四川省成都市第七中学2022-2023学年高二上学期期中考试 数学（理） WORD版含解析.docx

1、成都七中20222023学年度高二（上）期期中考试理科数学总分: 150分一 单选题（5分*12）1.直线 3x+y+2=0的倾斜角为（ ）A.6B.3 C.23D.562.原命题为 “若 x2+y2=0, 则x=0, 且y=0”, 则其否命题为（ ）A.若 x2+y20, 则x0, 且y0B.若 x2+y2=0, 则x0, 且y0C.若 x2+y20, 则x0, 或y0D.若 x2+y2=0, 则x0, 或y03.双曲线 x22y24=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P位于其左支上, 则PF1PF2=（ ）A.4B.22C.4D.224.曲线 x2+xy+y2=1（ ）A.关于 x轴对称B

2、.关于 y轴对称C.关于原点对称D.不具有对称性5.若抛物线 y=ax2的准线方程为y=1, 则实数a=（ ）A.14B.12C.4D.26.已知 p:a=2,q: 直线ax+2y+1=0与x+(a1)y2=0平行, 则p是q的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7.过点 (4,3)且横、纵截距的绝对值相等的直线其条数为（ ）A.1B.2C.3D.48.若椭圆 x23+y24=1的动弦AB斜率为1, 则弦中点坐标可能是（ ）A.(3,4)B.34,1 C.(4,3)D.43,19.从平面 内、外分别取定点O、O, 使得直线OO与所成线面角的大小为4,

3、若平面内一动点P到直线OO的距离等于1, 则P点的轨迹为（ ）A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆10.椭圆 x2a2+y2=1(a1)的离心率为22, 其左、右焦点分别为F1、F2, 上顶点为B, 直线BF1与椭圆另一交点为D, 则BDF2内切圆的半径为（ ）A.26B.23 C.16D.1311.过点 P(2,1)的直线l与曲线y=1x2交于M、N两点, 且满足MN=NP, 则直 线l的斜率为（ ）A.16B.17C.18D.1912.已知双曲线 C:x2a2y2b2=1(a,b0)的右焦点为F, 以坐标原点O为圆心、OF为 半径作圆与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P, 设H为OPF的垂心

4、, 恰有OH=b, 则双曲线C的离心率e应满足（ ）A.e(1,2)B.e(2,3)C.e(3,2)D.e(2,+)二 填空题（5分*4）13. 在空间直角坐标系中, z轴上与点A(1,0,0)和点B(0,2,1)距离相等的点的坐标 为_.14. 命题 “ x00,3x02ax0+10” 是假命题, 则实数a的取值范围为_.15. 圆 O1:x2+y21=0与圆O2:x2+y24x=0的公切线方程为_.16. 关于直线 y=2txt2(tR), 有下列说法:对任意 tR, 直线y=2txt2不过定点;平面内任给一点, 总存在 t0R, 使得直线y=2t0xt02经过该点;当 tR时, 点(0,

5、1)到直线y=2txt2的距离最小值为32;对任意 t1、t2Rt1t2, 且有t1+t2=2t1t2, 则直线y=2t1xt12与y=2t2xt22的 交点轨迹为一直线.其中正确的是_.三 解答题部分17. （10分）已知命题 p: “方程x2m+y212m=1表示双曲线”, 命题q: 方程x2m+y21m=1表 示椭圆”(1) 若 pq为真命题, 求m的取值范围;(2) 若 pq为真命题, 求m的取值范围.18. （12分）已知直线 l的方程为4xy6=0, 点P的坐标为(2,3).(1) 若直线 l与l关于点P对称, 求l的方程;(2) 若点 P与P关于直线l对称, 求P的坐标.19.

6、（12分）已知曲线 C的参数方程为x=3cos1,y=3sin+2(为参数).(1) 求曲线 C的轨迹方程, 并判断轨迹的形状;(2) 设 P为曲线C上的动点, 且有O(0,0),A(1,0), 求|PO|2+|PA|2的取值范围.20. （12分）设双曲线 C:y2x2=a2(a0)的上焦点为F, 过F且平行于x轴的弦其长为 4 .(1) 求双曲线 C的标准方程及实轴长;(2) 直线 l:y=kx+1(k1)与双曲线C交于Ax1,y1,Bx2,y2两点, 且满足x1=3x2, 求实数k的取值.21. （12分）设抛物线 y2=2px(p0)的准线为l,A、B为抛物线上两动点,AAl,A为 垂

