新教材2021-2022学年北师大版数学必修第一册学案：7-4　事件的独立性 WORD版含答案.doc

1、4事件的独立性新课程标准解读核心素养1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义数学抽象2.结合古典概型，利用独立性计算概率数学运算、逻辑推理问题(1)“常言道，三个臭皮匠能抵诸葛亮”怎样从数学上来解释呢？将问题具体化：假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为0.88，三个臭皮匠甲、乙、丙想出计谋的概率各为0.6、0.5、0.5.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？(2)2010年1月26日上午，NBA常规赛进行了一场焦点之战勒布朗詹姆斯领衔的克利夫兰骑士在客场挑战由韦德率领的迈阿密热火比赛非常激烈，直到终场前3.1秒比分打成90平，热火队犯规，詹姆斯获两次罚篮机会，已知詹姆斯的罚篮命中率为77.6

2、%，问骑士队此时获胜的概率是多少？知识点事件的独立性1相互独立事件(1)事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件；(2)两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)P(A)P(B)2随机事件的独立性的性质如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然相互独立于是，由事件A与B相互独立，可以得到A与，与B，与也相互独立相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B同时发生，记作：AB互斥

3、事件A，B中有一个发生，记作：AB(或AB)计算公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)1事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？提示：对于n个事件A1，A2，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，An相互独立2公式P(AB)P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？提示：公式P(AB)P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).1一袋中装有100个球，其中有20个白球，在有放回地摸球中，用A1

4、表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与2是()A相互独立事件B对立事件C互斥事件 D无法判断解析：选A由于采用有放回地摸球，则每次是否摸到白球互不影响，故事件A1与2是相互独立事件2甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为()ABC D解析：选D根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是，故选D.3甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为_解

5、析：由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中甲、乙两站预报都准确的概率为0.80.70.56.答案：0.564A，B，C表示3种开关并联，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为_.解析：某段时间内三个开关全部坏掉的概率为(10.9)(10.8)(10.7)0.006，所以系统正常工作的概率为10.0060.994，所以此系统的可靠性为0.994.答案：0.994事件独立性的判断例1(链接教科书第213页练习1题)下列事件A，B是相互独立事件的是()A一枚硬币抛掷两次，事件A为“第一次为正面”，事件B为“第二次为反面”B袋中有2个白球，2个黑

6、球，不放回地摸两球，事件A为“第一次摸到白球”，事件B为“第二次摸到白球”C掷一枚骰子，事件A为“出现点数为奇数”，事件B为“出现点数为偶数”D事件A为“人能活到20岁”，事件B为“人能活到50岁”解析把一枚硬币抛掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故选项A中的两个事件是相互独立事件；选项B中不放回地摸球，显然事件A与事件B不相互独立；对于选项C，其结果具有唯一性，事件A，B应为对立事件，选项D中事件B受事件A的影响答案A两个事件是否相互独立的判断(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响；(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事

7、件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件 跟踪训练同时掷两颗质地均匀的骰子，令A第一颗骰子出现奇数点，令B第二颗骰子出现偶数点，判断事件A与B是否相互独立解：A第一颗骰子出现1，3，5点，B第二颗骰子出现2，4，6点P(A)，P(B)，P(AB)，P(AB)P(A)P(B)，事件A，B相互独立相互独立事件概率的计算例2(链接教科书第212页例1)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，且各自能否被选中互不影响(1)求3人同时被选中的概率；(2)求3人中至少有1人被选中的概率解设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)，P(B)，P(C).(1

8、)3人同时被选中的概率P1P(ABC)P(A)P(B)P(C).(2)3人中有2人被选中的概率P2P(ABACBC).3人中只有1人被选中的概率P3P(A)BC).故3人中至少有1人被选中的概率为P1P2P3.母题探究1(变设问)保持条件不变，求三人均未被选中的概率解：法一：三人均未被选中的概率PP( ).法二：由本例(2)知，三人至少有1人被选中的概率为，P1.2(变条件，变设问)若条件“3人能被选中的概率分别为，”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为，两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为”，求恰好有2人被选中的概率解：设甲被选中的概率为P(A)，乙被选中的概率为P(B)，则P(A)(1

