初三-第03讲-正方形-教案.docx

1、第03讲 正方形 温故知新一、平行四边形的性质与判定1、平行四边形的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。2、平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。3、平行四边形的判别方法：平行四边形中有4条判定定理：简记为一组两组两条一组（对边平行且相等） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组（对边平行、对边相等） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两条（对角线相互平分） 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形二、菱形的性质与判定：1、菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫

2、做菱形，菱形是特殊的平行四边形。2、菱形的性质： （1）对边平行，四边相等。（2）对角相等，邻角互补。 （3）对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角。ABCD12 四边形 四边形3、菱形的判定：ABCD （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直的平行四边形。 （3）四条边都相等的四边形。（4）菱形的面积=边长高=对角线的乘积的一半。三、矩形的性质与判定：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。矩形的性质：矩形具有平行四边形的一切性质。（1）边：对边平行且相等。（2）角：四个角都是直角。（3）对角线：互相平分且相等。矩形的判定：（1）有

3、一个角是直角的平行四边形。（2）对角线相等的平行四边形。（3）有三个角是直角的四边形。 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。智慧乐园知识要点一正方形的定义及性质（1）正方形的定义：一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。 它包含两层意思：正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形。（2）正方形的性质： 正方形具有矩形和菱形的一切性质。边：对边平行，四边相等。角：四个角是直角。对角线：互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角。 典例分析例1、下列说法正确的是（）A对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B对角线互相垂直平分的四边形是正方形C对角线互相垂直的四边形是平行四边形D对角线相等且互相平

4、分的四边形是矩形【解答】解：选D例2、已知：如图，MON=45，OA1=1，作正方形A1B1C1A2，面积记作S1；再作第二个正方形A2B2C2A3，面积记作S2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，面积记作S3；点A1、A2、A3、A4在射线ON上，点B1、B2、B3、B4在射线OM上，依此类推，则第6个正方形的面积S6是（）A256 B900 C1024 D4096【解答】解：MON=45，OA1B1是等腰直角三角形，OA1=1，正方形A1B1C1A2的边长为1，B1C1OA2，B2B1C1=MON=45，B1C1B2是等腰直角三角形，正方形A2B2C2A3的边长为：1+1=2，同理，第3

5、个正方形A3B3C3A4的边长为：2+2=4，第4个正方形A4B4C4A5的边长为：4+4=8，第5个正方形A5B5C5A6的边长为：8+8=16，第6个正方形A6B6C6A7的边长为：16+16=32，所以，第6个正方形的面积S6是：322=1024故选C例3、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为（）A4 B3 C2+ D【解答】解：过点M作MFAC于点F，如图所示MC平分ACB，四边形ABCD为正方形，CAB=45，FM=BM在RtAFM中，AFM=90，FAM=45，AM=2，FM=AMsinFAM=

6、AB=AM+MB=2+故选C例4、如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF则BE：CF的值为【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形AEFG的边长为b，则BE=ab，正方形AEFG的顶点E，AF平分BAD，四边形ABCD是正方形，CA平分BAD，点F在正方形ABCD的对角线上，G在正方形ABCD的边AB，AD上，CF=ab，BE：CF=（ab）：（ab）=故答案为：例5、如图，正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，使B，C，E三点在同一直线上，连接BF，交CD与点G（1）求证：CG=CE；（2）若正方形边长为4，求菱形BDFE的面积【解

7、答】解：连接DE，则DEBF，ODG+OGD=90，CBG+CGB=90，CGB=OGDCDE=CBG，又BC=DC，BCG=DCE，BCGDCE（ASA），CG=CE，（2）正方形边长BC=4，则BD=BC=4，菱形BDFE的面积为S=44=16答：菱形BDFE的面积为16例6、【阅读发现】如图，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M，则图中ADEDFC，可知ED=FC，求得DMC=90【拓展应用】如图，在矩形ABCD（ABBC）的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M（1）求证：ED=FC（2）若ADE=20，求DMC的度数【解

8、答】解：如图中，四边形ABCD是正方形，AD=AB=CD，ADC=90，ADEDFC，DF=CD=AE=AD，FDC=60+90=150，DFC=DCF=ADE=AED=15，FDE=60+15=75，MFD+FDM=90，FMD=90，故答案为90（1）ABE为等边三角形，EAB=60，EA=ABADF为等边三角形，FDA=60，AD=FD四边形ABCD为矩形，BAD=ADC=90，DC=ABEA=DCEAD=EAB+BAD=150，CDF=FDA+ADC=150，EAD=CDF在EAD和CDF中，EADCDFED=FC；（2）EADCDF，ADE=DFC=20，DMC=FDM+DFC=FD

