2022高三全国统考数学北师大版（理）一轮复习学案：9-7　抛物线 WORD版含解析.docx

1、9.7抛物线必备知识预案自诊知识梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的,直线l叫作抛物线的.注意若定点F在定直线l上,则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线.2.抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点对称轴x轴焦点Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2离心率e=准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0,y0)|PF|

2、=x0+p2|PF|=-x0+p2|PF|=y0+p2|PF|=-y0+p21.设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则(1)x1x2=p24,y1y2=-p2;(2)弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2(为弦AB所在直线的倾斜角);(3)以弦AB为直径的圆与准线相切;(4)SAOB=p22sin(为弦AB所在直线的倾斜角);(5)CFD=90.2.抛物线y2=2px(p0)的通径长为2p.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2

3、)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()(5)方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是a4,0.()2.(2020天津河北区线上测试,5)已知抛物线y2=4x与x2=2py(p0)的焦点间的距离为2,则p的值为()A.23B.4C.6D.123.(2020北京,7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQl于Q,则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.

4、垂直于直线OP4.(2020全国1,理4)已知A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.95.设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F(1,0),过点P(1,1)的直线l与抛物线C交于A,B两点,若P恰好为线段AB的中点,则|AB|=.关键能力学案突破考点抛物线的定义及其应用【例1】(1)(2020辽宁大连模拟,文12)已知抛物线y2=2x的焦点为F,以点P92,0为圆心,|PF|为半径作一圆与抛物线在x轴上方交于M,N两点,则|MF|+|NF|等于()A.8B.18C.22D.4(2)(2020新高考全国1,13

5、)斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=.思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题?解题心得1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理.2.若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p0)上一点,由定义易得|PF|=x0+p2;若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.对点训练1(1)如图,过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,与抛物线的准线交于点

6、C,若B是AC的中点,则|AB|=()A.8B.9C.10D.12(2)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C的一个交点,若FP=4FQ,则|QF|=()A.72B.52C.3D.2考点抛物线的方程及几何性质【例2】(1)(2020重庆调研)已知抛物线y2=2px(p0),点C(-4,0),过抛物线的焦点F作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程为()A.y2=4xB.y2=-4xC.y2=8xD.y2=-8x(2)(2020全国3,理5)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px

7、(p0)交于D,E两点,若ODOE,则C的焦点坐标为()A.14,0B.12,0C.(1,0)D.(2,0)思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么?解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0).2.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.对点训练2(1)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M(x0,22)x0p2是抛物线C上的一点,以点M为圆心的圆与直线x=p2交于E,

8、G两点,若sinMFG=13,则抛物线C的方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x(2)已知抛物线E:y2=2px(p0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=()A.54B.52C.22D.324考点与抛物线相关的最值问题【例3】(1)(2020山东泰安一模,8)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足AFB=23,设线段AB的中点M在l上的投影为N,则|MN|AB|的最大值是()A.34B.33C.32D.3(2)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l

9、1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10思考求与抛物线有关的最值问题的一般思路是怎样的?解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解决.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.对点训练3(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线C:y2=2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线C于A,B两点(A,B均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F到

10、直线AB的距离的最大值为()A.2B.3C.32D.4(2)(2020山东日照一模,15)直线l过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F(1,0),且与C交于M,N两点,则p=,|MF|9-1|NF|的最小值是.考点抛物线与其他圆锥曲线的综合【例4】(1)已知过抛物线C:y2=4x焦点F的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆x2+y2-2x=0于M,N两点,其中P,M位于第一象限,则1|PM|+4|QN|的值不可能为()A.3B.4C.5D.6(2)已知P是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为()A.52B.3C.3+1D.23-1思考求解抛物线

11、与其他圆锥曲线的综合问题要注意什么?解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的综合问题,要注意距离的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.对点训练4(1)(2020河南洛阳模拟)已知F为抛物线C1:y2=2px(p0)的焦点,曲线C2是以F为圆心,p2为半径的圆,直线4x-3y-2p=0与曲线C1,C2从上到下依次相交于点A,B,C,D,则|AB|CD|=()A.16B.4C.83D.53(2)(2020山东滨州二模,16)动圆E与圆M(x-1)2+y2=14外切,并与直线x=-12相切,则动圆圆心E的轨迹方程为;过点P(1,2)作倾斜角互补的两条直线,

