河南省洛阳市2020届高三数学上学期第一次统一考试（1月）试题 理（含解析）.doc

1、河南省洛阳市2020届高三数学上学期第一次统一考试（1月）试题 理（含解析）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.【详解】由，解得，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.已知复数在复平面中对应的点满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项.【详解】由于复

2、数在复平面中对应的点满足，即复数对应点在圆心为，半径为的圆上，表示复数对应的点到的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，考查圆的方程，属于基础题.3.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车生产情况新能源汽车销售情况产品(万辆)比上年同期增长(%)销量(万辆)比上年同期增长(%)2018年3月6.810568117.44月8.1117.78.2138.45月9.685.610.2125.66月8.631.

3、78.442.97月953.68.447.78月9.93910.149.59月12.764.412.154.810月14.658.113.85111月17.336.916.937.61-12月12759.9125.661.72019年1月9.11139.61382月5.950.95.353.6根据上述图表信息，下列结论错误的是（ ）A. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过万辆B. 2017年我国新能源汽车总销量超过万辆C. 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于万辆【答案】D【解析】【分析】根据图表对选项逐一分析，由此确定结论

4、错误的选项.【详解】对于A选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量，故A选项结论正确.对于B选项，2017年我国新能源汽车总销量，故B选项结论正确.对于C选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量万量，高于产量万量，故C选项结论正确.对于D选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量，故D选项结论错误.故选：D【点睛】本小题主要考查图表数据分析，考查阅读与理解能力，属于基础题.4.已知正项等比数列中，且成等差数列，则该数列公比为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为的形式，由此求得的值.【详解】由于成等差数列，所以，所以，即，解得.

5、故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.5.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如.在不超过的素数，随机选取个不同的数，这两个数的和等于的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】以内的素数为共个，任选两个的方法数有种，和为的有共种，所以不超过的素数，随机选取个不同的数，这两个数的和等于的概率是.故选

6、：B【点睛】选本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查素数的知识，属于基础题.6.圆关于直线对称，则的最小值是（ ）A. 1B. 3C. 5D. 9【答案】B【解析】【分析】求得圆心，代入直线，利用基本不等式求得的最小值.【详解】圆的圆心为，由于圆关于直线对称，圆心坐标满足直线方程，所以，所以，当且仅当时等号成立.故选：B【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查基本不等式求最小值.7.函数（为自然对数的底数）的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊值，排除错误选项，由此得出正确选项.【详解】由于，所以为奇函数，图像关于原点对称，由此

7、排除B,D两个选项.当时，由此排除A选项.故选：C【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.8.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为，则底面积为，侧棱长为，则可求侧面积为，所以可得表面积.【详解】如图所示，底面正三角的高AD=3，所以，AB=AC=BC=，所以,又SH为侧视图中的高，所以SH=3，则,则在等腰中,所以侧面积为，所以表面积为，故选A.【点睛】本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题.9.已知点分

8、别是双曲线的左，右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据判断出三角形是直角三角形，利用、双曲线的定义和勾股定理列方程组，化简后求得离心率.【详解】由于，所以三角形是直角三角形.所以，化简得，即.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.设是定义在上的函数，满足条件，且当时，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用已知条件将转换为，根据时的单调性，比较出的大小关系.【详解】依题意，所以.因为，且当时，为减

9、函数，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.11.正方体的棱长为，点为棱的中点.下列结论:线段上存在点，使得平面；线段上存在点，使得平面；平面把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用线面平行的判定定理，作出点的位置，判断正确.利用面面垂直的判定定理，判断错误.计算较小部分的体积，判断正确.【详解】设交于，过作，交于，连接交于，由于，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面.故线段上存在点，使得平面，即正确.若平面，平面，则平面平面，这不成立

10、，所以错误.延展平面为如图所示，其中是的中点.根据正方体的几何性质可知，相交于一点， ,所以多面体是棱台.且体积为.故正确.综上所述，正确的序号为.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线面平行、线面垂直有关定理，考查台体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.12.已知正项数列的前项和为，且.若对于任意实数.不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求得的范围，转化主参变量列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】由.当时，解得.当时，-得，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以恒成立，即，转换为，在恒成立，所以

11、，解得.故选：A【点睛】本小题主要考查已知求，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.平面向量与的夹角为，且，则 _【答案】【解析】【分析】利用来求得.【详解】依题意.故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.若实数满足约束条件，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线到可行域边界点位置，此时取得最小值为.