9、A+ADE+DFC=60+20+20=100学霸说：熟练掌正方形的性质，三角形的全等判定及性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上中线的性质等是解题的关键； 举一反三1、如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3，按图示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3，在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，B1C1O=60，B1C1B2C2B3C3，则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是（）A（）2015 B（）2016 C（）2016 D（）2015【解答】解：如

10、图所示：正方形A1B1C1D1的边长为1，B1C1O=60，B1C1B2C2B3C3D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，D1C1E1=C2B2E2=C3B3E4=30，D1E1=C1D1sin30=，则B2C2=（）1，同理可得：B3C3=（）2，故正方形AnBnCnDn的边长是：（）n1则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是：（）2015故选：D2、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，EAF=45，ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（）A2 B3 C4 D5【解答】解：将DAF绕点A顺时针旋转90度到BAF位置，由题意可得出：DAFBAF，

11、DF=BF，DAF=BAF，EAF=45，在FAE和EAF中，FAEEAF（SAS），EF=EF，ECF的周长为4，EF+EC+FC=FC+CE+EF=FC+BC+BF=DF+FC+BC=4，2BC=4，BC=2故选A3、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则AMD的度数是（）A75 B60 C54 D67.5【解答】解：如图，连接BD，BCE=BCD+DCE=90+60=150，BC=EC，EBC=BEC=（180BCE）=15BCM=BCD=45，BMC=180（BCM+EBC）=120，AMB=180BMC=60AC是线段BD的垂直平分线，M

12、在AC上，AMD=AMB=60故选B4、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（4，0），以AB为边作正方形ABCD，连接OD，DB则DOB的面积是14【解答】解：过点D作DEy轴，垂足为EA的坐标是（0，3），点B的坐标是（4，0），OA=3，OB=4ABCD为正方形，AB=AD，DAB=90DAE=AB0在ABO和DAE中，ABODAEAE=OB=4OE=AE+AO=4+3=7OBD的面积=OBOE=47=14故答案为：145、如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正

13、方形AEGH，如此下去，记正方形ABCD的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，则an=（）n1【解答】解：由题意得，a1=1，a2=a1=，a3=a2=（）2，a4=a3=（）3，an=an1=（）n1故答案为：（）n16、如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G、E分别是边AB、BC的中点，AEF=90，且EF交正方形外角的平方线CF于点F（1）证明：AGEECF； （2）求AEF的面积【解答】（1）证明：G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，AG=GB=BE=EC，且AGE=18045=135；又CF是DCH的平分线，DCF=FCH=45，ECF

14、=90+45=135；在AGE和ECF中，；AGEECF；（2）解：由AGEECF，得AE=EF；又AEF=90，AEF是等腰直角三角形；AB=a，E为BC中点，BE=BC=AB=a，根据勾股定理得：AE=a，SAEF=a2知识要点二正方形的判定 判定方法（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。（2）有一个角是直角的菱形是正方形。（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。（4）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 典例分析例1、下列说法不正确的是（）A有一个角是直角的平行四边形是正方形B对角线相等的菱形是正方形C对角线互相垂直的矩形是正方形D一组邻边相等的矩形是正方形【解答】

15、解：选：A例2、如图，在ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DECA，DFBA下列四个判断中，不正确的是（）A四边形AEDF是平行四边形B如果BAC=90，那么四边形AEDF是矩形C如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形D如果ADBC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形【解答】解：选：D例3、如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=3AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为a2【解答】解：过E作EPBC于点P，EQCD于点Q，四边形ABCD是正方形，BCD=90，又EPM

16、=EQN=90，PEQ=90，PEM+MEQ=90，三角形FEG是直角三角形，NEF=NEQ+MEQ=90，PEM=NEQ，AC是BCD的角平分线，EPC=EQC=90，EP=EQ，四边形PCQE是正方形，在EPM和EQN中，EPMEQN（ASA）SEQN=SEPM，四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，正方形ABCD的边长为a，AC=a，EC=3AE，EC=a，EP=PC=a，正方形PCQE的面积=aa=a2，四边形EMCN的面积=a2，例4、已知：如图，在ABC中，AB=AC，D是的BC边的中点，DEAC，DFAB，垂足分别是E、F（1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四

17、边形EDFA是正方形，并给出证明【解答】解：（1）连接AD，AB=AC，D是的BC边的中点，AD是BAC的角平分线，DEAC，DFAB，DF=DE；（2）添加BAC=90，DEAC，DFAB，AFD=AED=90，四边形AFDE是矩形，DF=DE，四边形EDFA是正方形 举一反三1、菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）A对角线相等且互相平分 B对角线相等且互相垂直平分C对角线互相平分 D四条边相等，四个角相等【解答】解：A、不正确，菱形的对角线不相等；B、不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不垂直；C、正确，三者均具有此性质；D、不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等；故选C2、如图

