点，且.(1)求证：平面平面；(2)若三棱柱所有棱长都为，求二面角的平面角的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）依题意可得三棱柱为直三棱柱，则平面，即可得到，再由，即可得到平面，从而得证；（2）依题意可得为的中点，过点作

15、垂线，垂足为，连接，即可得到是二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得.【详解】（1）在三棱柱中，平面，则三棱柱为直三棱柱，平面，平面，平面，平面，又平面，平面平面；（2）因为三棱柱所有棱长都为，则为等边三角形，平面，平面，所以，所以为的中点，过点作垂线，垂足为，连接，平面，平面，又平面，所以，则是二面角的平面角，平面，平面，所以，故二面角的平面角的正切值为16如图，是直角梯形底边的中点，将沿折起形成四棱锥.(1)求证：平面；(2)若二面角为60，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据直角梯形性质以及边长可知，利用线面垂直的判定定理即可证明平面；（2）由（1）可知，

16、作出二面角的平面角并利用勾股定理即可求得边长，进而求出二面角的余弦值为.【详解】（1）在直角梯形中，易知，且，所以四边形为平行四边形， 又，是的中点，所以四边形是正方形，从而，也即，因此，在四棱锥中，平面，所以平面；（2）由（1）知，即二面角的平面角，故，又，可得为等边三角形；设的中点为F，的中点为G，连接，从而，于是，平面，从而平面，平面，因此；所以即所求二面角的平面角.由（1）中平面，且，从而平面，平面所以，设原直角梯形中，则折叠后四棱锥中，从而于是在中，；即二面角的余弦值为.17如图所示，菱形的对角线与交于点，点、分别为、的中点，交于点，将沿折起到的位置.(1)证明：(2)若，求二面角的

17、大小【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据菱形的几何性质、中位线定理以及等腰三角形的“三线合一”性质，结合线面垂直判定定理与性质定理，可得答案；（2）根据二面角的平面角定义，作图，根据图中的几何性质，结合线面垂直定理定理，利用锐角三角函数，可得答案.【详解】（1）在菱形ABCD中，又点E，F分别为AD，CD的中点，所以，则，易知，所以因为，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）由，得，因为，所以，所以，于是，所以由（1）知平面，又平面，所以，所以即为二面角的平面角，因为，所以二面角的大小为.18如图，在棱长为3的正方体中，为棱的两个三等分点(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值【答

18、案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）要证明线面平行，需先证明线线平行，根据条件中的分点，构造中位线，证明线线平行；（2）根据平面，可得为所求角，求解三边，利用余弦定理求解.【详解】（1）如图，连接交于点，连接在中，为的中点，为的中点，所以，又平面，平面，所以平面（2）连接，在正方体中，平面所以平面，而，均在平面内，所以，所以是二面角的平面角因为正方体的棱长为3，所以，由勾股定理得，在中，由余弦定理得，所以二面角的余弦值为4.已知夹角求距离19如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，点Q是PC的中点在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面所成的角为？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？

19、【答案】存在；【分析】假设点F存在，直线与平面所成的角为时，利用线面角的定义，求的长，检验点F是否在线段上.【详解】假设线段上存在点F，使直线与平面所成的角为，因为平面，平面，则，又底面是矩形，则，又平面，则平面，即平面，故就是直线与平面所成的角，又平面，平面，则，则，故，故当时，在线段上是存在点F，使直线与平面所成的角为；综上，存在F点，使直线与平面所成的角为，20如图，在直角梯形中，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点、不重合）(1)证明：平面平面；(2)是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由【答案】(1)证明见解析(2

20、)存在，为上靠近的四等分点【分析】（1）证明出平面，可得出，结合可得出平面，可得出，推导出，可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）过作在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，连接，分析可知为二面角的平面角，设，则，在中，设，由以及二面角的正切值求出的值，即可得出结论.【详解】（1）证明：翻折前，因为，为的中点，所以，且，又因为，则四边形为正方形，所以，翻折后，则，、平面，所以平面，因为平面，所以，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以平面平面（2）解：假设存在点满足题意，如图，过作在平面内作，垂足为点，在平面内，因

