《考前三个月》2015届高考数学（人教通用理科）必考题型过关练：专题3 第19练.docx

1、第19练定积分问题内容精要定积分是导数及其应用内容的重要组成部分，高考试题对该部分的考查主要有三个方面：一是考查微积分基本定理的直接应用，二是考查定积分的应用，三是考查定积分与其他知识的综合一般以选择题或填空题的形式出现题型一微积分基本定理的直接应用例1(2013江西)若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()AS1S2S3 BS2S1S3CS2S3S1 DS3S2S1破题切入点先利用微积分基本定理求出这三个定积分的值，然后比较它们的大小答案B解析S1x2dxx3|23，S2dxln x|ln 2，S3exdxex|e2ee(e1)，ln 2ln e1，且2.5

2、e(e1)，所以ln 2e(e1)，即S2S1S3.题型二定积分的应用例2(2013北京)直线l过抛物线C：x24y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A. B2 C. D.破题切入点求出抛物线的焦点坐标，确定直线l的方程，画出图形，确定被积函数及积分的上、下限，用定积分表示所求图形的面积，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可答案C解析抛物线方程为x24y，其焦点坐标为F(0,1)，故直线l的方程为y1.如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数yx2的图象和x轴正半轴及直线x2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S42dx4.题型三

3、不规则积分区间的问题例3由曲线ysin x，ycos x与直线x0，x所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是()A1 B.C. D22破题切入点先求出曲线ysin x与ycos x在(0，)内交点的横坐标为，然后利用定积分的几何意义分两段表示阴影部分的面积，最后求和即可；也可根据图形的对称性用其中一部分面积的2倍来表示答案D解析方法一由sin xcos x(x(0，)，得x.故所求阴影部分的面积S(cos xsin x)dx(sin xcos x)dx(sin xcos x)(cos xsin x) sin cos sin 0cos 0(cos sin )(cos sin )22.故

4、选D.方法二由sin xcos x(x(0，)，得x.根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积S2(cos xsin x)dx2(sin xcos x)2(sin cos sin 0cos 0)22.故选D.总结提高(1)利用定积分求解曲边梯形的面积关键是把握住两点：一是准确确定被积函数，一般是“上”减“下”；二是准确确定积分的上下限(2)对于不规则图形的定积分求法，一般是将其分割后求解，注意区分定积分的几何意义与利用定积分计算曲线与x轴所围成图形的面积的不同(3)解决此部分问题注意把握一种方法即根据曲边梯形的结构特征，灵活利用定积分表示曲边图形区域的面积1已知自由落体运动的速率vgt，则落体

5、运动从t0到tt0所走的路程为()A. Bgt C. D.答案C解析由题意，可知所走路程为gt2gt.2(2014山东)直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A2 B4 C2 D4答案D解析令4xx3，解得x0或x2，S(4xx3)844，故选D.3(2014湖南)已知函数f(x)sin(x)，且f(x)dx0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是()Ax BxCx Dx答案A解析sin(x)dxcos(x)0，cos()cos 0.cos()cos 0.sin cos 0.sin()0.k1(k1Z)k1(k1Z)f(x)sin(xk1)(k1Z)由xk1k2(k1，k2

6、Z)得x(k1k2)(k1，k2Z)，f(x)的对称轴方程为x(k1k2)(k1，k2Z)故x为函数f(x)的一条对称轴4(2014江西)若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx等于()A1 BC. D1答案B解析f(x)x22f(x)dx，f(x)dx(x32xf(x)dx)|2f(x)dx，f(x)dx.5已知等差数列an的前n项和为Sn，且S10(12x)dx，S2017，则S30为()A15 B20 C25 D30答案A解析由已知得S10(12x)dx12，据等差数列性质可得S1012，S20S105，S30S20S3017亦成等差数列，故有12S301710S3015.6设n4s

7、in xdx，则二项式(x)n的展开式的常数项是()A12 B6 C4 D1答案B解析由定积分得n4cos x4，二项式的通项公式为Tk1Cx4k()kC(1)kx42k，由42k0，得k2，所以常数项为T3C(1)26，故选B.7若函数f(a)(2sin x)dx，则f()等于()A1 B0 C1 D1cos 1答案C解析由于g(x)(2xcos x)2sin x，故f(a)(2sin x)dxg(a)g(0)2acos a1，因此f()2cos 11，故选C.8由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()A. B1 C. D.答案D解析根据定积分的定义，所围成的封闭图形

8、的面积为cos xdxsin xsin sin.9设f(x)(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为_答案解析依题意得f(x)dxx2dxdx|ln x|1.10计算定积分(x2sin x)dx_.答案解析(x2sin x)dx(cos x)|.11(2014辽宁)正方形的四个顶点A(1，1)，B(1，1)，C(1,1)，D(1,1)分别在抛物线yx2和yx2上，如图所示若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是_答案解析正方形内空白部分面积为x2(x2)dx2x2dxx3|()，阴影部分面积为22，所以所求概率为.12已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为_答案1解析由曲线在原点处与x轴相切，可得f(0)b0，此时f(x)x3ax2x2(ax)，据定积分知阴影部分面积(x3ax2)dx，解得a1.