江苏省南通市平潮高中高二期末数学模拟试卷 （理科）.docx

1、2022-2022学年江苏省南通市平潮高中高二（下）期末数学模拟试卷 （理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1若复数z=（x+i）（1+i）是纯虚数，其中x为实数，i为虚数单位，则z的共轭复数=2随机变量的概率分布如表：101Pabc其中a，b，c成等差数列，则b=3用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a，b全为0 （a，b为实数）”，其反设为4若抛物线y2=8x的焦点F与双曲线=1的一个焦点重合，则n的值为5已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：axy+2=0则“a=3”是“l1l2”的条件6有4名优秀学生A，B，C，D全部被

2、保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有种7若圆柱的侧面积和体积的值都是12，则该圆柱的高为8曲线y=xcosx在点（，）处的切线方程为9二项式（x2）10的展开式中的常数项是10设，是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：若，l，则l；若l，l，则；若l上有两点到的距离相等，则l；若，则其中正确命题的序号是11记等差数列an得前n项和为Sn，利用倒序相加法的求和办法，可将Sn表示成首项a1，末项an与项数的一个关系式，即Sn=；类似地，记等比数列bn的前n项积为Tn，bn0（nN*），类比等差数列的求和方法，可将Tn表示为首项b1，末项bn与项数的一个关系式

3、，即公式Tn=12已知椭圆+=1（ab0），点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 AB2与直线 B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为13已知可导函数f（x）（xR）的导函数f（x）满足f（x）f（x），则不等式ef（x）f（1）ex的解集是14在平面直角坐标系xOy中，过点P（5，a）作圆x2+y22ax+2y1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知，圆C：x2+y28y+12=0，直线l：ax+

4、y+2a=0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程16如图，四棱锥PABCD的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD平面 ABCD，PB=PD，PAPC，CDPC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM求证：（1）OM平面PAD；（2）OM平面PCD17某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生 在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等（1）求某同学至少选修1门自然科学课程的概率；（2）已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是

5、，自然科学课程的概率都是，且各门课程通过与否相互独立用表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量的概率分布列和数学期望18如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD，设梯形部件ABCD的面积为y平方米（I）设CD=2x（米），将y表示成x的函数关系式；（II）求梯形部件ABCD面积y的最大值19如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（ab0）的两焦点分别为F1（，0），F2（，0），且经过点（，）（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2

6、，k3，k4，且k1k2=k3k4求k1k2的值；求OB2+OC2的值20已知函数f（x）=lnxax2+x（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调减区间；（2）若关于x的不等式f（x）ax1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2数学附加题部分.本部分共4题，每小题0分，计40分选修4-2：矩阵与变换21在直角标系xOy中，点（2，2）在矩阵M=（）对应变换作用下得到点（2，4），曲线C：x2+y2=1在矩阵M对应变换作用下得到曲线C，求曲线C的方程选修4-4：坐标系与参数方程22已知极坐标系的极点与直角坐标系的原

7、点重合，极轴与x轴的正半轴重合若直线l的极坐标方程为cos（）=3（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知P为曲线C： =1上一点，求点P到直线l的距离的最小值23用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式成立24已知p（p2）是给定的某个正整数，数列an满足：a1=1，（k+1）ak+1=p（kp）ak，其中k=1，2，3，p1（）设p=4，求a2，a3，a4；（）求a1+a2+a3+ap2022-2022学年江苏省南通市平潮高中高二（下）期末数学模拟试卷 （理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1若复

8、数z=（x+i）（1+i）是纯虚数，其中x为实数，i为虚数单位，则z的共轭复数=2i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘法运算展开并整理，由复数为纯虚数求得x值，则z可求，可求【解答】解：由z=（x+i）（1+i）=（x1）+（x+1）i是纯虚数，得，即x=1，z=2i，则故答案为：2i2随机变量的概率分布如表：101Pabc其中a，b，c成等差数列，则b=【考点】离散型随机变量及其分布列【分析】利用分布列的特征，概率和为1，以及等差数列求解即可【解答】解：由题意可知：，可得b=故答案为：3用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a，b全为0 （a，b为实数）”，其反设为a

9、，b不全为0【考点】反证法与放缩法【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设【解答】解：用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，所以用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a，b全为0 （a，b为实数）”，其反设为a，b不全为0，故答案为：a，b不全为04若抛物线y2=8x的焦点F与双曲线=1的一个焦点重合，则n的值为1【考点】双曲线的简单性质【分析】求得抛物线的焦点为（2，0），由双曲线的a，b，c的关系，可得=2，解方程可得n=1【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F为（2，0），双曲线=1的右焦点为（，0），由题意可得， =2，解得n=1，故答案为：15已知直线l1：ax+（a+2