12、分别与圆心E的轨迹相交于A,B两点,则直线AB的斜率为.考点直线与抛物线的关系【例5】(1)设抛物线y2=8x的焦点为F,其准线与x轴的交点为Q,过点Q作斜率为k(k0)的焦点,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,AB的中点为C,过点C作抛物线准线的垂线交准线于点C1,若CC1的中点为M(1,4),则p=()A.4B.8C.42D.82解题心得求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题

13、,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p(焦点在x轴正半轴),若不过焦点,则必须用弦长公式.对点训练5(1)(2020山西太原二模,理9)过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A,B两点,设点M(3,0).若MAB的面积为42,则|AB|=()A.2B.4C.23D.8(2)已知直线kx-y-k=0(k0)与抛物线y2=4x交于A,B两点,过B作x轴的平行线交抛物线的准线于点M,O为坐标原点,若SOBMSOBA=12,则k=.1.认真区分四种形式的标准方程:(1)区分y=ax2与y2=2px(p0),前者不是抛物线的标准方程.(2)求抛物线

14、标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0).2.解决有关抛物线的焦点弦问题,熟记有关的常用结论是突破解题思路、提高解题速度的有效途径.1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪一种标准方程.2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题,要多从抛物线的定义入手,这样可以简化问题.指点迷津(二)求曲线轨迹方程的方法曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程

15、F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方法主要有:(1)直接法:直接将几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程.(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线方程.(3)代入法(相关点法)题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点的关系,用所求表示已知,即x0=f(x,y),y0=g(x,y),将x0,y0代入已知曲线即得所求.(4)参数法:引入参数t,求出动点(x,y)与参数t之间的关系x=f(t),y=g(t),消去参数即得所求轨迹方程.(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去

16、,得到两动曲线交点的轨迹方程.一、直接法求轨迹方程【例1】已知ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(2,3),C(1,22),定点P(1,1).(1)求ABC外接圆的标准方程;(2)若过定点P的直线与ABC的外接圆交于E,F两点,求弦EF中点的轨迹方程.解(1)由题意得AC的中点坐标为(0,2),AB的中点坐标为12,32,kAC=2,kAB=1,故AC中垂线的斜率为-22,AB中垂线的斜率为-1,则AC的中垂线的方程为y-2=-22x,AB的中垂线的方程为y-32=-x-12.由y-32=-x-12,y-2=-22x,得x=2,y=0,所以ABC的外接圆的圆心为(2,0),半径r=2+1

17、=3,故ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+y2=9.(2)设弦EF的中点为M(x,y),ABC外接圆的圆心为N,则N(2,0).由MNMP,得NMPM=0,所以(x-2,y)(x-1,y-1)=0,整理得x2+y2-3x-y+2=0,所以弦EF中点的轨迹方程为x-322+y-122=12.方法总结直接法求轨迹的方法和注意问题(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系,则可用直接法,其一般步骤是:设点列式化简检验.求动点的轨迹方程时要注意检验,即除去多余的点,补上遗漏的点.(2)若是只求轨迹方程,则把方程求出,把变量的限制条件附加上即可;若是求轨迹,则要说明轨迹是什么图形.对点训练

18、1已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(2)记(1)中轨迹为C,若过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.二、定义法求轨迹方程【例2】已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.解(1)两圆半径都为1,两圆圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),由题意得|C

19、C1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,所以圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.(2)L上的点与点M(x,y)的距离的最小值是点M到直线y=-1的距离,因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,而p2=1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y.方法总结定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程.(2)利用定义法求轨迹方

20、程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.对点训练2如图所示,已知圆A:(x+2)2+y2=1与点B(2,0),分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.(1)PAB的周长为10;(2)圆P与圆A外切,且过B点(P为动圆圆心);(3)圆P与圆A外切,且与直线x=1相切(P为动圆圆心).三、代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】如图所示,抛物线E:y2=2px(p0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2

21、,l1与l2相交于点M.(1)求p的值;(2)求动点M的轨迹方程.解(1)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),代入y2=2px,解得p=1.(2)由(1)知抛物线E:y2=2x.设Cy122,y1,Dy222,y2,y10,y20,切线l1的斜率为k,则切线l1:y-y1=kx-y122,代入y2=2x,得ky2-2y+2y1-ky12=0,由=0,解得k=1y1,所以l1的方程为y=1y1x+y12,同理l2的方程为y=1y2x+y22.联立y=1y1x+y12,y=1y2x+y22,解得x=y1y22,y=y1+y22.易知CD的方程为x0x+y0y=8,其中x0,y0满足x0