18、，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E则四边形AECF的面积是16【解答】解：四边形ABCD为正方形，D=ABC=90，AD=AB，ABE=D=90，EAF=90，DAF+BAF=90，BAE+BAF=90，DAF=BAE，在AEB和AFD中，AEBAFD（ASA），SAEB=SAFD，它们都加上四边形ABCF的面积，可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=16故答案为：163、如图，过正方形ABCD的顶点D作DEAC交BC的延长线于点E（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；（2）若BD=

19、8cm，求线段BE的长【解答】解：（1）四边形ACED是平行四边形理由如下：四边形ABCD是正方形，ADBC，即ADCE，DEAC，四边形ACED是平行四边形；（2）由（1）知，BC=AD=CE=CD，BD=8cm，BC=BD=8=4cm，BE=BC+CE=4+4=8cm考场直播1、如图，正方形ABGD中，AB=AD=6，梯形ABCD中，DEDC交AB于E，DF平分EDC交BC于F，连结EF（1）证明：EF=CF；（2）当时，求EF的长【解答】证明：（1）正方形ABGD，又DEDC，ADE+EDG=90=GDC+EDG，ADE=GDC又A=DGC，且AD=GD，在ADE与GDC中，ADEGDC

20、（ASA）DE=DC，且AE=GC在EDF和CDF中，EDFCDF（SAS）EF=CF（2），AE=GC=2设EF=x，则BF=8CF=8x，BE=62=4由勾股定理，得x2=（8x）2+42解之，得x=5，即EF=5套路揭密：（1）考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；（2）几何图形中，仔细分析图形的构成并熟练掌握各种性质是解题的关键。自我挑战l 建议用时：30分钟 1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，EAF=45，ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（）A2 B3 C4 D5【解答】解：将DAF绕点A顺时针旋转9

21、0度到BAF位置，由题意可得出：DAFBAF，DF=BF，DAF=BAF，EAF=45，在FAE和EAF中，FAEEAF（SAS），EF=EF，ECF的周长为4，EF+EC+FC=FC+CE+EF=FC+BC+BF=DF+FC+BC=4，2BC=4，BC=2故选A2、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则AMD的度数是（）A75 B60 C54 D67.5【解答】解：如图，连接BD，BCE=BCD+DCE=90+60=150，BC=EC，EBC=BEC=（180BCE）=15BCM=BCD=45，BMC=180（BCM+EBC）=120，AMB=1

22、80BMC=60AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，AMD=AMB=60故选B3、如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQBC于点Q，PRBE于点R，则PQ+PR的值是（）A B C D【解答】解：连接BP，过C作CMBD，SBCE=SBPE+SBPC=BCPQ+BEPR=BC（PQ+PR）=BECM，BC=BE，PQ+PR=CM，BE=BC=1，且正方形对角线BD=BC=，又BC=CD，CMBD，M为BD中点，又BDC为直角三角形，CM=BD=，即PQ+PR值是故选：D4、如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为

23、（，1），则点C的坐标为（）A（，1）B（1，） C（1，） D（1，）【解答】解：作AEx轴于E，CFx轴于F，如图所示：则CFO=OEA=90，1+3=90，四边形OABC是正方形，OC=OA，AOC=90，1+2=90，3=2，在OCF和AOE中，OCFAOE（AAS），OF=AE=1，CF=OE=，点C的坐标为（1，）；故选：C5、如图，在RtABC中，ABC=90，AB=6，BC=8，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长是（）A B14 C D【解答】解：如图作BMAC于M，延长BM交BD于N四边形ABCD是正方形，AEN=EAM=AMN=90，四边形AENM是矩形，

24、AE=NM，AM=EN，在RTABC中，ABC=90，AB=6，BC=8，AC=10，ABCB=ACBM，BM=，AM=，在RTBEN中，BNE=90，EN=AM=，BN=BM+AE=，BE=2故选A6、如图，以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于16【解答】解：如图，过O点作OG垂直AC，G点是垂足BAC=BOC=90，ABCO四点共圆，OAG=OBC=45AGO是等腰直角三角形，2AG2=2GO2=AO2=72，OG=AG=6，BAH=0GH=90，AHB=OHG，ABHGOH，=，AB=4，OG=

25、AG=6，AH=2.4，在直角OHC中，HG=AGAH=62.4=3.6，OG又是斜边HC上的高，OG2=HGGC，而OG=6，GH=3.6，GC=10AC=AG+GC=6+10=16故AC边的长是16故答案为：167、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且GCE=45，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，CBECDF（SAS）CE=CF（2）解：GE=BE+GD成立理由是：由（1）得：CBECDF，BCE=DCF，BCE+ECD=DCF+ECD，即ECF=BCD=90，又GCE=45，GCF=GCE=45