10、）y+1=0，l2：axy+2=0则“a=3”是“l1l2”的充分不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】对a分类讨论，利用两条直线相互平行与斜率之间的关系即可得出【解答】解：当a=2时，两条直线分别化为2x+1=0，2xy+2=0，此时两条直线不平行，舍去，当a2时，两条直线分别化为：y=x，y=ax+2，l1l2，=a，2，解得a=0，或a=3，则“a=3”是“l1l2”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要6有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有36种【考点】排列、组合的实际应用【分析】分两步进行，先把4名

11、学生分为211的三组，再将3组对应3个学校，有A33=6种情况，进而由分步计数原理，计算可得答案【解答】解：分两步进行，先把4名学生分为211的三组，有C42=6种分法，再将3组对应3个学校，有A33=6种情况，则共有66=36种保送方案故答案为：367若圆柱的侧面积和体积的值都是12，则该圆柱的高为3【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设圆柱的底面半径为r，高为h，则2rh=r2h=12，即可求出圆柱的高【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则2rh=r2h=12，r=2，h=3，故答案为：38曲线y=xcosx在点（，）处的切线方程为2xy=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方

12、程【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程【解答】解：y=xcosx的导数为y=1+sinx，即有在点（，）处的切线斜率为k=1+sin=2，则曲线在点（，）处的切线方程为y=2（x），即为2xy=0故答案为：2xy=09二项式（x2）10的展开式中的常数项是45【考点】二项式定理的应用【分析】利用二项式的通项公式即可得出x的指数幂为0，即可得出r的值，就能够求解常数项【解答】解：由通项公式Tr+1=（）r（x2）10r=（1）10r（x），令20=0=0，解得r=8常数项为T8=（1）2=45故答案为：4510设，是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命

13、题：若，l，则l；若l，l，则；若l上有两点到的距离相等，则l；若，则其中正确命题的序号是【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】根据直线与平面平行的判断定理及其推论对、四个命题进行一一判断；【解答】解：错误，l可能在平面内；正确，l，l，=nlnn，则；错误，直线可能与平面相交；，故正确故答案为；11记等差数列an得前n项和为Sn，利用倒序相加法的求和办法，可将Sn表示成首项a1，末项an与项数的一个关系式，即Sn=；类似地，记等比数列bn的前n项积为Tn，bn0（nN*），类比等差数列的求和方法，可将Tn表示为首项b1，末项bn与项数的一个关系式，即公式Tn=【考点】类比

14、推理【分析】由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积【解答】解：在等差数列an的前n项和为Sn=，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列bn的前n项积Tn=，故答案为：12已知椭圆+=1（ab0），点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 AB2与直线 B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为【考点】椭圆的简单性质【分析】作简图，结合图象可得CD=（a+），从而解得【解答】解：作简图如下，则=， =；即CD=（a+），即=1+；即（）22=0；即（2）（+1）

15、=0；故=2；故离心率e=；故答案为：13已知可导函数f（x）（xR）的导函数f（x）满足f（x）f（x），则不等式ef（x）f（1）ex的解集是（1，+）【考点】导数的运算；其他不等式的解法【分析】由题目要求解的不等式是ef（x）f（1）ex，变性后得：，由此想到构造函数g（x）=，求导后结合f（x）f（x），可知函数g（x）是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集【解答】解：令g（x）=，则=，因为f（x）f（x），所以g（x）0，所以，函数g（x）=为（，+）上的增函数，由ef（x）f（1）ex，得：，即g（x）g（1），因为函数g（x）=为（，+）上的增函数，所以，x

16、1所以，不等式ef（x）f（1）ex的解集是（1，+）故答案为（1，+）14在平面直角坐标系xOy中，过点P（5，a）作圆x2+y22ax+2y1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为3或2【考点】圆的切线方程【分析】两者的和实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而可得两斜率乘积为1，可得P，Q，R，T共线，即可求出实数a的值【解答】解：设MN中点为Q（x0，y0），T（1，0），圆心R（a，1），根据对称性，MNPR，=，kMN=， +=0kMNkTQ=1，MNTQ，P，Q，R，T共线，kPT=kRT，即，a2a6=0，a=3或2故答案为：3

17、或2二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知，圆C：x2+y28y+12=0，直线l：ax+y+2a=0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，（1）当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）联立圆C和直线l的方程，消去y后，

