7-3-4正切函数的性质与图像教案-2021-2022学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册 WORD版含解析.docx

1、7.3.4正切函数的性质与图像【教学目标】1.了解正切函数图像的画法，理解掌握正切函数的性质2.能利用正切函数的图像及性质解决有关问题.【教学重点】正切函数的图像及其主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域）.【教学难点】对正切函数周期性的理解.【教学过程】一、课前预习预习课本，思考并完成以下问题(1)正切函数有哪些性质？ (2)正切函数在定义域内是不是单调函数？二、课前小测1在下列函数中同时满足：在上递增；以2为周期；是奇函数的是()Aytan xBycos xCytan Dytan x答案：C解析：A，D的周期为，B中函数在上递减，故选C.2函数ytan的定义域为_答案：解析：因为

2、2xk，kZ，所以x，kZ所以函数ytan的定义域为.3函数ytan 3x的最小正周期是_答案：解析：函数ytan 3x的最小正周期是.4函数ytan的单调增区间是_答案：，kZ解析：令kxk，kZ得kxk，kZ即函数ytan的单调增区间是，kZ.三、新知探究正切函数的图像与性质解析式ytan x图像定义域值域R周期奇偶性奇函数对称中心，kZ单调性在开区间，kZ内都是增函数四、题型突破题型一 有关正切函数的定义域、值域问题【例1】(1)函数y的值域是()A(1,1)B(，1)(1，)C(，1) D(1，)(2)函数y3tan的定义域为_(3)函数ylg(1tan x)的定义域为_思路点拨求定义

3、域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图像或三角函数线答案：(1)B(2) (3)解析：(1)当x0时，1tan x0，1；当0x时，0tan x1，1.即当x时，函数y的值域是(，1)(1，)(2)要使函数有意义应满足k，kZ，得x4k，kZ，所以函数的定义域为.(3)要使函数ylg(1tan x)有意义，则即1tan x1.在上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为ytan x的周期为，所以所求x的定义域为.【反思感悟】1求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义即xk，kZ

4、.(2)求正切型函数yAtan(x)(A0，0)的定义域时，要将“x”视为一个“整体”令xk，kZ，解得x.2解形如tan xa的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件【跟踪训练】1函数ytan的定义域是()A.B.C.D.答案：B解析：由题意tan0，即tan0，kxk，kxk，kZ，故选B.2求函数ytan2tan1的定义域和值域解：由3xk，kZ，得x(kZ)，所以函数的定义域为.设ttan，则tR，yt2t12，所以原函数的值域是.题型二 正切函数奇偶性、周期性和图像的对称性【例2】(1)函数f(x)tan的周期为_(2)已知函数ytan，则该函数图像的对称中心坐标

5、为_(3)判断下列函数的奇偶性：y3xtan 2x2x4；ycostan x.思路点拨(1)形如yAtan(x)(A0)的周期T，也可以用定义法求周期(2)形如yAtan(x)(A0)的对称中心横坐标可由x，kZ求出(3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f(x)与f(x)的关系答案：(1)(2)，kZ解析：(1)法一：(定义法)tantan，即tantan，f(x)tan的周期是.法二：(公式法)f(x)tan的周期T.(2)由x(kZ)得x(kZ)，所以图像的对称中心坐标为，kZ.(3)定义域为，关于原点对称，又f(x)3(x)tan 2(x)2(x)43xtan 2x2x4f(x

6、)，所以它是偶函数定义域为，关于原点对称，ycostan xsin xtan x，又f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，所以它是奇函数【反思感悟】1函数f(x)Atan(x)周期的求解方法：(1)定义法(2)公式法：对于函数f(x)Atan(x)的最小正周期T.(3)观察法(或图像法)：观察函数的图像，看自变量间隔多少，函数值重复出现2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系提醒：ytan x，xk，kZ的对称中心坐标为，kZ.【跟踪训

7、练】3判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)tantan.解：(1)由得f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数(2) 函数定义域为，关于原点对称，又f(x)tantantantanf(x)，所以函数f(x)是奇函数题型三 正切函数单调性的应用探究问题1正切函数ytan x在其定义域内是否为增函数？提示：不是正切函数的图像被直线xk(kZ)隔开，所以它的单调区间只在(kZ)内，而不能说它在定义域内是增函数假设x1，x2，x1x2，但tan x1tan x2.2如果让你比较tan与tan的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到

8、同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较【例3】(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为_(2)求函数y3tan的单调区间思路点拨(1)利用ytan x在上为增函数比较大小，注意tan 1tan(1)(2)先将原函数化为y3tan，再由k2xk，kZ，求出单调减区间(1) 答案：tan 2tan 3tan 4tan 1解析：ytan x在区间上是单调增函数，且tan 1tan(1)，又2341，所以tan 2tan 3tan 4tan 1.(2)解：y3tan3tan，由k2xk，kZ得，x，kZ，所以y3tan的减区间为(，)，kZ.【多维探究】1将本例(

9、2)中的函数改为“y3tan”，结果又如何？解：由kxk(kZ)，得2kx2k(kZ)，函数y3tan的单调递增区间是(2k，2k) (kZ)2将本例(2)中的函数改为“ylgtan x”结果又如何？解：因为函数ylg x在(0，)上为增函数所以函数ylgtan x的单调递增区间就是函数ytan x(tan x0)的递增区间，即，kZ.【反思感悟】1求函数yAtan(x)(A0，0，且A，都是常数)的单调区间的方法(1)若0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，kZ，解得x的范围即可(2)若0，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x

10、)Atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可2运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2)运用单调性比较大小关系提醒：yAtan(x)(A0，0)只有增区间；yAtan(x)(A0，0)只有减区间五、达标检测1思考辨析(1)正切函数的定义域和值域都是R.()(2)正切函数图像是中心对称图形，有无数个对称中心()(3)正切函数图像有无数条对称轴，其对称轴是xk，kZ.()(4)正切函数是增函数()答案：(1)(2)(3)(4)2若tan x1，则()A2kx2k(kZ)Bx(2k1)(kZ)Ckxk(kZ)Dk

11、xk(kZ)答案：D解析：因为tan x1tan.所以kxk，kZ.3求函数ytan(x)，x的值域为_答案：(，1)解析：ytan(x)tan x，在上为减函数，所以值域为(，1)4求函数ytan的定义域、最小正周期、单调区间及其图像的对称中心解：由k，kZ，得x2k，kZ，函数的定义域为.T2，函数的最小正周期为2.由kk，kZ，得2kx2k，kZ，函数的单调递增区间为， kZ.由，kZ，得xk，kZ，函数图像的对称中心是，kZ.六、本课小结1利用单位圆中的正切线作正切函数的图像，作图较为准确，但画图时较繁，我们常用“三点两线”法作正切曲线的简图2正切函数与正弦函数、余弦函数的性质比较性质正切函数正弦函数、余弦函数定义域R值域R1,1最值无最大值为1最小值为1单调性仅有单调递增区间，不存在单调递减区间单调递增区间、单调递减区间均存在奇偶性奇函数正弦函数是奇函数余弦函数是偶函数周期性TT2对称性有无数个对称中心，不存在对称轴对称中心和对称轴均有无数个七、课后作业1.复习回顾本节内容.2.完成本节配套课后练习高一必修三 7.3.4正切函数的性质与图像课时精练（配套）.