12、故答案为：【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.已知椭圆为右顶点.过坐标原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，直线交轴于，椭圆的离心率为，则椭圆的标准方程为_【答案】【解析】【分析】设出两点的坐标，求得点坐标，由三点共线列方程，结合椭圆的离心率求得的值，进而求得椭圆的标准方程.【详解】设，所以，由于三点共线，所以，解得.由于椭圆离心率，所以，所以.所以椭圆方程为.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程，考查运算求解能力，属于基础题.16.已知函数，且在定义域内恒成立，则实数的取值范围为_【答案】或【解析】【分析】先求得的定

13、义域，然后对和的符合进行分类讨论，由此求得实数的取值范围.【详解】依题意，定义域为.由于在定义域内恒成立，则，恒成立，即在恒成立.令，故在上递减，在上递增，故.所以，由可得，即.，恒成立，即在恒成立，不存在这样的.，当时，由于在上递增，在上递减，要使在定义域内恒成立，则需和有相同的零点.由，解得.综上所述，实数的取值范围是或.故答案为：或【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在中，角对应边分

14、别为.(1)若的面积满足且，求的值；(2)若且为锐角三角形.求周长的范围.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）结合三角形面积公式和余弦定理，求得值，由此求得的大小，利用余弦定理列方程求得的值.（2）利用正弦定理表示出，用三角形内角和定理和三角恒等变换求得的取值范围，由此求得即三角形周长的取值范围.【详解】(1)由条件和三角形的面积公式得，即.将余弦定理.代入上式得，即，因为，所以将，代入，得结合条件得. (2)由正弦定理得所以因为，且及锐角三角形得且，所以，所以，即，所以所以周长范围是.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角恒等变换，考查运算求

15、解能力，属于中档题.18.如图，已知四边形为等腰梯形，为正方形，平面平面，.(1)求证:平面平面；(2)点为线段上一动点，求与平面所成角正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用等腰梯形的性质证得，由面面垂直的性质定理证得平面，由此证得平面平面.（2）建立空间直角坐标系，设出的长，利用直线的方向向量和平面的法向量，求得与平面所成角正弦值的表达式，进而求得与平面所成角正弦值的取值范围.【详解】在等腰梯形中， ，. 即，.又平面平面，平面平面平面，平面平面，平面平面（2）解:由(1)知，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为，即令，则，平

16、面的一个法向量为.设与平面所成角为，当时取最小值，当时取最大值故与平面所成角正弦值的取值范围为.【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查向量法计算线面角正弦值的取值范围，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.过点的直线与抛物线相交于两点.(1)若，且点在第一象限，求直线的方程；(2)若在直线上的射影分别为，线段的中点为， 求证.【答案】（1）.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用，结合平面向量相等的坐标运算、韦达定理，求得直线的斜率，进而求得直线的方程.（2）由（1）求得的坐标，通过计算，证得.【

17、详解】(1)设方程为， ，联立方程，消去得:，又由得:代人解得直线的方程为:，即.(2)由(1)得，【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.20.设函数.(1)若，求的单调区间；(2)若存在三个极值点，且，求的取值范围，并证明:.【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为.（2），证明见解析【解析】【分析】（1）当时，利用导数求得的单调区间.（2）先求得的导函数，则有两个不同的零点，且都不是.对分成两种情况分类讨论，利用导数研究的单调性和零点，由此求得的取值范围. 由上述分析可得，利用导数证得，从而证得.【详解

18、】(1).令，得，得，在上递减，在上递增.即，解得，解得，的单调减区间为，单调增区间为.(2)，有三个极值点，方程有两个不等根，且都不是，令，时，单调递增，至多有一根，解得，解得.在上递减，在上递增，此时，时.时，有三个根，且，由得，由得，下面证明:，可变形为令，在上递增，【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解函数极值有关问题，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的

19、问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用名，其中个高薪职位和个普薪职位.实际报名人数为名，考试满分为分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是分，分及其以上的高分考生名.(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料:(1)当时，令，则.(2)当时，.【答案】（1）分或分.（2）能获得高薪职位.见解析【解析】【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题

20、目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩的分布，利用录取率列方程，由此求得最低录取分数线.（2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为，由此判断出甲能获得高薪职位.【详解】(1)设考生成绩为，则依题意应服从正态分布，即.令，则.由分及其以上的高分考生名可得即，亦即.则，解得，设最低录取分数线为，则则，.即最低录取分数线为分或分.(2)考生甲的成绩，所以能被录取.，表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以他能获得高薪职位.【点睛】本小题主要考查正态分布在实际生活中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，考查阅读理解能力，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题

21、做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，点在圆上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.（1）求圆的参数方程；（2）若点在线段上，且，求动点轨迹的极坐标方程.【答案】（1）（为参数）；（2）【解析】【分析】（1）已知得，圆心的直角坐标为，则可求得圆的标准方程；（2）结合（1）得，圆极坐标方程为，再设，则，将代入的极坐标方程即可得解.【详解】（1）由已知得，圆心的直角坐标为，所以的直角坐标方程为，所以圆的参数方程为（为参数）（2）由（1）得，圆极坐标方程为，即设，根据，可得，将代入的极坐标方程，得，即动点轨迹的极坐标方程为【点睛】本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题.23.设函数.(1)画出的图象；(2)若不等式对成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此画出的图形.（2）将不等式转化为.利用绝对值不等式求得的最小值，由此求得的取值范围.【详解】(1)根据绝对值的定义，可得所以的图象如图所示:(2)，即，即实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解，属于基础题.