2022秋高中数学 第四章 数列 综合测评 新人教A版选择性必修第二册.docx

1、第四章综合测评一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在等差数列an中,若2a8=6+a11,则a1+a9=()A.54B.12C.10D.62.已知数列an的前n项和为Sn,若a10,Sn=an2+bn,且a7=3a2,S8=a2,则的值为()A.15B.16C.17D.183.在数列an中,a1=2,an=1+1an-1(n2),则a3=()A.32B.23C.53D.524.在各项均为正数的等比数列an中,若a5=3,则log3a1+log3a2+log3a3+log3a9=()A.5B.7C.9D.115.在等差数列a

2、n中,a1=-5,a3是4与49的等比中项,且a3b9且a10b10,则下列结论正确的有()A.a9a10a10C.b100D.b9b1010.已知等差数列an的前n项和为Sn(nN*),公差d0,S6=90,a7是a3与a9的等比中项,则下列结论正确的是()A.a1=22B.d=-2C.当n=10或n=11时,Sn取得最大值D.当Sn0时,n的最大值为2011.已知数列an为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,则下列结论正确的是()A.a10=0B.S10最小C.S7=S12D.S19=012.在数列an中,nN*,若an+2-an+1an+1-an=k(k为常数),则称an

3、为“等差比数列”,下列对“等差比数列”的判断正确的为()A.k不可能为0B.等差数列一定是“等差比数列”C.等比数列一定是“等差比数列”D.“等差比数列”中可以有无数项为0三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.在等差数列an中,前m(m为奇数)项和为135,其中偶数项之和为63,且am-a1=14,则a100的值为.14.已知两个等差数列an,bn的前n项和分别为Sn和Tn,且SnTn=7n+14n+27(nN*),则a11b11=.15.设f(x)=4x4x+2,可求得f12015+f22015+f32015+f20142015的值为.16.已知数列an满足an+an+2=2

4、an+1,a2=8,a5=20,bn=2n+1+1,设数列bn-an的前n项和为Sn,则a1=,Sn=.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1=12.(1)求证:1Sn是等差数列;(2)求数列an的通项公式.18.(本小题满分12分)已知数列an的通项公式为an=3n-23n+1.(1)求a10.(2)判断710是否为该数列中的项.若是,它为第几项?若不是,请说明理由.(3)求证:0an1.19.(本小题满分12分)甲、乙两物体分别从相距70米的两处同时相向

5、运动.甲第1分钟走2米,以后每分钟比前1分钟多走1米,乙每分钟走5米.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1米,乙继续每分钟走5米,那么甲、乙开始运动后几分钟第二次相遇?20.(本小题满分12分)(2021云南玉溪月考)已知数列an+3为等比数列,且a2=6,a3=24.(1)求an;(2)若3(bn+1-bn)=an,且b1=12,求bn.21.(本小题满分12分)已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=an2+n-4(nN*).(1)求证:数列an为等差数列;(2)求数列an的前n项和Sn.22.(本小题满分

6、12分)若数列an是公差为2的等差数列,数列bn满足b1=1,b2=2,且anbn+bn=nbn+1.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设数列cn满足cn=an+1bn+1,数列cn的前n项和为Tn,若不等式(-1)nTn+n2n-1对一切nN*恒成立,求实数的取值范围.参考答案第四章综合测评1.B设等差数列an的公差为d,在等差数列an中,2a8=6+a11,2(a1+7d)=6+a1+10d,解得a1+4d=6.a1+a9=a1+a1+8d=26=12.故选B.2.B数列an的前n项和为Sn,且Sn=an2+bn,数列an是等差数列.a7=3a2,a1+6d=3(a1+d),解得a1