21、为，所以，由（1）知，平面，所以平面，因为平面，所以，过点在平面内作，垂足为点，连接，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，不妨设，则，在中，设，因为，,所以，所以，所以，得，所以，解得，即此时为线段上靠近点的四等分点综上，存在点，使得二面角的正切值为，此时为线段上靠近的四等分点21如图，在正四棱锥中，点O为底面的中心，点P在棱上，且的面积为1(1)若点P是的中点，求证：平面平面；(2)在棱上是否存在一点P使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明强由【答案】(1)证明见解析(2)存在，P为棱SD靠近端点S的三等分点.【分析】(1)根据给定条件计算SO

22、，SA，SC，证明SDAP，SDCP即可推理证得平面SCD平面PAC.(2)假定存在符合条件的点P，设出DP长并作出二面角P-AC-D的平面角，计算该角的余弦值即可判断作答.【详解】（1）在四棱锥S-ABCD中，正方形ABCD的边长是，则AC=2，因点S在底面ABCD上的射影为底面ABCD的中心点O，即SO底面ABCD，而AC底面ABCD，则SOAC，又SAC的面积为1，即，解得，于是得，则，因点P是SD的中点，则有SDAP，SDCP，而，平面PAC，从而得SD平面PAC，又平面SCD，所以平面SCD平面PAC.（2）假定在棱SD上存在一点P使得平面PAC和平面ACD夹角的余弦值为，连OP，O

23、D，如图，由(1)知，SOAC，而DOAC，平面SOD，则有AC平面SOD，又平面SOD，从而有POAC，因此，是二面角P-AC-D的平面角，令PD=a，由(1)知，SODO，SO=DO=1，则，且，过P作PM/SO交DO于M，则PMDO，因，则，而，即有，解得：，即有，所以在棱SD上存在一点P使得二面角的余弦值为，P为棱SD靠近端点S的三等分点.22如图1，在平行四边形ABCD中，将ABD沿BD折起，使得平面平面，如图2(1)证明：平面BCD；(2)在线段上是否存在点M，使得二面角的大小为45？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】(1)证明见解析；(2)存在点M，；【分析】（1）在中

24、，易证 ，作于点，根据平面平面，得到，再由，得到平面，进而得到，然后由，得到平面即可.（2）存在点M，当M是的中点，二面角的大小为45，由（1）知平面，取BD的中点为O，DC的中点为E，连接MO，EM，OE，证明 是二面角的平面角即可.【详解】（1）在中，因为，由余弦定理得，所以，所以，所以 如图所示：作于点，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以，又由，所以平面.（2）如图所示：存在点M，当M是的中点，二面角的大小为45. 证明如下：由（1）知平面，且，又因为是的中点，同理可得：BM=，取BD的中点为O，DC的中点为E，连接MO，EM，OE，因为，所以是二面

25、角 的平面角，又因为， .此时.23如图，在四棱锥中，平面， ，且，(1)求证：；(2)在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，请说明点的位置，如果不存在，请说明理由【答案】(1)见解析；(2)存在，为线段中点，证明见解析.【分析】（1）利用勾股定理证明，再利用线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，最后利用线面垂直的性质定理即可证明；（2）作出二面角的平面角，根据点的位置即可证明二面角为.【详解】（1）过点作交于，因为，所以四边形为矩形，又因为，所以四边形为正方形，所以，在中，所以，在三角形中，所以，因为平面，平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以.（2）存在

26、点，为线段中点，取中点，连接，过作于，连接,因为、为、中点，所以， 又因为四边形为正方形，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以,又因为，所以平面,因为平面，所以，因为 ，且平面平面，所以为二面角的平面角，所以，综上所述，当点为线段中点，二面角为.24如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，点F为棱的中点.(1)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；(2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角.【答案】(1)在棱上存在点E，使得平面，点E为棱的中点(2)60【分析】（1）取棱的中点E，取的中点Q，连接，证明，根据线面平行的判定定理证明；（2）

27、过B作于H，过H作于G，根据三垂线定理可得就是二面角的平面角，由已知二面角的余弦值为求得，设，根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理得平面.连接，则就是直线与平面所成的角，求解即可.【详解】（1）在棱上存在点E，使得平面，证明如下：取棱的中点E，取的中点Q，连接，且，且，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，.平面.（2）设，.平面平面，平面平面，平面，平面.连接，则就是直线与平面所成的角.由题意得，为等边三角形.过B作于H，则H为的中点，平面，又，平面.过H作于G，连接，平面，平面，就是二面角的平面角.，易得，.，即直线与平面所成的角为60.5.求几何体的体积25如图，梯形中，为中点，且

