2022版高中数学一轮复习 课时作业梯级练三十八 等差数列及其前n项和课时作业（理含解析）新人教A版.doc

1、课时作业梯级练三十八等差数列及其前n项和一、选择题(每小题5分,共25分)1.若等差数列an的公差为d,则数列是()A.公差为d的等差数列B.公差为2d的等差数列C.公差为nd的等差数列D.非等差数列【解析】选B.数列其实就是a1,a3,a5,a7,奇数项组成的数列,它们之间相差2d.2.(2021安顺模拟)等差数列an的前n项和为Sn,若S17=51,则2a10-a11=()A.2B.3C.4D.6【解析】选B.因为S17=51,所以=51,a1+a17=6=2a9,解得a9=3,则2a10-a11=a9=3.3.已知是等差数列,且a2+a5+a8+a11=48,则a6+a7=()A.12B

2、.16C.20D.24【解析】选D.由等差数列的性质可得a2+a5+a8+a11=2(a6+a7)=48,则a6+a7=24.4.(2021贵阳模拟)在等差数列an中,已知|a6|=|a11|,且公差d0,则其前n项和取最小值时的n的值为()A.6B.7C.8D.9【解析】选C.因为在等差数列an中,|a6|=|a11|,所以a60,a6=-a11,a1=-d,有Sn=(n-8)2-64,所以当n=8时前n项和取最小值.5.已知等差数列an的前n项和为Sn,若S130,则在数列中绝对值最小的项为()A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项【解析】选C.根据等差数列an的前n项和公式Sn=,因为

3、所以由得所以数列an中绝对值最小的项为第7项.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020开封模拟)已知是公差不为零的等差数列,且a1+a10=a9,则=.【解析】由条件可知2a1+9d=a1+8d,整理得a1=-d,所以=.答案:7.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将2至2019这2018个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列,则此数列的项数为.【解析】由能被2除余1且被3除余1的数就是能被6除余1的数,故an=6n-5.因为an=6n-52019,解得n337,nN*,n=1时,an=1,

4、不是数列中的项,所以数列的项数为337-1=336.答案:3368.记Sn为等差数列的前n项和,a10,a2=3a1,则=.【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a10,d0),所以=4.答案:4【一题多解】考虑到题型问题,可令a1=1,则a2=3,即d=2,从而S5=5a1+d=5+20=25,S10=10a1+d=10+90=100,故=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知是等差数列,其前n项和为Sn,且满足S5=30,a1=2.(1)求数列的通项公式;(2)设bn=,求数列的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列的公差为

5、d,由等差数列的性质可得S5=5a3=30,则a3=6,则a3-a1=2d,即d=2,所以数列的通项公式为an=2n(nN*);(2)Sn=n2+n,bn=-,Tn=b1+b2+bn=+=1-=.10.已知等差数列满足:a3=7,a5+a7=26,的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=(nN*),求数列的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列的公差为d,因为a3=7,a5+a7=26,所以有解得a1=3,d=2,所以an=3+2(n-1)=2n+1,Sn=3n+2=n2+2n.(2)由(1)知,an=2n+1,所以bn=(-),所以Tn=.即数列的前n项和为Tn=.1.(2021

6、长沙模拟)数列是等差数列,且a1=1,a3=-,那么a5=()A.B.-C.5D.-5【解析】选B.由于数列是等差数列,所以+=2,又a1=1,a3=-,所以+=2,解得a5=-.2.等差数列与的前n项和分别为Sn与Tn,若=,则=()A.B.C.D.【解析】选A.由=,所以=,故=.3.(2021北京模拟)已知Sn是等差数列(nN*)的前n项和,且S5S6S4,以下有四个命题:数列中的最大项为S10;数列的公差d0;S11S6S4,所以a60,所以a50,d0,S11=11a60,所以正确的序号是.4.在数列中a1=4,nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求证:数列是等差数列;(

7、2)求数列的前n项和Sn.【解析】(1)nan+1-(n+1)an=2n2+2n的两边同除以n(n+1),得-=2,又=4,所以数列是首项为4,公差为2的等差数列.(2)由(1)得=a1+2(n-1),即=2n+2,所以an=2n2+2n,故=,所以Sn=.【加练备选拔高】已知数列的首项a1=3,通项an与前n项和Sn之间满足2an=SnSn-1(n2).(1)求证:数列是等差数列,并求公差;(2)求数列的通项公式.【解析】(1)因为n2时,an=Sn-Sn-1,所以2=SnSn-1,所以-=-.所以为等差数列且首项为,公差为-.(2)由(1)知=+=,所以Sn=,an=-(n2),a1=3不

8、满足上式,故an=,整理得an=.5.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数.(1)求证:-an=.(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.【解析】(1)由题设,anan+1=Sn-1,知an+1=Sn+1-1.两式相减得,an+1(-an)=an+1.由于an+10,所以-an=.(2)存在.由a1=1,a1a2=a1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故-an=4,由此可得,是首项为1,公差为4的等差数列,=1+(n-1)4=4n-3=2(2n-1)-1;是首项为3,公差为4的等差数列,=3+(n

9、-1)4=4n-1=2(2n)-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列.因此存在=4,使得an为等差数列.1.已知数列的通项公式为an=26-2n,要使数列的前n项和Sn最大,则n的值为()A.14B.13或14C.12或11D.13或12【解析】选D.因为an=26-2n,所以数列是以a1=24为首项,公差d=-2的等差数列,所以Sn=na1+d=-n2+25n.由二次函数的性质可得:当n=13或12时Sn最大.2.(2020潍坊模拟)已知数列,定义数列为数列的“2倍差数列”,若的“2倍差数列”通项公式为an+1-2an=2n+1,且a1=2,

10、若函数的前n项和为Sn,则S33=()A.238+1B.239+2C.238+2D.239【解析】选B.根据题意得an+1-2an=2n+1,a1=2,所以-=1,所以数列表示首项为1,公差d=1的等差数列,所以=1+=n,所以an=n2n,所以Sn=121+222+323+n2n,所以2Sn=122+223+324+n2n+1,所以-Sn=2+22+23+24+2n-n2n+1=-n2n+1=-2+2n+1-n2n+1=-2+2n+1,所以Sn=2n+1+2,S33=233+1+2=239+2.【加练备选拔高】项数为n的数列a1,a2,a3,an的前k项和为Sk(k=1,2,3,n),定义为该项数列的“凯森和”,如果项数为99项的数列a1,a2,a3,a99的“凯森和”为1 000,那么项数为100的数列100,a1,a2,a3,a99的“凯森和”为()A.991B.1 001C.1 090D.1 100【解析】选C.项数为99项的数列a1,a2,a3,a99的“凯森和”为1 000,所以=1 000,又100,a1,a2,a3,a99的“凯森和”为=100+=100+990=1 090.