22、2+y02=8,x02,22,由y2=2x,x0x+y0y=8,得x0y2+2y0y-16=0,则y1+y2=-2y0x0,y1y2=-16x0,代入x=y1y22,y=y1+y22,可得M(x,y)满足x=-8x0,y=-y0x0,即x0=-8x,y0=8yx,代入x02+y02=8,化简得x28-y2=1,因为x02,22,所以x-4,-22.所以动点M的轨迹方程为x28-y2=1,x-4,-22.方法总结对点训练3如图,已知P是椭圆x24+y2=1上一点,PMx轴于点M.若PN=NM.(1)求点N的轨迹方程;(2)当点N的轨迹为圆时,求的值.四、参数法求轨迹方程【例4】点A和点B是抛物线

23、y2=4px(p0)上除原点以外的两个动点,已知OAOB,OMAB于点M,求点M的轨迹方程.解当AB所在直线的斜率不存在时,M为一定点,坐标为(4p,0).当AB所在直线的斜率存在时,设其方程为y=kx+b(k0),由y=kx+b,y2=4px,得k2x2+2(kb-2p)x+b2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2(2p-kb)k2,x1x2=b2k2.所以y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=4pbk.由OAOB,知x1x2+y1y2=0,则b=-4pk.设点M(x,y),由OMAB,知yxk=-1,y0,则k=-xy.由

24、及y=kx+b消去k,b,得x2+y2-4px=0(y0).又点(4p,0)的坐标满足x2+y2-4px=0,所以点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0.方法总结应用参数法求轨迹方程的程序:选参求参消参.注意消参后曲线的范围是否发生变化.对点训练4在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(1,0),B(2,2),若点C满足OC=OA+t(OB-OA),其中tR,则点C的轨迹方程是.五、交轨法求轨迹方程【例5】(2020东北三省四市一模)如图,已知椭圆C:x218+y29=1的短轴端点分别为B1,B2,点M是椭圆C上的动点,且不与B1,B2重合,点N满足NB1MB1,NB2MB2.(1)求动点N的

25、轨迹方程;(2)求四边形MB2NB1面积的最大值.解(1)(方法1)设点N(x,y),M(x0,y0)(x00).由题意知点B1(0,-3),B2(0,3),所以kMB1=y0+3x0,kMB2=y0-3x0.因为MB1NB1,MB2NB2,所以直线NB1:y+3=-x0y0+3x,直线NB2:y-3=-x0y0-3x,得y2-9=x02y02-9x2.又x0218+y029=1,所以y2-9=181-y029y02-9x2=-2x2,所以动点N的轨迹方程为y29+x292=1(x0).(方法2)设点N(x,y),M(x0,y0)(x00).由题意知点B1(0,-3),B2(0,3),所以kM

26、B1=y0+3x0,kMB2=y0-3x0.因为MB1NB1,MB2NB2,所以直线NB1:y+3=-x0y0+3x,直线NB2:y-3=-x0y0-3x,联立,解得x=y02-9x0,y=-y0.又x0218+y029=1,所以x=-x02,故x0=-2x,y0=-y,代入x0218+y029=1,得y29+x292=1.所以动点N的轨迹方程为y29+x292=1(x0).(方法3)设直线MB1:y=kx-3(k0),则直线NB1:y=-1kx-3.直线MB1与椭圆C:x218+y29=1的交点M的坐标为12k2k2+1,6k2-32k2+1.则直线MB2的斜率为kMB2=6k2-32k2+

27、1-312k2k2+1=-12k.所以直线NB2:y=2kx+3.由得点N的轨迹方程为y29+x292=1(x0).(2)由(1)(方法3)得直线NB1:y=-1kx-3,直线NB2:y=2kx+3.联立,解得x=-6k2k2+1,即xN=-6k2k2+1,又xm=12k2k2+1,故四边形MB2NB1的面积S=12|B1B2|(|xM|+|xN|)=312|k|2k2+1+6|k|2k2+1=54|k|2k2+1=542|k|+1|k|2722,当且仅当|k|=22时,S取得最大值2722.方法总结交轨法一般根据动点在两条动直线上,利用动直线方程,消去不必要的参数得到动点的轨迹方程,注意通过