18、得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值【解答】解：将圆C的方程x2+y28y+12=0配方得标准方程为x2+（y4）2=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2（1）若直线l与圆C相切，则有解得（2）联立方程并消去y，得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）=0设此方程的两根分别为x1、x2，所以x1+x2=，x1x2=则AB=2两边平方并代入解得：a=7或a=1，直线l的方程是7xy+14=0和xy+2=016如图，四棱锥PABCD的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD平面 ABCD，PB=PD，PAPC，

19、CDPC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM求证：（1）OM平面PAD；（2）OM平面PCD【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（1）连结AC，由三角形中位线的性质可得OMPA，由OM平面PAD，PA平面PAD，即可判定OM平面PAD（2）连结PO，可证POBD，由面面垂直的性质可证明PO平面ABCD，可得POCD，又CDPC，PCPO=P，PC平面PAC，PO平面PAC，可证CD平面PAC从而证明CDOM，OMPC，又由CD平面PCD，PC平面PCD，CDPC=C，即可判定OM平面PCD【解答】证明：（1）连结AC，因为ABCD 是平行四边形，所以O为AC的中点 在

20、PAC中，因为O，M分别是AC，PC的中点，所以OMPA因为OM平面PAD，PA平面PAD，所以OM平面PAD （2）连结PO因为O是BD的中点，PB=PD，所以POBD又因为平面PBD平面ABCD，平面PBD平面ABCD=BD，PO平面PBD所以PO平面ABCD从而POCD又因为CDPC，PCPO=P，PC平面PAC，PO平面PAC，所以CD平面PAC因为OM平面PAC，所以CDOM 因为PAPC，OMPA，所以OMPC又因为CD平面PCD，PC平面PCD，CDPC=C，所以OM平面PCD17某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生 在高中三年内从中选修3门

21、课程，假设学生选修每门课程的机会均等（1）求某同学至少选修1门自然科学课程的概率；（2）已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是，自然科学课程的概率都是，且各门课程通过与否相互独立用表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量的概率分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A，由对立事件概率计算公式能求出该同学至少选修1门自然科学课程的概率（2）随机变量的所有可能取值有0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的

22、概率分布列和数学期望【解答】解：（1）记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A，则，所以该同学至少选修1门自然科学课程的概率为（2）随机变量的所有可能取值有0，1，2，3因为，所以的分布列为0123P所以18如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD，设梯形部件ABCD的面积为y平方米（I）设CD=2x（米），将y表示成x的函数关系式；（II）求梯形部件ABCD面积y的最大值【考点】函数模型的选择与应用【分析】如图所示，以直径AB所在的直线为x轴，线段AB中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，过点C作CEAB，（I）由CD的长表示出OE的长，利用勾股定理

23、表示出CE的长，利用梯形面积公式表示出y与x的函数关系式，并求出x的范围即可；（II）把表示出y与x的关系式变形，令被开方数等于t，求出导函数t，根据导函数的正负确定出函数的增减性，进而求出y的最大值即可【解答】解：如图所示，以直径AB所在的直线为x轴，线段AB中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，过点C作CEAB，（I）CD=2x，OE=x（0x1），CE=，y=（|AB|+|CD|）CE=（2+2x）=（x+1）（0x1）；（II）y=，令t=x42x3+2x+1，则t=4x36x2+2=2（2x3+3x21）=2（x+1）2（2x1），令t=0，得到x=或x=1（舍），当0x时，t0，函数在

24、（0，）上单调递增，当x1时，t0，函数在（，1）上单调递减，当x=时，t有最大值，ymax=，答：梯形部件y=0面积的最大值为平方米19如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（ab0）的两焦点分别为F1（，0），F2（，0），且经过点（，）（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4求k1k2的值；求OB2+OC2的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）依题意，c=，a2=b2+3，（，）代入椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆的方程及离心率

25、；（2）利用斜率公式，即可求k1k2的值；由知，k3k4=k1k2=，故x1x2=4y1y2利用OB2+OC2=，求OB2+OC2的值【解答】解：（1）依题意，c=，a2=b2+3，2分由，解得b2=1（b2=，不合，舍去），从而a2=4故所求椭圆方程为：，离心率e=5分（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（x1，y1），于是k1k2=8分由知，k3k4=k1k2=，故x1x2=4y1y2所以（x1x2）2=（4y1y2）2，即（x1x2）2=，所以， =411分又2=，故所以，OB2+OC2=514分20已知函数f（x）=lnxax2+x（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调

