2013版高中全程复习方略配套课件：6.6直接证明与间接证明（苏教版.ppt

1、第六节直接证明与间接证明内容要求ABC分析法与综合法反证法高考指数:1.直接证明(1)定义：直接从_逐步推得命题成立的证明方法.(2)一般形式本题条件已知定义ABC本题结论.已知公理已知定理原命题的条件(3)综合法与分析法内容综 合 法分 析 法定义实质框图表示文字语言综合法是从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止的证明方法.分析法是从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使_和已知条件或已知事实吻合为止的证明方法.由因导果执果索因因为所以或由得要证只需证即证结论成立的条件【即时应用】(1)思考下列思维特点：从“已知”逐步推向“未知”

2、，即逐步寻找已知成立的必要条件.从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”即逐步寻找结论成立的充分条件.满足综合法的是_，满足分析法的是_(请填写相应序号).(2)已知t=a+2b,s=a+b2+1,则s,t的大小关系是_.(3)在正项等比数列an和正项等差数列bn中，a1=b1,a3=b3,a1a3，则a5与b5的大小关系为_.【解析】(1)由分析法、综合法的定义可判断.满足综合法；满足分析法.(2)由s-t=a+b2+1-a-2b=b2-2b+1=(b-1)20,故st.(3)由a1a3,得b1b3,所以b1b5,且b10,b50,又a3=b3=,即 ,又a1=b1,所以a5b5.答案：(1)

3、(2)st (3)a5b52.间接证明(1)反证法定义反证法是要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设Q不成立(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的证明方法.(2)反证法的基本步骤第一步_假设命题的_不成立，即假定原结论的反面为真.第二步_从_和_出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出_结果.第三步_由_结果，断定_不真，从而肯定原结论成立.反设归谬存真结论反设已知条件矛盾矛盾反设【即时应用】(1)判断下列说法是否正确.(请在括号内打“”或“”)综合法是顺推法()分析法是逆推法()反证法是间接证法()(2)用反证法证

4、明“如果ab,那么”，其中假设内容应是_.(3)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设_.【解析】(1)由分析法、综合法、反证法的定义可知都正确.(2)否定结论，的否定是.(3)因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60”，即“三角形三个内角都大于60”.答案：(1)(2)(3)三角形三个内角都大于60综合法的应用【方法点睛】利用综合法证题的基本思路分析条件选择方向转化条件组织过程适当调整回顾反思分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系与区别，选择相关的定理、公式等，确定恰当的解题方

5、法把已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取【例1】(2012扬州模拟)设a,b,c,d都是正数,且求证:xy【解题指南】利用平方作差法推理、综合法证明.【规范解答】(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(ad-bc)20,(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,又a,b,c,d均为正数,ac+bd0,同理 ad+bc0得:(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)(ad+bc)0,即xy【反思感悟】利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一，即充分利用已知

6、条件与已知的基本不等式，经过推理论证推导出正确结论，是顺推法或由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就需保证前提正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确.分析法的应用【方法点睛】分析法的特点与思路分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等.通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范.【例2】(2012南通模拟)已知m0,a,bR,求证：【解题指南】利用分析法,去分母后移项作差，最后变形可证.【规范解答】m0,1+m0.所以要证原不等式成立，只需证明(a+mb)2(1+m)(a2+m

7、b2),即证m(a2-2ab+b2)0,即证(a-b)20,而(a-b)20显然成立，故原不等式得证.【反思感悟】1.逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键2.在实际解题时,对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证综合法、分析法的综合应用【方法点睛】综合法与分析法的应用技巧综合法与分析法各有特点，在解决实际问题时，常把分析法与综合法综合起来运用，通常用分析法分析，综合法书写.这一点在立体几何中应用最为明显，同时，在三角、

8、解析几何中也大多是利用分析法分析，用综合法证明的办法来证明相关问题.【提醒】综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件.【例3】如图，四边形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MA平面ABCD，PB=AB=2MA.求证：(1)平面AMD平面BPC；(2)平面PMD平面PBD.【解题指南】(1)欲证平面AMD平面BPC，只需证AMPB，ADBC从而得AM平面PBC,AD平面PBC，从而得证.(2)欲证平面PMD平面PBD，只需连结AC交BD于E，取PD中点为F，连结MF、EF，即证AE平面PBD,而AE与MF又平行从而得

9、证.【规范解答】(1)因为PB平面ABCD，MA平面ABCD，所以PBMA.因为PB平面BPC，MA平面PBC，所以MA平面BPC.同理，DA平面BPC.又MA平面AMD，AD平面AMD,MAAD=A，所以平面AMD平面BPC.PMDBFAEC(2)连结AC，设ACBD=E,取PD中点F，连结EF，MF.因为四边形ABCD为正方形，所以E为BD的中点.因为F为PD中点，所以EF PB.又AM PB，所以四边形AEFM为平行四边形,所以MFAE.因为PB平面ABCD，所以PBAE,又因为ABCD是正方形，所以AEBD，所以AE平面PBD，又因为MFAE，所以MF平面PBD，又因为MF平面PMD，

10、所以平面PMD平面PBD.【反思感悟】利用分析法分析结论成立的充分条件，探究面面平行需具备的条件，面面垂直所要具备的条件，找到条件后，再用综合法书写证明过程.这是此类问题的常规解法，需要灵活掌握.反证法的应用【方法点睛】1.反证法的解题原则反证法的原理是“正难则反”，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法.2.反证法中常见词语的否定形式原词否定形式至多有n个(即xn，nN*)至少有n+1个(即xn xn+1,nN*)至少有n个(即xn,nN*)至多有n-1个(即x0,且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)20,a+b+c0,这与a+b+c0矛

11、盾.因此a,b,c中至少有一个大于0.【反思感悟】反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器.【满分指导】证明题的规范解答【典例】(14分)(2012常州模拟)已知a,b,c,dR,用分析法证明ac+bd 并指明等号何时成立.【解题指南】由于a,b,c,dR,故ac+bd0或ac+bd0,要分两种情况分析，可证.【规范解答】(1)当ac+bd0时，0,2分故不等式显然成立，此时a=b=c=d=0时等号成立.4分(2)当ac+bd0时，要证原不等式成

12、立，只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2),6分即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2.8分即证2abcda2d2+b2c2,即0(bc-ad)2.10分a,b,c,dR,上式恒成立，故不等式成立，此时等号成立的条件为bc=ad.由(1)(2)知原不等式成立.14分【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)不去分类，而是直接平方作差判断.(2)在平方作差变形时运算失误或对等号成立的条件说明不到位而失分.备考建议解决此类不等式证明问题，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注:(1)对常用三种不等式的证明方法：综合法、分析法、反证法的解题过程与推理形式理解不到位.(2)用反证法证题时反设错误.(3)已知条件较多，表达不清，逻辑混乱.另外要熟练掌握求差比较及简单的放缩证明等方法.1.(2012常州模拟)用反证法证明“若ab,则a3b3”,假设的内容是_.【解析】由反证法的定义,应否定结论,即a3b3.答案：a3y,求证:2x+2y+2 .【证明】x0,y0,x-y0,2x+-2y=2(x-y)+=2(x-y)+2 等号当且仅当x-y=时取得,2x+-2y2 ,2x+2y+2 .