28、几何意义确定曲线的范围.对点训练5(2020河北唐山一模,文20)已知P是x轴上的动点(异于原点O),点Q在圆O:x2+y2=4上,且|PQ|=2.设线段PQ的中点为M.(1)当直线PQ与圆O相切于点Q,且点Q在第一象限时,求直线OM的斜率;(2)当点P移动时,求点M的轨迹方程.9.7抛物线必备知识预案自诊知识梳理1.距离相等焦点准线2.(0,0)y轴1考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.A由题意,两抛物线的焦点坐标分别为(1,0),0,p2,两焦点的距离为1+p24=2,解得p=23.故选A.3.B因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等,又点P在抛物线上,根据抛物线定义可

29、知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.4.C设点A的坐标为(x,y).由点A到y轴的距离为9可得x=9,由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+p2=12,解得p=6.5.15由于焦点F(1,0),故p2=1,p=2,抛物线方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线l的斜率存在且不为零,设l:y-1=k(x-1),由y-1=k(x-1),y2=4x消去x,得ky2-4y+4-4k=0,由P为线段AB的中点可知y1+y2=4k=2,所以k=2,所以直线l的方程为y=2x-1,y1y2=-2,所以|AB|=1+1k2(y1+y2)2-4y1

30、y2=15.关键能力学案突破例1(1)A(2)163(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),抛物线的焦点坐标为12,0,则|PF|=92-12=4,则圆的方程为x-922+y2=16,与抛物线方程联立,消去y,得x2-7x+174=0,则x1+x2=7.根据抛物线性质可知|MF|+|NF|=x1+12+x2+12=8.故选A.(2)如图所示,直线与抛物线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0),准线方程为x=-1,作AA,BB垂直于准线,交准线于点A,B,由抛物线的定义知|AA|=|AF|,|BB|=|BF|.|AB|=|AF|+|BF|=|AA|+|BB|=x1

31、+p2+x2+p2=x1+x2+p.由y=3(x-1),y2=4x,得3x2-10x+3=0,所以x1+x2=103,则|AB|=103+2=163.对点训练1(1)B(2)C(1)如图,分别过点A,B作准线的垂线,垂足分别为D,E,设|AB|=|BC|=m,直线l的倾斜角为.则|BE|=m|cos|,所以|AD|=|AF|=|AB|-|BF|=|AB|-|BE|=m(1-|cos|),所以|cos|=|AD|AC|=m(1-|cos|)2m,解得|cos|=13.由抛物线焦点弦长公式|AB|=2psin2,可得|AB|=81-19=9.故选B.(2)FP=4Q,|FP|=4|FQ|.|PQ|

32、PF|=34.过Q作QQl,垂足为Q,设l与x轴的交点为A(图略),则|AF|=4,|PQ|PF|=|QQ|AF|=34,|QQ|=3,根据抛物线定义可知|QF|=|QQ|=3,故选C.例2(1)D(2)B(1)因为ABx轴,且AB过焦点F,所以|AB|=2p,所以SCAB=122pp2+4=24,解得p=4或p=-12(舍去).所以抛物线方程为y2=8x,所以直线AB的方程为x=2,所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2=-8x.故选D.(2)抛物线C关于x轴对称,直线x=2垂直于x轴,又ODOE,ODE是等腰直角三角形.不妨设点D在第一象限,则点D的坐标为(2,2),将其代入y2=2

33、px,得p=1,所以抛物线C的焦点坐标为12,0.对点训练2(1)C(2)D(1)如图所示,作MDEG,垂足为D.因为点M(x0,22)x0p2在抛物线上,所以8=2px0,即px0=4.由题意,可知|DM|=x0-p2,|MF|=x0+p2,因为sinMFG=13,所以|DM|=13|MF|,即x0-p2=13x0+p2,解得x0=p.由,解得x0=p=-2(舍去)或x0=p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.故选C.(2)由已知得点F的坐标为p2,0,因为点A(0,2),所以AF的中点B的坐标为p4,1.因为点B在抛物线上,所以1=p22,解得p=2或p=-2(舍去).所以点F的坐标为22

34、,0,点B的坐标为24,1,所以|BF|=22-242+(0-1)2=324.故选D.例3(1)B(2)A(1)设A,B在直线l上的投影分别是A1,B1,则|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.又因为M是AB中点,所以|MN|=12(|AA1|+|BB1|),则|MN|AB|=12|AA1|+|BB1|AB|=|AF|+|BF|2|AB|.在ABF中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF|BF|cos23=|AF|2+|BF|2+|AF|BF|=(|AF|+|BF|)2-|AF|BF|(|AF|+|BF|)2-|AF|+|BF|22=34(|AF|+|BF|)2,当且仅当|AF|

