圆锥曲线专题：定点问题中常见4种考法（原卷版）.docx

1、圆锥曲线专题：定点问题中常见的4种考法一、常用方法技巧1、参数无关法把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。2、特殊到一般法根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。3、关系法对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知

2、识求解。二、手电筒模型解题步骤1、概念：只要任意一个限定与条件（如，），直线依然会过定点，因为三条直线形似手电筒，故称为手电筒模型。2、解题步骤：第一步：由直线，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；第二步：由与关系，得到一次函数或；第三步：将或代入，得到.三、交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤第一步：设其中一条直线的斜率为，求出直线方程；第二步：直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示出这条弦的中点，并且类比出另外一条的中点坐标；第三步：由上述两部，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程；第四步：化直线为点斜式，确定定点坐标。四、圆锥曲线的切点弦方程1、过抛物线外一

3、点作抛物线的切线，切点弦方程为；2、过椭圆外一点作椭圆的切线，切点弦方程为；3、过双曲线外一点作双曲线的切线，切点弦方程为；五、几个重要的定点模型1、过椭圆的左焦点作两条相互垂直的弦，若弦，的中点分别为，则直线恒过定点.（双曲线与抛物线也有类似结论）2、动点在直线上，由引椭圆的两条切线，切点分别是，则直线恒过定点.（双曲线与抛物线也有类似结论）3、（1）过椭圆上的一定点作两条斜率之和为的直线，分别交椭圆于，两点，则直线必过定点；（2）过抛物线上的一定点作两条斜率之和为的直线，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点4、（1）过椭圆上的一定点作两条斜率之积为的直线，分别交椭圆于，两点，则直线必过定点

4、（2）过抛物线上的一定点作两条斜率之积为的直线，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点（3、4两个结论对于圆与双曲线也成立，当时就是圆中的结论，用替代就可得到双曲线中的结论）题型一 手电筒模型恒过定点问题【例1】已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.【变式1-1】已知直线与双曲线C：交于A，B两点，F是C的左焦点，且，.（1）求双曲线C的方程；（2）若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线MP与MQ的斜率之积为，证明直线

5、PQ恒过定点，并求出该定点的坐标.【变式1-2】已知F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，.（1）求抛物线的方程：（2）已知为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.【变式1-3】已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点相同，为C的左、右焦点，M为C上任意一点，最大值为1（1）求椭圆C的方程；（2）设不过点F2的直线l：ykx+m（m0）交椭圆C于A，B两点若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标题型二 切点弦恒过定点问题【例2】在平面直角坐标系中，已知椭圆

6、的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P是直线上的动点，过点P做椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，问直线MN是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由【变式2-1】如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为.（1）求椭圆的方程;（2）若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点 (不同于点).当变化时，试问直线是否过某个定点若是，求出该定点;若不是，请说明理由.【变式2-2】抛物线的焦点是椭圆的一个焦点（1）求的准线方程；（2）若是直线上的一动点，过向作两条切线，切点为M，N，试探究直线MN是否过定点？若是，请求出定点，若否，请说明理由.

7、【变式2-3】在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到直线的距离小1，记P的轨迹为C（1）求曲线C的方程；（2）在直线上任取一点M，过M作曲线C的切线，切点分别为A、B，求证直线AB过定点题型三 相交弦中恒过定点问题【例3】已知椭圆的左，右焦点分别为，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在E上.（1）求E的方程；（2）过点作互相垂直且与x轴均不重合的两条直线分别交E于点A，B和C，D，若M，N分别是弦AB，CD的中点，证明：直线MN过定点.【变式3-1】在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为记点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点作两条互

8、相垂直的直线，.交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为证明：直线过定点，并求出该定点坐标【变式3-2】已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右顶点为B，上顶点为C，的内切圆的半径为（1）求椭圆E的标准方程；（2）点M为直线上任意一点，直线AM，BM分别交椭圆E于不同的两点P，Q求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标【变式3-3】双曲线，过点P（5，0）的直线AB和CD相互垂直（斜率存在），M、N分别是线段AB和线段CD的中点求证：直线MN过定点题型四 动圆恒过定点问题【例4】如图，已知椭圆，其左右焦点分别为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且.（1）求椭圆的方程；（

9、2）过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【变式4-1】已知椭圆：（）的离心率为，其左右焦点分别为，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，直线，与轴的交点分别为，证明：以为直径的圆过定点.【变式4-2】已知定点，定直线：，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的倍设点的轨迹为，过点的直线交于、两点，直线、分别交于点、（1）求的方程；（2）试判断以线段为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不存在，说明理由【变式4-3】已知抛物线与直线交于M，N两点，且线段MN的中点为（1）求抛物线C的方程；（2）过点P作直线m交抛物线于点A，B，是否存在定点M，使得以弦AB为直径的圆恒过点M若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由