7、足, 已知|KA|+AA有最小值2, 其中K的坐标为(0,1).(1) 求抛物线的方程;免费下载公众号高中僧试卷(2) 当 KA=KB(R, 且1)时, 是否存在一定点T满足TATB为定值? 若存在, 求出T的坐标和该定值; 若不存在, 请说明理由.22. （12分）设椭圆 x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F, 右顶点为A, 上顶点为B. 已知椭圆 的短轴长为2, 且有BABF=62+1.(1) 求椭圆的方程;(2) 设 P、Q为该椭圆上两动点,M、N分别为P、Q在x轴上的射影, 而直线OP、OQ的斜率分别为k、k, 满足kk=1, 其中O为原点. 记OPM和OQN的面积之和为S,

8、求S的最大值.参考答案及解析一 CCDC AACB DBBB二 13. （0,0,2）14. (,23)15 x3y+2=0 16 17. 解: 若 p为真, 有m(12m)01m0m1m即 mB=0,1212,1.(1) 若 pq为真, 则有mAB, 即m12,1.(2) 若 pq为真, 则有mAB, 即m(,0)0,1212,+.18. 解: (1) 设 l的方程为4xy+=0, 有|4(2)36|42+12=|4(2)3+|42+12,即 =28, 或=6(舍去), 故l的方程为4xy+28=0.(2) 设点 P的坐标为(m,n), 有4m22n+326=0,n3m+2=14,计算可得

9、m=6,n=1,故P的坐标为(6,1).19. 解: (1) 消去参数 , 有(x+1)2+(y2)2=(3cos)2+(3sin)2=9, 则曲线C的轨 迹方程为(x+1)2+(y2)2=9, 轨迹是以(1,2)为圆心,3为半径的圆.(2) 设 P的坐标为(3cos1,3sin+2),则 |PO|2+|PA|2=(3cos1)2+(3sin+2)2+(3cos2)2+(3sin+2)2=18cos2+18sin218cos+24sin+13=6(4sin3cos)+31而 4sin3cos=5sin()5,5, 其中为锐角,且 tan=34, 故|PO|2+|PA|2的取值范围为1,61.2

10、0. 解: (1) 双曲线 C的上焦点F的坐标为(0,2a), 取y=2a, 代入y2x2=a2, 得x=a, 而2a=4, 可知a=2,故 C的标准方程为y2x2=4, 双曲线C的实轴长也为4(2) 联立 y2x2=4,y=kx+1,可得 k21x2+2kx3=0, 且=(2k)2+43k210,x1+x2=2kk21 x1x2=3k21将 x1=3x2代入式, 可知x2=k21k2, 即x1=3k21k2再代入式, 有 3k21k2k21k2=3k21,计算可得 k=255, 且满足0.21. 解: (1) 设抛物线焦点为 F, 有|KA|+AA=|KA|+|AF|KF|=2, 得p2=1

11、, 则 抛物线的方程为y2=4x.(2) 设 Ax1,y1,Bx1,y1,T(m,n), 直线AB方程为x=t(y1),联立 y2=4x,x=t(y1)得y24ty+4t=0,=(4t)244t0,y1+y2=4t,y1y2=4t,且有 TATB=x1mx2m+y1ny2n,而 TATB=ty1(m+t)ty2(m+t)+y1ny2n=t2+1y1y2t(m+t)+ny1+y2+(m+t)2+n2=t2+1(4t)t(m+t)+n(4t)+(m+t)2+n2=(14m)t2+2(22n+m)t+m2+n2为满足题设, 取 14m=0,22n+m=0,可得 m=14,n=98,即存在定点 T14

12、,98, 使得TATB为定值8564.22. （1）由题设知 b=1, 设椭圆半焦距为c, 即ac+b2=62+1,又 a2=b2+c2, 可得a=3, 则椭圆的方程为x29+y2=1;(2) 联立 x2+9y2=9,y=kx,可得 xP=31+9k2、yP=3|k|1+9k2, 而OPM的面积为92|k|1+9k2, 同理,OQN的面积为92k1+9k2, 故S=92|k|1+9k2+k1+9k2,而 S=92|k|1+9k2+|k|9+k2=45|k|1+k21+9k29+k2=45|k|+1|k|1|k|+9|k|9|k|+|k|=45|k|+1|k|9|k|+1|k|2+64令 t=|k|+1|k|, 则S=45t9t2+64=459t+64t4529t64t=1516,故当 t=83, 即|k|=4+73或473时,S取到最大值1516.