35、=|BF|时,等号成立.所以(|AF|+|BF|)2|AB|243,即|AF|+|BF|AB|233,所以|MN|AB|33.故选B.(2)由题意,可知直线l1,l2的斜率都存在且不为0,点F(1,0).设点A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),直线l1的方程为y=k(x-1)(k0).由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1+x2=2k2+4k2.因为l1l2,所以直线l2的方程为y=-1k(x-1).同理,x3+x4=2+4k2.由抛物线的定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+2+x3+x4+2=2k2+4k2+2+

36、4k2+4=4k2+4k2+824k24k2+8=16,当且仅当4k2=4k2,即k=1时,等号成立.故|AB|+|DE|的最小值为16.对点训练3(1)C(2)2-13(1)设直线AB的方程为x=my+t,点A(x1,y1),B(x2,y2).由x=my+t,y2=2x,得y2-2my-2t=0,所以y1y2=-2t.由题意可知OAOB,则x1x2+y1y2=(y1y2)24+y1y2=0,即t2-2t=0.由题意可知t0,所以t=2,所以直线AB过定点(2,0).所以抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为2-12=32.故选C.(2)因为抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F(1,0)

37、,所以p=2.设点M(x1,y1),N(x2,y2),直线l:x=my+1,联立x=my+1,y2=4x,得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,所以x1x2=1.(方法1)|MF|9-1|NF|=x1+19-1x2+1=x1+19-11x1+1=x1+19+1x1+1-1-13,当且仅当x1+1=3,即x1=2时,等号成立.(方法2)1|MF|+1|NF|=1x1+1+1x2+1=1my1+2+1my2+2=m(y1+y2)+4(my1+2)(my2+2)=m(y1+y2)+4m2y1y2+2m(y1+y2)+4=4m2+4-4m2+8m2+4=1,所以|MF|9-1|

38、NF|=|MF|9-1-1|MF|=|MF|9+1|MF|-1-13,当且仅当|MF|=3时,等号成立.例4(1)A(2)D(1)作图如下.由题意可知,F为圆x2+y2-2x=0的圆心,设|PF|=m,|QF|=n,则|PM|=m-1,QN=n-1.根据抛物线的常用结论,可知1m+1n=2p=1,则m+nmn=1,即m+n=mn,所以1|PM|+4|QN|=1m-1+4n-1=4m+n-5mn-(m+n)+1=4m+n-5.又4m+n=(4m+n)1m+1n=4+4mn+nm+15+24mnnm=9,当且仅当m=32,n=3时,等号成立,所以4m+n-54,即1|PM|+4|QN|4.故1|P

39、M|+4|QN|的值不可能为3.故选A.(2)设点P的坐标为14m2,m,由圆的方程(x-4)2+y2=1,可得圆心坐标为A(4,0),半径r=1,所以|PA|2=(14m2-4)2+m2=116(m2-8)2+1212,所以|PA|23.因为Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,所以|PQ|的最小值为23-1.故选D.对点训练4(1)A(2)y2=4x-1(1)由题意可知直线4x-3y-2p=0过抛物线C1的焦点F,所以|BF|=|CF|=p2,所以|AB|CD|=|AF|-p2|DF|-p2.设点A(xA,yA),D(xD,yD),由抛物线的定义得|AF|-p2=xA,|DF|-p2=x

40、D.由4x-3y-2p=0,y2=2px,整理得8x2-17px+2p2=0,解得xA=2p,xD=p8.故|AB|CD|=xAxD=2pp8=16.故选A.(2)如图,由题意可知,|NE|=|ME|-12,则|NE|+12=|ME|,所以点E到直线x=-1的距离等于到点M(1,0)的距离,所以动圆圆心E的轨迹是以M为焦点,以x=-1为准线的抛物线,则其轨迹方程为y2=4x.点P坐标为(1,2),则点P在圆心E的轨迹上.设A(x1,y1),B(x2,y2).由已知设直线PA:m(y-2)=x-1,即x=my-2m+1,代入抛物线的方程得y2=4my-8m+4,即y2-4my+8m-4=0,则y

41、1+2=4m,故y1=4m-2.设直线PB:-m(y-2)=x-1,即x=-my+2m+1,代入抛物线的方程得y2=-4my+8m+4,即y2+4my-8m-4=0,则y2+2=-4m,故y2=-4m-2.x1-x2=my1-2m+1-(-my2+2m+1)=m(y1+y2)-4m=-8m.直线AB的斜率kAB=y2-y1x2-x1=-8m8m=-1.例5(1)A(2)B(1)(方法1)韦达定理消去x抛物线的焦点为F(2,0),准线x=-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,由|AF|=2|BF|得x1+2=2(x2+2),即有x1=2x2+2,联