28、，将沿翻折到，使得连接(1)求证：；(2)为线段上一点，若，求三棱锥的体积【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意，证得平面，从而得到平面平面，取中点，连接，证得平面，从而证得平面，结合线面垂直的性质，即可证得（2）由，得到，结合棱锥的体积公式，即可求解.【详解】（1）证明：因为，所以且，又因为，且平面，所以平面，因为平面,所以平面平面，在梯形中，所以，所以在四棱锥中，又因为，所以为正三角形，取中点，连接，可得，因为平面平面，平面平面，平面，且，可得平面，又因为，所以四边形OBCE为正方形，所以，因为且平面，所以平面,又因为平面，所以（2）解：由题意得，点为线段上一点，且，即，所以

29、，又由（1）知平面，所以为三棱锥的高，由为正三角形，且，可得，所以26如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且侧面面ABCD，O是AD的中点，当时，在棱PC上是否存在一点M，使得三棱锥的体积为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由【答案】存在，【分析】先假设存在符合题意的点，然后利用求得.【详解】由于，是的中点，所以，由于侧面面ABCD且交线为，平面，所以平面.假设在棱上是否存在一点满足题意，当时，则，因为为中点，则，则，则，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，则.27如图1，在五边形中，四边形为正方形，如图2，将沿折起，使得至处，且.(1)证明：平面；(2)若四棱锥的体积为4，求的长

30、.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知易得，即可证明线面垂直；（2）取中点，连接，根据线面垂直的性质与判定可得为四棱锥的高，再根据四棱锥体积求解即可.【详解】（1）由题意得，则，因为，则，又，平面，所以平面，又平面，则，又，平面，平面，所以平面（2）取中点，连接，由正方形可得.又平面，由（1）可得.又，平面，则平面.即为四棱锥的高.设，则，.由（1）可得底面为直角三角形，故，解得，即.28如图，在四棱雉中，底面是正方形，点，分别为线段，的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据三角形中位线定理以及平行四边形的性质，结合线面平行的判

31、定定理，可得答案；（2）根据勾股定理以及线面垂直判定定理，结合三角形中位线定理，明确三棱锥的高，利用正方形的性质，求得底面三角形的面积，再利用三棱锥体积公式，可得答案.【详解】（1）取的中点，连接，如下图所示：在中，因为分别为的中点，所以，且，在正方形中，因为为的中点，所以，且，因为，所以四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，所以平面.（2）取的中点，连接，如下图所示：在中，由，则，所以，同理可得：，因为，平面，所以平面，在中，因为分别为的中点，所以且，则平面，故为三棱锥以平面为底面上的高，在正方形中，为的中点，则，所以三棱锥的体积.29如图，四棱锥的底面是菱形，平面底面，分别是，的中点，.

32、(1)求证：平面；(2)求证：；(3)求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理直接证明；（2）利用直线与平面垂直证明直线与直线垂直；（3）求出四棱锥的高与底面积，从而利用体积公式求出体积.【详解】（1）证明：取中点，连接，因为分别是的中点，所以，又因为底面是菱形，是的中点，所以，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）证明：取中点，连接，因为，为中点，所以，又因为平面底面，平面底面，平面，所以底面，又底面，所以，因为底面是菱形，所以，又因为分别是的中点，所以，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以.

33、（3）解：由（2）知底面，所以是四棱锥的高，因为，为中点，所以，因为底面是菱形，所以，所以四棱锥的体积.30已知四棱锥，底面为菱形，平面，为上一点(1)平面平面，证明：(2)当直线与平面的夹角为时，求三棱锥的体积【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面平行的判定定理和性质定理证明即可；（2）过点作的垂线，垂足为，所以平面，由题意可求得直线与平面的夹角为，可得点为中点，由等体积法求解即可.【详解】（1）因为平面平面，所以平面，平面，又因为平面平面，所以（2）过点作的垂线，垂足为，则，因为平面，所以平面，所以直线与平面的夹角为，又，设，则，所以，所以，所以M为CD中点，E为PC中点，因为

34、平面，所以平面，所以，又因为，平面，所以平面，所以点到平面的距离为，故6.利用等体积法求点到面的距离31如图，在正四棱台中，.(1)证明：.(2)若正四棱台的高为3，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，（，分别为正四棱台上、下底面的中心），根据面线垂直的判定定理证明平面即可；（2）连接，可求得侧面的斜高为，再由求解即可.【详解】（1）证明：连接，设正四棱台上、下底面的中心分别为，连接，则，分别为，的中点，因为是正四棱台，所以平面.又平面，则，因为为正方形，所以，又，所以平面. 因为平面，所以.（2）解：连接，因为正四棱台的高为3，所以，且侧面的斜高为， 所以.

