2023年新教材高考数学一轮复习 课时规范练4 均值不等式（含解析）新人教B版.docx

1、课时规范练4均值不等式基础巩固组1.下列不等式正确的是()A.x-1+1x-12(x0)B.(a+4)1a+18(a0)C.lg xlg ylg(xy)24(x1,y1)D.lg(a2+1)lg|2a|(a0)2.(2021河北邯郸高三月考)函数y=4x2(6-x2)的最大值为()A.36B.6C.9D.183.(2021广东惠州高三期末)若a1,z0,z为x与y的等比中项,则lgz2lgx+lgz4lgy的最小值为()A.38+24B.22+12C.43+22D.226.(多选)(2021山东日照高三月考)下列不等式一定成立的有()A.x+1x2B.2x(1-x)14C.x2+3x2+123

2、-1D.x+1x27.(多选)(2021江苏无锡高三期中)若非负实数a,b满足a+b2=1,则下列不等式成立的有()A.ab214B.a2+b412C.a+b2D.a2+b2348.(多选)(2021湖南师大附中高三模拟)已知x0,y0,且x2+xy-x+5y=30,则()A.xy的最大值为9B.1x+1y的最小值为1C.x-1y的最大值为4D.x2+y2的最小值为209.(2021湖北黄冈高三期中)当x1时不等式x2+3x-1m2+1恒成立,则实数m的取值范围是.10.(2021天津耀华中学高三二模)如果ab0,那么a4+1b(a-b)的最小值是.综合提升组11.(2021天津高三一模)已知

3、a0,b0,且ab=a+b+3,则a+b的最小值为()A.4B.8C.7D.612.(2021贵州贵阳高三月考)若圆x2+y2-4x+2y+1=0被直线ax-2by-2=0(a0,b0)截得的弦长为4,则1a+1b的最小值是()A.9B.4C.12D.1413.(2021浙江镇海中学高三模拟)已知a,b,c是不同时为0的实数,则2ab+bca2+4b2+c2的最大值为.创新应用组14.(2021江苏南京高三期中)已知,0,2,sin(2+)=2sin ,则tan 的最大值为()A.33B.23C.1D.32课时规范练4均值不等式1.C解析:当x1,y1时,lgx0,lgy0,所以lgxlgyl

4、gx+lgy22=lg(xy)22=lg(xy)24,当且仅当x=y时,不等式中的等号成立,故C正确.2.A解析:由均值不等式可得y=4x2(6-x2)4x2+6-x222=36,当且仅当x2=6-x2,即x=3时,等号成立,函数取得最大值36.3.C解析:因为a1,所以a-10,因此a+1a-1=a-1+1a-1+1-2(1-a)11-a+1=-1,当且仅当1-a=11-a,即a=0时,等号成立,故a+1a-1(a1,z0,且z为x和y的等比中项,所以z2=xy,lgz2lgx+lgz4lgy=12lg(xy)2lgx+12lg(xy)4lgy=lgx+lgy4lgx+lgx+lgy8lgy

5、=38+lgy4lgx+lgx8lgy38+2lgy4lgxlgx8lgy=38+24当且仅当lgy4lgx=lgx8lgy,即lgx=2lgy时,等号成立,故选A.6.CD解析:对于A,当x0时,x+1x0,所以x+y=6.对于A,x+y2xy,所以xy9,当且仅当x=y=3时,等号成立,故A正确;对于B,1x+1y=16(x+y)1x+1y=162+yx+xy23,当且仅当x=y=3时,等号成立,故B错误;对于C,x-1y=6-y-1y=6-y+1y6-2=4,当且仅当x=5,y=1时,等号成立,故C正确;对于D,x2+y2=(x+y)2-2xy=36-2xy36-2x+y22=18,当且

6、仅当x=y=3时,等号成立,故D错误.故选AC.9.(-5,5)解析:因为x2+3x-1=(x-1)2+2(x-1)+4x-1=(x-1)+4x-1+224+2=6,当且仅当x=3时,等号成立,所以要使不等式恒成立,应有m2+16,解得-5mb0,所以a-b0,所以b(a-b)b+a-b22=a24,当且仅当b=a-b,即a=2b时,等号成立.所以a4+1b(a-b)4(a4+1)a2=4a2+1a28,当且仅当a=1,b=12时,等号成立.故a4+1b(a-b)的最小值是8.11.D解析:ab=a+b+3,a0,b0,a+b+3a+b22,当且仅当a=b,即a=b=3时,等号成立,解得a+b

7、6或a+b-2(舍去),a+b的最小值为6,故选D.12.B解析:圆x2+y2-4x+2y+1=0的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4,它表示以(2,-1)为圆心,以2为半径的圆.设弦心距为d,由题意可得22+d2=4,求得d=0,可得直线经过圆心,故有2a+2b=2,即a+b=1.再由a0,b0,可得1a+1b=1a+1b(a+b)=2+ba+ab2+2baab=4,当且仅当a=b=12时,等号成立,故1a+1b的最小值是4,故选B.13.54解析:由于a2+4b2+c2=a2+165b2+c2+45b2,又a2+165b22a45b=855ab,当且仅当a=45b时,等号成立,c2+

8、45b22c2b5=455bc,当且仅当c=25b时,等号成立,所以a2+4b2+c2855ab+455bc=455(2ab+bc),当且仅当a=2c=45b时,等号成立,所以2ab+bca2+4b2+c22ab+bc455(2ab+bc)=54,当且仅当a=2c=45b时,等号成立.14.A解析:sin(2+)=sin2cos+cos2sin,sin2cos=2sin-cos2sin=sin(1+2sin2).,0,2,tan=sin21+2sin2=2sincoscos2+3sin2=2tan1+3tan2=21tan+3tan,且tan(0,+),tan=21tan+3tan221tan3tan=33,当且仅当tan=33时,等号成立,故选A.