9、P(B)P(B)(1P(A)，P(A)P(B)，由知P(A)，P(B)，故恰有2人被选中的概率PP(AB)P(AC)P(BC).1求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积2使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生 跟踪训练小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车准点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否准点到达互不影响求：(1)这三列火车恰好有两列准点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列准

10、点到达的概率解：设A，B，C分别表示这三列火车准点到达的事件，则P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9，所以P()0.2，P()0.3，P()0.1.(1)由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列准点到达的概率为P1P(BC)P(AC)P(AB)P()P(B)P(C)P(A)P()P(C)P(A)P(B)P()0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398.(2)三列火车至少有一列准点到达的概率为P21P( )1P()P()P()10.20.30.10.994.相互独立事件的实际应用例3(链接教科书第214页A组6题)在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子

11、中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是()ABC D解析当开关合上时，电路畅通即A至B畅通，且B至C畅通A至B畅通的概率P11，B至C畅通的概率P21，所以电路畅通的概率PP1P2.答案A求解相互独立事件实际问题的思路(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)厘清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立或者是相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率 跟踪训练某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入

12、下一轮考核，否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响求该选手被淘汰的概率解：记事件“该选手能正确回答第i轮的问题”为Ai(i1，2，3)，则P(A1)，P(A2)，P(A3).法一：该选手被淘汰的概率为P(1)P(A12)P(A1A23)P(1)P(A1)P(2)P(A1)P(A2)P(3).法二：该选手被淘汰的概率为1P(A1A2A3)1.不同赛制的可靠性探究乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10分平后，先多得2分的一方为胜方；一场比赛应采用奇数局，如三局两胜制、五局三胜制等；一场比赛应连续进行，但在局与局之间，任

13、何一方运动员都有权要求不超过1分钟的休息时间某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制问题探究1若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用三局两胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？提示：甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用三局两胜制时，甲获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”而这三种结局互不影响，于是由独立事件的概率公式，得甲最终获胜的概率为P10.6220.62(10.6)0.648.2若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用五局三胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？提示：甲

14、、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由独立事件的概率公式，得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P20.6330.63(10.6)60.63(10.6)20.682 56.3两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由(各局胜负相互独立，各选手水平互不相同)提示：甲、乙两人对决，若甲更强，则其获胜的概率p.采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”而这三种结局互不影响，于是得甲最终获胜的概率为P3p22p2(1p).采用五局三胜制，若甲最终获胜，则至少需

15、比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由此得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P4p33p3(1p)6p3(1p)2.而P4P3p2(6p315p212p3)3p2(p1)2(2p1).因为p，所以P4P3，即五局三胜制下甲最终获胜的可能性更大所以五局三胜制更能选拔出最强的选手迁移应用甲、乙两同学进行投篮比赛，每一局每人各投两次球，规定进球数多者该局获胜，进球数相同则为平局已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，甲、乙之间的投篮相互独立(1)求一局比赛中甲进两球获胜的概率；(2)求一局比赛的结果不是平局的概率解：(1)设“一局比赛中甲进两球获胜”为事件A，则P(A).(2)设“一局

16、比赛出现平局”为事件B，则P(B)22，所以P()1P(B)，即一局比赛的结果不是平局的概率为.1设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独立，则下列命题一定成立的是()AA与B相互独立BA与C互斥CB与C互斥 D与相互独立解析：选D注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指的是不可能同时发生的事件，后者指的是在两个事件中，一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响因为B与C相互独立，由两事件相互独立的性质易知D正确2如图所示，用A，B，C三类不同的元件接成系统N，若元件A，B，C正常工作的概率分别为，那么系统N正常工作的概率为_解析：要使系统N正常工作，则需A正常工作，B，C至少有一个能正常工作，因此系统N能正常工作的概率为.答案：3现有甲、乙、丙三个独立的研究机构，在一定的时期内能研制出某疫苗的概率分别是，则他们都失败的概率是_，他们能够研制出疫苗的概率是_解析：令事件A，B，C分别表示“甲、乙、丙三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗”，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)，P(B)，P(C).他们都失败，即事件，同时发生，故P()P()P()P()1P(A)1P(B)1P(C).“他们能够研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率为1P()1.答案：9