35、设点到平面的距离为，因为，所以，解得，即点到平面的距离为.32如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且.点在圆所在平面上的正投影为点，.(1)求证：平面；(2)设，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直的性质及圆直径所对圆周角为直角，由线面垂直的判定定理得证；（2）利用等体积法求棱锥的高即可.【详解】（1）连接，如图，由知，点为的中点，又为圆的直径，由知，为等边三角形，从而点在圆所在平面上的正投影为点，平面，又平面，又，平面，所以平面（2）因为，所以， 又，为等腰三角形，则 设点到平面的距离为，由得，解得，即点到平面的距离为.33如图，

36、圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，点E在底面圆周上，F为垂足(1)求证：(2)当直线DE与平面ABE所成角的正切值为2时，求点B到平面CDE的距离【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明，可得，进而证明，根据线面垂直的性质定理可证明结论.（2）由为直线DE与平面ABE所成角，求得，设B到平面CDE的距离为h，则有，由等体积法可求h.【详解】（1）AB为圆的直径，又平面AEB，平面AEB，又，平面ADE，平面ADE，而平面AEB，又，且，平面BDE，平面BDE，又平面BDE，；（2）由题意可知，平面ABE，为直线DE与平面ABE所成角，设B到平面CDE的距离为h，则有，因为，由余

37、弦定理得，则，故，由点向直线作垂线，垂足为，平面AEB，平面AEB，所以，平面，所以平面，且，解得，B到平面CDE的距离为34如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面分别是中点，点在棱上移动.(1)证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据面面垂直的判定定理来证得平面平面.（2）利用等体积法来求得点到平面的距离.【详解】（1）连接，底面为菱形，为正三角形，是的中点，又，平面平面，平面，平面，平面，平面平面.（2）连接，.设到平面的距离为，由于平面，所以，所以，由，得.35如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，分别是，的中点在线段（含

38、端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由【答案】存在，与点重合时，满足题意，证明见解析【分析】通过等体积法，利用点到平面的距离利用方程，由此判断出点的位置.【详解】当点与点重合时，点到平面的距离为，证明如下：取中点，连接,则，所以四点共面，又平面，平面，所以，又，,平面，所以平面，设点到平面的距离为，又,即,即,所以，解得.故在线段存在点（端点处），使点到平面的距离为.36如图所示，圆锥的高，底面圆O的半径为1，延长直径AB到点C，使得BC1，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点. (1)证明：

39、平面PDE平面POD；(2)点E到平面PAD的距离为d1，求d1的值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据条件可证明CE平面POD，即可证明面面垂直；（2）分别求和的面积，利用等体积转化为点到平面的距离.【详解】（1）证明：由题设，PO平面ABD，又D是切线CE与圆O的切点，所以CE平面ABD，则POCE，且ODCE，又POODO，PO，OD平面POD，所以CE平面POD，又CE平面PDE，所以平面PDE平面POD.（2）因为ODCE，OD1，OC2，所以，又AEAC，CA3，所以，所以，为等边三角形，所以，且ADE的面积为，因为，,，所以PAPD2，所以PAD为等腰三角形，其底边

40、AD上的高为，所以PAD的面积为，因为，所以，所以1如图，三棱锥中，平面平面.(1)求三棱锥的体积的最大值；(2)求二面角的正弦值的最小值.【答案】(1)(2).【分析】（1）取的中点，连接，利用面面垂直的性质可得平面，进而求体积的最大值即可；（2）解法一：过作于，连接，由线面垂直的判定定理和性质定理结合二面角的概念可得为二面角的平面角，再结合三角函数的概念即可求解；解法二：以为坐标原点，向量，为轴，轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.【详解】（1）取的中点，连接，因为，所以又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为，所以，所以三棱锥的体积为因为，所以，当且仅当，即时，等号

