利用向量的三角形法则来处理动点坐标问题讲义-2023届高三数学一轮复习 WORD版含解析.docx

1、专题：利用向量的三角形法则来处理动点坐标问题知识梳理：在立体几何中如何快速的写出与动点相关向量的坐标，是顺利解题的关键，像这类不在坐标轴又不在坐标平量的点，是要通过计算的点，除了利用共线，垂直等大家常用方法外，利用向量加法的三角形法则找计算关系是处理动点的快捷方法，需要多多体会方法1：动点P在直线或线段AB上运动，直椄设点P的坐标为（x,y,z）这是最易想，最直接的设法，但不足是引入三个未知量，增加了求解的难度方法2：动点P在直线或线段AB上运动，可以利用P,A，B三点共线设，这样只需设一个未知量就可得到向量的坐标，再利用向量的三角形法则，利用向量的坐标去表示题干中所需向量坐标，此法大大提高解

2、题效率引题：（2021华美）已知=（1，2，3），=（2，1，2），=（1，1，2），点M在直线OC上运动，则的最小值为 典型例题：例1：如图，在长方体中，AB=4,BC=3,CC1=2,线段B1C上，是否存在一点P,使得A1P/平面ACD1？练习：如图，点是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）A. 直线与直线始终是异面直线 B. 存在点，使得C. 四面体的体积为定值 D. 当时，平面平面例2：【2016年高考北京理数】如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.例

3、3：如图所示的几何体ABCDE中，EA平面ABC，EADC，ABAC，EAABAC2DC，M是线段BD上的动点(1)当M是BD的中点时，求证：BC平面AME；(2)是否存在点M，使得直线BD与平面AMC所成的角为60，若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由 练习： 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAABAD2，四边形ABCD满足ABAD，BCAD且BC4，点M为PC的中点，点E为BC边上的动点，且.(1)求证：平面ADM平面PBC；(2)是否存在实数，使得二面角PDEB的余弦值为？若存在，试求出实数的值；若不存在，说明理由专题：利用向量的三角形法则来处理动点坐标问题知识梳

4、理：在立体几何中如何快速的写出与动点相关向量的坐标，是顺利解题的关键，像这类不在坐标轴又不在坐标平量的点，是要通过计算的点，除了利用共线，垂直等大家常用方法外，利用向量加法的三角形法则找计算关系是处理动点的快捷方法，需要多多体会方法1：动点P在直线或线段AB上运动，直椄设点P的坐标为（x,y,z）这是最易想，最直接的设法，但不足是引入三个未知量，增加了求解的难度方法2：动点P在直线或线段AB上运动，可以利用P,A，B三点共线设，这样只需设一个未知量就可得到向量的坐标，再利用向量的三角形法则，利用向量的坐标去表示题干中所需向量坐标，此法大大提高解题效率引题：（2021华美）已知=（1，2，3），

5、=（2，1，2），=（1，1，2），点M在直线OC上运动，则的最小值为 【答案】-【解析】典型例题：例1：如图，在长方体中，AB=4,BC=3,CC1=2,线段B1C上，是否存在一点P,使得A1P/平面ACD1？【答案】P为B1C的中点【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD1所以直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(3,0,0),C（0，4，0），D1(0,0,2),所以=(-3,4,0),设是平面ACD1的法向量则，即取x=4,y=3,z=6,由A1（3，0，2），C（0，4，0），B1（3，4，2）设则令得解得，即P为B1C的中点，A1P/平面ACD1练习

6、：如图，点是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）A. 直线与直线始终是异面直线 B. 存在点，使得C. 四面体的体积为定值 D. 当时，平面平面【答案】BCD【解析】对于A选项，连接交与，当点在点时，直线与直线相交，故A选项不正确；对于C.选项，连接,交于 ，此时/，故线段到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值，故C选项正确；以为坐标原点，建立如图的坐标系，设正方体的边长为，则， ， 对于B选项， 存在点，使得，则， ，所以，得，故当满足时，故B选项正确；对于D选项，当满足时， ，故平面的法向量可求得为：，故平面的法向量可求得为：，所以，即平面平面，故D选项例2：【2

7、016年高考北京理数】如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1） 证略（2）；（3）存在，【解析】如图建立空间直角坐标系，由题意得，.设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.例3：(2019浙江高考冲刺卷)如图所示的几何体ABCDE中，EA平面ABC，EADC，ABAC，EAABAC2DC，M是线段BD上的动点(1)当M是BD的中点时，求证：BC平面AME；(2)是否存在点M，使得直线BD与平面AMC所成的角为60，若存在，确定点M的

8、位置；若不存在，请说明理由【答案】（1）见下（2）不存在【解析】(1)证明：因为EA平面ABC，ABAC，所以直线AB，AC，AE两两垂直，以A为原点，以AB，AC，AE所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系Axyz，设CD1，则ABACAE2，所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，2，1)，E(0，0，2)，因为M是BD中点，所以M，所以(0，0，2)，(2，2，0)，所以0，0，所以AEBC，AMBC，又AM平面AME，AE平面AME，AEAMA，所以BC平面AME.(2)由(1)得，(2，2，1)，(0，2，0)，(2，0，0)，设(2，2，)(01)，则(2

9、2，2，)，设平面AMC的法向量为n(x，y，z)，则，所以，令x1得n，所以cos，n，令sin 60，得5280，64450，所以方程无解，所以BD上不存在点M，使得直线BD与平面AMC所成的角为60.练习：【答案】 （1）见下证（2）（3）1.【解析】(1)证明：取PB的中点N，连接MN、AN，因为M是PC的中点，所以MNBC，MNBC2，又BCAD，所以MNAD，MNAD，所以四边形ADMN为平行四边形，因为APAD，ABAD，所以AD平面PAB，所以ADAN，所以ANMN，因为APAB，所以ANPB，所以AN平面PBC，因为AN平面ADM，所以平面ADM平面PBC.(2)法一：存在实数1，使得二面角PDEB的余弦值为.因为1，所以点E为BC边的中点，所以DEAB，所以DE平面PAD，所以PDA为二面角PDEB的一个平面角在等腰RtPDA中，PDA，所以二面角PDEB的余弦值为.法二：存在符合条件的.以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设E(2，t，0)，P(0，0，2)，D(0，2，0)，B(2，0，0)，从而(0，2，2)，(2，t2，0)，设平面PDE的法向量为n1(x，y，z)，则，即，令yz2，解得x2t，所以n1(2t，2，2)，又平面DEB即为平面xAy，故其一个法向量为n2(0，0，1)，则|cosn1，n2|，解得t2，可知1