安徽省“皖南八校”2020-2021学年高二下学期6月联考数学理科试题 WORD版含答案.docx

1、“皖南八校”20202021学年下学期高二联考数学试卷（理科）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第II卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。3.本卷命题范围：必修15占30%，选修21占20%，选修22占40%，选修23第一章占10%。第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

2、有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则的子集个数是A.1B.3C.2D.42.若关于x的不等式成立的充分条件为：，则实数a的取值范围是A. B. C. D. 3.若复数（，为虚数单位）为纯虚数，则实数m的值为A. B. C. D. 4.定积分A. B. C. D. 5.已知函数，则A. B.4C.6D.16.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若存在，使得，且的最小值为，则A. B. C. D. 7.函数的图象可能是A. B. C. D. 8.已知，则的值是A. B. C. D. 9.用5种不同的颜色对一个四棱锥各个顶点着色，若由同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色

3、方法有A.120种B.420种C.240种D.180种10.对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和，如下所示：，根据上述规律，在213的分解式中，等号右边的所有数的个位数之和为：A.88B.92C.101D.10011.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为A. B. C. D. 12.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，的内切圆的圆心为C，且，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，若，则实数t的值为 .14.在的展开式中，含x4项的系数为

4、.15.已知四面体ABCD的顶点A、B、C、D在同一个球面上，是直角三角形，且，当四面体ABCD的体积取最大值时，该球的表面积为 .16.设a，b为正数，若直线过圆的圆心，则的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）已知复数.（1）若z在复平面中所对应的点在直线上，求m的值；（2）求的取值范围.18.（本小题满分12分）设是各项都为正数的单调递增数列，已知，且满足关系式：，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.19.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，M为PC中点，.（1）

5、证明：平面ABCD；（2）求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知函数，.（1）求的单调区间；（2）若，且的极小值小于，求a的取值范围.21.（本小题满分12分）已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，椭圆C另一个焦点是F1，且.（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过点，且与椭圆C交于P，Q两点，求的内切圆面积的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数，.（1）令，讨论函数的单调性；（2）求证：対任意的正整数n，当时，有.“皖南八校”20202021学年下学期高二联考数学（理科）参考答案、提示及评分细则1.

6、D ，故子集有4个.2. A 不等式等价于，故，解得.3. D 为纯虚数，故.4. B ，即为扇形的面积，所以.5. D ，代入函数，得，.6. D ，令，解得，经验算.7. C 函数为偶函数，故排除D，根据函数在趋向于时单调递增的性质可知，只能选C.8. B 令，则；令，则，所以.9. B 设四棱锥为，则由题意，点P，A，B分别有5，4，3种涂法，当C与A颜色相同时，C有1种涂色方法，此时D有3种涂色方法，当C与A颜色不相同时，C有2种涂色方法，此时D有2种涂色方法，故此时共有种涂色方法.10. C ，故等号右边的所有数的个位数之和为.11. A 由条件，在上单调递减，所求不等式可化为，故，

7、.12. B 过点C作的垂线，垂足为D，则，解得，故离心率为.13. 由，得，解得.14. 二项式的展开式中，则，所以含项的系数为.15. 29 当，平面ABC时，四面体ABCD体积最大，此时可以将四面体ABCD放到长宽高分别为4，2，3的长方体中，此长方体的外接球即为四面体ABCD的外接球，所以，该球的表面积为29.16. 圆的圆心为，所以，即，当且仅当时，等号成立.17.解：（1）化简得，所以z在复平面中所对应的点的坐标为，因为点在直线上，所以，解得.（2），因为，且，所以，所以的取值范围为.18.解：（l），即.又是各项为正数的单调递增数列，又，数列是首项为3，公差为3的等差数列，.（2

8、）由（1）可得：，.19.证明：（1）取CD的中点N，连接AN，MN，因为M，N分别为PC，CD中点，所以，又，所以，所以四边形AQMN为平行四边形，所以.又因为平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD.（2）如图，以D点为原点，DA为x轴，DP为y轴，DC为z轴建立空间直角坐标系，则，设平面BPA的一个法向量为，平面BPQ的一个法向量为，所以，所以，令，则，.同理有，设二面角的平面角为，所以，由图可知为鋭角，所以二面角的余弦值为.20.解：（1），当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单

9、调递增.（2）已知，由（1）知，令，则，所以在上单调递减且，所以.21.解：（1）根据直线与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点，可知焦点在x轴上且M点坐标为.，.设椭圆C方程：，将点M坐标代入椭圆C方程得，.椭圆C方程.（2）直线l过点，且与椭圆C交于P，Q两点，则的周长为，且（三角形内切圆半径），要使的内切圆面积最大，即使的面积最大，为定长，的面积为，（，分别为P，Q的纵坐标），可设直线l的方程为，代入椭圆方程可得，.显然上式取得最大值，当且仅当直线过，与x轴垂直时的面积最大.此时，.设的内切圆半径为r，则，所以，其面积.22.解：（1）的定义域为，.当时，在上恒成立，故在上为减函数.当时，由得，判别式，不等式对恒成立，从而在上恒成立，故在上为减函数.当时，由，即，判别式，方程有两个不同实根，解之得：或，又时，恒成立，当时，当时，故在上为减函数，在上为増函数（2）证明：要证，只需证，当时，对任意的正整数n，恒有，故只需证明即可，下面直接作差构造函数证明：令，则，当时，故在上单调递增，当时，即成立.故当时，有.