41、成立，故三棱锥的体积的最大值为.（2）解法一：由（1）可知平面，又平面，所以，过作于，连接，因为平面，所以平面，又平面，所以，所以为二面角的平面角，在中，因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2.此时取得最小值，故二面角的正弦值的最小值为. 解法二：由（1）可知平面，以为坐标原点，向量，为轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，设平面的法向量为，则，取，则，又取平面的法向量为，设二面角的大小为，所以，因为，所以，令，则，整理可得，所以，解得，所以当，即，时，取得最大值，此时取得最小值，故二面角的正弦值的最小值为.2已知平面四边形，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中

42、点，点在线段上(1)求证：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意得，取的中点，则，因为平面平面，所以平面，又，所以平面，从而，利用线面垂直的判定定理可得结论；（2）由平面，故为与平面所成的角，可求得，由题意可得为线段的中点，取的中点为，则，所以平面，则，过点作，垂足为，则，所以为二面角的平面角，求解即可【详解】（1）因为，所以为等边三角形，因为为的中点，所以取的中点，连接，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，平面，所以平面（2）由（1）知，平面，故为

43、与平面所成的角，又平面，平面，所以，即为线段的中点取的中点为，连接，因为为线段的中点，所以，又平面，所以平面，平面所以，过点作，垂足为，连接，平面，所以平面平面，所以，所以为二面角的平面角在等边三角形中，由（1）知，平面，平面所以，在中，由，即，解得因为平面，平面，所以，在中，所以，即二面角的平面角的余弦值为3如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱的中点，是棱上一点，且(1)求证：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，证明四点共面，结合线面平行判定定理证明结论；（2）连接交于点，根据线面垂直判定定理证明平面，利用等体积法求点到平面

44、的距离，根据线面角的定义求直线与平面所成角的正弦值【详解】（1）取的中点，连接，因为为的中点，所以，又，所以，故四点共面，由题意知分别为的中点，故，又平面平面，因此平面；（2）连接交于点，则为平行四边形的中心，又，则等腰中，根据三线合一，有，又，故平面，设，则，相加并整理得，在，中，有，即，解方程组得，故，于是，在中，是中点，故，于是，设点到平面的距离为，由，得，故，故所求线面角的正弦值4如图三棱柱中，是边长为2的正三角形，二面角的余弦值为.(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，根据题意分析可知：二面角的平面角为，进而可得，

45、利用勾股定理结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）方法一：建系，利用空间向量求线面夹角；方法二：利用等体积法求点到平面的距离为，进而可得结果；方法三：过作，连接，分析可知与平面所成角，运算求解即可.【详解】（1）取的中点，连接，因为，则，可得二面角的平面角为，即，在中，则，因为，即，可得，即，且，平面，所以平面.（2）方法一：由（1）可知：，平面，所以平面，且平面，可得平面平面，若过作平面的垂线，可知垂线在平面内，如图，以O为坐标原点，分别为轴建系，则，设点在平面的投影为，由面面垂直可知：，连接，在中，由等面积法可得，解得，则，所以，可得，所以设平面的法向量，则，令，则，即，则，所以与平面所成

46、角的正弦值为.方法二：由（1）可知：，平面，所以平面，且平面，可得，又因为，所以，则，设点到平面的距离为，因为，则，解得所以与平面所成角的正弦值为；方法三：由（1）可知：，平面，所以平面，且平面，可得，又因为，所以，则，过作，连接，因为平面，平面，则，且，平面，所以平面，所以与平面所成角，在中，由等面积法可得，解得，所以与平面所成角的正弦值为.5如图：已知直三棱柱中，交于点O，.(1)求证：；(2)求二面角的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意可证平面，进而可得，结合证明平面，即可得结果；（2）可知二面角即为二面角，根据题意结合三垂线法可得二面角的平面角为，运算求解即可

47、.【详解】（1）因为平面ABC，平面ABC，可得，由题意可知：，即，且，平面，所以平面，且平面，所以，又因为，则是正方形，可得，且，平面，所以平面，且平面，所以 .（2）连接，可知平面即为平面，则二面角即为二面角，取的中点，连接，因为，且为的中点，则，又因为平面ABC，平面ABC，可得，平面，所以平面，且平面，则，所以二面角的平面角为，在中，可得，所以二面角的正切值为.6四棱锥中，平面，四边形为菱形，E为的中点，F为中点(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线线平行证线面平行即可；（2）由二面角定义构造垂直解三角形即可.【详解】（1）如图所示，取