26、减区间；（2）若关于x的不等式f（x）ax1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）利用f（1）=0，确定a的值，求导函数，从而可确定函数的单调性；（2）构造函数F（x）=f（x）ax+1，利用导数研究其最值，将恒成立问题进行转化，（3）将代数式f（x1）+f（x2）+x1x2放缩，构造关于x1+x2的一元二次不等式，解不等式即可【解答】解：（1）f（x）=lnxax2+x，f（1）=0，a=2，且x0f（x）=lnxx2+x，

27、=，当f（x）0，即x1时，函数f（x）的单调递减，函数f（x）的单调减区间（1，+）（2）令F（x）=f（x）ax+1=lnxax2+（1a）x+1，则F（x）=ax+1a=a，当a0时，在（0，+）上，函数F（x）单调递增，且F（1）=20，不符合题意，当a0时，函数F（x）在x=时取最大值，F（）=ln+，令h（a）=ln+=，则根据基本函数性质可知，在a0时，h（a）单调递减，又h（1）=0，h（2）=0，符合题意的整数a的最小值为2（3）a=2，f（x）=lnx+x2+x，f（x1）+f（x2）+x1x2=lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x1x2+x2=（x1+x2）2+x

28、1+x2+lnx1x2x1x2令g（x）=lnxx，则g（x）=，0x1时，g（x）0，g（x）单调递增，x1时，g（x）0，g（x）单调递减，g（x）max=g（1）=1，f（x1）+f（x2）+x1x2（x1+x2）2+（x1+x2）1，即（x1+x2）2+（x1+x2）10，又x1，x2是正实数，x1+x2数学附加题部分.本部分共4题，每小题0分，计40分选修4-2：矩阵与变换21在直角标系xOy中，点（2，2）在矩阵M=（）对应变换作用下得到点（2，4），曲线C：x2+y2=1在矩阵M对应变换作用下得到曲线C，求曲线C的方程【考点】几种特殊的矩阵变换；逆变换与逆矩阵【分析】先根据变换的

29、对应点，列式解出=2，得M=（）再设曲线C上任意一点P（x0，y0），根据矩阵变换的公式求出对应的点P（x，y），解出由x、y表示x0，y0的式子，将点P的坐标代入曲线C方程，化简即得曲线C的方程【解答】解：根据题意，得（）（）=（）2=4，可得=2，即M=（）设P（x0，y0）是曲线C：x2+y2=1上任意一点，则点P（x0，y0）在矩阵M对应的变换下变为点P（x，y）则有（）=（）（），即，所以又点P在曲线C：x2+y2=1上，+x2=1，即曲线C的方程为椭圆x2+=1选修4-4：坐标系与参数方程22已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合若直线l的极坐标方程为co

30、s（）=3（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知P为曲线C： =1上一点，求点P到直线l的距离的最小值【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）直线l的极坐标方程为cos（）=3，展开为（cos+sin）=3，利用互化公式可得直角坐标方程（2）P为曲线C： =1上一点，可设P（4cos，3sin）可得点P到直线l的距离d=，即可得出【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为cos（）=3，展开为（cos+sin）=3，可得直角坐标方程：x+y6=0（2）P为曲线C： =1上一点，可设P（4cos，3sin）点P到直线l的距离d=，当sin（+）=1时取等号，点P到直线l的距离的最小

31、值为23用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式成立【考点】数学归纳法【分析】当n=2时，代入不等式左右端，验算可得证再证明从k到k+1时，构造4k2+8k+44k2+8k+3，向要证明的代数式转化即可证明n=k时也成立，从而结论得证【解答】证明：当n=2时，左端=1+=，右端=，又知，左端右端，即当n=2时有原不等式成立假设当n=k时，有原不等式成立，即成立，那么当n=k+1时，有=又4k2+8k+44k2+8k+3，即，即对n=k时成立，综上，由知，对一切大于1的自然数n，不等式成立24已知p（p2）是给定的某个正整数，数列an满足：a1=1，（k+1）ak+1=p（kp）ak，其中k=1，2，3，p1（）设p=4，求a2，a3，a4；（）求a1+a2+a3+ap【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（I）设p=4，利用（k+1）ak+1=p（kp）ak，求出，通过k=1，2，3求a2，a3，a4；（II）利用列出的表达式通过连乘求出ak，然后通过二项式定理求解求a1+a2+a3+ap【解答】解：（）由（k+1）ak+1=p（kp）ak得，k=1，2，3，p1即，a2=6a1=6；，a3=16，a4=16； （）由（k+1）ak+1=p（kp）ak得：，k=1，2，3，p1即，以上各式相乘得 =，k=1，2，3，p a1+a2+a3+ap= 17 / 18