42、立y2=8x与直线y=k(x+2)的方程得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,则有x1+x2=-4k2+8k2(k0),x1x2=4.由得x1=4,x2=1,代入中得5=-4k2+8k2(k0),解得k=-223.故选A.(方法2)韦达定理消去y设抛物线的准线m:x=-2,分别过点A,B作AAm于A,BBm于B,由|AF|=2|BF|,得|AA|=2|BB|,则有|QA|=2|QB|.设A(x1,y1),B(x2,y2),从而有y1=2y2.联立y2=8x与直线y=k(x+2)的方程得ky2-8y+16k=0,则有y1+y2=8k,y1y2=16,由y1=2y2则有y1+y2=3y2=8k

43、,y1y2=2y22=16,消去y2得8k216=92(k0),B(x2,y2),则M(-1,y2),则y1+y2=4k,y1y2=-4,kOM=y2-1=-y2=4y1,kOA=y1x1=4y1,A,O,M三点共线,SOBMSOAB=|OM|OA|=12,|OA|2=4|OM|2,x12+y12=4(1+y22),x12+4x1=41+16y12,x12+4x1=41+164x1,则(x12-4)1+4x1=0,x10,x1=2,A(2,22).又直线kx-y-k=0恒过定点(1,0),k=22-02-1=22,故答案为22.指点迷津(二)求曲线轨迹方程的方法对点训练1解(1)由|MP|=5

44、|MQ|,得(x-26)2+(y-1)2=5(x-2)2+(y-1)2,化简得x2+y2-2x-2y-23=0,所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25,轨迹是以(1,1)为圆心,5为半径的圆.(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=-2,此时所截得的线段的长度为252-32=8,所以l:x=-2符合题意.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,圆心(1,1)到l的距离d=|3k+2|k2+1.由题意,得|3k+2|k2+12+42=52,解得k=512,所以直线l的方程为512x-y+236=0,即5x-12y+46=0.综上,直线l的方程

45、为x=-2或5x-12y+46=0.对点训练2解(1)根据题意,知|PA|+|PB|+|AB|=10,即|PA|+|PB|=64=|AB|,故点P轨迹为椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=5.又点P不在x轴上,因此所求轨迹方程为x29+y25=1(y0).(2)设圆P的半径为r,则|PA|=r+1,|PB|=r,因此|PA|-|PB|=1.由双曲线的定义知,点P的轨迹为双曲线的右支,且2a=1,2c=4,即a=12,c=2,b=152,因此所求轨迹方程为4x2-415y2=1x12.(3)依题意,知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离,故所求轨迹为抛物线,且开口向左,p=

46、4.因此所求轨迹方程为y2=-8x.对点训练3解(1)设点P(x1,y1),N(x,y),则M的坐标为(x1,0),且x=x1,所以PN=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1),NM=(x1-x,-y)=(0,-y),由PN=NM得(0,y-y1)=(0,-y).所以y-y1=-y,即y1=(1+)y.因为点P(x1,y1)在椭圆x24+y2=1上,所以x124+y12=1,所以x24+(1+)2y2=1,故x24+(1+)2y2=1为所求的N点的轨迹方程.(2)要使点N的轨迹为圆,则(1+)2=14,解得=-12或=-32.故当=-12或=-32时,N点的轨迹是圆.对点训练4y=2x-2设

47、点C(x,y),则OC=(x,y),OA+t(OB-OA)=(1+t,2t),所以x=t+1,y=2t,消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2.对点训练5解(1)连接OQ,直线PQ与圆O相切于点Q,则OQPQ.又|OQ|=|PQ|=2,则|OP|=22.又点Q在第一象限,得P(22,0),Q(2,2).由M为PQ的中点,得M322,22,所以直线OM的斜率为13.(2)设M(x,y)(x0),P(xP,yP),Q(xQ,yQ).由|OQ|=|PQ|=2,可得xP=2xQ.由M为PQ的中点,得x=xP+xQ2=3xQ2,所以xQ=2x3,xP=43x,则P4x3,0,Q2x3,2y,把Q2x3,2y代入x2+y2=4,整理得x29+y2=1,所以点M的轨迹方程为x29+y2=1(x0).