48、中点G，连接，由中位线的性质易知：且，又因为底面是菱形，E为的中点，所以，即四边形是平行四边形，所以，而平面，平面，所以平面；（2）如图所示，作，垂足为I，作交PC于J，连接AJ，易知即二面角，在菱形中，由于，平面，易得，在中，在中，在中，即二面角的正弦值为.7如图（1），在中，、分别为边、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2）当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题：(1)设平面与平面的交线为，求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由【答案】(1)证明见解析(2)存在，或【分析】（1）先判断出当平面时，四棱锥的体积取最大值；

49、然后结合线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理证得平面.（2）判断出与平面所成角，根据所成角的正弦值列方程，结合余弦定理求得.【详解】（1）过点在平面内作，垂足为点，则平面，平面，平面，平面，则，故当平面时，四棱锥的体积取最大值，平面，因为，为的中点，所以，且，故四边形为平行四边形，所以，平面，平面，平面，因为平面，平面平面，因此，平面.（2）因为平面，与平面所成角为，因为平面，所以，解得，在中，由余弦定理可得，所以，解得或.因此，在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且或.8直四棱柱，(1)求证：平面；(2)若四棱柱体积为36，求二面角大小的正切值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】

50、（1）要证直线与平面平行，可以先证平面与平面平行，进而可证结论；（2）先由棱柱体积求出侧棱长，然后作出二面角的平面角，再通过解三角形即可得解.【详解】（1）因为是直四棱柱，所以，又因为平面，平面，平面，因为，平面，平面，所以平面，又因为，平面，平面平面，又平面，平面.（2）因为直四棱柱体积，所以，解得，在平面内过A点作，垂足为，连接，因为是直四棱柱，所以平面，又平面，所以，又因为，平面，所以平面，又平面，所以，故即为二面角的平面角，因为，所以，由得，故，即二面角大小的正切值为.9如图，长方体中，P为棱中点，E棱中点线段上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由【答案

51、】存在，【分析】先假设存在符合题意的点，设，利用等体积法列方程，求得，从而求得.【详解】假设线段上存在点，使得它到平面的距离为，设，则，设是的中点，连接，由于是的中点，所以，所以平面，由于平面，所以，在直角三角形POE中，在直角三角形DOE中，所以，由，即，解得，所以存在点满足题意，此时10如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，是的中点(1)证明：；(2)求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，结合，推出平面，得到，证明平面，即可证明（2）利用，转化求解即可【详解】（1）证明：因为底面是边长为2的正方形，所以，因为是的中点，所以,因为平面

52、，平面，所以，因为四边形为正方形，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，（2）设点到平面的距离为，因为平面，平面，所以，因为，所以为等腰直角三角形，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以，所以，所以，因为是的中点，平面，所以点到平面的距离为，因为，所以，所以，解得，所以点到平面的距离为.11如图，在四棱锥中，平面分别为的中点(1)证明：平面；(2)若，求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取中点，利用平行公理，线面平行的判定推理作答.（2）转化成求点到平面的距离，再利用等体积法求解作答.【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连

53、接，如图，由，得四边形是菱形，且，因为分别为的中点，则，于是四边形是平行四边形，有，而平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，平面，平面，则平面，于是点到平面的距离等于点到平面的距离，由平面，平面，得，而，则，底边上的高，于是的面积，而，由，得，即，解得，所以点到平面的距离是.12如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面平面，点为的中点.(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先根据平面平面得到平面，进而得到，结合可得平面，进而得到，进而结合可得平面，进而求证；（2）作于点，利用面积公式可得，由点为的中点，可得点到平面的距离等于点到平面的距离，可

54、得，进而结合体积公式求解即可.【详解】（1）证明：平面平面，平面平面，且平面，平面，又平面，. 又，平面，平面，又平面，则. 在中，为的中点，又，平面，平面， 又平面，平面平面.（2）作于点，在中，则， 点为的中点，点到平面的距离等于点到平面的距离，即.又点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即，所以， 所以三棱锥的体积为.13如图，在三棱柱中，平面平面ABC，(1)求证：B，D，E，四点共面；(2)求四棱锥的体积【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题设，进而有，易得四边形为平行四边形，再结合，即可证结论；（2）根据面面垂直性质定理证明线面垂直，最后根据体积公式计算即可.【详解】（