7、=32d.S8=a2,8a1+872d=(a1+d),40d=52d,又d0,解得=16.3.Can=1+1an-1(n2),a1=2,a2=1+1a1=1+12=32,a3=1+1a2=1+132=53.故选C.4.C在各项均为正数的等比数列an中,a5=3,log3a1+log3a2+log3a3+log3a9=log3(a1a2a9)=log3a59=9log3a5=9log33=9.故选C.5.B根据题意,a3是4与49的等比中项,则(a3)2=449,解得a3=14.又因为a30,所以a3=-14.又a1=-5,则a5=2a3-a1=-23.故选B.6.B设等差数列an的公差为d,由

8、a23,S5=52(a1+a5)30,可得a1+d3,a1+2d6,即2a1+2d6,-a1-2d-6,解得a10,则a1的最小值是0.故选B.7.B在数列an中,a1=1,(n+1)an=2nan+1,整理得an+1an=n+12n,所以anan-1=n2(n-1),an-1an-2=n-12(n-2),a2a1=221,所有的式子相乘得到anan-1an-1an-2a2a1=n2(n-1)n-12(n-2)221,整理得ana1=n2n-1,所以an=n2n-1(a1也符合该式).故an=n2n-1.故选B.8.B设b1=0+1+2+9,b2=1+2+3+10,b10=9+10+18,则b

9、n是首项b1=45,公差d=10的等差数列,所以S10=4510+109210=900.9.AD等比数列an的公比q=-23,a9和a10异号,即a9a10b9且a10b10,b9和b10中至少有一个数是负数,又b1=120,db10,b10一定是负数,即b100,解得0n3,033n+11,01-33n+11,即0an1.19.解(1)设开始运动n分钟后相遇,依题意,有2n+n(n-1)2+5n=70,整理,得n2+13n-140=0,解得n=7,n=-20(舍去).故甲、乙两物体开始运动后7分钟相遇.(2)设开始运动m分钟后第2次相遇,依题意,有2m+m(m-1)2+5m=370,整理,得

10、m2+13m-420=0,解得m=15,m=-28(舍去).故甲、乙两物体开始运动后15分钟第二次相遇.20.解(1)因为a3+3a2+3=24+36+3=3,所以数列an+3的公比为3,所以an+3=(a2+3)3n-2=93n-2=3n,故an=3n-3.(2)因为3(bn+1-bn)=an,所以bn+1-bn=13(3n-3)=3n-1-1,所以b2-b1=30-1,b3-b2=31-1,bn-bn-1=3n-2-1,所以bn-b1=(30+31+3n-2)-(n-1)=1-3n-11-3-(n-1)=3n-12-n+12,所以bn=3n-12-n+1.21.(1)证明当n=1时,有2a

11、1=a12+1-4,即a12-2a1-3=0,解得a1=3(a1=-1舍去).当n2时,有2Sn-1=an-12+n-5,又2Sn=an2+n-4,两式相减得2an=an2an-12+1,即an2-2an+1=an-12,即(an-1)2=an-12,因此an-1=an-1或an-1=-an-1.若an-1=-an-1,即an+an-1=1.则有当a1=3时,a2=-2,这与数列an的各项均为正数相矛盾,所以an-1=an-1,即an-an-1=1,因此数列an为等差数列.(2)解由(1)知a1=3,d=1,所以数列an的通项公式为an=3+(n-1)1=n+2,故Sn=n2+5n2.22.解

12、(1)数列bn满足b1=1,b2=2,且anbn+bn=nbn+1,a1+1=2,解得a1=1.又数列an是公差为2的等差数列,an=1+2(n-1)=2n-1.2nbn=nbn+1,即2bn=bn+1,数列bn是以1为首项,2为公比的等比数列,故bn=2n-1.(2)数列cn满足cn=an+1bn+1=2n2n=n2n-1,数列cn的前n项和Tn=1+22+322+n2n-1,12Tn=12+222+n-12n-1+n2n,两式相减得12Tn=1+12+122+12n-1n2n=1-12n1-12n2n=2-n+22n,Tn=4-n+22n-1,不等式(-1)nTn+n2n-1,即(-1)n4-22n-1恒成立,当n=2k(kN*)时,4-22n-1,3;当n=2k-1(kN*)时,-2.综上可得,实数的取值范围是(-2,3).