55、1）在三棱柱中，因为，即，所以，则四边形为平行四边形，则又因为，所以，故B，D，E，四点共面（2）连接，取AC的中点O，连接，BO，如图所示在三棱柱中，四边形为平行四边形，则，又，所以为等边三角形又O为AC的中点，所以又平面平面ABC，平面平面，平面，所以平面ABC又，O为AC的中点，所以因为，所以，又因为，所以四棱锥的体积为14如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得?若存在，求出；若不存在，说明理由【答案】存在， 【分析】先假设存在符合题意的点，根据线面角和面面角的知识判断出此时，由列方程来求得.【详解】假设存在点，使得，延长

56、与交于点，连接，则平面平面，设平面，垂足为，连接，是直线与平面所成的角，因为且，所以，点为的中点，则，过点作垂直于，垂足为，因为平面，平面，所以，又因为，、平面，所以平面，因为平面，所以，是平面与平面的夹角的平面角（或补角），所以，由，得，所以、重合，由，得，设，则，由勾股定理可得，即，整理可得，解得或（舍），所以存在点，当，有成立.15在直角梯形中，点为线段上的一点.将沿翻折到的位置，使得.(1)求证：平面；(2)若二面角为，判断所在的位置；(3)在上是否存在一点，使.若存在，指出位置并证明，若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)点为中点(3)存在，为中点，证明见解析【分析】（1

57、）在直角梯形中，由已知可得，然后由线面平行的判定定理可证得结论，（2）由题意得即为二面角的平面角，即=，在直角三角形中可求得结果，（3）存在为中点时，使， 取的中点，连接，由线面垂直和线线平行可得结论.【详解】（1）在直角梯形中，平面，平面，平面；（2），即为二面角的平面角，即=，在直角三角形中，点为中点.（3）存在为中点时，使， 取的中点，连接，平面，平面，平面，平面，平面，为中点，为的中点，点在平面上，平面，.16如图，在直三棱柱中，D为棱AB的中点，E为侧棱的动点，且(1)是否存在实数，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(2)设，求DE与平面所成角的正弦值的取值范围【答案

58、】(1)存在；(2)【分析】（1）解法一：连接，设，则利用平行关系和比例关系可证得，然后由线面平行的判定定理可证得结论；解法二：连接交于点，连接GD，利用三角形中位线定理和平行四边形性质可证得四边形为平行四边形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论；（2）过点作交于点，由已知先证得平面，再可得平面，则为DE与平面所成角，然后在中求解即可.【详解】（1）解法一：存在实数，使得平面理由如下：如图，连接，设，因为，所以，所以，因为为AB的中点，所以，所以，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面；解法二：存在实数，使得平面理由如下：如图，连接交于点，连接GD，在直三棱柱中，四边形为矩形，所以点为的中

59、点，因为为棱AB的中点，所以，又因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）因为，所以，所以，过点作交于点，则，又因为，所以，因为，平面，所以平面，所以为DE与平面所成角，设，在中，所以，即DE与平面所成角的正弦值的取值范围为17如图，在多面体中，菱形的边长为2，四边形是矩形，平面平面，(1)在线段上确定一点，使得平面平面；(2)设是线段的中点，在（1）的条件下，求二面角的大小【答案】(1)H为线段FC的中点(2)【分析】（1）证明，即可得；（2）证明平面，则为二面角的平面角，由此计算平面角的大小即可【详解】（1）为线段的中点证明如下：在菱形中，连接与交于点，于

60、是为中点，在中，为中位线，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为四边形是矩形，因为平面，平面，所以平面，又，平面，且，所以平面平面（2）分别取EF，HG，OC中点M，N，P，连接MO，MA，MC，NP，NO，NA，于是，N为线段MC中点，易知，在矩形BDEF中，菱形ABCD中，且，MO，平面AMC，所以平面AMC又GH为的中位线，故，且，所以所以平面AMC又AN，平面AMC，所以，所以ANO为二面角的平面角由已知，平面平面ABCD，平面平面ABCDBD，平面BDEF，且，可得又NP为的中位线，所以，且，所以平面ABCD，进而在菱形ABCD中，在直角中，所以在直角中，所以，所以，即二面角的大小为